Solution série d'exercices : Les fractions - 5e

Classe: 
Cinquième
 

Exercice 1

1) Définition d'une fraction décimale.
 
On sait qu'en divisant une ou plusieurs parties de l'unité par 10, 100 ou 1000 on obtient une fraction décimale.
 
Donc, une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est 10; 100; 1000etc.

Exemple

410; 35100 et 251000 sont des fractions décimales.
 
2) Donnons une écriture fractionnaire de chacun des nombres décimaux suivant :
2.8 ; 0.75  et  1.534
On sait que si on a trois nombres a; b  et  c tels que ab=c alors, l'écriture ab qui représente le résultat exact de la division de a par b est appelée écriture fractionnaire de c.
 
On a : 145=2.8
 
Donc, une écriture fractionnaire de 2.8 est 145
 
De même, 34=0.75
 
Ainsi, une écriture fractionnaire de 0.75 est 34
 
1.534 est le résultat exact de la division de 7.67 par 5
 
Par suite, une écriture fractionnaire de 1.534 est 7.675
 
Remarque : Toute fraction est une écriture fractionnaire d'un nombre mais, toute écriture fractionnaire n'est pas forcément une fraction.

Exemple

110 est une fraction mais également une écriture fractionnaire de 0.1
 
Par contre, 91.2 est une écriture fractionnaire de 7.5 mais n'est pas une fraction car le dénominateur n'est pas un nombre entier.

Exercice 2

1) Rendons irréductible les fractions ci-dessous en utilisant les caractères de divisibilités
 
Soit la fraction suivante : 450375
 
On voit que le numérateur et le dénominateur de cette fraction sont divisibles par 3 donc,
 
450375=450÷3375÷3=150125
 
Aussi, le numérateur et le dénominateur de la fraction 150125 sont divisibles par 5.
 
Par suite,
 
150125=150÷5125÷5=3025
 
De plus, le numérateur et le dénominateur de la fraction 150125 étant divisibles par 5 alors,
 
3025=30÷525÷5=65
 
Par conséquent, 450375=65
 
On donne la fraction suivante : 256224
 
On constate que le numérateur et le dénominateur de cette fraction sont divisibles par 32 donc,
 
256224=256÷32224÷32=87
 
Ainsi, 256224=87
 
Soit la fraction suivante : 700250
 
Comme le numérateur et le dénominateur de cette fraction sont divisibles par 50 alors,
 
700250=700÷50250÷50=145
 
D'où, 700250=145
 
2) Rendons irréductible les fractions ci-dessous en utilisant la décomposition en produit de facteurs
 
Soit la fraction suivante : 450375
 
Décomposons en produits de facteurs premiers le numérateur et le dénominateur de cette fraction.
 
On a :
4503150350225555137531255255551
Donc,
 
450=32×2×52×1  et  375=3×53×1
 
Ainsi, la fraction 450375 peut s'écrire :
 
450375=32×2×52×13×53×1=321×2532=3×25=65
 
Par suite, 450375=65
 
Considérons la fraction suivante : 256224
 
En décomposant en produits de facteurs premiers le numérateur et le dénominateur de cette fraction, on obtient :
25621282642322162824222122421122562282142771
Ainsi, 256=28×1  et  224=25×7×1
 
Par suite,
 
256224=28×125×7×1=2857=237=87
 
D'où, 256224=87
3) Rendons irréductible les fractions ci-dessous en utilisant le PGCD.
 
En effet, pour rendre irréductible une fraction, on peut diviser le numérateur et le dénominateur par leur PGCD.
 
Donc, pour la fraction 360200, on a :
 
360=23×32×5200=23×52}  alors,  PGCD(360; 200)=23×5=40
 
Ainsi, 360200=360÷40200÷40=95
 
D'où, 360200=95
 
Pour la fraction 45072, on obtient :
 
450=2×32×5272=23×32}  donc,  PGCD(450; 72)=2×32=18
 
Par suite, 45072=450÷1872÷18=254
 
D'où, 45072=254
 
De même pour la fraction 735225, on trouve :
 
735=3×5×72225=32×52}  donc,  PGCD(735; 225)=3×5=15
 
Par suite, 735225=735÷15225÷15=4915
 
D'où, 735225=4915

Exercice 3

Comparons en remplaçant les pointillés par : <  ou  >.
 
