Devoir n° 25 1e S1

Classe: 
Première
 

Exercice 1 

Soient a et b deux entiers naturels tels que b=a+1.
 
1) Démontrer que pour tout entier naturel n1, a2+b2n1 est divisible par ab.
 
2) En déduire un diviseur de 121+1220041.
 
3) Démontrer que si n est impair, Xn+1 est factorisable par X+1.
 
4) Soit P(X)  et  Q(X) deux polynômes tels que :
Q(X)=P(X)+1
Démontrer que [P(X)]2n+[Q(X)]n1 est factorisable par P(X)Q(X).

Exercice 2

Les\ deux\ questions\ sont\ indépendantes.
 
1) Soit f une fonction et k un réel strictement négatif tels que, pour tout réel x, on ait :
f(x-2k)=-f(x+k)
Montrer que f est périodique et préciser la période.
 
2) Soit f la fonction définie par :
f(x)=\dfrac{\sqrt{x^{2}-4}}{1-\sqrt{x^{2}-4}}
a) Déterminer son ensemble de définition.
 
b) Discuter, suivant les valeurs du paramètre réel y, le nombre de solutions de l'équation f(x)=y , où x est l'inconnue réelle.
 
c) L'application f\ :\ \mathcal{D}\Longrightarrow\mathbb{R} est-elle injective ? surjective ?
 
d) Déterminer deux parties E\text{ et }F\text{ de }\mathbb{R} , les plus grandes possibles, pour l'application
\begin{eqnarray} g\ :\ E &\longrightarrow & F\nonumber\\ x &\longmapsto & f(x)\nonumber \end{eqnarray}
soit bijective. Définir alors g^{-1}.

Exercice 3

Soient A\text{ et }B deux points d'une droite (\Delta) , a\text{ et }b deux nombres réels tels que : 0<a<b.
 
1) Démontrer qu'il existe deux points C\text{ et }D tels que C soit le barycentre des points (A\;,\ a)\ et \ (B\;,\ b)\ , et \ D soit le barycentre des points (A\;,\ a)\ et \ (B\;,\ -b).
 
Préciser la position de ces points par rapport aux points A\ et \ B.
 
2) La droite (\Delta) est munie du repère (A\;,\ B).
 
Calculer, en fonction de a\text{ et }b, les abscisses des points C\text{ et }D et vérifier que :
\dfrac{\overline{CA}}{\overline{CB}}=-\dfrac{\overline{DA}}{\overline{DB}}
3) Démontrer que :
 
a) A est le barycentre des points (C\;,\ a+b)\ et \ (D\;,\ a-b) ;
 
b) B est le barycentre des points (C\ ,\ a+b)\ et \ (D\;,\ b-a).

Exercice 4

Les parties 1 et 2 sont indépendantes.
 
1) On donne un triangle ABC et sa hauteur AH.
 
a) Prouver que : \dfrac{HB}{\tan C}=\dfrac{HC}{\tan B} 
 
b) En déduire des nombres p\;,\ q\ et \ r tels que l'orthocentre du triangle soit le barycentre des points A\;,\ B\ et \ C affectés de ces coefficients.
 
c) Soit G le centre de gravité du triangle et P son orthocentre.
 
Prouver que si les droites (GP)\ et \ (BC) sont parallèles, alors \tan B\tan C=3.
 
d) Soit [BD] une hauteur du triangle ABC.
 
Exprimer le vecteur \overrightarrow{BD} sous la forme \alpha\overrightarrow{AB}\beta\overrightarrow{AC}.
 
2) On donne des points A\;,\ B\;,\ C alignés sur un axe. On note respectivement a\;,\ b\;,\ c leurs abscisses. 
 
Prouver que la somme f(M)=(c-b)MA^{2}+(a-c) MB^{2}+(b-a)MC^{2} est indépendante  de M.

                                                                                 \text{Durée 4h}
 

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