Dérivation et études de fonctions - T S

I.Dérivation

1.1.Nombre dérivé en un point

Dans tout ce paragraphe, on considère une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ et $a$ un nombre réel de cet intervalle.

a) Définitions :

Dans tout ce paragraphe, on considère une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ et $a$ un nombre réel de cet intervalle.

Taux de variation : Le coefficient directeur de la sécante $(AM)$ à la courbe est :

$m =\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ , c’est le taux de variation de la fonction entre $a$ et $x$.

Nombre dérivée : Le nombre dérivée de la fonction $f$ au point $a$ par définition si elle existe, est

$\left[ f'(a)=\lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\right]$

Il se note $f'(a)$

b) Equation de la tangente :

I.1.Fonctions dérivées

a) Définition :

Exemple :

b) Dérivées usuelles :

On admet les formules de dérivation pour les fonctions usuelles ci-dessous.

c) Opérations et dérivées

$u\text{ et }v$ sont des fonctions dérivables sur un intervalle $I$ et $k$ est un nombre réel fixé.

I.2.Dérivées  d’une fonction composée

a) Théorème de dérivation (d’une fonction composée $g \circ u$)

Soit $u\text{ et }g$ deux fonctions telles que la composée $f=g\circ u$ existe sur un intervalle $I.$ Si $u$ est dérivable en $x\text{ de }I\text{ et }g$ dérivable en $u(x)\;,\text{ alors }f=g\circ u$ est dérivable en $x\text{ et : }f’(x)=g’(u(x)) u’(x).$

Exemples : 

Écrire chacune des fonctions qui suivent comme composée de deux fonctions et en déduire la dérivée : $$f(x)=\sqrt{x^{2}+1}\qquad f(x)=(2x^{2}-x+1)^{6}$$

b) Conséquences du théorème : des dérivées à bien connaître

c) Dérivées successives

 Exemple :

Calculer les dérivées successives jusqu’ à l’ordre $3$ des fonctions suivantes :  $$f(x)=4x^3+2x^2+3x+5\qquad g(x)=\dfrac{x+1}{x}\qquad h(x)=\mathrm{e}^{x}\qquad k(x)=\ln x$$

II. Etude de fonction

II.1. Variations de fonction

Propriété :

Soit  $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I.$            

Exemple :

$f(x)=2x^2+3x+5\qquad g(x)=\dfrac{x+1}{x-1}$

$h(x)=e^x±x\qquad k(x)=x+ ln~x$                                                         

II.2 Parité d’une fonction

a) Ensemble de définition centré

Pour tout réel $x$,  si $x\in  D_f$ , alors  $-x\in  D_f$ .

b) Fonction paire

On dit qu’une fonction $f$ est paire si et seulement si :

1. Son ensemble de définition est centré,

2. Pour tout réel $x$ de $D_f$, on  a : $f(-x)=f(x)$

Exemple:

$-\ \ $ Si $n$ est un entier pair, positif, la fonction définie par  $f(x)=kx^n$ est paire.        

$-\ \ $ la fonction $x\mapsto |x|$  est une fonction paire,     

c) Fonction impaire

On dit qu’une fonction $f$ est impaire si et seulement si :

1. Son ensemble de définition est centré,

2. Pour tout réel $x$ de $D_f$, on  a : $f(-x)=-f(x)$

$-\ \ $ la courbe représentative d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine.

d) Autres cas de symétries dans une courbe

Soit $f$ une fonction. Soit $D_f$ son ensemble de définition et $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative.

Deux cas peuvent se présenter :  

$-\ \ (\mathcal{C})$ est symétrique par rapport à un axe d’équation $x=a$ ,

$-\ \ (\mathcal{C})$ est symétrique par rapport à un point $A(a\;,\ b)$.

Nous admettrons les résultats suivants :

e) Périodicité

Définition : 

On dit qu’une fonction $f$ est périodique si et seulement si, il existe un réel $T$ strictement positif tel que : $$\forall\; x\in D_f\;, \text{ on a : }x+T\in D_f\ \text{ et }\ f(x+T)=f(x)$$

L’intervalle d’étude d’une fonction périodique peut se réduire à un intervalle couvrant une seule période.

Application :
 

1. $f\text{ est la fonction définie sur }\mathbb{R}\text{ par }f(x)=\dfrac{x^{2}-x-2}{x^{2}-x+1}$

Démontrer, en utilisant les deux méthodes, que la droite d'équation $x=\dfrac{1}{2}$ est un axe de symétrie de $(\mathcal{C}).$

II.2. Extremums de fonction

Propriété :

Lorsque la dérivée d’une fonction s’annule, en changeant de signe, la fonction $f$ admet un extremum.

Si $f$ admet un extremum. En un point d’abscisse  a alors $f'(a)=0.$ 

En effet deux types de tableaux de variation peuvent se rencontrer :

Cas d’un maximum

$$\begin{array}{|l|lcccr|}\hline\text{valeurs de } x&a&&c&&b\\ \hline\text{signe de } f'(x)&&+&0&-&\\ \hline&&&\text{maximum}&&\\ \text{variations de }f&&\nearrow&|&\searrow&\\&&&|&&\\ \hline \end{array}$$

Cas d’un minimum

$$\begin{array}{|l|lcccr|}\hline\text{valeurs de } x&a&&c&&b\\ \hline\text{signe de } f'(x)&&-&0&+&\\ \hline&&&|&&\\ \text{variations de }f&&\searrow&|&\nearrow&\\&&&\text{minimum}&&\\ \hline \end{array}$$

Exemple :

Déterminer la nature des extrémums des fonctions suivantes

$f(x)=x^3+3x^2-6x+5$

$g(x)=x+\ln x$     

Exercice

Soit la fonction $f$ définie pour tout $x$ élément de l’intervalle $[0\;,\ +\infty[$ par :

$[f(x)=f(x)=x^3-19x^2+130x+100]$

La fonction $f$ modélise sur l’intervalle $]0\;;\ 16]$ la fonction coût total de production, en euro, d’un produit.

Sa représentation graphique sur cet intervalle, notée $\mathbb{C}$ , est donnée  ci-dessous

Pour tout $x$ dans l’intervalle $]0\;;\ 16]$, le quotient $C_M(x)=\dfrac{f(x)}{x}$ est appelé coût moyen de production de $x$ ​ kilogrammes de produit.

1. Pour $x$ dans l’intervalle $]0\;;\ 16]$, soit le point $A$ d’abscisse $x$ de la représentation graphique $(\mathcal{C})$ de la fonction  $f.$ 

Montrer que le coefficient directeur de la droite $(OA)$ est égal au coût moyen

$C_M(x)=\dfrac{f(x)}{x}$ .

      2. L’entreprise cherche à minimiser le coût moyen de production.

3. On appelle coût marginal la dépense occasionnée par la production d'un objet supplémentaire.