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Solution des exercices : Oscillations Mécaniques - Ts

Classe:

Terminale

Exercice 1

1) Équation différentielle du mouvement du corps $M$

Système étudié : le corps

Référentiel d'étude : terrestre supposé galiléen

Bilan des forces extérieurs appliquées : le poids $\overrightarrow{P}$ ; la tension $\overrightarrow{T}$ ; la réaction $\overrightarrow{R}$ ; du plan horizontal

Le Théorème du centre d'inertie s'écrit : $\overrightarrow{P}+\overrightarrow{T}+\overrightarrow{R}=m\vec{a}$

En projetant suivant l'axe $(Ox)$ ; il vient :

\begin{array}{rcl} 0 - k x & = & m \ddot{x} \\ \Rightarrow \ddot{x} + \frac{k}{m} x & = & 0 \end{array}

est l'équation différentielle du mouvement de $M$ où $\ddot{x}+\omega^{2}x=0\text{ avec }\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}$

2) Détermination de l'équation horaire du mouvement du corps $M$

a) Cas : $t=0$ ; $x=x_{0}>0$ et la vitesse initiale de $M$ est nulle

L'équation différentielle admet comme solution : $x=x_{m}\cos\left(\omega t\varphi\right)$

\begin{array}{rcl} A t & = & 0 \\ \Rightarrow x (0) & = & x_{m} \cos (ω \times 0 + φ) \\ = & x_{m} \cos φ \\ = & x_{0} > 0 \end{array}

$x=-\omega x_{m}\sin\left(\omega t+\varphi\right)$

\begin{array}{rcl} \dot{x} (0) & = & - ω x_{m} \sin (ω \times 0 + φ) \\ = & - ω x_{m} \sin φ \\ = & 0 \\ \Rightarrow φ & = & 0 \\ ou φ & = & π \\ or à t = 0; \cos φ > 0 \\ \Rightarrow φ & = & 0 \\ \Rightarrow x_{m} \cos 0 & = & x_{0} \\ \Rightarrow x_{m} & = & x_{0} \\ d'où x & = & x_{0} \cos ω t \end{array}

b) cas : $t=0$ le corps $M$ est en $x=x_{0}$ et la vitesse de $M$ est $\vec{v}=v_{0}\vec{e}_{x}$ avec $v_{0}>0$

\begin{array}{lcr} A t = 0 \Rightarrow x (0) & = & x_{m} \cos (ω \times 0 + φ) \\ = & x_{m} \cos φ \\ = & x_{0} \end{array}

\begin{array}{lcr} \dot{x} (0) & = & - ω x_{m} \sin (ω \times 0 + φ) \\ = & - ω x_{m} \sin φ \\ = & v_{0} > 0 \\ \Rightarrow \sin φ & < & 0 \\ \frac{- ω x_{m} \sin φ}{x_{m} \cos φ} & = & \frac{v_{0}}{x_{0}} \\ \Rightarrow \tan φ & = & - \frac{v_{0}}{ω x_{0}} \\ \Rightarrow φ & = & \tan^{- 1} (- \frac{v_{0}}{ω x_{0}}) \\ \Rightarrow x & = & x_{m} \cos (ω t + \tan^{- 1} (- \frac{v_{0}}{ω x_{0}})) \end{array}

II.

1) Détermination de la position d'équilibre du corps $M.$

Système étudier : le corps

Référentiel d'étude : terrestre supposé galiléen

Bilan des forces extérieurs appliqués : le poids $\overrightarrow{P}$ ; la tension $\overrightarrow{T}$

La condition d'équilibre s'écrit :

\begin{array}{lcr} \vec{P} + \vec{T} & = & \vec{0} \\ \Rightarrow m g - k (l - l_{0}) & = & 0 \end{array}

