Solution des exercices : Rangement des nombres décimaux arithmétiques - 6e
Classe:
Sixième
Exercice 1
Comparons en utilisant les signes $>\;;\ <\ $ ou $\ =$
Pour comparer deux nombres décimaux, on regarde d'abord les parties entières et, le plus grand est celui qui la plus grande partie entière.
Par contre, si les deux nombres ont des parties entières égales alors, on regarde les parties décimales et, le plus grand est donc celui qui a la plus grande partie décimale.
1) a) $123<243$
b) $4.27<27$
c) $64.05<65.50$
d) $835<838$
e) $037=37$
f) $1<1.0002$
2) a) $235.35>2.35$
b) $73.25<732.125$
c) $043.527<43.53$
d) $835.27=835.2700$
Exercice 2
1) Si deux nombres décimaux ont des parties entières différentes alors le plus grand d'entre eux est celui qui a la plus grande partie entière.$\quad\text{vrai}$
2) Si deux nombres décimaux ont des parties entières égales alors le plus petit est celui qui a la plus grande partie décimale.$\quad\text{faux}$
Exercice 3
1) Rangeons les nombres entiers naturels suivants dans l'ordre croissant :
$$4\,307\ -\ 7\,204\ -\ 3\,720\ -\ 4\,037\ -\ 3\,407\ -\ 7\,304$$
Cela revient donc à classer ces nombres entiers naturels du plus petit au plus grand. On obtient alors :
$$\boxed{3\,407\ -\ 3\,720\ -\ 4\,037\ -\ 4\,307\ -\ 7\,204\ -\ 7\,304}$$
2) Rangeons les nombres décimaux suivants dans l'ordre décroissant :
$$18.5\ -\ 340.01\ -\ 304.10\ -\ 58.1\ -\ 430.7\ -\ 1.185$$
Cela revient donc à classer ces nombres décimaux du plus grand au plus petit. On obtient alors :
$$\boxed{430.7\ -\ 340.01\ -\ 304.10\ -\ 58.1\ -\ 18.5\ -\ 1.185}$$
Exercice 4
Comparons en utilisant les signe $=\ $ ou $\ \neq.$
a) $14.5\neq 14.04$
b) $13.70=13.7$
c) $14=14.00$
d) $17.1\neq 17.01$
Exercice 5
1) Rangeons les nombres décimaux suivants dans l'ordre croissant :
$$12\ -\ 12.01\ -\ 13.45\ -\ 14.07\ -\ 13.9\ -\ 12.91$$
En partant du plus petit au plus grand, on obtient :
$$\boxed{12\ -\ 12.01\ -\ 12.91\ -\ 13.45\ -\ 13.9\ -\ 14.07}$$
2) Rangeons les nombres décimaux suivants dans l'ordre décroissant :
$$0.45\ -\ 0.27\ -\ 0.30\ -\ 0.69\ -\ 0.10\ -\ 0.8\ -\ 0.5$$
En classant du plus grand au plus petit, on obtient :
$$\boxed{0.8\ -\ 0.69\ -\ 0.5\ -\ 0.45\ -\ 0.30\ -\ 0.27\ -\ 0.10}$$
3) Rangeons les nombres décimaux suivants dans l'ordre croissant :
$$5.667\ -\ 5.66\ -\ 5.6\ -\ 5.65\ -\ 5.655\ -\ 5.689\ -\ 5.658$$
Pour cela, on classe ces nombres du plus petit au plus grand. On obtient alors :
$$\boxed{5.6\ -\ 5.65\ -\ 5.655\ -\ 5.658\ -\ 5.66\ -\ 5.667\ -\ 5.689}$$
Exercice 6
1) En utilisant le symbole $"<"$ rangeons les nombres suivants :
$$56<97<125$$
2) En utilisant le symbole $">"$ rangeons les nombres suivants :
$$163>125>97>75>45>34>6>5$$
Exercice 7
1) Reproduisons la droite graduée ci-dessous et plaçons les points $A(7.3)\;;\ B(7.6)\ $ et $\ C(7.2).$
Pour cela, il faut d'abord remarquer que chaque intervalle de la graduation correspond à un dixième.
