Solutions exercices : Calcul vectoriel - 2nd

Classe: 
Seconde
 

Exercice 1

a) 

b) 

 

c)

d)

e)

f)

g)

h)

 

Exercice 2

 

Exercice 3

a) On construit successivement deux parallélogrammes, le premier sur u et v, dont la diagonale donne le vecteur u+v, puis le second sur u+v et w, dont la diagonale donne le vecteur u+v+w.

 
 
b) On construit u+v puis, "au bout" de ce vecteur, on construit un représentant du vecteur w.

 

 
c) 

 

d) 


 
Ici, on remarque que u+w=0, de sorte que u+v+w=v !

Exercice 4

 E est un point de (AB) et AE a le même sens que AB, donc E[AB). On partage [AB] en trois parties de même longueur (voir le programme de Troisième) et on compte cette longueur quatre fois à partir de A. 


 
 F est sur la parallèle à (AC) passant par B et BF a le sens contraire de AC. On partage [AC] en deux parties et on prend une fois cette longueur à partir de B.

Exercice 5



 
A partir d'un point arbitraire A, tracer une parallèle à la direction de u, puis construire le vecteur 5u par la méthode de l'exercice précédent (reporter 5 fois la longueur de u dans le même sens).
 
Puis, à l'extrémité du vecteur ainsi obtenu, tracer la demi-droite parallèle et de sens contraire à v, puis reporter sur cette demi-droite 3.5 fois la longueur de v. On obtient le vecteur 72v.
 
En joignant l'origine du premier vecteur à l'extrémité du second, on obtient le vecteur 5u72v.
 
La méthode est la même pour le vecteur 3u+2v.

Exercice 6

 
 
 
 

Exercice 7

 
 

 

Exercice 8

a) IL=IK+KL b) CD=CE+ED 
 
c) CD=CJ+JD d) CD=CH+HD
 
e) CD=CA+AD f) HD=HB+BD 
 
g) PQ=PA+AQ h) AQ=AB+BQ
 
i) AB+BD+DJ+JH=AH j) AB=AK+KP+PB 
 
k) BA=BD+DC+CA

Exercice 9

 

 
 
1) AE+AF=AI 2) AE+EK=AK 
 
3) EG+GE=0 4) EG+AF=EK

Exercice 10

a) On introduit A dans le vecteur MB par la relation de Chasles, puis on développe en utilisant les propriétés du calcul vectoriel.
 
MA+3MB=0MA+3(MA+AB)=0MA+3MA+3AB=04MA+3AB=0
 
b) La relation 4MA+3AB=0 s'écrit aussi 3AB=4MA=4AM ou encore AM=34AB
 
Construction du point M
 
 

Exercice 11

a) IJ=IB+BJ b) CD=CA+AD 
 
c) MN=MP+PN d) FE=FP+PG+GE
 
e) HJ=HI+IJ f) JM=JK+KM 
 
g) AB+CD+BC=AD h) AB=AC+CD+DB

Exercice 12

1) En suivant la suggestion de l'énoncé, on a : vM=2MA5(MA+AB)+3(MA+AC). Après simplification, les termes "en MA"disparaissent et on obtient : vM=5AB+3AC :  c'est bien un vecteur constant car la lettre M ne figure plus dans cette écriture
 
2) Méthode analogue au 1) ; on trouve que ce vecteur est égal à AB+2AC

Exercice 13

On donne un triangle ABC. On considère les points A, B  et  C tels que : AA=13BC,BB=13CA,CC=13AB
Démontrons que :
AA+BB+CC=0
Pour cela, calculons directement la somme vectorielle suivante :
AA+BB+CC
Dans cette relation, remplaçons :
 
AA par 13BC
 
BB par 13CA
 
CC par 13AB
 
On obtient alors :
AA+BB+CC=13BC+13CA+13AB
Puis, en appliquant la relation de Chasles et les propriétés du calcul vectoriel, on trouve :
 
AA+BB+CC=13BC+13CA+13AB=13(BC+CA+AB)=13(BA+AB=0)=13×0=0
 
D'où, AA+BB+CC=0
 
 

Exercice 14

ABC est un triangle. J est le point tel que BJ=23BC.
 
1) Exprimons AJ en fonction de AB  et  BC.
 
En effet, on a : BJ=23BC.
 
Donc, en introduisant le point A dans le vecteur BJ par la relation de Chasles, on obtient :
BA+AJ=23BC
Par suite, en utilisant les propriétés du calcul vectoriel, on trouve :
 
BA+AJ=23BCAJ=BA+23BCAJ=AB+23BC
 
Ainsi, AJ=AB+23BC
 
2) Soit I le point tel que AI=3AB+2BC.
 
Montrons que les points A, I  et  J sont alignés.
 
On a :
 
AJ=AB+23BC
 
AI=3AB+2BC
 
Donc, dans la base (AB, BC), les coordonnées des vecteurs AJ  et  AI sont données par :
AJ(123)  et  AI(32)
Calculons alors les rapports : xAIxAJ  et  yAIyAJ
 
On a :
 
xAIxAJ=31=3
 
yAIyAJ=223=21×32=3
 
On trouve une même valeur égale à 3.
 
Ainsi, on a :
{xAIxAJ=3yAIyAJ=3  {xAI=3×xAJyAI=3×yAJ
Ce qui signifie que, AI=3AJ
 
Par conséquent, les points A, I  et  J sont alignés.
 
 

Exercice 15

IJK est un triangle. Les points E  et  F sont tels que :
IE=23IJ  et  IF=13IK
M est le milieu du segment [IK].
 
1) Exprimons EF  et  JM en fonction de IJ  et  IK
 
On a : IF=13IK
 
Alors, introduisons le point E dans le vecteur IF en utilisant la relation de Chasles.
 
On obtient :
IE+EF=13IK
Or, on sait que : IE=23IJ
 
Donc, en remplaçant IE par 23IJ, on trouve :
23IJ+EF=13IK
D'où, EF=23IJ+13IK
 
Par ailleurs, en utilisant la relation de Chasles, on introduit le point M dans le vecteur IJ.
 
On obtient alors :
IJ=IM+MJ
Ainsi,
MJ=IJ+IM
Or, on sait que M est le milieu de [IK].
 
Ce qui signifie que : IM=12IK
 
Donc, en remplaçant IM par 12IK, on trouve :
MJ=IJ+12IK
D'où, JM=IJ+12IK
 
2) Montrons que les droites (EF)  et  (JM) sont parallèles.
 
En effet, les droites (EF)  et  (JM) sont parallèles si, et seulement si, les vecteurs EF  et  JM sont colinéaires.
 
Or, EF  et  JM sont colinéaires si, et seulement si, il existe un nombre réel k non nul, tel que :
EF=kJM
D'après les résultats de la question 1), on a :
 
EF=23IJ+13IK=23(IJ+12IK=JM)=23JM
 
Ainsi, EF=23JM
 
D'où, les vecteurs EF  et  JM sont colinéaires.
 
Et par conséquent, les droites (EF)  et  (JM) sont parallèles.
 
Autre méthode :
 
En effet, d'après les résultats de la question 1), on a :
 
EF=23IJ+13IK
 
JM=IJ+12IK
 
Ainsi, dans la base (IJ, IK), les vecteurs EF  et  JM ont pour coordonnées :
EF(2313)  et  JM(112)
Alors, en appliquant la condition de colinéarité sur ces deux vecteurs, on obtient :
23×1213×(1)=13+13=0
Donc, les coordonnées des vecteurs EF  et  JM vérifient la condition de colinéarité.
 
Ce qui signifie que ces deux vecteurs sont colinéaires.
 
Par conséquent, les droites (EF)  et  (JM) sont parallèles.

Nous pouvons aussi utiliser les rapports des coordonnées pour vérifier la colinéarité.
 
Alors, calculons les rapports : xEFxJM  et  yEFyJM
 
On a :
 
xEFxJM=231=23
 
yEFyJM=1312=13×21=23
 
Ainsi,
 
xEFxJM=yEFyJM=23
 
D'où, EF=23JM
 
Ce qui signifie que les vecteurs EF  et  23JM sont colinéaires.
 
Par conséquent, les droites (EF)  et  (JM) sont parallèles.
 
 

Exercice 16

ABCD est un parallélogramme de centre I. Les points E  et  F sont tels que :
IE=23DC  et  BF=32BC
Exprimons AE  et  AF en fonction de AB  et  AD
 
On a : IE=23DC
 
En utilisant la relation de Chasles, introduisons le point A dans le vecteur IE.
 
On obtient :
IA+AE=23DC
Comme ABCD est un parallélogramme de centre I alors, I est le milieu de la diagonale [CA].
 
D'où, IA=12CA
 
Par ailleurs, en utilisant encore la relation de Chasles, on a :
CA=CD+DA
Par suite,
IA=12(CD+DA)
Donc, en remplaçant IA par son expression, on obtient :
 
IA+AE=23DC12(CD+DA)+AE=23DC12CD+12DA+AE=23DCAE=23DC12CD12DAAE=23DC+12DC+12ADAE=76DC+12AD
 
Comme ABCD est un parallélogramme alors,
DC=AB
D'où, en remplaçant DC par AB, on trouve : AE=76AB+12AD
 
Soit : BF=32BC
 
Alors, introduisons le point A dans le vecteur BF, par la relation de Chasles.
 
On obtient :
BA+AF=32BC
Comme ABCD est un parallélogramme alors, on a :
BC=AD
Ainsi, en remplaçant BC par AD, on trouve :
 
BA+AF=32BCBA+AF=32ADAF=BA+32ADAF=AB+32AD
 
D'où, AF=AB+32AD
 
 

Exercice 17

ABC est un triangle,α un nombre réel. On considère les points P, Q  et  R définis par : AP=αAB,CQ=αCA,CR=αBC

1) Exprimons PQ  et  PR en fonction de AB  et  AC

Soit : CQ=αCA

Alors, dans le vecteur CQ introduisons le point P en utilisant la relation de Chasles.

On obtient :
CP+PQ=αCA
En utilisant le même procédé, introduisons le point A dans le vecteur CP.

Cela donne alors :
CA+AP+PQ=αCA
Or, on sait que : AP=αAB

Donc, en remplaçant AP par αAB puis, en utilisant les propriétés du calcul vectoriel, on obtient :

CA+AP+PQ=αCACA+αAB+PQ=αCAPQ=αABCA+αCAPQ=αAB+ACαACPQ=αAB+(1α)AC

D'où, PQ=αAB+(1α)AC

Soit : CR=αBC

Alors, de la même manière, utilisons la relation de Chasles pour introduire le point P dans le vecteur CR.

