Solution des exercices : Repérage dans le plan - 5e

Classe: 
Cinquième
 

Exercice 1 "Repérage sur une droite ; calcul de la distance de deux points"

1) Donnons les abscisses qui correspondent aux points $G\;,\ F\;,\ E\;,\ O\ $ et $\ A.$
 
En graduant la droite $(x'x)$ d'unité $OA$, on obtient :

 

 
On remarque alors que :
 
$-3$ est l'abscisse du point $G$
 
$-2$ est l'abscisse du point $F$
 
$-1$ est l'abscisse du point $E$
 
$0$ est l'abscisse du point $O$
 
$1$ est l'abscisse du point $A$
 
2) Calculons les distances : $OA\;;\ OB\ $ et $\ OG.$
 
On rappelle que sur une droite graduée, pour calculer la distance entre deux points $O\ $ et $\ M$, on compare d'abord les abscisses de $O\ $ et $\ M$ puis on calcule la différence entre la plus grande abscisse et la plus petite abscisse.
 
 
$\centerdot\ $ Calcul de la distance $OA$

Comme l'abscisse du point $O$ est zéro $(0)$ alors, $O$ est origine du repère.
 
D'après le résultat de la question $1)$, on a : l'abscisse du point $O$ est zéro $(0)$ et l'abscisse du point $A$ est égale à $1.$
 
Alors, on constate que l'abscisse du point $A$ est plus grande que l'abscisse du point $O.$
 
Donc, la distance $OA$ est donnée par :
 
$\begin{array}{rcl} OA&=&x_{A}-x_{O}\\ \\&=&1-0\\ \\&=&1\end{array}$
 
D'où, $\boxed{OA=1}$
 
$\centerdot\ $ Calcul de la distance $OB$
 
On a : l'abscisse du point $O$ est égale $0$ et l'abscisse du point $B$ est égale à $2.$
 
On remarque alors que l'abscisse du point $B$ est plus grande que l'abscisse du point $O.$
 
Donc, la distance $OB$ est donnée par :
 
$\begin{array}{rcl} OB&=&x_{B}-x_{O}\\ \\&=&2-0\\ \\&=&2\end{array}$
 
D'où, $\boxed{OB=2}$
 
$\centerdot\ $ Calcul de la distance $OG$
 
Soit $x_{G}=-3$ l'abscisse du point $G\ $ et $\ x_{O}=0$ l'abscisse du point $O.$
 
Alors, on constate que l'abscisse du point $O$ est plus grande que l'abscisse du point $G.$
 
Donc, la distance $OG$ est donnée par :
 
$\begin{array}{rcl} OG&=&x_{O}-x_{G}\\ \\&=&0-(-3)\\ \\&=&0+(+3)\\\\&=&+3\end{array}$
 
D'où, $\boxed{OG=3}$
 
3) Calculons les distances : $GB\;;\ EB\ $ et $\ FB.$
 
On rappelle que sur une droite graduée, pour calculer la distance entre deux points $M\ $ et $\ N$, on compare d'abord les abscisses de $M\ $ et $\ N$ puis on calcule la différence entre la plus grande abscisse et la plus petite abscisse.
 

 
$\centerdot\ $ Calcul de la distance $GB$
 
On a : $x_{B}=2\ $ et $\ x_{G}=-3.$
 
On constate alors que l'abscisse du point $B$ est plus grande que l'abscisse du point $G.$
 
Donc, la distance $GB$ est donnée par :
 
$\begin{array}{rcl} GB&=&x_{B}-x_{G}\\ \\&=&2-(-3)\\ \\&=&2+(+3)\\\\&=&2+3\\\\&=&5\end{array}$
 
D'où, $\boxed{GB=5}$
 
$\centerdot\ $ Calcul de la distance $EB$
 
On a : $x_{B}=2\ $ et $\ x_{E}=-1.$
 
Alors, on remarque que l'abscisse du point $B$ est plus grande que l'abscisse du point $E.$
 
Donc, la distance $EB$ est donnée par :
 