2) Équation différentielle du mouvement de $M$

En mouvement :

\begin{array}{lcr} \vec{P} + \vec{T} & = & m \vec{a} \\ \Rightarrow m g - k (l + x - l_{0}) & = & m \ddot{x} \\ \Rightarrow m g - k (l - l_{0}) - k x & = & m \ddot{x} \\ \Rightarrow \ddot{x} + \frac{k}{m} x & = & 0 \end{array}

Exercice 2 : Oscillations d'un pendule simple

1) Conservation de l'énergie

a) Expression de l'énergie cinétique $E_{C}(\dot{\theta})$, de l'énergie potentielle de pesanteur $E_{P}(\theta)$ et de l'énergie totale $E.$

$E_{P}(\theta)=mg\left(l-\cos\theta\right)$

\begin{array}{lcr} E_{C} (\dot{θ}) & = & \frac{1}{2} m v^{2} \\ or v & = & 1 \dot{θ} \\ \Rightarrow E_{C} (\dot{θ}) & = & \frac{1}{2} m l^{2} {\dot{θ}}^{2} \end{array}

\begin{array}{lcr} E_{m} & = & E_{P} (θ) + E_{C} (\dot{θ}) \\ = & m g (l - \cos θ) + \frac{1}{2} m l^{2} {\dot{θ}}^{2} \end{array}

\begin{array}{lcr} A t = 0 E_{m 0} & = & E_{P} (θ_{0}) + E_{C} (\dot{θ_{0}}) \\ = & m g (l - \cos θ_{0}) \\ = & m g (l - \cos θ_{0}) \\ = & cte \end{array}

Auteur:

Amary Thiam & Sidy Mouhamed Ndiaye

Commentaires

Anonyme (non vérifié)

lun, 03/20/2023 - 21:08

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Je voudrais la correction de l exercice 6

Je voudrais avoir la correction de l exercice 6

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Anonyme (non vérifié)

ven, 04/14/2023 - 11:19

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Solution de l'exercice 10

Bonjour, Svp, pouvez vous m'avoir la correction de l'exercice 10 ?. Merci

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habibmoussoulou... (non vérifié)

sam, 04/22/2023 - 19:50

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Corrigé exo 10

Svp, pouvez vous me donner la correction de l'exo 10

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Atté (non vérifié)

lun, 12/18/2023 - 14:23

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Correction

En pdf

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Elmekkaoui (non vérifié)

mar, 05/07/2024 - 17:20

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Correction en pdf

Bonjour Des exercices extra pour bien maîtriser les oscillations mecaniques.je veux une version pdf si c possible Cordialement

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Atté (non vérifié)

lun, 12/18/2023 - 14:25

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Correction

En pdf

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Atté (non vérifié)

lun, 12/18/2023 - 14:29

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Correction

Vous avez de très bons exercices et ça nous permet, nous enseignants d'aider nos élèves et d'approfondir notre connaissance.

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Berté (non vérifié)

ven, 12/29/2023 - 17:54

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Je voudrai la correction de l'exercice 7

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Berté (non vérifié)

ven, 12/29/2023 - 17:54

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Je voudrai la correction de l'exercice 7

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Baal (non vérifié)

lun, 02/05/2024 - 03:33

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Je voudrais la correction de

Je voudrais la correction de l'exercice 14

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Fallou (non vérifié)

sam, 02/17/2024 - 02:13

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La correction

Je voudrais la correction de quelques exercices svp.

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Camara (non vérifié)

jeu, 02/22/2024 - 14:59

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Exercice

Je voudrai la correction des exercices

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Abdourahmane sow (non vérifié)

jeu, 02/13/2025 - 01:06

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Je voudrais la correction de l'exercice 12

Je veux la correction de l'exercice 12

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Aïcha (non vérifié)

sam, 02/22/2025 - 09:11

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Sangotte (non vérifié)

sam, 02/22/2025 - 09:14

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Sangotte (non vérifié)

sam, 02/22/2025 - 09:15

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Sangotte (non vérifié)

sam, 02/22/2025 - 09:17

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