Application linéaire - 4e
Classe:
Quatrième
I. Définition
Soit a un nombre rationnel. On appelle application linéaire toute correspondance qui à tout nombre rationnel x associe le nombre rationnel a×x.
Si on note par f l'application linéaire alors :
⋅ f(x) ("lire f de x") est l'image de x par l'application linéaire f.
On écrit alors :
f(x)=ax
⋅ a est appelé le coefficient de l'application linéaire.
⋅ x est l'antécédent de f(x) par l'application linéaire f.
Exemple :
f(x)=4x,g(x)=23xetA(x)=−x
sont toutes des applications linéaires de coefficients respectifs 4, 23, et −1
On a :
f(0)=4×0=0.
Ainsi, 0 est l'image de 0 par f
0 est l'antécédent de 0 par f
f(−4)=4×(−4)=−16.
Donc, −16 est l'image de −4 par f
−4 est l'antécédent de −16 par f
Application 1
1) Quelle est l'image de 32 par g ?
2) Quel est l'antécédent de −5 par g ?
Solution
1) Soit g(x)=23x
Alors, g(32)=23×32=1
Ainsi, l'image de 32 par g est 1.
2) g(x)=−5 donc, 23x=−5
Ce qui entraine :
x=−523=−51×32=−152
D'où, l'antécédent de −5 par g est −152
Application 2
Soit A(x)=−13x une application linéaire.
1) Calculer l'image de : 0, −1, −12
2) Déterminer les nombres rationnels x tels que leurs images par A sont : 53, −12 et 0
Solution
1) Calculons l'image de 0, de −1, et de −12
A(0)=−13×0=0 donc, l'image de 0 par A est 0
A(−1)=−13×(−1)=13 donc, l'image de −1 par A est 13
A(−12)=−13×−12=16 donc, 16 est l'image de −12 par A
2) Déterminons les antécédents par A des nombres rationnels 53, −12 et 0
A(x)=53 donc, −13x=53
Par suite :
x=53−13=53×3−1=−153=−5
D'où, x=−5
Ainsi, −5 est l'antécédent de 53 par A
Soit A(x)=−12 alors, −13x=−12
Donc,
x=−12−13=−121×3−1=36
Ainsi, x=36
D'où, 36 est l'antécédent de −12 par A
Soit A(x)=0 alors, −13x=0
Ce qui donne x=0
Par suite, l'antécédent de 0 par A est 0
Remarque
Toute situation de proportionnalité est une application linéaire et inversement.
Exemple
Considérons un véhicule roulant à une vitesse de 60km/h.
La distance d parcourue et le temps mis sont deux grandeurs proportionnelles.
On écrit : d=60t qui est une application linéaire de coefficient 60.
II. Propriétés des applications linéaires
Soit f une application linéaire.
Quels que soient les nombres rationnels u, v et w, on a :
⋅ f(u+v)=f(u)+f(v)
⋅ f(kw)=kf(w),k un nombre.
Exemple
On considère l'application linéaire f(x)=43x
1) Calculer f(5) et f(2)
2) Calculer de deux manières différentes f(7) et f(12)
Solution
1) f(5)=43×5=203
f(2)=43×2=83
2) 1er méthode
f(7)=43×7=283
f(12)=43×12=16
2èm méthode
f(7)=f(5+2)=f(5)+f(2)=203+83=283
Donc, f(7)=283
f(12)=f(6×2)=6×f(2)=6×83=483=16
Ainsi, f(12)=16
III. Représentation graphique d'une application linéaire
Un repère est un ensemble de deux axes perpendiculaires en un point souvent noté O et appelé l'origine du repère.
Ainsi, la représentation graphique d'une application linéaire est une droite qui passe par O et par le point A(1a) avec a le coefficient de l'application linéaire.
Exemple
Représenter les applications linéaires A(x)=−3x et B(x)=52x
Solution
Pour l'application linéaire A, on trace la droite passant par O et par le point E(1−3)
Donc, on place le point E dans un repère et on trace la droite qui passe par O et E
Pour l'application linéaire B, on trace la droite passant par O et par le point F(152)
De la même manière, on place le point F dans le même repère et on trace la droite passant par O et F
Auteur:
Mamadou Siradji Dia
Commentaires
Anonyme (non vérifié)
dim, 06/06/2021 - 20:10
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Anonyme (non vérifié)
dim, 06/06/2021 - 20:10
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Ousmane diouf (non vérifié)
dim, 04/30/2023 - 17:19
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Super
Ousmane diouf (non vérifié)
dim, 04/30/2023 - 17:19
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Super
Mbongo (non vérifié)
mar, 12/12/2023 - 21:04
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Cenprendre les maths
Mbongo (non vérifié)
mar, 12/12/2023 - 21:04
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Cenprendre les maths
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