Suites numériques - T S

Classe: 
Terminale
 

I Définitions 

   Une suite (un)nI, IN est une application de I dans R u : INRnu(n)=un
   Elle peut être définie de façon explicite

Exemple

un=2n2+1,vn=n242n; nN
 
   Elle peut être aussi définie par la donnée d'un terme et d'une relation dite de récurrence liant des termes.

Exemple

{u0=αun+1=2un3,{v1=αvn+1=f(vn)
f est la fonction associée à la suite (vn)

II Démonstration par récurrence

Pour démontrer par récurrence qu'une propriété pn est vraie nn0 on doit :
 
  montrer que la propriété est vraie au premier rang (pn0 vraie)
 
  supposer que la propriété est vraie jusqu'au rang n (pn vraie) et démontrer qu'elle est vraie au rang n+1
 
  et enfin conclure

Exemple 

Montrer que n1, 12+22+32++n2=n(n+1)(2n+1)6

Résolution 

Soit la propriété suivante : n1, 12+22+32++n2An=n(n+1)(2n+1)6Bn
 
Montrons que la propriété est vraie pour n=1
 
n=1 alors A1=12=1 et B1=1(1+1)(2+1)6=66=1
 
A1=B1 donc la propriété est vraie au 1er rang.
 
Supposons que la proposition est vraie jusqu'au rang n, donc 
 
n1, 12+22+32++n2=n(n+1)(2n+1)6 et montrons qu'elle est vraie au rang n+1.
 
C'est-à-dire 12+22+32++n2+(n+1)2=(n+1)(n+2)(2n+3)6.
 
On a :
 
12+22+32++n2+(n+1)2=n(n+1)(2n+1)6+(n+1)2=n(n+1)(2n+1)+6(n+1)26=(n+1)(2n2+n+6n+6)6=(n+1)(2n2+7n+6)6
 
Or, 2n2+7n+6=(n+2)(2n+3), donc 
 
12+22+32++n2+(n+1)2=(n+1)(n+2)(2n+3)6.
 
Ainsi, la proposition est vraie au rang n+1
 
Donc n1, 12+22+32++n2=n(n+1)(2n+1)6

III Représentation graphique des termes d'une suite

  Si un est définie de façon explicite ; un=f(n) alors représenter graphiquement la suite (un) consiste à représenter dans un repère l'ensemble des points isolés (n, un).
 
  On peut aussi représenter directement les valeurs des termes de la suite sur l'un des axes du repère.

Exemple 

Représenter les 6 premiers termes de la suite (un) définie par :
 
a) un=n2+12n+3 
 
b) un=2n7

Résolution 

a) 

 

 
 
b) 

 

 
  Si un est définie de façon récurrente ; {u0=αun+1=g(un), g étant la fonction associée à la suite (un), alors on trace la courbe de g et la première bissectrice (droite d'équation y=x). Par projection, on construit les termes de la suite (un) en procédant comme suit :
 
(1) On place le premier terme u0 sur l'axe des abscisses ;
 
(2) On utilise Cg pour construire u1=g(u0) sur l'axe des ordonnées ;
 
(3) On projette u1 sur l'axe des abscisses à l'aide de la première bissectrice ;
 
(4) On répète la même procédure en utilisant à nouveau Cg pour construire u2=g(u1) sur l'axe des ordonnées ;
 
(5) On projette ensuite u2 sur l'axe des abscisses à l'aide de la première bissectrice ;
 
(6) etc...

Exemple 

Représenter les 6 premiers termes de la suite (un) définie par {u0=2un+1=ln(1+un), nN

 

 

IV Suites majorées, minorées, bornées

  (un)nI est majorée si, et seulement si, il existe MR tel que nI, unM
 
  (un)nI est minorée si, et seulement si, il existe mR tel que nI, unm
 
  (un)nI est bornée si, et seulement si, il existe m, MR tels que nI, munMouk>0, nI, |un|k

V Sens de variation 

  (un)nI est croissante si, et seulement si, nI, un+1un
 
  (un)nI est décroissante si, et seulement si, nI, un+1un
 
  (un)nI est constante si, et seulement si, nI, un+1=un
 
  (un)nI est stationnaire si, et seulement si pN tel que np, un=up
 
  (un)nI est périodique de période TR si, et seulement si nI, un+T=un

Remarque 

On dit que la suite (un)nI est monotone sur I si nI elle est croissante ou décroissante.

