Solution des exercices : Repérage sur une droite et dans le plan - 6e

 

On considère la droite graduée suivante :

1) Déterminons graphiquement les abscisses des points : $A\;;\ B\;;\ I\;;\ M\;;\ N\ $ et $\ P.$

 

Pour cela, on identifie sur la droite graduée l'abscisse qui correspond à la position de chaque point.

Ainsi :

 

$A$ a pour abscisse $2$

 

$B$ a pour abscisse $-2$

 

$I$ a pour abscisse $1.5$

 

$M$ a pour abscisse $4.5$

 

$N$ a pour abscisse $-4$

 

$P$ a pour abscisse $4$

 

2) Plaçons les points : $K\;;\ L\ $ et $\ Q$ d'abscisses respectives : $-3\;;\ -0.5\ $ et $\ +3.5$

 

On marque alors les valeurs $-3\;;\ -0.5\ $ et $\ +3.5$ sur la même droite graduée.

 

Ces valeurs vont donc correspondre aux positions respectives des points $K\;;\ L\ $ et $\ Q.$

 

1) Sur une droite graduée $(xx')$ d'unité $1\;cm$ , d'origine $O$, plaçons les points : $A\;;\ B\;;\ C\ $ et $\ D$ d'abscisses respectives : $-4\;;\ -2.5\;;\ +2\ $ et $\ 3.5$

2) Déterminons les distances : $OA\;;\ OB\;;\ OC\ $ et $\ OD.$

 

On a $O$ origine du repère et $A$ d'abscisse $-4$ alors : $OA=|-4|=4$

 

Donc, $\boxed{OA=4\;cm}$

 

Soit $B$ d'abscisse $-2.5$ et $O$ origine du repère alors, on a :

 

$OB=|-2.5|=2.5$

 

Ainsi, $\boxed{OB=2.5\;cm}$

 

On a : $C$ d'abscisse $+2$ et $O$ origine du repère donc, $OC=|+2|=2$

 

Par suite, $\boxed{OC=2\;cm}$

 

Soit $D$ d'abscisse $3.5$ et $O$ origine du repère alors, on a : $OD=|3.5|=3.5$

 

D'où, $\boxed{OD=3.5\;cm}$

 

3) En déduisons les distances $AC\ $ et $\ BD.$

 

En observant le graphique, on peut dire que la distance $AC$ est égale la somme des distances $AO\ $ et $\ OC.$

 

Or, $AO=OA$ donc en changeant $AO$ par $OA$, on obtient : $AC=OA+OC$

 

Comme, $OA=4\;cm\ $ et $\ OC=2\;cm$ alors, $AC=4\;cm+2\;cm=6\;cm$

 

D'où, $\boxed{AC=6\;cm}$

 

De la même manière, on peut écrire : $BD=BO+OD$

 

Or, $BO=OB$ donc en remplaçant $BO$ par $OB$, on obtient : $BD=OB+OD$

 

Comme $OB=2.5\;cm\ $ et $\ OD=3.5\;cm$ alors, on obtient :

 

$BD=2.5\;cm+3.5\;cm=6\;cm$

 

Ainsi, $\boxed{BD=6\;cm}$

On considère le repère orthonormal ci-dessous.

1) Déterminons graphiquement les coordonnées des points $A\;;\ B\ $ et $\ D.$

 

Pour déterminer graphiquement les coordonnées du point $A$, on procède comme suit :

 

A partir du point $A$, on trace une ligne rouge parallèle à l'axe $(yy').$

 

Cette ligne coupe l'axe $(xx')$ à la valeur $1.$

 

Donc, $1$ est l'abscisse du point $A.$

 

On procède de la même manière pour déterminer l'ordonnée du point $A.$

 

Ainsi, à partir de $A$, on trace une ligne rouge parallèle à l'axe $(xx').$

 

Cette ligne coupe l'axe $(yy')$ à la valeur $3.$

 

Par suite, $3$ est l'ordonnée du point $A.$

 

Par conséquent, $A(1\;;\ 3)$

 

On procède de la même manière pour déterminer les coordonnés des points $B\ $ et $\ D.$ 

 

Ainsi, on obtient : $B(-2\;;\ 1)\ $ et $\ D(2\;;\ 1)$

2) Plaçons les points : $C(+2\;;\ +3)\ $ et $\ E(-3.5\;;\ -2).$ 

 

Pour placer le $C$ dans le repère, on marque l'abscisse $2$ et on trace une ligne verte parallèle à l'axe $(yy').$

 

De même, on identifie l'ordonnée $3$ et on trace une ligne verte parallèle à l'axe $(xx').$

 

Les deux lignes vertes se coupent au point $C.$

 

On place alors le point $C.$

 

On procède de la même manière pour placer le point $E.$

 

3) a) Construisons le point $A'$ symétrique de $A$ par rapport à $(yy').$

 

b) Déterminons graphiquement les coordonnées de $A'.$ 

 

Pour cela, on procède comme dans la question 1).

 

On trouve alors : $A'(-1\;;\ 3)$

 

4) a) Construisons le point $D'$ symétrique de $D$ par rapport à $(xx').$

 

b) Déterminons graphiquement les coordonnées de $D'.$  

 

En procédant de la manière que dans la question 1), on obtient : $D'(2\;;\ -1)$

 

1) Dans un repère orthonormé, marquons les points : $M(-4\;;\ -3)\;;\ N(-3\;;\ -4)\;;\ P(+3\;;\ +4)\ $ et $\ Q(+4\;;\ +3).$

 

2) Le quadrilatère $MNPQ$ est un parallélogramme.

 

1) Dans un repère orthonormé, marquons le point $I(-2\;;\ +3).$

 

2) Traçons le cercle de centre $I$ de $5\;cm$ de rayon.

 

3) Les points suivants sont des points du cercle dont les coordonnées sont des entiers relatifs : $A\;,\ B\;,\ C\;,\ D\;,\ E\;,\ F\;,\ G\;,\ H\;,\ J\;,\ K\;,\ L\ $ et $\ M$

 

Leurs coordonnées sont données par :

 

$A(+3\;;\ +3)\;,\ B(+2\;;\ 0)\;,\  C(-2\;;\ -2)\;,\  D(-6\;;\ 0)$

 

$E(-7\;;\ +3)\;,\  F(-6\;;\ +6)\;,\  G(-5\;;\ +7)\;,\  H(-2\;;\ +8)$

 

$J(+1\;;\ +7)\;,\  K(+2\;;\ +6)\;,\  (-5\;;\ -1)\;,\  M(+1\;;\ -1)$