On sait que : pour une fraction si le numérateur est plus petit que le dénominateur alors, la fraction est plus petite que 1 et si le numérateur est égal au dénominateur alors, la fraction est égale à 1. Donc,
 
357>1  et  735<1  car  35>7
 
1323<1  car  13<23
 
3.56<1  du fait que  3.5<6
 
1929<1  parce que  19<29
 
3419>1  car  34>19

Exercice 4

Comparons en remplaçant les pointillés par :  <  ou  >.
 
a) On sait que : pour deux fractions ayant le même numérateur, la plus grande est celle avec le plus petit dénominateur. Donc,
 
67>613  car  7<13
 
1419<149  car  19>9
 
113.5>113.11  car  3.5<3.11 
 
b) De même, on sait que : pour deux fractions ayant le même dénominateur, la plus grande est celle avec le plus grand numérateur. Donc,
 
76<136  parce que 7<13
 
1116>316  car  11>3
 
1770<4770  du fait que  17<47

Exercice 5

L'âge de Anna représente 79 de celui de Thierno et l'âge de Jacques représente 59 de celui de Thierno. Comparons l'âge de Anna et de Jacques.
 
Soit x l'âge de Thierno.
 
Comme l'âge de Anna représente 79 de celui de Thierno alors, on peut écrire :
âge de Anna=79x=7x9
De même, Comme l'âge de Jacques représente 59 de celui de Thierno alors, on peut écrire :
âge de Jacques=59x=5x9
Donc, pour comparer l'âge de Anna et l'âge de Jacques, on compare les fractions 7x9  et  5x9
 
Or, on sait que : 7x>5x, donc : 7x9>5x9  car les deux fractions ont même dénominateur.
 
Par conséquent, on conclut que Anna est plus âgée que Jacques ou tout simplement, l'âge de Anna est supérieur à celui de Jacques.

Exercice 6

Comparons chacune des fractions suivantes en utilisant l'unité
 
a) 711  et  134
 
On a : 711<1  et  134>1
 
Ainsi, 711<1<134
 
D'où, 711<134
 
b) 118  et  811
 
On sait que : 118>1  et  811<1
 
Donc, 811<1<118
 
Par suite, 118>811
 
c) 13425  et  13
 
On a : 13425>1  et  13<1
 
alors, 13<1<13425
 
D'où, 13425>13

Exercice 7

1) Montrons que 1029 est un multiple de 147
 
On a : 1029÷147=7 reste 0
 
Alors, 1029=147×7+0=147×7
 
Donc, 1029 est un multiple de 147
 
2) Calculons PGDC(1029, 147)  et  PPCM(1029; 147)
 
  Calcul de PGDC(1029, 147)
 
En décomposant 1029  et  147 en produit de facteurs premiers, on obtient :
1029334374977711473497771
Donc, 1029=73×3  et  147=72×3
 
Par suite, PGDC(1029, 147)=72×3=147
 
D'où, PGDC(1029, 147)=147
 
  Calcul de PPMC(1029, 147)
 
En utilisant la décomposition en produit de facteurs premiers de 1029  et  147, on obtient : PPCM(1029, 147)=73×3=1029
 
Donc, PPCM(1029, 147)=1029
 
On remarque que le plus grand diviseur commun de 1029 et 147 est 147 et le plus petit commun multiple de ces deux nombre cités ci-haut est 1029

Exercice 8

1) Rangeons les fractions suivantes dans l'ordre croisant
 
37; 17; 87; 13.57; 247 et 1.17
 
En appliquant la règle de comparaison de fractions de même dénominateur, on obtient :
17<1.17<37<87<13.57<247
D'où, le rangement suivant :
17; 1.17; 37; 87; 13.57; 247
2) Rangeons les fractions suivantes dans l'ordre décroissant
 
151; 157.4; 153; 152; 1520 et 157.14
 
En appliquant la règle de comparaison de fractions de même numérateur, on obtient :
1520<157.4<157.14<153<152<151
D'où, le rangement suivant, dans l'ordre décroissant
151; 152; 153; 157.14; 157.4; 1520

