Suites numériques - T S
Classe:
Terminale
I Définitions
⋅ Une suite (un)n∈I, I⊂N est une application de I dans R u : I⊂N⟶Rn⟶u(n)=un
⋅ Elle peut être définie de façon explicite
Exemple
un=2n2+1,vn=n2−42n; n∈N∗
⋅ Elle peut être aussi définie par la donnée d'un terme et d'une relation dite de récurrence liant des termes.
Exemple
{u0=αun+1=2un−3,{v1=αvn+1=f(vn)
f est la fonction associée à la suite (vn)
II Démonstration par récurrence
Pour démontrer par récurrence qu'une propriété pn est vraie ∀n≥n0 on doit :
− montrer que la propriété est vraie au premier rang (pn0 vraie)
− supposer que la propriété est vraie jusqu'au rang n (pn vraie) et démontrer qu'elle est vraie au rang n+1
− et enfin conclure
Exemple
Montrer que ∀n≥1, 12+22+32+……+n2=n(n+1)(2n+1)6
Résolution
Soit la propriété suivante : ∀n≥1, 12+22+32+……+n2⏟An=n(n+1)(2n+1)6⏟Bn
− Montrons que la propriété est vraie pour n=1
n=1 alors A1=12=1 et B1=1(1+1)(2+1)6=66=1
A1=B1 donc la propriété est vraie au 1er rang.
− Supposons que la proposition est vraie jusqu'au rang n, donc
∀n≥1, 12+22+32+……+n2=n(n+1)(2n+1)6 et montrons qu'elle est vraie au rang n+1.
C'est-à-dire 12+22+32+……+n2+(n+1)2=(n+1)(n+2)(2n+3)6.
On a :
12+22+32+……+n2+(n+1)2=n(n+1)(2n+1)6+(n+1)2=n(n+1)(2n+1)+6(n+1)26=(n+1)(2n2+n+6n+6)6=(n+1)(2n2+7n+6)6
Or, 2n2+7n+6=(n+2)(2n+3), donc
12+22+32+……+n2+(n+1)2=(n+1)(n+2)(2n+3)6.
Ainsi, la proposition est vraie au rang n+1
Donc ∀n≥1, 12+22+32+……+n2=n(n+1)(2n+1)6
III Représentation graphique des termes d'une suite
− Si un est définie de façon explicite ; un=f(n) alors représenter graphiquement la suite (un) consiste à représenter dans un repère l'ensemble des points isolés (n, un).
− On peut aussi représenter directement les valeurs des termes de la suite sur l'un des axes du repère.
Exemple
Représenter les 6 premiers termes de la suite (un) définie par :
a) un=n2+12n+3
b) un=2n−7
Résolution
a)
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig230.png)
b)
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig229.png)
− Si un est définie de façon récurrente ; {u0=αun+1=g(un), g étant la fonction associée à la suite (un), alors on trace la courbe de g et la première bissectrice (droite d'équation y=x). Par projection, on construit les termes de la suite (un) en procédant comme suit :
(1) On place le premier terme u0 sur l'axe des abscisses ;
(2) On utilise Cg pour construire u1=g(u0) sur l'axe des ordonnées ;
(3) On projette u1 sur l'axe des abscisses à l'aide de la première bissectrice ;
(4) On répète la même procédure en utilisant à nouveau Cg pour construire u2=g(u1) sur l'axe des ordonnées ;
(5) On projette ensuite u2 sur l'axe des abscisses à l'aide de la première bissectrice ;
(6) etc...
Exemple
Représenter les 6 premiers termes de la suite (un) définie par {u0=2un+1=ln(1+un), ∀n∈N
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig228.png)
IV Suites majorées, minorées, bornées
⋅ (un)n∈I est majorée si, et seulement si, il existe M∈R tel que ∀n∈I, un≤M
⋅ (un)n∈I est minorée si, et seulement si, il existe m∈R tel que ∀n∈I, un≥m
⋅ (un)n∈I est bornée si, et seulement si, il existe m, M∈R tels que ∀n∈I, m≤un≤Mou∃k>0, ∀n∈I, |un|≤k
V Sens de variation
⋅ (un)n∈I est croissante si, et seulement si, ∀n∈I, un+1≥un
⋅ (un)n∈I est décroissante si, et seulement si, ∀n∈I, un+1≤un
⋅ (un)n∈I est constante si, et seulement si, ∀n∈I, un+1=un
⋅ (un)n∈I est stationnaire si, et seulement si ∃p∈N tel que ∀n≥p, un=up
⋅ (un)n∈I est périodique de période T∈R si, et seulement si ∀n∈I, un+T=un
Remarque
On dit que la suite (un)n∈I est monotone sur I si ∀n∈I elle est croissante ou décroissante.