$\begin{array}{rcl} EB&=&x_{B}-x_{E}\\ \\&=&2-(-1)\\ \\&=&2+(+1)\\ \\&=&2+1\\\\&=&3\end{array}$
 
Ainsi, $\boxed{EB=3}$
 
$\centerdot\ $ Calcul de la distance $FB$
 
Comme $x_{B}=2\ $ et $\ x_{F}=-2$ alors, on remarque que l'abscisse du point $B$ est plus grande que l'abscisse du point $F.$
 
Donc, la distance $FB$ est donnée par :
 
$\begin{array}{rcl} FB&=&x_{B}-x_{F}\\ \\&=&2-(-2)\\ \\&=&2+(+2)\\ \\&=&2+2\\\\&=&4\end{array}$
 
Par suite, $\boxed{FB=4}$

Exercice 2

On considère le repère orthonormé $(O\;;\ I\;,\ J)$ ci-dessous.

 

 
1) a) Le point $O$ est appelé origine du repère orthonormé $(O\;;\ I\;,\ J)$
 
b) Pour le repère orthonormé $(O\;;\ I\;,\ J)\ :$
 
$-\ $ la droite $(xx')$ est appelée axe des abscisses d'origine $O$ et d'unité $OI$
 
$-\ $ la droite $(yy')$ est appelée axe des ordonnées d'origine $O$ et d'unité $OJ$
 
2) Déterminons graphiquement les coordonnées des points : $A\;,\ B\;,\ C\;,\ O\;,\ I\ $ et $\ J.$
 
$\centerdot\ $ soit $x_{A}\ $ et $\ y_{A}$ du point $A$ où, $x_{A}$ est l'abscisse du point $A$ et $\ y_{A}$ son ordonnée.
 
En partant du point $A$, on trace une droite parallèle à l'axe $(yy').$ Cette droite coupe l'axe $(xx')$ à la valeur $1.$
 
Cette valeur représente donc l'abscisse du point $A\ :\ x_{A}=1$
 
De la même manière, en partant du point $A$, on peut tracer une droite parallèle à l'axe $(xx').$ Cette droite coupe l'axe $(yy')$ à la valeur $3.$
 
Cette valeur représente donc l'ordonnée du point $A\ :\ y_{A}=3$
 
Donc, les coordonnées du point $A$ sont données par :
$$x_{A}=1\quad\text{et}\quad y_{A}=3$$
D'où,
$$A(1\;,\ 3)$$
$\centerdot\ $ soit $x_{B}\ $ et $\ y_{B}$ du point $B$ avec, $x_{B}$ l'abscisse du point $B$ et $\ y_{B}$ son ordonnée.
 
En procédant de la même manière on obtient :
$$x_{B}=-2\quad\text{et}\quad y_{B}=-1$$
Ainsi,
$$B(-2\;,\ -1)$$
$\centerdot\ $ soit $x_{C}\ $ et $\ y_{C}$ du point $C$ avec, $x_{C}$ l'abscisse du point $C$ et $\ y_{C}$ son ordonnée.
 
En procédant de la même manière on obtient :
$$x_{C}=3\quad\text{et}\quad y_{C}=-2$$
Donc,
$$C(3\;,\ -2)$$
$\centerdot\ $ Comme le point $O$ est origine du repère $(O\;;\ I\;,\ J)$ alors, les coordonnées du point $O$ sont :
$$(0\;,\ 0)$$
$\centerdot\ $ le point $I$ est sur l'axe $(xx')$ et d'abscisse $1$ donc, ses coordonnées sont données par :
$$x_{I}=1\quad\text{et}\quad y_{I}=0$$
Donc,
$$I(1\;,\ 0)$$
$\centerdot\ $ le point $J$ étant sur l'axe $(yy')$ et d'ordonnée $1$ donc, ses coordonnées sont données par :
$$x_{J}=0\quad\text{et}\quad y_{J}=1$$
Par suite,
$$J(0\;,\ 1)$$
 

 

 
 
Auteur: 
Diny Faye

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Mettre comme notation des valeurs absolue pour les distances à des élèves de 5e Faudra revoir certains passages

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