On obtient :
CP+PR=αBC
En utilisant le même procédé, introduisons le point A dans le vecteur CP puis, dans le vecteur BC.

Ce qui donne :
CA+AP+PR=α(BA+AC)
Par ailleurs, on sait que : AP=αAB

Alors, en remplaçant AP par αAB puis, en utilisant les propriétés du calcul vectoriel, on obtient :

CA+AP+PR=α(BA+AC)CA+αAB+PR=α(BA+AC)PR=αABCA+αBA+αACPR=αABαAB+AC+αACPR=2αAB+(1+α)AC

Par conséquent, PR=2αAB+(1+α)AC

2) Vérifions s'il existe des valeurs de α pour lesquels les points P, Q  et  R sont alignés.

En effet, d'après les résultats de la question 1), on a :

PQ=αAB+(1α)AC

PR=2αAB+(1+α)AC

Donc, dans la base (AB, AC), les vecteurs PQ  et  PR ont pour coordonnées :
PQ(α(1α))  et  PR(2α(1+α))
Or, on sait que les points P, Q  et  R sont alignés si, et seulement si, les coordonnées des vecteurs PQ  et  PR vérifient :
xPQxPR=yPQyPR=Constante
Soit alors :

xPQxPR=yPQyPRα2α=(1α)(1+α)12=(1α)(1+α)1(1+α)=2(1α)1+α=22αα+2α=213α=1α=13

D'où, α=13

Ainsi, les points P, Q  et  R sont alignés lorsque α=13.

Exercice 18

A, B  et  C sont trois points non alignés. Les points D, E  et  F sont définis par les égalités de vecteurs suivants :
AD=3AB,AE=32AC,BF=2BC
1) Exprimons DE  et  DF en fonction de AB  et  AC

Soit : AE=32AC

Alors, en introduisant le point D dans le vecteur AE, par la relation de Chasles, on obtient :
AD+DE=32AC
Or, on sait que : AD=3AB

Donc, en remplaçant AD par 3AB puis, en utilisant les propriétés du calcul vectoriel, on obtient :

AD+DE=32AC3AB+DE=32ACDE=3AB+32AC

D'où, DE=3AB+32AC

Soit : BF=2BC

Alors, de la même manière, en utilisant la relation de Chasles pour introduire le point D dans le vecteur BF, on obtient :
BD+DF=2BC
Ensuite, utilisons le même procédé pour introduire le point A dans le vecteur BD puis, dans le vecteur BC.

Cela donne alors :
BA+AD+DF=2(BA+AC)
Comme AD=3AB alors, en remplaçant AD par 3AB puis, en utilisant les propriétés du calcul vectoriel, on obtient :

BA+AD+DF=2(BA+AC)BA+3AB+DF=2(BA+AC)DF=3ABBA+2BA+2ACDF=3AB+AB2AB+2ACDF=4AB+2AC

Par conséquent, DF=4AB+2AC

2) Montrons que les points D, E  et  F sont alignés.

En effet, les points D, E  et  F sont alignés si, et seulement si, il existe un nombre réel k non nul tel que :
DE=kDF
D'après les résultats de la question 1), on a :

DE=3AB+32AC

DF=4AB+2AC

Ainsi, dans la base (AB, AC), les coordonnées des vecteurs DE  et  DF sont données par :
DE(332)  et  DF(42)
Calculons alors les rapports : xDExDF  et  yDEyDF

On a :

xDExDF=34=34

yDEyDF=322=32×12=34

On constate que l'on trouve une même valeur égale à 34.

Ainsi, on peut écrire :
{xDExDF=34yDEyDF=34  {xDE=34×xDFyDE=34×yDF
Par conséquent, DE=34DF

Ce qui montre que les points D, E  et  F sont alignés.


 

 

Exercice 19

Le segment [AB] est divisé en 6 parties de même longueur. Complétons les relations suivantes par la lettre ou le nombre qui convient.
 
 
1) EC=2EF
 
2) CE=EG
 
3) AB=AB
 
4) CE=13AB
 
5) AD=BF
 
6) DE=12BF
 

Exercice 20

ABCD est un parallélogramme. Les points E  et  F sont tels que :
DE=23DC  et  BF=32BC
1) Exprimons AE  et  AF en fonction de AB  et  AD
 
Soit : DE=23DC
 
Alors, par la relation de Chasles, en introduisant le point A dans le vecteur DE, on obtient :
DA+AE=23DC
Par ailleurs, comme ABCD est un parallélogramme alors,
DC=AB
Ainsi, en remplaçant DC par AB, on trouve : 
 
DA+AE=23DCDA+AE=23ABAE=23ABDAAE=23AB+AD
 
D'où, AE=23AB+AD
 
Soit : BF=32BC
 
Alors, introduisons le point A dans le vecteur BF, par la relation de Chasles.
 
On obtient :
BA+AF=32BC
Comme ABCD est un parallélogramme alors, on a :
BC=AD
Ainsi, en remplaçant BC par AD, on trouve :
 
BA+AF=32BCBA+AF=32ADAF=BA+32ADAF=AB+32AD
 
D'où, AF=AB+32AD
 
2) Montrons que les points A, E  et  F sont alignés.
 
En effet, les points A, E  et  F sont alignés si, et seulement si, il existe un nombre réel k non nul tel que :
AE=kAF
D'après les résultats de la question 1), on a :
 
AE=23AB+AD
 
AF=AB+32AD
 
Ainsi, dans le repère (A, AB, AD), les vecteurs AE  et  AF ont pour coordonnées :
AE(231)  et  AF(132)
Alors, en calculant alors les rapports : xAExAF  et  yAEyAF, on trouve :
 
xAExAF=231=23
 
yAEyAF=132=1×23=23
 
Ainsi, nous obtenons une même valeur égale à 23.
 
Par suite, on peut écrire :
{xAExAF=23yAEyAF=23  {xAE=23×xAFyAE=23×yAF
Par conséquent, AE=23AF
 
Ce qui montre que les points A, E  et  F sont alignés.
 
Autre méthode :
 
On a :
 
AE=23AB+ADAE=23(AB+32AD=AF)AE=23AF
 
D'où, AE=23AF
 
Par conséquent, les points A, E  et  F sont alignés.

 
 

Exercice 21

Soit ABC un triangle quelconque.
 
1) Construisons les points D  et  E tels que AD=BC,CE=2BA
 
2) Démontrons que D est le milieu de [CE]
 
En effet, on a :
CE=2BA
Par ailleurs, on sait que :
AD=BC
Ce qui signifie que ADCB est un parallélogramme.
 
Par conséquent,
BA=CD
Ainsi, dans l'expression de CE, en remplaçant BA par CD, on obtient :
CE=2CD
Ce qui démontre que D est le milieu de [CE]

 
 

Exercice 22

Soit ABC un triangle. Construisons les points M  et  N tels que : {AN+AM=ABANAM=AC
 
Pour cela, nous allons d'abord exprimer les vecteurs AN  et  AM en fonction de AB  et  AC
 
En effet, résolvons ce système en additionnant membre à membre les deux égalités.
 
On obtient :
 
AN+AM+ANAM=AB+AC2AN=AB+ACAN=AB+AC2
 
D'où, AN=12AB+12AC
 
En remplaçant AN par son expression, dans la première égalité, on obtient :
 
AN+AM=AB12AB+12AC+AM=ABAM=AB12AB12ACAM=12AB12AC
 
D'où, AM=12AB12AC
 
 
 

Exercice 23

Construisons trois vecteurs u, v  et  w tels que :
{u+v2w=0uv+w=0
Pour cela, nous allons d'abord exprimer u  et  v en fonction de w.
 
En additionnant membre à membre les deux égalités du système, on obtient :
 
u+v2w+uv+w=0+02uw=02u=wu=12w
 
Donc, u=12w
 
En remplaçant u par son expression, dans la première égalité, on obtient :
 
u+v2w=012w+v2w=0v32w=0v=32w
 
D'où, v=32w
 
Ainsi, on place d'abord w puis, on trace les vecteurs u  et  v.
 
 
Démontrons que u  et  v sont colinéaires au vecteur w. 
 
En effet, d'après les résultats de la question 1), on a :
u=12wetv=32w
Par conséquent, u  et  v sont colinéaires au vecteur w.

Exercice 24

Soit A  et  B deux points distincts du plan, I milieu de [AB]
 
1) Démontrons que pour tout point M du plan :
AM+BM=2IM
En effet, par la relation de Chasles, en introduisant le point I dans les vecteurs AM  et  BM, on obtient :
 
AM+BM=AI+IM+BI+IM=2IM+AI+BI=0
 
Or, on sait que I est le milieu de [AB].
 
Donc, AI+BI=0
 
D'où, AM+BM=2IM
 
2) Déterminons et construisons l'ensemble (C) des points M du plan tels que :
||AM+BM||=2AB
En effet, d'après le résultat de la question 1), on a :
AM+BM=2IM
Donc, en remplaçant AM+BM par 2IM, on obtient :
 
||AM+BM||=2AB||2IM||=2AB2||IM||=2AB||IM||=2AB2||IM||=AB
 
D'où, ||IM||=AB
 
Alors, (C) est l'ensemble des points M du plan équidistants à un même point I et à une distance égale à la longueur AB.
 
C'est donc le cercle de centre I et de rayon AB.
 

 

Exercice 25

Soit un triangle DIM et soit A le milieu de [DM].
 
a) Construisons les points T  et  H tels que :
DT=4DI et IH=3IM
b) Démontrons que (TH)//(IA)
 
En effet, pour démontrer que les droites (TH)  et  (IA) sont parallèles il suffit de montrer que les vecteurs TH  et  IA sont colinéaires.
 
On a : IH=3IM
 
Donc, par la relation de Chasles, introduisons le point T dans le vecteur IH.
 
On obtient :
IT+TH=3IM
Utilisons encore la relation de Chasles pour introduire le point D dans le vecteur IT.
 
Ce qui donne :
ID+DT+TH=3IM
Or, on sait que : DT=4DI
 
Donc, en remplaçant DT par 4DI, on trouve :
 
ID+DT+TH=3IMID+4DI+TH=3IMTH=3IMID4DITH=3IMID+4IDTH=3IM+3IDTH=3(IM+ID)
 
Ainsi, en utilisant encore la relation de Chasles, introduisons le point A dans les vecteurs IM  et  ID.
 