Exemple
Dans chacun des cas suivants, étudier la monotonie de la suite (un)
a) ∀n∈N, un=n2n+1
b) ∀n∈N∗, un=nn
Résolution
a) Soit f la fonction définie sur R+ telle que un=f(n) avec : f(x)=x2x+1
Cette fonction f est rationnelle, définie et dérivable sur R+,
f′(x)=2x(x+1)−x2(x+1)2=2x2+2x−x2(x+1)2=x2+2x(x+1)2=x(x+2)(x+1)2
f′(x) a le même signe que x(x+2) lequel est positif sur ]−∞, −2]∪[0, +∞[.
Donc, pour x∈R+, f′(x)≥0, par suite la fonction f est croissante sur [0, +∞[ sa restriction à N est croissante.
Donc la suite (un) est croissante pour tout entier naturel.
b) Ici on peut comparer les rapports entre un+1 et un. On a :
un+1un=(n+1)(n+1)nn=(n+1n)n(n+1)=(1+1n)n(n+1)(supérieure à 1)
Donc un+1un>1 ⇒ un+1>un;∀n∈N∗.
D'où la suite (un) est strictement croissante pour tout entier naturel non nul.
VI Suites arithmétiques et suites géométriques
VI.1 Suites arithmétiques
VI.1.1 Définition
(un)n∈N est une suite arithmétique si, et seulement si, il existe un réel r∈R∗ tel que un+1−un=r
r est appelé raison de la suite (un)n∈N.
VI.1.2 Propriétés
⋅ Relation entre un, up et r
Soit p∈N; p≤n, alors on a : un=up+(n−p)r
⋅ Relation entre trois termes consécutifs a, b et c
Soit a, b et c trois termes consécutifs alors b=a+c2, donc un+1=un+un+22
⋅ Somme de termes consécutifs
sn=n∑k=puk=up+up+1+……+un=(n−p+1)(up+un)2
Exemple
Les suites suivantes sont-elles arithmétiques ?
a) un=2n+1
b) un=n22
Résolution
a)
un+1−un=2(n+1)+1−2n−1=2n+2+1−2n−1=2(constante)
Donc (un) est une suite arithmétique de raison r=2
b)
un+1−un=(n+1)22−n22=n2+2n+1−n22=2n+12
On constate que la quantité un+1−un dépend de n donc la suite (un) n'est pas une suite arithmétique.
VI.2 Suites géométriques
VI.2.1 Définition
(vn)n∈N est une suite géométrique si, et seulement si, il existe un réel
q∈R∗∖{1} tel que vn+1=qvn
q est appelé raison de la suite (vn)n∈N.
VI.2.2 Propriétés
⋅ Relation entre vn, vp et q
Soit p∈N; p≤n, alors on a : vn=qn−pvp
⋅ Relation entre trois termes consécutifs a, b et c
Soit a, b et c trois termes consécutifs alors b2=ac, donc v2n+1=vnvn+2
⋅ Somme de termes consécutifs
sn=n∑k=pvk=vp+vp+1+……+vn=vp(1−qn−p+1)1−q
⋅ limn→+∞qn={+∞siq>1 (suite croissante)1siq=1 (suite constante)0si−1<q<0 (suite alternée)0si0<q<1 (suite décroissante)n'existe passiq≤−1 (suite alternée)
Exemple
Les suites suivantes sont-elles géométriques ?
a) vn=2n
b) vn=3(12)n
Résolution
a)
vn+1vn=2(n+1)2n=n+1n
On remarque que le rapport vn+1vn n'est pas une constante donc (vn) n'est pas une suite géométrique.
b)
vn+1vn=3(12)n+13(12)n=(12)n+1−n=12(constante)
Donc (vn) est une suite géométrique de raison q=12
VII Convergence
VII.1 Définition
⋅ (un)n∈N est convergente si, et seulement si, limn→+∞un existe =ℓ∈R
On dira que (un)n∈N converge vers ℓ
⋅ On peut aussi écrire limn→+∞un=ℓ ⇔ ∀ε∈R+, ∃n0∈N tels que ∀n≥n0; |un−ℓ|≤ε
⋅ On dit que (un)n∈N diverge si un n'a pas de limite ou si sa limite est infinie.
VII.2 Propriétés
⋅ Toute suite croissante et majorée converge.
⋅ Toute suite décroissante et minorée converge.
⋅ Toute suite convergente est bornée (réciproque fausse).
⋅ Si une suite converge, alors sa limite est unique.
⋅ Soit une suite (un) définie par un=f(n) avec f définie sur un intervalle I de R, alors si limf=ℓ, alors limun=ℓ
VII.3 Opérations sur les limites
Soient (un) et (vn) deux suites numériques convergentes telles que limun=ℓ et limvn=ℓ′, alors
⋅ (un+vn) converge et lim(un+vn)=limun+limun=ℓ+ℓ′
⋅ (unvn) converge et lim(unvn)=limun×limvn=ℓℓ′
⋅ (unvn) converge et limunvn=limunlimvn=ℓℓ′;ℓ′≠0
⋅ Théorèmes de comparaison
− Soit (un) et (vn) deux suites numériques et n0∈N tel que
∀n≥n0, un≤vn , si limun=ℓ et limvn=ℓ′ alors, ℓ≤ℓ′
− Si limvn=−∞ alors, limun=−∞
− Si limun=+∞ alors, limvn=+∞
− Si |un|≤vn et limvn=0 alors, limun=0
Exercice d'application
Déterminer la limite de la suite (un)n∈N∗ définie par :
a) un=cosnn
b) un=∑np=11√p=1+1√2+1√3+……+1√n
Résolution
a)
∀n∈N∗, |un|=|cosnn|=|cosn|n≤1ncar pour tout réel x, |cosx|≤1
Donc ∀n∈N∗, |un|≤1n.