On marque ensuite les nombres qui correspondants aux abscisses des points qui sont nommés.
Enfin, on place les points associés respectivement à ces abscisses.
2) Rangeons dans l'ordre décroissant les abscisses de tous les points qui sont nommés.
On a : $7.3\;;\ 7.6\ $ et $\ 7.2$ sont les abscisses de tous les points qui sont nommés.
Alors, nous allons classer ces nombres du plus grand au plus petit.
On sait que : si deux nombres décimaux ont des parties entières égales alors le plus grand est celui qui a la plus grande partie décimale.
Donc, en rangeant dans l'ordre décroissant on obtient :
$$\boxed{7.6\;,\ 7.3\;,\ 7.2}$$
Exercice 8
1) Écrivons l'ensemble $A$ des nombres décimaux dont la partie décimale a un chiffre et qui sont plus grands que $16$ et plus petit que $17.$
On sait que les nombres décimaux dont la partie décimale a un chiffre et qui sont plus grands que $16$ et plus petit que $17$ sont :
$$16.1\;,\ 16.2\;,\ 16.3\;,\ 16.4\;,\ 16.5\;,\ 16.6\;,\ 16.7\;,\ 16.8\;,\ 16.9$$
Donc,
$$\boxed{A=\{16.1\;,\ 16.2\;,\ 16.3\;,\ 16.4\;,\ 16.5\;,\ 16.6\;,\ 16.7\;,\ 16.8\;,\ 16.9\}}$$
2) Écrivons l'ensemble $B$ des nombres décimaux dont la partie décimale a deux chiffres et qui sont plus grands que $17.8$ et plus petit que $17.9$
On sait que : $17.8=17.80\ $ et $\ 17.9=17.90$
Donc, les nombres décimaux dont la partie décimale a deux chiffres et qui sont plus grands que $17.8$ et plus petit que $17.9$ sont :
$$17.81\;,\ 17.82\;,\ 17.83\;,\ 17.84\;,\ 17.85\;,\ 17.86\;,\ 17.87\;,\ 17.88\;,\ 17.89$$
D'où,
$$\boxed{B=\{17.81\;,\ 17.82\;,\ 17.83\;,\ 17.84\;,\ 17.85\;,\ 17.86\;,\ 17.87\;,\ 17.88\;,\ 17.89\}}$$
Exercice 9
Voici les longueurs de certains objets.
Stylo : $12.5\;cm$ ; Crayon : $126\;mm$ ; Ciseaux : $0.21\;m$ ; Feutre : $1.257\;dm.$
Rangeons ces objets par ordre décroissant de longueur.
On convertit d'abord les longueurs en $mm.$
On obtient alors :
Stylo : $12.5\;cm=125\;mm$
Crayon : $126\;mm$
Ciseaux : $0.21\;m=210\;mm$
Feutre : $1.257\;dm=125.7\;mm$
On range ensuite ces longueurs dans l'ordre décroissant ; c'est à dire du plus grand au plus petit.
Ce qui donne :
$$210\;,\ 126\;,\ 125.7\;,\ 125$$
Enfin, on associe chaque nombre à l'objet correspondant.