On obtient :
 
TH=3(IM+ID)=3(IA+AM+IA+AD)=3(2IA+AM+AD=0)
 
Par ailleurs, on sait que A est le milieu de [DM].
 
Ce qui signifie que :
AM+AD=0
D'où, TH=6IA
 
Ce qui montre que les vecteurs TH  et  IA sont colinéaires.
 
Par conséquent, les droites (TH)  et  (IA) sont parallèles.
 

 

Exercice 26

Soit ABC un triangle quelconque.
 
1) a) Montrons que l'égalité DA3DB+DC=0 équivaut à l'égalité AD=3ABAC.
 
En effet, soit l'égalité :
DA3DB+DC=0
Alors, par la relation de Chasles, introduisons le point A dans les vecteurs DB  et  DC.
 
On obtient :
 
DA3DB+DC=0DA3(DA+AB)+(DA+AC)=0DA3DA3AB+DA+AC=0DA3AB+AC=0AD3AB+AC=0AD=3ABAC
 
D'où, DA3DB+DC=0AD=3ABAC
 
Construisons le point D.
 
Pour construire le point D, on utilise la relation :
AD=3ABAC
b) Montrons que MA3MB+MC=MD quelque soit le point M.
 
En effet, par la relation de Chasles, en introduisant le point D dans les vecteurs MA, MB  et  MC, on obtient :
 
MA3MB+MC=(MD+DA)3(MD+DB)+(MD+DC)=MD+DA3MD3DB+MD+DC=MD+DA3DB+DC=0
 
Or, d'après la question 1a), on a :
DA3DB+DC=0
D'où, MA3MB+MC=MD
 
c) Montrons que BA+BC=BD
 
D'après le résultat de la question 1b), on a :
MA3MB+MC=MD
quelque soit le point M.
 
Donc, en posant M=B ou en remplaçant M par B dans cette relation, on obtient :
BA3BB+BC=BD
D'où, BA+BC=BD
 
2) Soit M un point quelconque, on pose :
V=MA2MB+MC
Montrons que :
V=BA+BC
En effet, soit : V=MA2MB+MC
 
Alors, par la relation de Chasles, introduisons le point B dans les vecteurs MA  et  MC.
 
On obtient :
 
V=MA2MB+MC=(MB+BA)2MB+(MB+BC)=MB+BA2MB+MB+BC=BA+BC
 
Ainsi, V=BA+BC
 
Plaçons le point E défini par :
V=AE
Cela revient donc à placer le point E tel que :
AE=BA+BC
3) Montrons que les droites (BD)  et  (AE) sont parallèles.
 
Pour cela, il suffit de montrer que AE  et  BD sont colinéaires.
 
En effet, d'après le résultat de la question 1c), on a :
BA+BC=BD
Par ailleurs, d'après la question 2), on a :
BA+BC=AE
Ainsi, AE=BD
 
Ce qui signifie que les vecteurs AE  et  BD sont colinéaires.
 
Par conséquent, les droites (BD)  et  (AE) sont parallèles.

 

 

Exercice 27

Soit ABC un triangle
 
1) Construisons les points M  et  N tels que :
AM=23AB et AN=23AC
2) Démontrons que (MN)//(BC)
 
En effet, on a : M, A  et  B trois points alignés d'une part, N, A  et  C trois points alignés d'autre part, dans le même ordre.
 
Calculons alors les rapports :
On a :
 
\dfrac{\left\|\overrightarrow{AM}\right\|}{\left\|\overrightarrow{AB}\right\|}=\dfrac{\left\|-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}\right\|}{\left\|\overrightarrow{AB}\right\|}=\left|-\dfrac{2}{3}\right|\dfrac{\left\|\overrightarrow{AB}\right\|}{\left\|\overrightarrow{AB}\right\|}=\dfrac{2}{3}
 
\dfrac{\left\|\overrightarrow{AN}\right\|}{\left\|\overrightarrow{AC}\right\|}=\dfrac{\left\|-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\right\|}{\left\|\overrightarrow{AC}\right\|}=\left|-\dfrac{2}{3}\right|\dfrac{\left\|\overrightarrow{AC}\right\|}{\left\|\overrightarrow{AC}\right\|}=\dfrac{2}{3}
 
Ainsi,
\dfrac{\left\|\overrightarrow{AM}\right\|}{\left\|\overrightarrow{AB}\right\|}=\dfrac{\left\|\overrightarrow{AN}\right\|}{\left\|\overrightarrow{AC}\right\|}=\dfrac{2}{3}
Par conséquent, d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN)\ et \ (BC) sont parallèles.
 
Autre méthode :
 
En effet, pour montrer que les droites (MN)\ et \ (BC) sont parallèles, il suffit de montrer que les vecteurs \overrightarrow{MN}\ et \ \overrightarrow{BC} sont colinéaires.
 
D'après la question 1\;), on a :
 
\overrightarrow{AM}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}
 
\overrightarrow{AN}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}
 
Donc, en faisant la différence membre à membre de ces deux relations, on obtient :
 
\begin{array}{rcl}\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}-\left(-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}\right)&\Leftrightarrow&\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{MA}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}\\\\&\Leftrightarrow&\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{MA}=-\dfrac{2}{3}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)\\\\&\Leftrightarrow&\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{MA}=-\dfrac{2}{3}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}\right)\\\\&\Leftrightarrow&\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AN}=-\dfrac{2}{3}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)\end{array}
 
En appliquant la relation de Chasles, on trouve :
\boxed{\overrightarrow{MN}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}}
Ce qui montre que les vecteurs \overrightarrow{MN}\ et \ \overrightarrow{BC} sont colinéaires.
 
Par conséquent, les droites (MN)\ et \ (BC) sont parallèles.
 
3) Soient S\ et \ T les milieux respectifs de [BC]\ et \ [MN].
 
Démontrons que les points A\;,\ S\ et \ T sont alignés.
 
Soit :
 
\overrightarrow{AM}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}
 
\overrightarrow{AN}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}
 
Alors, en additionnant membre à membre ces deux relations, on obtient :
 
\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{AM}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}
 
Ensuite, par la relation de Chasles, introduisons le point T dans les vecteurs \overrightarrow{AN}\ et \ \overrightarrow{AM} puis, le point S dans les vecteurs \overrightarrow{AC}\ et \ \overrightarrow{AB}.
 
On obtient :
 
\begin{array}{rcl}\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{AM}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}&\Leftrightarrow&\left(\overrightarrow{AT}+\overrightarrow{TN}\right)+\left(\overrightarrow{AT}+\overrightarrow{TM}\right)=-\dfrac{2}{3}\left(\overrightarrow{AS}+\overrightarrow{SC}\right)-\dfrac{2}{3}\left(\overrightarrow{AS}+\overrightarrow{SB}\right)\\\\&\Leftrightarrow&\overrightarrow{AT}+\overrightarrow{TN}+\overrightarrow{AT}+\overrightarrow{TM}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AS}-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{SC}-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AS}-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{SB}\\\\&\Leftrightarrow&2\overrightarrow{AT}+\underbrace{\overrightarrow{TN}+\overrightarrow{TM}}_{=\vec{0}}=-\dfrac{4}{3}\overrightarrow{AS}-\dfrac{2}{3}\left(\underbrace{\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SB}}_{=\vec{0}}\right)\end{array}
 
Or, T est milieu de [MN]\ et \ S milieu de [BC].
 
Donc, cela signifie :
\overrightarrow{TN}+\overrightarrow{TM}=\vec{0}\quad\text{ et }\quad\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SB}=\vec{0}
Ainsi,
2\overrightarrow{AT}=-\dfrac{4}{3}\overrightarrow{AS}
D'où, \boxed{\overrightarrow{AT}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AS}}
 
Par conséquent, les points A\;,\ S\ et \ T sont alignés.

 

 

Exercice 28

Soit ABC un triangle de centre de gravité G\ et \ I milieu de [BC].
 
1) Démontrons que pour tout point M du plan :
\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}
2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{IA}
Soit la relation : \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}
 
Alors, par la relation de Chasles, introduisons le point G dans les vecteurs \overrightarrow{MA}\;,\ \overrightarrow{MB}\ et \ \overrightarrow{MC}.
 
On obtient :
 
\begin{array}{rcl}\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}&=&\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}\right)+\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}\right)+\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\right)\\\\&=&\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\\\\&=&3\overrightarrow{MG}+\underbrace{\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}}_{=\vec{0}}\end{array}
 
Or, G est le centre de gravité du triangle ABC.
 
Ce qui entraine alors :
\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}
D'où, \boxed{\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}}
 
Soit la relation : 2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}
 
Alors, par la relation de Chasles, introduisons le point I dans les vecteurs \overrightarrow{MA}\;,\ \overrightarrow{MB}\ et \ \overrightarrow{MC}.
 
On obtient :
 
\begin{array}{rcl}2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}&=&2\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)-\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)-\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC}\right)\\\\&=&2\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{MI}-\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{MI}-\overrightarrow{IC}\\\\&=&2\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}\\\\&=&2\overrightarrow{IA}-\left(\underbrace{\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}}_{=\vec{0}}\right)\end{array}
 
Comme I est le milieu de [BC] alors,
\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\vec{0}
Par conséquent, \boxed{2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{IA}}
 
2) Déterminons l'ensemble des points M tels que les vecteurs \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\ et \ 2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC} soient colinéaires.
 
En effet, d'après les résultats de la question 1\;), on a :
 
\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}
 
2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{IA}
 
Donc, \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\ et \ 2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC} colinéaires si, et seulement si, les vecteurs 3\overrightarrow{MG}\ et \ 2\overrightarrow{IA} sont colinéaires.
 
Or, 3\overrightarrow{MG}\ et \ 2\overrightarrow{IA} sont colinéaires si, et seulement si, les droites (MG)\ et \ (IA) sont parallèles.
 
M appartient donc à la droite passant par G et parallèle à (IA).
 
Mais on sait que la droite (IA) ; médiane issue de A, passe aussi par le centre de gravité G de ce triangle.
 
D'où, l'ensemble des points M tels que les vecteurs \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\ et \ 2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC} soient colinéaires est la droite (IA).
 