Posons vn=1n alors, limn→+∞vn=limn→+∞1n=0.
Donc limn→+∞un=0
b)
Soit 1≤p≤n,alors1≤√p≤√n⇒1√n≤1√p≤1
Donc
1√n≤1√1≤11√n≤1√2≤11√n≤1√3≤1⋮⋮⋮1√n≤1√n≤1
En sommant ces inégalités membre à membre on obtient :
1√n+1√n+…+1√n⏟n fois≤1+1√2+1√3+…+1√n≤1+1+……+1⏟n fois
Donc n√n≤un≤n ⇔ √n≤un≤n
Posons vn=√n, alors ∀n∈N∗, un≥vn.
Or, limn→+∞vn=limn→+∞√n=+∞.
Donc limn→+∞un=+∞
⋅ Théorème des gendarmes
− Soit (un), (vn) et (wn) trois suites numériques telles que
limun=limwn=ℓ. S'il existe n0∈N; ∀n≥n0, un≤vn≤wn, alors limvn=ℓ.
− Si |un−ℓ|≤vn et limvn=0 alors, limun=ℓ
Exemple
Déterminer la limite de la suite (un)n∈N définie par
un=1n2+1+1n2+2+……+1n2+n
∀p∈{1, 2, …, n}; n2+1≤n2+p≤n2+n, alors 1n2+n≤1n2+p≤1n2+1
Donc 1n2+n≤1n2+1≤1n2+11n2+n≤1n2+2≤1n2+11n2+n≤1n2+3≤1n2+1⋮⋮⋮1n2+n≤1n2+n≤1n2+1
En sommant ces inégalités membre à membre on obtient :
1n2+n+1n2+n+…+1n2+n⏟n fois≤un≤1n2+1+1n2+1+……+1n2+1⏟n fois
Donc nn2+n≤un≤nn2+1
Posons vn=nn2+n et wn=nn2+1, alors ∀n∈N, vn≤un≤wn.
Or, {limn→+∞vn=limn→+∞nn2+n = 0limn→+∞wn=limn→+∞nn2+1 = 0
Donc, limn→+∞un=0
VII.4 Cas particulier des suites récurrentes
Soit (un) la suite définie par {u0=αun+1=f(un), f est la fonction associée à la suite (un)
Théorème
Soit f une fonction continue sur un intervalle I de R, si
− ∀n, un∈I
− (un) converge vers ℓ
alors ℓ est solution de l'équation f(x)=x
Exercice d'application
Soit (un) la suite définie par {u0=1un+1=√2+un telle que pour tout entier naturel n, 1≤un≤2
1) Montrer que la suite (un) est croissante.
2) En déduire que (un) est convergente et calculer sa limite
Résolution
1)
un+1−un=√2+un−un=(√2+un−un)(√2+un+un)√2+un+un=2+un−u2n√2+un+un=−(un−2)(un+1)√2+un+un≥0car un−2≤0
Donc un+1≥un, d'où (un) est croissante.
2) La suite (un) est croissante et majorée par 2 donc elle est convergente.
un+1=f(un) avec f : x↦ √2+x
(un) converge vers ℓ et f continue sur [−2, +∞[ en particulier sur I=[1, 2]
∀n, un∈I donc ℓ∈I.
Donc ℓ est solution de l'équation f(x)=x. On a :
f(ℓ)=ℓ⇔√2+ℓ=ℓ⇔ℓ2=2+ℓ⇔ℓ2−ℓ−2=0⇔ℓ=2 ou ℓ=−1
La solution positive de l'équation ℓ2−ℓ−2=0 est 2, donc limun=2.
VII.5 Suites adjacentes
Deux suites (un) et (vn) sont adjacentes si les trois conditions suivantes sont vérifiées :
− Pour tout entier naturel n∈I, un≤vn
− (un) croissante et (vn) décroissante
− lim(vn−un)=0
Propriété
Deux suites adjacentes convergent vers la même limite.
Auteur:
Diny Faye & Seyni Ndiaye
Commentaires
Ahmadou fall Seck (non vérifié)
mer, 09/01/2021 - 01:23
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Très intéressant
Cheikh Ahmadou ... (non vérifié)
dim, 03/13/2022 - 18:34
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SUGGESTION
Anonyme (non vérifié)
ven, 04/22/2022 - 07:53
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Cooll
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