Exemple 

Dans chacun des cas suivants, étudier la monotonie de la suite (un)
 
a) nN, un=n2n+1
 
b) nN, un=nn

Résolution 

a) Soit f la fonction définie sur R+ telle que un=f(n) avec : f(x)=x2x+1
Cette fonction f est rationnelle, définie et dérivable sur R+,
 
f(x)=2x(x+1)x2(x+1)2=2x2+2xx2(x+1)2=x2+2x(x+1)2=x(x+2)(x+1)2
 
f(x) a le même signe que x(x+2) lequel est positif sur ], 2][0, +[.
 
Donc, pour xR+, f(x)0, par suite la fonction f est croissante sur [0, +[ sa restriction à N est croissante.
 
Donc la suite (un) est croissante pour tout entier naturel.
 
b) Ici on peut comparer les rapports entre un+1 et un. On a :
 
un+1un=(n+1)(n+1)nn=(n+1n)n(n+1)=(1+1n)n(n+1)(supérieure à 1)
 
Donc un+1un>1  un+1>un;nN. 
 
D'où la suite (un) est strictement croissante pour tout entier naturel non nul.

VI Suites arithmétiques et suites géométriques

VI.1 Suites arithmétiques

VI.1.1 Définition 

(un)nN est une suite arithmétique si, et seulement si, il existe un réel rR tel que un+1un=r
r est appelé raison de la suite (un)nN.

VI.1.2 Propriétés 

   Relation entre un, up et r
 
Soit pN; pn, alors on a : un=up+(np)r
   Relation entre trois termes consécutifs a, b et c
 
Soit a, b et c trois termes consécutifs alors b=a+c2, donc un+1=un+un+22
   Somme de termes consécutifs
sn=nk=puk=up+up+1++un=(np+1)(up+un)2

Exemple 

Les suites suivantes sont-elles arithmétiques ?
 
a) un=2n+1
 
b) un=n22

Résolution

a)

un+1un=2(n+1)+12n1=2n+2+12n1=2(constante)

 
Donc (un) est une suite arithmétique de raison r=2
 
b)

un+1un=(n+1)22n22=n2+2n+1n22=2n+12

 
On constate que la quantité un+1un dépend de n donc la suite (un) n'est pas une suite arithmétique.

VI.2 Suites géométriques 

VI.2.1 Définition

(vn)nN est une suite géométrique si, et seulement si, il existe un réel 
 
qR{1} tel que vn+1=qvn
q est appelé raison de la suite (vn)nN.

VI.2.2 Propriétés

   Relation entre vn, vp et q
 
Soit pN; pn, alors on a : vn=qnpvp
   Relation entre trois termes consécutifs a, b et c
 
Soit a, b et c trois termes consécutifs alors b2=ac, donc v2n+1=vnvn+2
   Somme de termes consécutifs
sn=nk=pvk=vp+vp+1++vn=vp(1qnp+1)1q
  limn+qn={+siq>1  (suite croissante)1siq=1  (suite constante)0si1<q<0  (suite alternée)0si0<q<1  (suite décroissante)n'existe passiq1  (suite alternée)

Exemple 

Les suites suivantes sont-elles géométriques ?
 
a) vn=2n
 
b) vn=3(12)n

Résolution

a)

vn+1vn=2(n+1)2n=n+1n

 
On remarque que le rapport vn+1vn n'est pas une constante donc (vn) n'est pas une suite géométrique.
 
b)

vn+1vn=3(12)n+13(12)n=(12)n+1n=12(constante)

 
Donc (vn) est une suite géométrique de raison q=12

VII Convergence 

VII.1 Définition

  (un)nN est convergente si, et seulement si, limn+un  existe  =R
On dira que (un)nN converge vers
 
   On peut aussi écrire limn+un=  εR+, n0N  tels que  nn0; |un|ε
   On dit que (un)nN diverge si un n'a pas de limite ou si sa limite est infinie.

VII.2 Propriétés 

   Toute suite croissante et majorée converge.
 
   Toute suite décroissante et minorée converge.
 
   Toute suite convergente est bornée (réciproque fausse).
 
   Si une suite converge, alors sa limite est unique.
 