3) Déterminons l'ensemble des points M tels que :
\left\|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right\|=\left\|2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right\|
En effet, d'après les résultats de la question 1\;), on a :
 
\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}
 
2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{IA}
 
Donc, en remplaçant, on obtient :
 
\begin{array}{rcl}\left\|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right\|=\left\|2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right\|&\Leftrightarrow&\left\|3\overrightarrow{MG}\right\|=\left\|2\overrightarrow{IA}\right\|\\\\&\Leftrightarrow&3\left\|\overrightarrow{MG}\right\|=2\left\|\overrightarrow{IA}\right\|\\\\&\Leftrightarrow&\left\|\overrightarrow{MG}\right\|=\dfrac{2}{3}\left\|\overrightarrow{IA}\right\|\end{array}
 
D'où, l'ensemble des points M tels que \left\|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right\|=\left\|2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right\| est le cercle de centre G et de rayon \dfrac{2}{3}IA.
 
Remarque :
 
G centre de gravité alors, AG=\dfrac{2}{3}IA.
 
Donc, A appartient au cercle de centre G et de rayon \dfrac{2}{3}IA.
 
Par conséquent, l'ensemble des points M vérifiant \left\|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right\|=\left\|2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right\| est le cercle de centre G et passant par A.

 

 

Exercice 29

ABCD est un parallélogramme, I milieu de [AB]\ et \ J celui de [CD]
 
1) Démontrons que les droites (ID)\ et \ (JB) sont parallèles.
 
Pour cela, il suffit juste de montrer que les vecteurs \overrightarrow{ID}\ et \ \overrightarrow{BJ} sont colinéaires.
 
En utilisant la relation de Chasles, on a :
\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BJ}+\overrightarrow{JD}\quad(*)
Comme I milieu de [AB]\ et \ J milieu de [CD] alors :
 
\overrightarrow{IB}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\ et \ \overrightarrow{JD}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{DC}
 
Or, \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} car ABCD est un parallélogramme donc, \overrightarrow{IB}=-\overrightarrow{JD}
 
Par suite, en reportant dans l'égalité (*), on obtient :
 
\begin{array}{rcl}\overrightarrow{ID}&=&\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BJ}+\overrightarrow{JD}\\\\&=&-\overrightarrow{JD}+\overrightarrow{BJ}+\overrightarrow{JD}\\\\&=&\overrightarrow{BJ}\end{array}
 
Ainsi, \overrightarrow{ID}=\overrightarrow{BJ}
 
Ce qui signifie que \overrightarrow{ID}\ et \ \overrightarrow{BJ} sont colinéaires.
 
Par conséquent, les droites (ID)\ et \ (JB) sont parallèles.
 
Autre méthode :
 
On a : \overrightarrow{IB}=\overrightarrow{DJ} alors, IBJD est un parallélogramme.
 
Par suite, \overrightarrow{ID}=\overrightarrow{BJ}
 
D'où, les droites (ID)\ et \ (JB) sont parallèles.
 
2) a) Construisons les points M\ et \ N tels que \overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\ et  \ \overrightarrow{AN}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}
 
b) Démontrons que les points M\ et \ N appartiennent respectivement aux droites (ID)\ et \ (JB)
 
Pour cela, il suffit de prouver que D\;,\ M\;,\ I sont alignés de même que B\;,\ N\;,\ J
 
Ce qui revient donc à montrer que \overrightarrow{IM}=k\overrightarrow{ID}\ et  \ \overrightarrow{JN}=k'\overrightarrow{JB} avec k\ et \ k' deux nombres réels.
 
On a :
 
\begin{array}{rcl}\overrightarrow{IM}&=&\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AM}\quad\text{or, }\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\\\\&=&\overrightarrow{IA}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\\\\&=&\overrightarrow{IA}+\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}\right)\\\\&=&\dfrac{1}{3}\overrightarrow{IA}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AD}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{IA}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{DC}\\\\&=&\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AD}\right)+\dfrac{1}{3}\left(2\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{DC}\right)\quad\text{or, }2\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{BA}\\\\&=&\dfrac{1}{3}\overrightarrow{ID}+\dfrac{1}{3}\underbrace{\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}\right)}_{=\vec{0}}\\\\&=&\dfrac{1}{3}\overrightarrow{ID}\end{array}
 
Donc, \overrightarrow{IM}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{ID}
 
Ainsi, les points D\;,\ M\;,\ I sont alignés et par conséquent, M appartient à la droite (ID).
 
De la même manière, on a :
 
\begin{array}{rcl}\overrightarrow{JN}&=&\overrightarrow{JC}+\overrightarrow{CN}\quad\text{or, }\overrightarrow{CN}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CA}\\\\&=&\overrightarrow{JC}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CA}\\\\&=&\overrightarrow{JC}+\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}\right)\\\\&=&\dfrac{1}{3}\overrightarrow{JB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{JC}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BA}\\\\&=&\dfrac{1}{3}\overrightarrow{JB}+\dfrac{1}{3}\left(2\overrightarrow{JC}+\overrightarrow{BA}\right)\quad\text{or, }2\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{DC}\\\\&=&\dfrac{1}{3}\overrightarrow{JB}+\dfrac{1}{3}\underbrace{\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}\right)}_{=\vec{0}}\\\\&=&\dfrac{1}{3}\overrightarrow{JB}\end{array}
 
Donc, \overrightarrow{JN}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{JB}
 
Par suite, les points J\;,\ N\;,\ B sont alignés.
 
D'où, N appartient à la droite (JB).
 
3) Démontrons que MINJ est un parallélogramme
 
Soit : \overrightarrow{IM}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{ID}\ et \ \overrightarrow{JN}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{JB}
 
Or, d'après la question 1), on a : \overrightarrow{ID}=\overrightarrow{BJ}
 
Donc, \overrightarrow{IM}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{ID}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BJ}=-\overrightarrow{JN}
 
Par suite, \overrightarrow{IM}=\overrightarrow{NJ}
 
D'où, MINJ est un parallélogramme.
 
4) Soit \{E\}=(ID)\cap(BC), montrons que B est milieu de [CE]
 
En effet, dans le triangle CDE, la droite (JB) parallèle à (DE) et passant par J, milieu de [CD], coupe [CE] au point B.
 
Ainsi, d'après le théorème de la droite des milieux, B est milieu de [CE].
 

Exercice 30

ABCD est un parallélogramme, E\ et \ F deux points définis par :
\overrightarrow{AE}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}\quad\text{ et }\quad\overrightarrow{EF}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}
1) Exprimons \overrightarrow{AC}\ et \ \overrightarrow{AF} en fonction de \overrightarrow{AB}\ et \ \overrightarrow{AD}.
 
En effet, par la relation de Chasles, introduisons le point B dans le vecteur \overrightarrow{AC}.
 
On obtient alors :
\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}
Or, ABCD est un parallélogramme, donc :
\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}
Ainsi, en remplaçant \overrightarrow{BC} par \overrightarrow{AD}, on trouve :
 
\boxed{\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}}
 
Soit : \overrightarrow{AE}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}\ et \ \overrightarrow{EF}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}.
 
Alors, en additionnant membre à membre ces deux égalités, on obtient :
\underbrace{\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EF}}_{=\overrightarrow{AF}}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}
En appliquant la relation de Chasles, on trouve :
 
\begin{array}{rcl}\overrightarrow{AF}&=&-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}\\\\&=&-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}\end{array}
 
D'où, \boxed{\overrightarrow{AF}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}}
 
2) Démontrons que les points A\;,\ F\ et \ C sont alignés.
 
En effet, les points A\;,\ F\ et \ C sont alignés si, et seulement si, les vecteurs \overrightarrow{AC}\ et \ \overrightarrow{AF} sont colinéaires.
 
Soit : \overrightarrow{AF}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}
 
Alors, en mettant -\dfrac{1}{2} en facteur, on obtient :
 
\begin{array}{rcl}\overrightarrow{AF}&=&-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}\\\\&=&-\dfrac{1}{2}\left(\underbrace{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}}_{=\overrightarrow{AC}}\right)\\\\&=&-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\end{array}
 
D'où, \boxed{\overrightarrow{AF}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}}
 
Ce qui signifie que les vecteurs \overrightarrow{AC}\ et \ \overrightarrow{AF} sont colinéaires.
 
Par conséquent, les points A\;,\ F\ et \ C sont alignés.
 
3) Exprimons les coordonnées de A\;,\ F\ et \ C dans le repère (A\;;\ \overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{AD}).
 
En effet, dans le repère (A\;;\ \overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{AD}), on a : A origine du repère et \overrightarrow{AB}\ et \ \overrightarrow{AD} constituent les vecteurs de base de ce repère.
 
Ainsi,
A\begin{pmatrix}0\\\\0\end{pmatrix}
Par ailleurs, d'après les résultats de la question 1\;), on a : 
\overrightarrow{AF}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}
Donc, 
F\begin{pmatrix}-\dfrac{1}{2}\\\\-\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}
De même, on a :
\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}
D'où, 
C\begin{pmatrix}1\\\\1\end{pmatrix}
Calculons les coordonnées de \overrightarrow{AF}\ et \ \overrightarrow{AC}
 
Soit : \overrightarrow{AF}\begin{pmatrix}x_{F}-x_{A}\\\\y_{F}-y_{A}\end{pmatrix}\ et \ \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}x_{C}-x_{A}\\\\y_{C}-y_{A}\end{pmatrix}
 
En remplaçant ces coordonnées par leur valeur, on trouve :
\overrightarrow{AF}\begin{pmatrix}-\dfrac{1}{2}\\\\-\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}\quad\text{ et }\quad\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}1\\\\1\end{pmatrix}

 

 

Exercice 31

Soit ABCD un parallélogramme. On considère E défini par \overrightarrow{CE}=\overrightarrow{DA}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} et le point F symétrique de D par rapport à E.
 
1) Démontrons que E est le milieu de [AB]\ et \ B le milieu de [CF].
 
Soit : \overrightarrow{CE}=\overrightarrow{DA}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}
 
Alors, par la relation de Chasles, en introduisant le point B dans le vecteur \overrightarrow{CE}, on obtient :
\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{DA}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}
Or, ABCD est un parallélogramme, donc :
\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DA}
Par suite, en remplaçant \overrightarrow{CB} par \overrightarrow{DA}, on trouve :
\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{DA}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}
Ainsi, en appliquant les propriétés du calcul vectoriel, on obtient :
 
\begin{array}{rcl}\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{DA}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}&\Leftrightarrow&\overrightarrow{BE}=-\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DA}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\\\\&\Leftrightarrow&\overrightarrow{BE}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\\\\&=&\overrightarrow{BE}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}\end{array}
 
D'où, \boxed{\overrightarrow{BE}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}}
 
Ce qui démontre que E est le milieu de [AB].
 
