Application linéaire - 4e

Classe: 
Quatrième
 

I. Définition

Soit a un nombre rationnel. On appelle application linéaire toute correspondance qui à tout nombre rationnel x associe le nombre rationnel a×x.
 
Si on note par f l'application linéaire alors :
 
  f(x) ("lire f de x") est l'image de x par l'application linéaire f.
 
On écrit alors :
f(x)=ax
  a est appelé le coefficient de l'application linéaire.
 
  x est l'antécédent de f(x) par l'application linéaire f.

Exemple :

f(x)=4x,g(x)=23xetA(x)=x
sont toutes des applications linéaires de coefficients respectifs 4, 23,  et  1
 
On a :
 
f(0)=4×0=0.
 
Ainsi, 0 est l'image de 0 par f
 
0 est l'antécédent de 0 par f
 
f(4)=4×(4)=16.
 
Donc, 16 est l'image de 4 par f
 
4 est l'antécédent de 16 par f

Application 1

1) Quelle est l'image de 32 par g ?
 
2) Quel est l'antécédent de 5 par g ?

Solution

1) Soit g(x)=23x
 
Alors, g(32)=23×32=1
 
Ainsi, l'image de 32 par g est 1.
 
2) g(x)=5 donc, 23x=5
 
Ce qui entraine :
 
x=523=51×32=152
 
D'où, l'antécédent de 5 par g est 152

Application 2

Soit A(x)=13x une application linéaire.
 
1) Calculer l'image de : 0, 1, 12
 
2) Déterminer les nombres rationnels x tels que leurs images par A sont : 53, 12  et  0

Solution

1) Calculons l'image de 0,  de  1,  et de  12
 
A(0)=13×0=0 donc, l'image de 0 par A est 0
 
A(1)=13×(1)=13 donc, l'image de 1 par A est 13
 
A(12)=13×12=16 donc, 16 est l'image de 12 par A
 
2) Déterminons les antécédents par A des nombres rationnels 53, 12  et  0
 
A(x)=53 donc, 13x=53
 
Par suite :
 
x=5313=53×31=153=5
 
D'où, x=5
 
Ainsi, 5 est l'antécédent de 53 par A
 
Soit A(x)=12 alors, 13x=12
 
Donc,
 
x=1213=121×31=36
 
Ainsi, x=36
 
D'où, 36 est l'antécédent de 12 par A
 
Soit A(x)=0 alors, 13x=0
 
Ce qui donne x=0
 
Par suite, l'antécédent de 0 par A est 0
 
Remarque
 
Toute situation de proportionnalité est une application linéaire et inversement.

Exemple

Considérons un véhicule roulant à une vitesse de 60km/h.
 
La distance d parcourue et le temps mis sont deux grandeurs proportionnelles.
 
On écrit : d=60t qui est une application linéaire de coefficient 60.

II. Propriétés des applications linéaires

Soit f une application linéaire.
 
Quels que soient les nombres rationnels u, v  et  w, on a :
 
 f(u+v)=f(u)+f(v)
 
 f(kw)=kf(w),k un nombre.

Exemple

On considère l'application linéaire f(x)=43x
 
1) Calculer f(5)  et  f(2)
 
2) Calculer de deux manières différentes f(7)  et  f(12)

Solution

1) f(5)=43×5=203
 
f(2)=43×2=83
 
2) 1er méthode 
 
f(7)=43×7=283
 
f(12)=43×12=16
 
2èm méthode
 
f(7)=f(5+2)=f(5)+f(2)=203+83=283
 
Donc, f(7)=283
 
f(12)=f(6×2)=6×f(2)=6×83=483=16
 
Ainsi, f(12)=16

III. Représentation graphique d'une application linéaire

Un repère est un ensemble de deux axes perpendiculaires en un point souvent noté O et appelé l'origine du repère.
 
Ainsi, la représentation graphique d'une application linéaire est une droite qui passe par O et par le point A(1a) avec a le coefficient de l'application linéaire.

Exemple

Représenter les applications linéaires A(x)=3x  et  B(x)=52x

Solution

Pour l'application linéaire A, on trace la droite passant par O et par le point E(13)
 
Donc, on place le point E dans un repère et on trace la droite qui passe par O  et  E
 
Pour l'application linéaire B, on trace la droite passant par O et par le point F(152)
 
De la même manière, on place le point F dans le même repère et on trace la droite passant par O  et  F

 

 

Auteur: 
Mamadou Siradji Dia

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