Exercice 9

1) Mettons chacune des fractions suivantes sous la forme de q+rb
 
 857
 
On a : 85÷7=12 reste 1 alors, 85=12×7+1
 
Donc,
 
857=12×7+17=12×77+17=12+17
 
D'où, 857=12+17
 
 1317
 
Soit : 13÷17=0 reste 13 alors, 1317=0+1317
 
Donc, 1317=0+1317
 
 6525
 
On a : 65÷25=2 reste 15 donc, 65=2×25+15
 
Par suite,
 
6525=2×25+1525=2×2525+1525=2+3×55×5
 
D'où, 6525=2+35
 
 203
 
On sait que : 20÷3=6 reste 2 alors, 20=6×3+2
 
Donc,
 
203=6×3+23=6×33+23=6+23
 
Par suite, 203=6+23
 
 383
 
On a : 38÷3=12 reste 2 donc, 38=12×3+2
 
Ainsi,
 
383=12×3+23=12×33+23=12+23
 
D'où, 383=12+23
 
2) Rangeons ces fractions dans l'ordre décroissant
 
En utilisant les résultats précédents tout en appliquant les règles de comparaison de fractions, on obtient :
383>857>203>6525>1317
D'où, le rangement suivant :
383; 857; 203; 6525; 1317

Exercice 10

1) Donnons un encadrement de 227 par deux entiers consécutifs
 
On a : 2273.142857 or, 3<3.142857<4
 
Donc, 3<227<4
 
2) Donnons un encadrement de 203 à 0.1 prés
 
Rappel : 2036.6666666...6
 
Comme 6.6<6.66666666<6.7 alors, 6.6<203<6.7
 
D'où, l'encadrement suivant : 6.6<203<6.7
 
3) Donnons un encadrement de 9913 par deux décimaux consécutifs ayant deux chiffres après la virgule
 
Soit : 99137.615384 or, 7.61<7.615384<7.62
 
Donc, 7.61<9913<7.62

Exercice 11

1) Trouvons une fraction égale à 57 ayant pour dénominateur : 49  ; 77
 
On a : 49÷7=7 donc, pour trouver une fraction égale à 57 et ayant pour dénominateur 49 il suffit de multiplier par 7 le numérateur et le dénominateur de la fraction 57
 
On obtient alors : 57×77=3549
 
D'où, 3549=57
 
De la même manière, on voit que : 77÷7=11 donc, en multipliant le numérateur et le dénominateur de la fraction 57 par 11 on obtient une fraction égale à 57 et ayant pour dénominateur 77
 
Ainsi, 57×1111=5577
 
D'où, 5577=57
 
2) On constate que 88 n'est pas divisible par 7 donc, on ne peut pas trouver une fraction égale à 57 ayant pour dénominateur 88.

Exercice 12

Calculons puis rendons irréductible 
 
1) A=1415+415
 
On voit que A est l'addition de deux fractions de même dénominateur donc, le résultat sera une fraction de même dénominateur et de numérateur la somme des numérateurs des fractions considérées.
 
Ainsi, A=1415+415=1815
 
Or, PGCD(18; 15)=3 donc, on peut rendre irréductible A en divisant le numérateur et le dénominateur par 3.
 
Par suite, A=18÷315÷3=65
 
D'où, A=65
 
De la même manière, on obtient :
 
B=23+43+83=2+4+83=143
 
Comme PGCD(14; 3)=1 alors, la fraction 143 est irréductible.
 
D'où, B=143
 
Soit : C=45+47
 
On remarque C est l'addition de deux fractions de même numérateur mais de dénominateur différent.
 
Donc, pour calculer C on réduit au même dénominateur. Le dénominateur commun sera le PPCM(5; 7)=35
 
Ainsi, on obtient :
 
C=4×75×7+4×57×5=2835+2035=4835
 
Or, PGCD(48; 35)=1 donc, la fraction 4835 est irréductible.
 
D'où, C=4835
 
2) A=1415415
 
A est la différence de deux fractions de même dénominateur donc, pour calculer A on fait la différence des numérateurs et on conserve le dénominateur.
 