Pour montrer que B est milieu de [CF], il suffit de montrer que :
\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BF}=\vec{0}
Soit la somme vectorielle : \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BF}
 
Alors, par la relation de Chasles, introduisons le point E dans le vecteur \overrightarrow{BF}.
 
On obtient :
\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{EF}
Or, on sait que ABCD est un parallélogramme, donc :
\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}
Par ailleurs, F étant le symétrique de D par rapport à E alors,
\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{DE}
Ainsi, en remplaçant \overrightarrow{BC} par \overrightarrow{AD}\ et \ \overrightarrow{EF} par \overrightarrow{DE}, on obtient :
\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{DE}
D'après Chasles, on trouve :
\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BE}
Comme E est milieu de [AB] alors, \overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BE}=\vec{0}.
 
D'où, \boxed{\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BF}=\vec{0}}
 
Ce qui démontre que B est le milieu de [CF].
 
2) Démontrons que ADBF est un parallélogramme
 
D'après les résultats de la question 1\;), on a : E milieu de [AB].
 
Ce qui se traduit par :
\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BE}=\vec{0}
Par ailleurs, on sait que F est le symétrique de D par rapport à E.
 
Ce qui signifie que E est le milieu de [DF].
 
Ce qui peut encore s'écrire :
\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{FE}=\vec{0}
Alors, en additionnant membre à membre ces deux égalités, on trouve :
\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{FE}=\vec{0}
Ce qui montre que ADBF est un parallélogramme de centre E.

 

 
Autre méthode :
 
On a : dans le triangle CDF, la droite (AB) passant par E milieu de [DF] coupe [CF] au point B.
 
Donc, d'après la réciproque du théorème de la droite des milieux, B est milieu de [CF].

Exercice 32

On considère l'hexagone régulier ABCDEF de centre O ci-dessus, et I\ et \ J les milieux respectifs des segments [AB]\ et \ [ED]. En utilisant les lettres de la figure citons : 
 
a) deux vecteurs égaux
 
En effet, deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, ils ont même direction, même sens et même norme ou longueur.
 
Ainsi, \overrightarrow{AF}\ et \ \overrightarrow{OE} sont deux vecteurs égaux.
 
b) deux vecteurs colinéaires de sens contraire et de normes distinctes.
 
\overrightarrow{AD}\ et \ \overrightarrow{CB} sont deux vecteurs colinéaires de sens contraire et de normes distinctes.
 
c) deux vecteurs colinéaires de même sens et de normes différentes.
 
\overrightarrow{AB}\ et \ \overrightarrow{JD} sont deux vecteurs colinéaires de même sens et de normes différentes.
 
d) deux vecteurs orthogonaux.
 
\overrightarrow{IJ}\ et \ \overrightarrow{FC} sont deux vecteurs orthogonaux.
 
e) deux vecteurs non colinéaires et de même norme. 
 
\overrightarrow{EF}\ et \ \overrightarrow{DC} sont deux vecteurs non colinéaires et de même norme.
 
f) deux vecteurs opposés.
 
En effet, deux vecteurs sont opposés si, et seulement si, ils ont même direction, même norme mais de sens contraire.
 
Ainsi, \overrightarrow{IA}\ et \ \overrightarrow{IB} sont deux vecteurs opposés.
 
g) deux vecteurs non colinéaires et de normes distinctes.
 
\overrightarrow{AD}\ et \ \overrightarrow{OB} sont deux vecteurs non colinéaires et de normes distinctes.

Exercice 33

On considère la figure ci-dessous :

 

 
1) Citons tous les vecteurs égaux à \overrightarrow{AB}.
 
Les vecteurs égaux à \overrightarrow{AB} sont : \overrightarrow{HE}\ et \ \overrightarrow{GF}
 
Ainsi, on a : \boxed{\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{HE}=\overrightarrow{GF}}
 
2) Citons tous les vecteurs égaux à \overrightarrow{FE}.
 
Les vecteurs égaux à \overrightarrow{FE} sont : \overrightarrow{ED}\;,\ \overrightarrow{GH}\ et \ \overrightarrow{BC}
 
Donc, on a : \boxed{\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{GH}=\overrightarrow{BC}}
 
3) Déterminons un ou plusieurs vecteurs égaux à \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{FE}.
 
En effet, comme :
 
\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{HE}=\overrightarrow{GF}
 
\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{GH}=\overrightarrow{BC}
 
Alors, en remplaçant puis, en appliquant la relation de Chasles, on obtient :
 
\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}
 
\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{HE}+\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{HD}
 
\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{GF}+\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{GE}
 
Par conséquent, les vecteurs égaux à \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{FE} sont : \overrightarrow{AC}\;,\ \overrightarrow{HD}\ et \ \overrightarrow{GE}
 
D'où, \boxed{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{HD}=\overrightarrow{GE}}
 
4) Déterminons un vecteur égal aux vecteurs suivants :
 
a) \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AH}
 
En effet, on a : \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{HE}.
 
Donc, en remplaçant \overrightarrow{AB} par \overrightarrow{HE} puis, en appliquant la relation de Chasles, on obtient :
\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{HE}+\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AE}
D'où, \boxed{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AE}}
 
b) \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}
 
En effet, on a : \overrightarrow{BA}=\overrightarrow{FG}\ et \ \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{GH}
 
Donc, en remplaçant \overrightarrow{BA} par \overrightarrow{FG}\ et \ \overrightarrow{BC} par \overrightarrow{GH} puis, en appliquant la relation de Chasles, on obtient :
\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{FG}+\overrightarrow{GH}=\overrightarrow{FH}
Ainsi, \boxed{\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{FH}}
 
c) \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DE}
 
En effet, comme \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{ED} alors, en remplaçant \overrightarrow{BC} par \overrightarrow{ED} puis, en utilisant la relation de Chasles, on obtient :
\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{DE}=\vec{0}
D'où, \boxed{\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DE}=\vec{0}}
 
d) \overrightarrow{BF}+\overrightarrow{GF}
 
En effet, on sait que : \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{GF}.
 
Par suite, ABFG est un parallélogramme.
 
Par conséquent, \overrightarrow{BF}=\overrightarrow{AG}.
 
Donc, en remplaçant \overrightarrow{BF} par \overrightarrow{AG} puis, en utilisant la relation de Chasles, on trouve :
\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{GF}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GF}=\overrightarrow{AF}
D'où, \boxed{\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{GF}=\overrightarrow{AF}} 
 
e) \overrightarrow{AE}+\overrightarrow{FB}
 
En effet, comme \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{FE} alors, BCEF est un parallélogramme.
 
Par conséquent, \overrightarrow{FB}=\overrightarrow{EC}.
 
Ainsi, en remplaçant \overrightarrow{FB} par \overrightarrow{EC} puis, en appliquant la relation de Chasles, on trouve :
\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{FB}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{AC}
D'où, \boxed{\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{FB}=\overrightarrow{AC}} 
 
N.B. Pour chacune des réponses, on utilisera uniquement les lettres de la figure.

Exercice 34

A\;,\ B\;,\ C\;,\ D sont quatre points.
 
Démontrons que :
 
1) \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}-(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CA})=\overrightarrow{DA} 
 
En utilisant les propriétés du calcul vectoriel puis, en appliquant la relation de Chasles, on obtient :
 
\begin{array}{rcl} \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}-(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CA})&=&\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}\\\\&=&\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CA}\\\\&=&\underbrace{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}}_{=\vec{0}}+\underbrace{\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CA}}_{=\overrightarrow{DA}}\\\\&=&\overrightarrow{DA}\end{array}
 
D'où, \boxed{\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}-(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CA})=\overrightarrow{DA}} 
 
2) \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}=(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD})
 
Par la relation de Chasles, introduisons le point D dans le vecteur \overrightarrow{BC} puis, appliquons les propriétés du calcul vectoriel
 
On obtient alors :
 
\begin{array}{rcl} \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}&=&\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC}\\\\&=&\underbrace{\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}}_{=\overrightarrow{AC}}+\overrightarrow{BD}\\\\&=&\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\end{array}
 
D'où, \boxed{\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}} 

Exercice 35

Écrivons les vecteurs suivants en utilisant le moins de vecteurs possibles :
 
Soit : \vec{u}=\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DB} (1 vecteur)
 
En effet, en utilisant les propriétés du calcul vectoriel puis, en appliquant la relation de Chasles, on obtient :
 
\begin{array}{rcl} \vec{u}&=&\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DB}\\\\&=&\overrightarrow{DE}+\underbrace{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}}_{=\overrightarrow{AD}}\\\\&=&\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{AD}\\\\&=&\underbrace{\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE}}_{=\overrightarrow{AE}}\end{array}
 
D'où, \boxed{\vec{u}=\overrightarrow{AE}} 
 
Soit : \vec{v}=2(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})+\overrightarrow{BC} (2 vecteurs)
 
Alors, en appliquant la relation de Chasles puis, les propriétés du calcul vectoriel, on obtient :
 
\begin{array}{rcl} \vec{v}&=&2\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)+\overrightarrow{BC}\\\\&=&2\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}\\\\&=&\overrightarrow{AB}+\underbrace{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}}_{=\overrightarrow{AC}}+2\overrightarrow{AC}\\\\&=&\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{AC}\\\\&=&\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}\end{array}
 
D'où, \boxed{\vec{v}=\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}} 
 
Soit : \vec{w}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}-2\left(\overrightarrow{DB}-\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}\right) (2 vecteurs)
 
Alors,  en appliquant les propriétés du calcul vectoriel puis, la relation de Chasles, on obtient :
 
\begin{array}{rcl} \vec{w}&=&\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}-2\left(\overrightarrow{DB}-\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}\right)\\\\&=&\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}-2\overrightarrow{DB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\\\\&=&\dfrac{1}{2}\left(\underbrace{\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}}_{=\overrightarrow{BC}}\right)+2\overrightarrow{BD}\\\\&=&\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{BD}\end{array}
 
D'où, \boxed{\vec{w}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{BD}} 

Exercice 36

O\ et \ A sont deux points distincts :
 
1) Plaçons les points M\;,\ N\;,\ P tels que :
 
a) \overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{OA}
 
b) \overrightarrow{ON}=-3.5\overrightarrow{OA}=-\dfrac{7}{2}\overrightarrow{OA}
 
c) \overrightarrow{OP}=-7\overrightarrow{OA}
 
2) a) Exprimons le vecteur \overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON} en fonction de \overrightarrow{OA}.
 
