Devoir n° 34 1e S

Classe: 
Première

Exercice 1

On considère l'équation d'inconnue x : (m1)x2+2(m4)x+(m4)(m+2)=0
 
1) Étudier l'existence et le signe des racines de cette équation.
 
2) a) Déterminer une relation indépendante de m liant les racines x et x de cette équation.
 
b) En déduire les valeurs des racines doubles.
 
3) Calculer, en fonction de m, l'expression y=11+x+11+x.

Exercice 2

ABC est un triangle tel que BC=2a; AB=AC=3a(a>0). 
 
On note θ l'angle BAC^. 
 
Soit A le milieu de [BC], H l'orthocentre de ABC et B le projeté orthogonal de B sur (AC).
 
1) Vérifier que cosθ=79.
 
2) Trouver deux réels α et λ pour que B soit le barycentre de (A, α) et (C, λ).
 
3) Trouver trois réels x, y et z tels que H soit le barycentre de (A, x), (B, y) et (C, z).

Exercice 3

Soit a, b, c trois réels non tous nuls; A, B, C trois points du plan.
 
On considère les fonctions vectorielle f et scalaire g définies par : 
 
f(M)=aMA+bMB+cMC et g(M)=aMA2+bMB2+cMC2.
 
1) On suppose que a+b+c=0.
 
a) Montrer que les points A, B et C sont alignés.
 
b) Montrer que g(M)=aABAC=bBABC=cCACB.
 
2) On suppose que a+b+c0.
 
a) Montrer que g(M)=(a+b+c)MG2+g(G), où G est le barycentre de (A, a); (B, b); (C, c).
 
b) Montrer que g(G)=1a+b+c (abAB2+bcBC2+caCA2).
 
Application : ABC est un triangle rectangle en A tel que : AC=AB=2d(d>0).
 
Déterminer, puis construire l'ensemble des points M du plan tels que : MA2+2MB2+MC2=6d2.

Exercice 4

Résoudre dans R :
 
1) 2x+34x+32x1
 
2) 2x2+3x1x1
 
3) |x2+2x3|>|2x1.
 

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