Ainsi, A=14415=1015
 
Or, PGCD(10; 15)=5 donc, on peut rendre irréductible la fraction 1015 en divisant le numérateur et le dénominateur par 5.
 
Par suite, A=10÷515÷5=23
 
D'où, A=23
 
Soit : B=75+3525
 
Dans l'expression de B, on remarque que les fractions ont tous le même dénominateur donc, on effectue les opérations sur les numérateurs et on conserve le dénominateur.
 
Ainsi,
 
B=75+3525=7+325=85
 
Comme, PGCD(8; 5)=1 alors, la fraction 85 est irréductible.
 
D'où, B=85
 
On donne : C=3212
 
Comme les fractions de C ont même dénominateur alors, C=312=22=1
 
Par suite, C=1
 
3) Soit : A=74×221
 
On a :
 
A=74×221=7×24×21=1484
 
Or, PGCD(14; 84)=14 donc, on peut rendre irréductible la fraction 1484 en divisant le numérateur et le dénominateur par 14.
 
Ainsi, A=14÷1484÷14=16
 
Par suite, A=16
 
Soit : B=20×75×34
 
Alors :
 
B=20×75×34=20×7×35×4=42020
 
Comme PGCD(420; 20)=20 alors, on peut rendre irréductible la fraction 42020 en divisant le numérateur et le dénominateur par 20.
 
Donc, B=420÷2020÷20=211
 
D'où, B=211=21
 
Soit : C=75×314×259
 
Alors,
 
C=75×314×259=7×3×255×14×9=525630
 
Or, PGCD(525; 630)=105 donc, on peut rendre irréductible la fraction 525630 en divisant le numérateur et le dénominateur par le même nombre 105.
 
Ce qui donne alors, C=525÷105630÷105=56
 
Ainsi, C=56

Exercice 13

Calculons puis rendons irréductible
 
1) A=4+35
 
A peut s'écrire sous la forme : A=41+35
 
On obtient alors,
 
A=41+35=4×51×5+3×15×1=205+35=20+35=235
 
Comme PGCD(23; 5)=1 alors, la fraction 235 est irréductible.
 
D'où, A=235
 
Soit B=1+72 alors, B peut s'écrire : B=22+72
 
Par suite, B=2+72=92
 
Or, PGCD(9; 2)=1 donc, la fraction 92 est irréductible.
 
Ainsi, B=92
 
On donne : C=343
 
Alors, on a :
 
C=3143=3×31×34×13×1=9343=943=53
 
Comme PGCD(5; 3)=1 alors, la fraction 53 est irréductible.
 
D'où, C=53
 
2) A=3×74
 
A peut s'écrire aussi : A=31×74 ainsi,
 
A=31×74=3×71×4=214
 
Or, PGCD(21; 4)=1 donc, la fraction 214 est irréductible.
 
Par suite, A=214
 
Soit B=12×718 alors, on a : B=121×718
 
Donc,
 
B=121×718=12×718×1=8418
 
Or, PGCD(84; 18)=6 donc, on peut rendre irréductible la fraction 8418 en divisant le numérateur et le dénominateur par le même nombre 6.
 
Ainsi, B=84÷618÷6=143
 
D'où, B=143
 
Soit C=4×1244 alors, C peut s'écrire : C=41×1244
 
Donc,
 
C=41×1244=4×121×44=4844
 
Comme PGCD(48; 44)=4 alors, on peut rendre irréductible la fraction 4844 en divisant le numérateur et le dénominateur par le même nombre 4.
 
Donc, C=48÷444÷4=1211
 
Par suite, C=1211
 
3) A=73÷6
 
A peut encore s'écrire : A=7361
 
Donc, on aura :
 
A=7361=73×16=7×13×6=718
 
Comme, PGCD(7; 18)=1 alors, la fraction 718 est irréductible.
 
D'où, A=718
 
Soit : B=415÷8
 
Alors, B peut encore s'écrire : B=41581
 
Ainsi,
 
B=41581=415×18=4×115×8=4120
 
Or, PGCD(4; 120)=4 donc, on peut rendre irréductible la fraction 4120 en divisant le numérateur et le dénominateur par le même nombre 4.
 