En effet, d'après la question 1\;) on a :
 
\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{OA}
 
\overrightarrow{ON}=-\dfrac{7}{2}\overrightarrow{OA}
 
Donc, en remplaçant \overrightarrow{OM}\ et \ \overrightarrow{ON} par leur expression puis, en appliquant les propriétés du calcul vectoriel, on trouve :
 
\begin{array}{rcl} \overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}&=&2\overrightarrow{OA}-\dfrac{7}{2}\overrightarrow{OA}\\\\&=&\dfrac{4}{2}\overrightarrow{OA}-\dfrac{7}{2}\overrightarrow{OA}\\\\&=&-\dfrac{3}{2}\overrightarrow{OA}\end{array}
 
D'où, \boxed{\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}=-\dfrac{3}{2}\overrightarrow{OA}} 
 
b) Exprimons le vecteur \overrightarrow{OP} en fonction de \overrightarrow{ON}.
 
On a : \overrightarrow{OP}=-7\overrightarrow{OA}
 
Or, on sait que :
 
\begin{array}{rcl}\overrightarrow{ON}&=&-3.5\overrightarrow{OA}\\\\&=&\dfrac{-7}{2}\overrightarrow{OA}\\\\&=&\dfrac{-7\overrightarrow{OA}}{2}\quad\text{ Or, on sait que :}\ -7\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OP}\\\\&=&\dfrac{\overrightarrow{OP}}{2}\end{array}
 
Ainsi,
\overrightarrow{ON}=\dfrac{\overrightarrow{OP}}{2}
D'où, \boxed{\overrightarrow{OP}=2\overrightarrow{ON}} 

Exercice 37

A\;,\ B\;,\ C\ et \ D sont quatre points quelconques du plan.
 
1) Construisons les points R\ et \ S tels que :
\overrightarrow{AR}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}\quad\text{ et }\quad\overrightarrow{AS}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}


 
Nous remarquons que R=S ; autrement dit, les points R\ et \ S sont confondus.
 
2) Démontrons que :
\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}
En effet, par la relation de Chasles, en introduisant le point C dans le vecteur \overrightarrow{AB} puis, en utilisant les propriétés du calcul vectoriel, on obtient :
 
\begin{array}{rcl}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}&=&\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}\\\\&=&\underbrace{\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}}_{=\overrightarrow{AD}}+\overrightarrow{CB}\\\\&=&\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}\end{array}
 
D'où, \boxed{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}}
 
Par ailleurs, d'après le résultat de la question 1\,), on a : les points R\ et \ S confondus.
 
Ce qui entraine,
\overrightarrow{AR}=\overrightarrow{AS}
Or, on sait que :
\overrightarrow{AR}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}\quad\text{ et }\quad\overrightarrow{AS}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}
Par conséquent, \boxed{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}}

Exercice 38

ABCD est un parallélogramme de centre O.
 
1) Calculons la somme vectorielle :
\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}
En effet, comme ABCD est un parallélogramme de centre O alors, O est le milieu de [AC] et de [BD].
 
Par suite :
\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\vec{0}\quad\text{et}\quad\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=\vec{0}
Par conséquent,
 
\begin{array}{rcl}\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}&=&\underbrace{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}}_{=\vec{0}}+\underbrace{\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}}_{=\vec{0}}\\\\&=&\vec{0}\end{array}
 
D'où, \boxed{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\vec{0}}
 
2) M étant un point quelconque du plan, plaçons les points E\;,\ F\;,\ G\ et \ H tels que :
\overrightarrow{ME}=\overrightarrow{AB}\;;\ \overrightarrow{MF}=\overrightarrow{BC}\;;\ \overrightarrow{MG}=\overrightarrow{CD}\quad\text{et}\quad\overrightarrow{MH}=\overrightarrow{DA}
Démontrons que le quadrilatère EFGH est un parallélogramme.
 
Pour cela, calculons la somme vectorielle :
\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{MH}
On a :
 
\begin{array}{rcl}\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{MH}&=&\underbrace{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}}_{=\overrightarrow{AC}}+\underbrace{\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}}_{=\overrightarrow{CA}}\\\\&=&\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}\\\\&=&\vec{0}\end{array}
 
Ainsi, \boxed{\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{MH}=\vec{0}}
 
Par conséquent, EFGH est un parallélogramme de centre M.

 

Exercice 39

OAB est un triangle, D\ et \ C les points tels que :
\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\quad\text{ et }\quad\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\vec{0}
1) Démontrons que O est le milieu de [CD].
 
En effet, O est le milieu du segment [CD] si, et seulement si :
\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OC}=\vec{0}
On a :
\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\vec{0}
Or, on sait que :
\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}
Donc, en remplaçant \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB} par \overrightarrow{OD}, on obtient :
\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OC}=\vec{0}
Ce qui montre que O est le milieu de [CD].
 
2) E\ et \ F sont les points tels que :
\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}\quad\text{ et }\quad\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}
Démontons que ABFE est un parallélogramme
 
Pour cela, calculons la somme vectorielle :
\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OF}+\overrightarrow{OE}
Alors, en remplaçant, \overrightarrow{OE}\ et \ \overrightarrow{OF} par leur expression, on obtient :
 
\begin{array}{rcl}\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OF}+\overrightarrow{OE}&=&\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}\\\\&=&\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\\\\&=&2\left(\underbrace{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}_{=\vec{0}}\right)\\\\&=&\vec{0}\end{array}
 
Ainsi, \boxed{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OF}+\overrightarrow{OE}=\vec{0}}
 
Par conséquent, ABFE est un parallélogramme de centre O.
 
Autre méthode :
 
Pour montrer que ABFE est un parallélogramme, il suffit de montrer que :
\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{EF}
En effet, on a : \overrightarrow{OF}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}
 
Donc, par la relation de Chasles, introduisons le point E dans le vecteur \overrightarrow{OF}.
 
On obtient alors :
\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\ \Rightarrow\ \overrightarrow{EF}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OE}
Ainsi, en remplaçant \overrightarrow{OE} par son expression puis, en utilisant la relation de Chasles et les propriétés du calcul vectoriel, on trouve :
 
\begin{array}{rcl}\overrightarrow{EF}&=&\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OE}\\\\&=&\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}-\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}\right)\\\\&=&\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}\\\\&=&\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{CO}\\\\&=&\underbrace{\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}}_{=\overrightarrow{AB}}+\underbrace{\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CO}}_{=\vec{0}}\\\\&=&\overrightarrow{AB}\end{array}
 
D'où, \boxed{\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AB}}
 
Par conséquent, le quadrilatère ABFE est un parallélogramme.

 
 
 
 

Exercice 40

A\;,\ B\;,\ C\;,\ D sont quatre points
 
1) Construisons les points E\;,\ F tels que :
\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}\quad\text{ et }\quad\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}
On a :
 
\begin{array}{rcl}\overrightarrow{AE}&=&\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}\\\\&=&\overrightarrow{AB}+\underbrace{\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}}_{=\overrightarrow{AB}}\\\\&=&\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}\\\\&=&2\overrightarrow{AB}\end{array}
 
Donc, \boxed{\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{AB}}
 
On peut ainsi utiliser cette nouvelle expression du vecteur \overrightarrow{AE} pour construire le point E.
 
De la même manière, on a :
 
\begin{array}{rcl}\overrightarrow{AF}&=&\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\\\\&=&\overrightarrow{AB}+\underbrace{\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AD}}_{=\overrightarrow{CD}}\\\\&=&\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}\end{array}
 
Ainsi, \boxed{\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}}
 
Par conséquent, on peut utiliser cette nouvelle expression de \overrightarrow{AF} pour construire le point F.

 
 
 
2) Montrons que :
\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DB}
En effet, on a : \overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}
 
Alors, en introduisant le point F dans le vecteur \overrightarrow{AE}, par la relation de Chasles, on obtient :
\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}
Ce qui entraine :
\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AF}
Or, on sait que : \overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}
 
Donc, en remplaçant \overrightarrow{AF} par \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD} puis, en utilisant les propriétés du calcul vectoriel et la relation de Chasles, on obtient :
 
\begin{array}{rcl}\overrightarrow{FE}&=&\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AF}\\\\&=&\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}-\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\right)\\\\&=&\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}\\\\&=&\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DA}\\\\&=&\underbrace{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}}_{=\vec{0}}+\underbrace{\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}}_{=\overrightarrow{DB}}+\overrightarrow{AC}\\\\&=&\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AC}\end{array}
 
D'où, \boxed{\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DB}}
 

Exercice 41

 
 
Sur la figure, les quadrilatères SALE\;,\ SAIC\;,\ SCAE\;,\ BAEL\;,\ LAIB\ et \ BACI sont des parallélogrammes.
 
En n'utilisant que les points de la figure, écrire chacune des sommes suivantes sous forme d'un seul vecteur.
 
a) \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AL}=\overrightarrow{CB}
 
En effet, SALE étant un parallélogramme alors,
\overrightarrow{AL}=\overrightarrow{SE}
Par ailleurs, comme SCAE est un parallélogramme alors,
\overrightarrow{SE}=\overrightarrow{CA}
Par conséquent,
\overrightarrow{AL}=\overrightarrow{CA}
Ainsi, en remplaçant \overrightarrow{AL} par \overrightarrow{CA} puis, en utilisant la relation de Chasles, on obtient :
 
\begin{array}{rcl}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AL}&=&\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}\\\\&=&\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\\\\&=&\overrightarrow{CB}\end{array}
 
D'où, \boxed{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AL}=\overrightarrow{CB}}
 
b) \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BL}+\overrightarrow{LA}=\overrightarrow{AA}=\vec{0}
 
En appliquant la relation de Chasles et les propriétés du calcul vectoriel, on obtient ce résultat.
 
c) \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AL}=\overrightarrow{LB}
 
En utilisant les propriétés du calcul vectoriel puis, la relation de Chasles, on obtient :
 
\begin{array}{rcl}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AL}&=&\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{LA}\\\\&=&\overrightarrow{LA}+\overrightarrow{AB}\\\\&=&\overrightarrow{LB}\end{array}
 
D'où, \boxed{\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AL}=\overrightarrow{LB}}
 
d) \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AL}+\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{CL}
 
En effet, d'après le résultat de la question a\;), on a :
\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AL}=\overrightarrow{CB}
Or, BAEL est un parallélogramme. Donc,
\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{BL}
Ainsi, en remplaçant \overrightarrow{AE} par \overrightarrow{BL} puis, en utilisant la relation de Chasles, on obtient :
 
\begin{array}{rcl}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AL}+\overrightarrow{AE}&=&\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BL}\\\\&=&\overrightarrow{CL}\end{array}
 
D'où, \boxed{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AL}+\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{CL}}
 
e) \overrightarrow{AE}-\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{SC}\right)=\overrightarrow{IS}
 
En utilisant les propriétés du calcul vectoriel puis, la relation de Chasles, on obtient :
 
\begin{array}{rcl}\overrightarrow{AE}-\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{SC}\right)&=&\overrightarrow{AE}-\left(\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{CA}\right)\\\\&=&\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{SA}\\\\&=&\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AS}\end{array}
 
Or, on sait que : SCAE est un parallélogramme.
 