On obtient alors :
$$\boxed{\text{Ciseaux - Crayon - Feutre - Stylo}}$$
Exercice 10
1) Traçons une demi-droite d'origine $O$ et marque sur cette demi-droite les points $A\;,\ B\;,\ C\;,\ D$ tels que :
$$OA=1\;cm\;,\ OB=2\;cm\;,\ OC=3\;cm\;,\ OD=4\;cm$$
2) Marquons sur cette demi-droite les points suivants $E\;,\ F\;,\ G\;,\ H\;,\ R\ $ et $\ S$ d'abscisses respectives :
$$2.1\;;\ 3.4\;;\ 0.7\;;\ 2.9\;;\ 3.6\;;\ 1.7$$
Exercice 11
Rangeons dans l'ordre décroissant les longueurs suivantes :
$$2\;dm\;;\ 21\;cm\;;\ 2\,401\;mm\;;\ 10.42\;m\;;\ 0.075\;km$$
D'abord, nous convertissons ces longueurs en $mm.$
On a alors :
$2\;dm=200\;mm$
$21\;cm=210\;mm$
$2\,401\;mm=2\,401\;mm$
$10.42\;m=10\,420\;mm$
$0.075\;km=75\,000\;mm$
Ensuite, en comparant ces nombres, on obtient :
$$75\,000>10\,420>2\,401>210>200$$
Donc, un rangement dans l'ordre décroissant est donné par :
$$\boxed{0.075\;km\;;\ 10.42\;m\;;\ 2\,401\;mm\;;\ 21\;cm\;;\ 2\;dm}$$
Exercice 12
On donne $x=13.0476$
1) Donnons un encadrement de $x$ à l'unité près.
Cela signifie que $x$ doit être encadré par deux entiers naturels consécutifs.
On sait que $x$ est inférieur à $14$ mais supérieur à $13.$
De plus, $13\ $ et $\ 14$ sont deux entiers naturels consécutifs.
Donc, un encadrement de $x$ à l'unité près est donné par :
$$\boxed{13<x<14}$$
2) Donnons un encadrement de $x$ à $0.1$ près.
Pour cela, $x$ doit être encadré par deux nombres décimaux consécutifs ayant un chiffre après la virgule.
On a : $x>13.0\ $ et $\ x<13.1$
De plus, $13.0\ $ et $\ 13.1$ sont deux nombres décimaux consécutifs ayant un chiffre après la virgule.
Par suite, un encadrement de $x$ à $0.1$ près est donné par :
$$\boxed{13.0<x<13.1}$$
3) Donnons un encadrement de $x$ à $0.001$ près.
Cela revient à encadrer $x$ par deux nombres décimaux consécutifs ayant trois chiffres après la virgule.
On sait que : $x>13.047\ $ et $\ x<13.048$
De plus, $13.047\ $ et $\ 13.048$ sont deux nombres décimaux consécutifs ayant trois chiffres après la virgule.
D'où, un encadrement de $x$ à $0.001$ près est donné par :
$$\boxed{13.047<x<13.048}$$
Exercice 13
1) Encadrons $15.7$ à l'unité près.
On a : $15.7>15\ $ et $\ 15.7<16$
Alors, un encadrement de $15.7$ à l'unité près est donné par :
$$\boxed{15<15.7<16}$$
2) Encadrons $157.49$ à $0.1$ près.
Pour cela, on encadre $157.49$ par deux nombres décimaux consécutifs ayant un chiffre après la virgule.
On a : $157.49>157.4\ $ et $\ 157.49<157.5$
Donc, un encadrement de $157.49$ à $0.1$ près est donné par :
$$\boxed{157.4<157.49<157.5}$$
3) Encadrons le nombre $435.073$ entre deux décimaux consécutifs ayant deux chiffres après la virgule.
On a : $435.073>435.07\ $ et $\ 435.073<435.08$
Donc, un encadrement de $435.073$ entre deux décimaux consécutifs ayant deux chiffres après la virgule est donné par :
$$\boxed{435.07<435.073<435.08}$$
Exercice 14
1) Encadrons $38.126$ par deux entiers naturels consécutifs.
On a : $38.126>38\ $ et $\ 38.126<39$
D'où, un encadrement de $38.126$ par deux entiers naturels consécutifs est donné par :
$$\boxed{38<38.126<39}$$
2) Encadrons $25.02$ par deux nombres décimaux les plus proches ayant un chiffre après la virgule.
Cela revient à encadrer $25.02$ par deux nombres décimaux consécutifs ayant un chiffre après la virgule.
On a : $25.02>25.0\ $ et $\ 25.02<25.1$
Donc, un encadrement de $25.02$ par deux nombres décimaux les plus proches ayant un chiffre après la virgule est donné par :
$$\boxed{25.0<25.02<25.1}$$
3) Encadrons $78.715$ par deux nombres décimaux les plus proches ayant deux chiffres après la virgule.
