Devoir n° 25 1e S1

Classe: 
Première
 

Exercice 1 

Soient a et b deux entiers naturels tels que b=a+1.
 
1) Démontrer que pour tout entier naturel n1, a2+b2n1 est divisible par ab.
 
2) En déduire un diviseur de 121+1220041.
 
3) Démontrer que si n est impair, Xn+1 est factorisable par X+1.
 
4) Soit P(X)  et  Q(X) deux polynômes tels que :
Q(X)=P(X)+1
Démontrer que [P(X)]2n+[Q(X)]n1 est factorisable par P(X)Q(X).

Exercice 2

Les deux questions sont indépendantes.
 
1) Soit f une fonction et k un réel strictement négatif tels que, pour tout réel x, on ait :
f(x2k)=f(x+k)
Montrer que f est périodique et préciser la période.
 
2) Soit f la fonction définie par :
f(x)=x241x24
a) Déterminer son ensemble de définition.
 
b) Discuter, suivant les valeurs du paramètre réel y, le nombre de solutions de l'équation f(x)=y , où x est l'inconnue réelle.
 
c) L'application f : DR est-elle injective ? surjective ?
 
d) Déterminer deux parties E et F de R , les plus grandes possibles, pour l'application
g : EFxf(x)
soit bijective. Définir alors g1.

Exercice 3

Soient A et B deux points d'une droite (Δ) , a et b deux nombres réels tels que : 0<a<b.
 
1) Démontrer qu'il existe deux points C et D tels que C soit le barycentre des points (A, a)  et  (B, b) , et  D soit le barycentre des points (A, a)  et  (B, b).
 
Préciser la position de ces points par rapport aux points A  et  B.
 
2) La droite (Δ) est munie du repère (A, B).
 
Calculer, en fonction de a et b, les abscisses des points C et D et vérifier que :
CA¯CB¯=DA¯DB¯
3) Démontrer que :
 
a) A est le barycentre des points (C, a+b)  et  (D, ab) ;
 
b) B est le barycentre des points (C , a+b)  et  (D, ba).

Exercice 4

Les parties 1 et 2 sont indépendantes.
 
1) On donne un triangle ABC et sa hauteur AH.
 
a) Prouver que : HBtanC=HCtanB 
 
b) En déduire des nombres p, q  et  r tels que l'orthocentre du triangle soit le barycentre des points A, B  et  C affectés de ces coefficients.
 
c) Soit G le centre de gravité du triangle et P son orthocentre.
 
Prouver que si les droites (GP)  et  (BC) sont parallèles, alors tanBtanC=3.
 
d) Soit [BD] une hauteur du triangle ABC.
 
Exprimer le vecteur BD sous la forme αABβAC.
 
2) On donne des points A, B, C alignés sur un axe. On note respectivement a, b, c leurs abscisses. 
 
Prouver que la somme f(M)=(cb)MA2+(ac)MB2+(ba)MC2 est indépendante  de M.

                                                                                 Durée 4h
 

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