Donc, B=4÷4120÷4=130
 
Par suite, B=130
Soit C=2713÷9 alors, on a :
 
C=271391=2713×19=27×113×9=27117
 
Comme PGCD(27; 117)=9 alors, pour rendre irréductible la fraction 27117 on divise le numérateur et le dénominateur par le même nombre 9.
 
Donc, C=27÷9117÷9=313
 
D'où, C=313
 
4) Pour cette question, on utilise la propriété suivante : si a; b sont deux nombres tels que b0  et n un entier naturel alors,
(ab)n=anbn
Soit A=(43)2, on a :
 
A=(43)2=(4)2(3)2=4×43×3=169
 
Comme PGCD(16; 9)=1 alors, la fraction 169 est irréductible.
 
Par suite, A=169
 
Soit B=(14×12)3
 
On calcule d'abord le produit des fractions 14  et  12
 
On obtient : 14×12=1×14×2=18
 
Ensuite on calcule (18)3 en appliquant la propriété.
 
On obtient alors :
 
B=(18)3=(1)3(8)3=1×1×18×8×8=1512
 
Enfin on trouve B=1512
 
On donne : C=[(53)2]3
 
Calculons d'abord (53)2 en appliquant la propriété.
 
On obtient : (53)2=5232=259
 
Calculons ensuite (259)3
 
On obtient alors :
 
C=(259)3=(25)3(9)3=25×25×259×9×9=15625729
 
Comme PGCD(15625; 729)=1 alors, la fraction 15625729 est irréductible.
 
D'où, C=15625729
 
On pouvait aussi utiliser la propriété suivante : si a; b sont deux nombres tels que b0  et n; m deux entiers naturels alors,
[(ab)n]m=(ab)n×m
Ainsi,
 
C=[(53)2]3=(53)2×3=(53)6=(5)6(3)6=5×5×5×5×5×53×3×3×3×3×3=15625729
 
D'où, C15625729

Exercice 14

Dans le village de Mbane, 12 des terres est cultivé ; 35 des terres cultivées le sont en tomates et 13 des terres cultivées l'est en arachides.
 
1) Calculons la fraction des terres non cultivées.
 
On sait que la fraction des terres cultivées est de 12.
 
Or, la somme des parts est toujours égale à 1 donc, la fraction des terres non cultivées sera donnée par :
Fraction des terres non cultivées=112
Par suite, 112=2212=212=12
 
D'où, 12 des terres du village est non cultivée.
 
2) Calculons la fraction des terres du village qui sont cultivées en tomates.
 
On sait que : 12 des terres du village est cultivée et dans cette part, les 35 sont cultivées en tomates.
 
Donc, on peut dire : 35 de 12 des terres du village sont cultivées en tomates. Ce qui se traduit par :
Fraction des terres cultivées en tomates=35×12
On a : 35×12=3×15×2=310
 
Donc, 310 des terres du village sont cultivées en tomates.
 
3) Calculons la fraction des terres du village qui sont cultivées en arachides.
 
La part des terres cultivées en arachides représente 13 des terres cultivées.
 
Or, les terres cultivées constituent 12 des terres du village.
 
Donc, on peut dire : 13 de 12 des terres du village sont cultivées en arachides. Ce qui signifie :
Fraction des terres cultivées en arachides=13×12
En calculant, on obtient : 13×12=1×13×2=16
 
Ainsi, 16 des terres du village sont cultivées en arachides.
 

Auteur: 
Diny Faye

Commentaires

Je vous soutient

y'a pas de correction

Je voulais juste dire on a pas le droit d'utiliser la formule a^n/a^=a^n-m c'est 5 ème et c'est pas dans le programme

l'application ma surprri sunu daara est la meilleure oh je suis très content merci à vous est du corage

l'application ma surprri sunu daara est la meilleure oh je suis très content merci à vous est du corage

Je n'ai jamais vu un application si merveilleux cette application est la solution de mes exercices

Non vérifié

Devoirs de maths

Parce que je ne comprends pas pourquoi je ne comprends pas pourquoi je vous remercie de votre réponse rapide et efficace si vous avez reçu ce message p ar erreur merci de me confirmer que vous allez bien merci beaucoup

Il y a beaucoup d 'aide

MAIS la correction SVP

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