Cela revient à encadrer $78.715$ par deux nombres décimaux consécutifs ayant deux chiffres après la virgule.
On a : $78.715>78.71\ $ et $\ 78.715<78.72$
Donc, un encadrement de $78.715$ par deux nombres décimaux les plus proches ayant deux chiffres après la virgule est donné par :
$$\boxed{78.71<78.715<78.72}$$
Exercice 15
1) Encadrons chacun des nombres décimaux suivants à l'unité près : $3.5\;;\ 6.4\;;\ 0.8$
Pour cela, on doit trouver deux entiers naturels consécutifs qui encadrent chaque nombre.
On a : $3.5>3\ $ et $\ 3.5<4$
Donc, un encadrement de $3.5$ à l'unité près est donné par :
$$\boxed{3<3.5<4}$$
On a : $6.4>6\ $ et $\ 6.4<7$
Donc, un encadrement de $6.4$ à l'unité près est donné par :
$$\boxed{6<6.4<7}$$
On a : $0.8>0\ $ et $\ 0.8<1$
Donc, un encadrement de $0.8$ à l'unité près est donné par :
$$\boxed{0<0.8<1}$$
2) On donne le nombre décimal suivant : $457.362$
a) Encadrons ce nombre à l'unité près.
Cela revient à encadrer $457.362$ par deux entiers naturels consécutifs.
On a : $457.362>457\ $ et $\ 457.362<458$
Donc, un encadrement de $457.362$ à l'unité près est donné par :
$$\boxed{457<457.362<458}$$
b) Encadrons ce même nombre au dixième près.
On va donc encadrer $457.362$ par deux nombres décimaux consécutifs ayant un chiffre après la virgule.
On a : $457.362>457.3\ $ et $\ 457.362<457.4$
Donc, un encadrement de $457.362$ au dixième près est donné par :
$$\boxed{457.3<457.362<457.4}$$
c) Encadrons $457.362$ au centième près.
On va alors encadrer $457.362$ par deux nombres décimaux consécutifs ayant deux chiffres après la virgule.
On a : $457.362>457.36\ $ et $\ 457.362<457.37$
Donc, un encadrement de $457.362$ au centième près est donné par :
$$\boxed{457.36<457.362<457.37}$$
Exercice 16
On considère le nombre décimal : $123.456789$
a) Déplaçons la virgule pour que le nombre soit compris entre $1\,000\ $ et $\ 10\,000.$
Pour que le nombre soit compris entre $1\,000\ $ et $\ 10\,000$, on déplace la virgule une fois vers la droite.
On obtient alors : $\boxed{1234.56789}$
On constate que ce nombre est compris entre $1\,000\ $ et $\ 10\,000.$
b) Déplaçons la virgule pour que le nombre ait une partie entière comprise entre $10\ $ et $\ 100.$
Pour que le nombre ait une partie entière comprise entre $10\ $ et $\ 100$, on déplace la virgule une fois vers la gauche.
On obtient : $\boxed{12.3456789}$
La partie entière de ce nombre est alors égale à : $12$
Et $12$ est compris entre $10\ $ et $\ 100.$
c) Déplaçons la virgule pour que le nombre soit supérieur à $1$ million.
Pour que le nombre soit supérieur à $1$ million, on déplace la virgule quatre fois vers la droite.
On obtient alors : $\boxed{1\,234\,567.89}$
On constate que ce nombre supérieur à $1$ million.
d) Déplaçons la virgule pour que le nombre soit plus petit que $1.$
Pour que le nombre soit plus petit que $1$, on déplace la virgule trois fois vers la gauche.