Donc,
\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{CS}
De même, SAIC étant un parallélogramme alors,
\overrightarrow{CS}=\overrightarrow{IA}
Par conséquent,
\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{IA}
Ainsi, en remplaçant \overrightarrow{AE} par \overrightarrow{IA} puis, en appliquant la relation de Chasles, on obtient :
 
\begin{array}{rcl}\overrightarrow{AE}-\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{SC}\right)&=&\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AS}\\\\&=&\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AS}\\\\&=&\overrightarrow{IS}\end{array}
 
D'où, \boxed{\overrightarrow{AE}-\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{SC}\right)=\overrightarrow{IS}}
 
f) \overrightarrow{SA}-\overrightarrow{LB}=\overrightarrow{SE}
 
En effet, comme BAEL est un parallélogramme alors, on a :
\overrightarrow{LB}=\overrightarrow{EA}
Donc, en remplaçant \overrightarrow{BL} par \overrightarrow{AE} puis, en utilisant les propriétés du calcul vectoriel et la relation de Chasles, on obtient :
 
\begin{array}{rcl}\overrightarrow{SA}-\overrightarrow{LB}&=&\overrightarrow{SA}-\overrightarrow{EA}\\\\&=&\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{AE}\\\\&=&\overrightarrow{SE}\end{array}
 
D'où, \boxed{\overrightarrow{SA}-\overrightarrow{LB}=\overrightarrow{SE}}
 
g) \overrightarrow{SI}-\overrightarrow{EL}-\overrightarrow{SL}=\overrightarrow{LC}
 
En effet, SALE est un parallélogramme donc,
\overrightarrow{EL}=\overrightarrow{SA}
Par ailleurs, comme SAIC est un parallélogramme alors,
\overrightarrow{SA}=\overrightarrow{CI}
Par conséquent,
\overrightarrow{EL}=\overrightarrow{CI}
Ainsi, en remplaçant \overrightarrow{EL} par \overrightarrow{CI} puis, en utilisant les propriétés du calcul vectoriel et la relation de Chasles, on obtient :
 
\begin{array}{rcl}\overrightarrow{SI}-\overrightarrow{EL}-\overrightarrow{SL}&=&\overrightarrow{SI}-\overrightarrow{CI}-\overrightarrow{SL}\\\\&=&\overrightarrow{SI}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{LS}\\\\&=&\overrightarrow{LS}+\overrightarrow{SI}+\overrightarrow{IC}\\\\&=&\overrightarrow{LC}\end{array}
 
D'où, \boxed{\overrightarrow{SI}-\overrightarrow{EL}-\overrightarrow{SL}=\overrightarrow{LC}}
 
h) \overrightarrow{SI}-\overrightarrow{EL}+\overrightarrow{SL}=\overrightarrow{SB} 
 
En effet, en utilisant les propriétés du calcul vectoriel puis, la relation de Chasles, on a :
 
\begin{array}{rcl}\overrightarrow{SI}-\overrightarrow{EL}+\overrightarrow{SL}&=&\overrightarrow{SI}+\underbrace{\overrightarrow{SL}+\overrightarrow{LE}}_{=\overrightarrow{SE}}\\\\&=&\overrightarrow{SI}+\overrightarrow{SE}\end{array}
 
Or, on sait que SCAE est un parallélogramme.
 
Donc, on a :
\overrightarrow{SE}=\overrightarrow{CA}
Par ailleurs, BACI étant un parallélogramme alors, on a :
\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{IB}
Par conséquent :
\overrightarrow{SE}=\overrightarrow{IB}
Ainsi, en remplaçant \overrightarrow{SE} par \overrightarrow{IB} puis, en appliquant la relation de Chasles, on obtient :
 
\begin{array}{rcl}\overrightarrow{SI}-\overrightarrow{EL}+\overrightarrow{SL}&=&\overrightarrow{SI}+\overrightarrow{SE}\\\\&=&\underbrace{\overrightarrow{SI}+\overrightarrow{IB}}_{=\overrightarrow{SB}}\\\\&=&\overrightarrow{SB}\end{array}
 
D'où, \boxed{\overrightarrow{SI}-\overrightarrow{EL}+\overrightarrow{SL}=\overrightarrow{SB}}
 

Exercice 45

Dans un triangle ABC, on considère par M le milieu de [AB], par I celui de [MC]\ et \ K le point tel que \overrightarrow{CK}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CB}
 
1) Montrons que :
\overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\quad\text{et}\quad\overrightarrow{AK}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}
On a :
 
\begin{array}{rcl}\overrightarrow{AI}&=&\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CI}\quad\text{or, }I\ \text{ milieu de }[CM]\\\\&=&\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CM}\\\\&=&\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AM}\right)\\\\&=&\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AM}\quad\text{or, }M\ \text{ milieu de }[AB]\\\\&=&\overrightarrow{AC}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\right)\\\\&=&\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}\end{array}
 
D'où, \boxed{\overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}}
 
Soit :
 
\begin{array}{rcl}\overrightarrow{AK}&=&\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CK}\\\\&=&\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CB}\\\\&=&\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\right)\\\\&=&\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CA}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}\\\\&=&\overrightarrow{AC}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}\\\\&=&\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}\end{array}
 
Alors, \boxed{\overrightarrow{AK}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}}
 
2) En déduisons que les points A\;,\ I\;,\ K sont alignés.
 
Pour cela, il suffit de montrer que \overrightarrow{AI}=\alpha\overrightarrow{AK} avec \alpha un nombre réel non nul.
 
D'après la question précédente, on peut constater que 4\overrightarrow{AI}=3\overrightarrow{AK}
 
Ainsi, \overrightarrow{AI}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AK}
 
D'où, les points A\;,\ I\;,\ K sont alignés.
 
Autre méthode :
 
D'après le résultat de la question 1\;), on a :
 
\overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}
 
\overrightarrow{AK}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}
 
Donc, dans le repère \left(A\;,\ \overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{AC}\right), les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{AI}\ et \ \overrightarrow{AK} sont données par :
\overrightarrow{AI}\begin{pmatrix}\dfrac{1}{4}\\ \\\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}\quad \text{et}\quad \overrightarrow{AK}\begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}\\ \\\dfrac{2}{3}\end{pmatrix}
Calculons alors les rapports : \dfrac{x_{_{\overrightarrow{AI}}}}{x_{_{\overrightarrow{AK}}}}\ et \ \dfrac{y_{_{\overrightarrow{AI}}}}{y_{_{\overrightarrow{AK}}}}
 
Soit :
 
\dfrac{x_{_{\overrightarrow{AI}}}}{x_{_{\overrightarrow{AK}}}}=\dfrac{\dfrac{1}{4}}{\dfrac{1}{3}}=\dfrac{1}{4}\times\dfrac{3}{1}=\dfrac{3}{4}
 
\dfrac{y_{_{\overrightarrow{AI}}}}{y_{_{\overrightarrow{AK}}}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{2}{3}}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{4}
 
On trouve alors une même valeur égale à \dfrac{3}{4}.
 
Ce qui signifie que les points A\;,\ I\;,\ K sont alignés.
 
Explication :
 
En effet, on a :
\left\lbrace\begin{array}{lcl}\dfrac{x_{_{\overrightarrow{AI}}}}{x_{_{\overrightarrow{AK}}}}&=&\dfrac{3}{4}\\ \\\dfrac{y_{_{\overrightarrow{AI}}}}{y_{_{\overrightarrow{AK}}}}&=&\dfrac{3}{4}\end{array}\right.\ \Rightarrow\ \left\lbrace\begin{array}{lcl} x_{_{\overrightarrow{AI}}}&=&\dfrac{3}{4}\times x_{_{\overrightarrow{AK}}}\\ \\y_{_{\overrightarrow{AI}}}&=&\dfrac{3}{4}\times y_{_{\overrightarrow{AK}}}\end{array}\right.
Par conséquent, \overrightarrow{AI}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AK}
 
Ce qui montre que les points A\;,\ I\ et \ K sont alignés.
 

Exercice 51

ABCD est un trapèze tel que \overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{AD}
 
Soit k un réel et M le point défini par \overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}
 
M se projette en K sur (AC) parallèlement à (BC) et en N sur (CD) parallèlement à (BC)

 

 
1) Montrons que \overrightarrow{MK}=2k\overrightarrow{AD}\ et \ \overrightarrow{NK}=(k-1)\overrightarrow{AD}
 
On constate que AMK\ et \ ABC sont deux triangles en situation de Thalès donc, en appliquant le théorème de Thalès, on obtient :
\dfrac{\overline{AM}}{\overline{AB}}=\dfrac{\overline{MK}}{\overline{BC}}\qquad(1)
Or, \overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}\ et \ \overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{AD}
 
Donc, \overline{AM}=k\overline{AB}\ et \ \overline{BC}=2\overline{AD}
 
Par suite, en remplaçant dans (1), on aura :
 
\begin{array}{rcl}\dfrac{\overline{AM}}{\overline{AB}}=\dfrac{\overline{MK}}{\overline{BC}}&\Leftrightarrow&\dfrac{k\overline{AB}}{\overline{AB}}=\dfrac{\overline{MK}}{2\overline{AD}}\\ \\&\Leftrightarrow&\dfrac{\overline{MK}}{2\overline{AD}}=k\\ \\&\Leftrightarrow&\overline{MK}=2k\overline{AD}\end{array}
 
De plus (MK) parallèle à (BC) qui est parallèle à (AD) donc, (MK) est parallèle à (AD)
 
Ainsi, \overline{MK}=2k\overline{AD}\ et \ (MK) est parallèle à (AD) telles que [MK)\ et \ [AD) orientées dans le même sens.
 