   Soit une suite (un) définie par un=f(n) avec f définie sur un intervalle I de R, alors si  limf=,  alors  limun=

VII.3 Opérations sur les limites 

Soient (un)  et  (vn) deux suites numériques convergentes telles que limun=  et  limvn=, alors
 
  (un+vn) converge et lim(un+vn)=limun+limun=+
 
  (unvn) converge et lim(unvn)=limun×limvn=
 
  (unvn) converge et limunvn=limunlimvn=;0
 
   Théorèmes de comparaison 
 
  Soit (un) et (vn) deux suites numériques et n0N tel que 
 
nn0, unvn , si  limun= et limvn= alors,
 
  Si limvn= alors, limun=
 
  Si limun=+ alors, limvn=+
 
  Si |un|vn  et  limvn=0 alors, limun=0

Exercice d'application

Déterminer la limite de la suite (un)nN définie par :
 
a) un=cosnn
 
b) un=np=11p=1+12+13++1n

Résolution

a)

nN, |un|=|cosnn|=|cosn|n1ncar pour tout réel x, |cosx|1

 
Donc nN, |un|1n.
 
Posons vn=1n alors, limn+vn=limn+1n=0.
 
Donc limn+un=0
 
b)

Soit 1pn,alors1pn1n1p1

 
Donc
 
1n1111n1211n1311n1n1

En sommant ces inégalités membre à membre on obtient : 
 
1n+1n++1nn fois1+12+13++1n1+1++1n fois 
 
Donc nnunn  nunn
 
Posons vn=n, alors nN, unvn.
 
Or, limn+vn=limn+n=+.
 
Donc limn+un=+
 
   Théorème des gendarmes 
 
  Soit (un), (vn) et (wn) trois suites numériques telles que 
 
limun=limwn=. S'il existe n0N; nn0, unvnwn, alors limvn=.
 
  Si |un|vn  et  limvn=0 alors, limun=

Exemple 

Déterminer la limite de la suite (un)nN définie par 
 
un=1n2+1+1n2+2++1n2+n
 
p{1, 2, , n}; n2+1n2+pn2+n, alors 1n2+n1n2+p1n2+1
Donc 1n2+n1n2+11n2+11n2+n1n2+21n2+11n2+n1n2+31n2+11n2+n1n2+n1n2+1
En sommant ces inégalités membre à membre on obtient : 
 
1n2+n+1n2+n++1n2+nn foisun1n2+1+1n2+1++1n2+1n fois 
 
Donc nn2+nunnn2+1
 
Posons vn=nn2+n  et  wn=nn2+1, alors nN, vnunwn.
 
Or, {limn+vn=limn+nn2+n = 0limn+wn=limn+nn2+1 = 0
 
Donc, limn+un=0

VII.4 Cas particulier des suites récurrentes

Soit (un) la suite définie par {u0=αun+1=f(un), f est la fonction associée à la suite (un)

Théorème

Soit f une fonction continue sur un intervalle I de R, si 
 
 n, unI
 
 (un) converge vers  
 
alors est solution de l'équation f(x)=x  

Exercice d'application 

Soit (un) la suite définie par {u0=1un+1=2+un telle que pour tout entier naturel n, 1un2
 
1) Montrer que la suite (un) est croissante.
 
2) En déduire que (un) est convergente et calculer sa limite 

Résolution

1)
 
un+1un=2+unun=(2+unun)(2+un+un)2+un+un=2+unu2n2+un+un=(un2)(un+1)2+un+un0car un20
 
Donc un+1un, d'où (un) est croissante.
 
2) La suite (un) est croissante et majorée par 2 donc elle est convergente.
 
un+1=f(un) avec f : x 2+x
 
(un) converge vers   et  f continue sur [2, +[ en particulier sur I=[1, 2] 
 
n, unI donc I.
 
Donc est solution de l'équation f(x)=x. On a :
 
f()=2+=2=2+22=0=2  ou  =1
 
La solution positive de l'équation 22=0 est 2, donc limun=2.

VII.5 Suites adjacentes 

Deux suites (un) et (vn) sont adjacentes si les trois conditions suivantes sont vérifiées :
 
  Pour tout entier naturel nI, unvn
 
  (un) croissante et (vn) décroissante
 
  lim(vnun)=0

Propriété 

Deux suites adjacentes convergent vers la même limite.
 
 
Auteur: 
Diny Faye & Seyni Ndiaye

Commentaires

Très intéressant

Ai lieu de dire supposer que la propriété est vraie au rang n on doit dire supposer que la propriété est vraie jusqu'au rang n

Ajouter un commentaire