On obtient : $\boxed{0.123456789}$
On constate que ce nombre plus petit que $1.$
Exercice 17
Donnons une écriture décimale des nombres suivants :
a) Sept unités et huit dixièmes
On a :
$\text{sept unités }= 7$
$\text{huit dixièmes }= 0.8$
Donc,
$$\boxed{\text{Sept unités et huit dixièmes }= 7.8}$$
b) Cent unités, huit dixièmes et un centième
On a :
$\text{cent unités }= 100$
$\text{huit dixièmes }= 0.8$
$\text{un centième }= 0.01$
D'où,
$$\boxed{\text{Cent unités, huit dixièmes et un centième }= 100.81}$$
c) Deux unités et trois centièmes.
On a :
$\text{deux unités }= 2$
$\text{trois centièmes }= 0.03$
Alors,
$$\boxed{\text{Deux unités et trois centièmes }= 2.03}$$
d) Treize centaines, neuf dixièmes et quatre millièmes.
On a :
$\text{treize centaines }= 1\,300$
$\text{neuf dixièmes }= 0.9$
$\text{quatre millièmes }= 0.004$
Ainsi,
$$\boxed{\text{Treize centaines, neuf dixièmes et quatre millièmes }= 1\,300.904}$$
e) Trente-six milliers et huit millièmes.
On a :
$\text{trente-six milliers }= 36\,000$
$\text{huit millièmes }= 0.008$
Donc,
$$\boxed{\text{Trente-six milliers et huit millièmes }= 36\,000.008}$$
f) Cinq unités et quinze millièmes.
On a :
$\text{cinq unités }= 5$
$\text{quinze millièmes }= 0.015$
D'où,
$$\boxed{\text{Cinq unités et quinze millièmes }= 5.015}$$
Exercice 18
Trouvons le nombre ayant les caractéristiques suivantes :
$\centerdot\ $ il possède deux chiffres après la virgule ;
$\centerdot\ $ il a la même partie entière que $1\,890.893$
$\centerdot\ $ son chiffre des centièmes est le même que celui de $320.815$
$\centerdot\ $ son chiffre des dixièmes est égal à la moitié de celui de $798.635$
D'après ces caractéristiques, on a :
La partie entière de $1\,890.893$ est égale à : $1\,890$
Le chiffre des centièmes de $320.815$ est égale à : $1$
Le chiffre des centièmes de $798.635$ est égale à : $6$
Alors, le nombre que l'on cherche aura :
$1\,890$ pour partie entière
$1$ pour chiffre des centièmes
$\dfrac{6}{2}=3$ pour chiffre des dixièmes
Ainsi, ce nombre est constitué comme suit :
$1\,890$ unités
$3$ dixièmes
$1$ centièmes
Ce qui donne alors :
$$\boxed{1\,890.31}$$
Exercice 19
Avec les chiffres $3\;;\ 5\ $ et $\ 0$, donnons tous les nombres décimaux dont la partie entière a un chiffre.
On obtient alors :
$$\boxed{3.50\;;\ 3.05\;;\ 0.53\;;\ 0.35\;;\ 5.30\;;\ 5.03}$$
Rangeons tous les nombres trouvés dans l'ordre croissant.
Cela revient à les classes du plus petit au plus grand.
On a donc :
$$\boxed{0.35\;;\ 0.53\;;\ 3.05\;;\ 3.50\;;\ 5.03\;;\ 5.30}$$
Exercice 20
Trois amis Anta, Malick et Satou ont chacun de l'argent en poche. On te dit que Malick est moins riche que Satou mais plus riche que Anta. Les sommes en poche sont $150\;F\;,\ 135\;F\ $ et $\ 145\;F.$
Retrouvons la somme gardée par chacun.
On sait que : Malick est moins riche que Satou mais plus riche que Anta.
Ce qui veut dire que : Satou est plus riche que Malick qui est plus riche que Anta.
Cela signifie que : Satou possède la plus grande somme d'argent, suivie de Malick et enfin de Anta.
En rangeant dans l'ordre décroissant les sommes en poche, on obtient :
$$150\;F\;;\ 145\;F\;;\ 135\;F$$
Ainsi, Satou possède $150\;F$, suivie de Malick qui dispose de $145\;F$ et enfin de Anta qui possède $135\;F$
Auteur:
Diny Faye
Commentaires
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ven, 01/19/2024 - 22:49
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