Par conséquent, \overrightarrow{MK}=2k\overrightarrow{AD}\
 
Par ailleurs, on a : \overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KN}=\overrightarrow{MN}
 
ce qui donne : \overrightarrow{NK}=\overrightarrow{MK}-\overrightarrow{MN}
 
Considérons E le projeté de D sur (BC) parallèlement à (AB) et L le projeté de M sur (DE) parallèlement à (BC)
 
On a : \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{ML}+\overrightarrow{LN}
 
Or, \overrightarrow{ML}=\overrightarrow{AD} donc, \overline{ML}=\overline{AD} 
 
De plus, les triangles DLN\ et \ DEC étant en position de Thalès alors, 
\dfrac{\overline{DL}}{\overline{DE}}=\dfrac{\overline{LN}}{\overline{EC}}\qquad(2)
Comme \overline{DL}=\overline{AM}=k\overline{AB}\;;\ \overline{DE}=\overline{AB}\ et \ \overline{EC}=\dfrac{1}{2}\overline{BC}=\overline{AD} alors, en remplaçant dans (2), on obtient :
 
\begin{array}{rcl}\dfrac{\overline{DL}}{\overline{DE}}=\dfrac{\overline{LN}}{\overline{EC}}&\Leftrightarrow&\dfrac{k\overline{AB}}{\overline{AB}}=\dfrac{\overline{LN}}{\overline{AD}}\\ \\&\Leftrightarrow&\dfrac{\overline{LN}}{\overline{AD}}=k\\ \\&\Leftrightarrow&\overline{LN}=k\overline{AD}\end{array}
 
Par ailleurs, comme (LN) est parallèle à (AD) avec [LN)\ et \ [AD) orientées dans le même sens alors, on peut conclure que \overrightarrow{LN}=k\overrightarrow{AD}
 
Ainsi, \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{ML}+\overrightarrow{LN}
 
avec, \overrightarrow{ML}=\overrightarrow{AD}\ et \ \overrightarrow{LN}=k\overrightarrow{AD}
 
Par suite, \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AD}+k\overrightarrow{AD}
 
Par conséquent, on aura :
 
\begin{array}{rcl}\overrightarrow{NK}&=&\overrightarrow{MK}-\overrightarrow{MN}\\\\&=&2k\overrightarrow{AD}-(\overrightarrow{AD}+k\overrightarrow{AD})\\\\&=&(2k-k-1)\overrightarrow{AD}\\\\&=&(k-1)\overrightarrow{AD}\end{array}
 
D'où, \overrightarrow{NK}=(k-1)\overrightarrow{AD}
 
2) Déterminons le réel k pour que K soit le milieu de [MN]
 
K milieu de [MN] si, et seulement si, \overrightarrow{MK}+\overrightarrow{NK}=\vec{0}
 
On a :
 
\begin{array}{rcl}\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{NK}=\vec{0}&\Leftrightarrow&2k\overrightarrow{AD}+(k-1)\overrightarrow{AD}=\vec{0}\\ \\&\Leftrightarrow&(2k+k-1)\overrightarrow{AD}=\vec{0}\quad\text{or, }\ \overrightarrow{AD}\neq\vec{0}\\ \\&\Leftrightarrow&3k-1=0\\ \\&\Leftrightarrow&k=\dfrac{1}{3}\end{array}
 
Ainsi, K milieu de [MN] si, et seulement si, k=\dfrac{1}{3}
 
Déterminons le réel k pour que \overrightarrow{MN}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AD}
 
On sait que : \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MK}-\overrightarrow{NK}
 
Donc,
 
\begin{array}{rcl}\overrightarrow{MN}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AD}&\Leftrightarrow&\overrightarrow{MK}-\overrightarrow{NK}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AD}\\ \\&\Leftrightarrow&2k\overrightarrow{AD}-(k-1)\overrightarrow{AD}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AD}\\ \\&\Leftrightarrow&2k\overrightarrow{AD}-(k-1)\overrightarrow{AD}-\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AD}=\vec{0}\\ \\&\Leftrightarrow&\left(2k-k+1-\dfrac{3}{2}\right)\overrightarrow{AD}=\vec{0}\quad\text{or, }\ \overrightarrow{AD}\neq\vec{0}\\ \\&\Leftrightarrow&k-\dfrac{1}{2}=0\\ \\&\Leftrightarrow&k=\dfrac{1}{2}\end{array}

D'où, \overrightarrow{MN}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AD} si, et seulement si, k=\dfrac{1}{2}

Exercice 52

Soit ABCD un carré. On construit sur [DC] et à l'intérieur du carré le triangle équilatéral DCE.
 
On construit sur [BC] et à l'extérieur du carré le triangle équilatéral BCF.

 

 
1) Exprimons les vecteurs \overrightarrow{AE}\ et \ \overrightarrow{AF} en fonction des vecteurs \overrightarrow{AB}\ et \ \overrightarrow{AD}.
 
Soit :
 
\begin{array}{rcl}\overrightarrow{AE}&=&\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GE}\\ \\&=&\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{GE}\end{array}
 
Or, \overrightarrow{GD}=\overrightarrow{EJ} et le triangle DCE est équilatéral donc, \overrightarrow{EJ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\overrightarrow{AD}
 
De plus, \overrightarrow{GE}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}
 
Donc,
 
\begin{array}{rcl}\overrightarrow{AE}&=&\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{GE}\\ \\&=&\overrightarrow{AD}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\overrightarrow{AD}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\\ \\&=&\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2-\sqrt{3}}{2}\overrightarrow{AD}\end{array}
 
D'où, \boxed{\overrightarrow{AE}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2-\sqrt{3}}{2}\overrightarrow{AD}}
 
Soit :
 
\begin{array}{rcl}\overrightarrow{AF}&=&\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HF}\\ \\&=&\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HI}+\overrightarrow{IF}\end{array}
 
Comme le triangle BCF est équilatéral alors, \overrightarrow{IF}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\overrightarrow{AB}
 
De plus, \overrightarrow{HI}=\overrightarrow{AB}\ et \ \overrightarrow{AH}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}
 
Donc,
 
\begin{array}{rcl}\overrightarrow{AF}&=&\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HI}+\overrightarrow{IF}\\ \\&=&\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\overrightarrow{AB}\\ \\&=&\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\dfrac{2+\sqrt{3}}{2}\overrightarrow{AB}\end{array}
 
Ainsi, \boxed{\overrightarrow{AF}=\dfrac{2+\sqrt{3}}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}}
 
2)En déduisons que les points A\;,\ E\;,\ F sont alignés.
 
On a :
 
\begin{array}{rcl}\overrightarrow{AF}&=&\dfrac{2+\sqrt{3}}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}\\ \\&=&(2+\sqrt{3})\left(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2-\sqrt{3}}{2}\overrightarrow{AD}\right)\\ \\&=&(2+\sqrt{3})\overrightarrow{AE}\end{array}
 
Ainsi, \overrightarrow{AF}=k\overrightarrow{AE} avec k réel.
 
Par conséquent, les points A\;,\ E\;,\ F sont alignés.
 
Autre méthode :
 
D'après le résultat de la question 1\;), on a :
 
\overrightarrow{AF}=\dfrac{2+\sqrt{3}}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}
 
\overrightarrow{AE}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2-\sqrt{3}}{2}\overrightarrow{AD}
 
Ainsi, dans le repère \left(A\;,\ \overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{AD}\right), les vecteurs \overrightarrow{AF}\ et \ \overrightarrow{AE} ont pour coordonnés :
 
\overrightarrow{AF}\begin{pmatrix}\dfrac{2+\sqrt{3}}{2}\\ \\\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}\ \text{ et }\ \overrightarrow{AE}\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2}\\ \\\dfrac{2-\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix}
 
Alors, en calculant les rapports : \dfrac{x_{_{\overrightarrow{AF}}}}{x_{_{\overrightarrow{AE}}}}\ et \ \dfrac{y_{_{\overrightarrow{AF}}}}{y_{_{\overrightarrow{AE}}}}, on obtient :
 
\dfrac{x_{_{\overrightarrow{AF}}}}{x_{_{\overrightarrow{AE}}}}=\dfrac{\dfrac{2+\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{2+\sqrt{3}}{2}\times\dfrac{2}{1}=2+\sqrt{3}
 
\dfrac{y_{_{\overrightarrow{AF}}}}{y_{_{\overrightarrow{AE}}}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{2-\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{2}{2-\sqrt{3}}=\dfrac{1}{2-\sqrt{3}}
 
En rendant rationnel le dénominateur, on trouve :
 
\begin{array}{lcl} \dfrac{y_{_{\overrightarrow{AF}}}}{y_{_{\overrightarrow{AE}}}}&=&\dfrac{1}{2-\sqrt{3}}\\\\&=&\dfrac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}\\\\&=&\dfrac{2+\sqrt{3}}{4-3}\\\\&=&\dfrac{2+\sqrt{3}}{1}\\\\&=&2+\sqrt{3}\end{array}
 
On constate alors que :
\dfrac{x_{_{\overrightarrow{AF}}}}{x_{_{\overrightarrow{AE}}}}=\dfrac{y_{_{\overrightarrow{AF}}}}{y_{_{\overrightarrow{AE}}}}=2+\sqrt{3}
Ce qui entraine :
\overrightarrow{AF}=(2+\sqrt{3})\overrightarrow{AE}
D'où, les points A\;,\ E\;,\ F sont alignés.
 
 
 


Auteur: 
Mouhamadou Ka & Diny Faye

Commentaires

pertinant

Bonjour. J aurais besoin de la correction de l exercice 59 svp. Merci

Bien fait

Intéressant.

j'aimerais bien voir la correction de l'exercice 60 et 61

Intéressant

J ai besoin de la correction de l exercice 59

Plus d'exercices merci.

Bonjour. J aurais besoin de la correction de l exercice 37 et 32 svp. Merci

la correction de l'exercice 25 svp

Bonjour, j'aimerais avoir la correction des exo 34 et 51 svp.

J'ai besoin de la correction de l'exercice 32

J'ai besoinde de la correction de l'exercice 33 et 48

j'ai besoin la correction de l'exo 13

de la correction de l exo 36 svp

Correction de exercices 36

de la correction de l exo 36 svp

de la correction de l exo 36 svp

J'ai besoin la correction de l'exercice 32

J'ai besoin la correction de l'exercice 32

J'ai besoin la correction de l'exercice 32

Je ne vois pas la correction de l'exercice 61

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