Les systèmes d'équations et d'inéquations - 2nd

Classe: 
Seconde

I. Système de deux équations à deux inconnues

Un système d'équations du 1er degré à deux inconnues est un système de la forme {ax+by=cax+by=coù  a, b, c, a, b  et c R

I.1 Méthodes de résolution

I.1.1 Méthode d'addition ou de combinaison

La méthode consiste à chercher l'une des inconnue en éliminant l'autre inconnue après addition des deux équations.

Soit à résoudre le système suivant {3x4y=5(1)2x+3y=6(2)

Nous avons choisi de chercher d'abord x.

Et donc, pour éliminer y, on multiplie l'équation (1) par 3 et l'équation (2) par 4 ensuite, on les additionne .

Le système devient {9x12y=15(3)8x+12y=24(4)

(3)+(4)  17x=39;  soit x=3917

Nous pouvons directement remplacer la valeur de x dans l'une des équations (1) ou (2) pour trouver y.

On peut aussi répéter la procédure pour trouver y en multipliant (1) par 2 et (2) par -3.

On obtient {6x8y=10(5)6x9y=18(6)

(5)+(6)  17y=8;  soit y=817

 
S={(3917; 817)}

I.1.2 Méthode de substitution

Pour cette méthode, on exprime l'une des inconnues en fonction de l'autre dans l'une des équations et on remplace dans l'autre équation.
 
Soit le système : {3x4y=5(1)2x+3y=6(2)
 
Partant de l'équation (2) on a :
 
2x+3y=6  x=63y2=332y
 
En remplaçant dans (1) on obtient :
 
3(332y)4y=5992y4y=592y4y=59=417y=8y=817
 
Or x=332,  donc en remplaçant par la valeur de y on obtient :
 
x=332(817)=31217x=511217
 
Soit : x=3917
 
S={(3917; 817)}

I.1.3 Méthode de comparaison

On exprime l'une des inconnues en fonction de l'autre simultanément dans les deux équations et pose l'égalité.
 
Par exemple, soit le système {3x4y=5(1)2x+3y=6(2)
 
En exprimant x en fonction de y on obtient :
{x=5+4y3(3)x=63y2(4)

En posant (3)=(4) on obtient : 
 

5+4y3=63y22(5+4y)=3(63y)10+8y=189y17y=8y=817
 
En remplaçant dans (4) la valeur de y on obtient :
 
x=63(817)2=332×817x=31217

Soit : x=3917
 
L'ensemble des solutions est donc donné par S={(3917; 817)}

I.1.4 Méthode de Cramer

Soit à résoudre le système suivant (S) {ax+by=cax+by=coù  a, b, c, a, b  et c R

On calcul d'abord le déterminant de (S). On a :

det(S)=Δ=|abab|=abab

Ensuite on pose Δx=|cbcb|=cbcb  et  Δy=|acac|=acac

Enfin, selon le cas, on donne la solution

   Si Δ0  alors le système admet une solution unique (x, y) x=ΔxΔety=ΔyΔ

   Si Δ=0  et si,  Δx=0  et  Δy=0 alors le système admet une infinité de solutions (x, y)  qui vérifie ax+by+c=0 (ou ax+by+c=0)

   Si Δ=0  et si,  Δx0  ou  Δy0 alors le système n'a pas de solutions. S=

I.2 Interprétation géométrique

Soit le système (S) {ax+by=cax+by=c  qui devient (S) {ax+byc=0ax+byc=0

où  a, b, c, a, b  et c R

Considérons les droites (D1) : ax+byc=0  et  (D2) : ax+byc=0

Résoudre le système revient à déterminer les points d'intersection des droites (D1)  et  (D2)

 
1e  cas

 
 

 
Soit u1(ba)  vecteur directeur de (D1)  et  u2(ba)  vecteur directeur de (D2)

Si (D1)  est sécante à  (D2) alors det(u1; u2)0

det(u1; u2)=|bbaa|=ab+ab=det(S)

S={M0; point d'intersection des droites (D1)  et (D2)}

2e  cas

Si (D1)(D2)  et (D1)(D2)=

S=


 

 
 
(D1)(D2) donc, u1  et  u2 sont colinéaires.
 
Par suite, det(u1; u2)=0  or  det(u1; u2)=det(S)=Δ=0  et on a : aa=bbcc

D'où, S=

3e  cas

Si (D1)=(D2) alors les droites sont confondues.

(D1)(D2)  donc,  det(u1; u2)=det(S)=Δ=0  et on a : aa=bb=cc

Ainsi, S={(x, y)R2/ax+byc=0}  ou  {(x, y)R2/ax+byc=0}

II. Système d'inéquations à deux inconnues

Soit par exemple, à résoudre graphiquement le système d'inéquations suivant : (S) {2x31(1)x+2y4(2)

Considérons les droites (D1) : 2x3=1  soit  x=2 et  (D2) : x+2y+4=0

Dans un repère orthonormé (O; i, j) on représente ces droites.


 
 


 
Considérons un point quelconque n'appartenant pas aux deux droites. Si les coordonnées de ce point vérifient les deux inéquations alors ce point appartient à la partie solution sinon, l'autre partie du plan ne contenant pas ce point demeure solution du système d'inéquations.
 
Pour le système (S), vérifions si le point OS
 
On a :
 
2x31  2×0=01vraie
 
x+2y4  0+2×0=04vraie
 
Donc, OS
 
Sur le graphique, l'ensemble des solutions S est représenté par la partie non hachurée et les demi-droites frontières.

III. Programmation linéaire

Activité

Une entreprise fabrique des fauteuils et des chaises à l'aide de trois machines A,  B  et  C.

Pour fabriquer un fauteuil il faut utiliser les machines A et B pendant une heure (1h),  la machine C pendant trois heures (3h).

Pour fabriquer une chaise on utilise les machines A et C pendant une heure (1h),  la machine B pendant deux heures (2h).

Mais les machines ne sont disponibles que soixante heures (60h) pour A,  quatre vingts dix heures (90h) pour B et cent cinquante heures (150h) pour C.

Un fauteuil génère un bénéfice de 10000F et une chaise 5000F.

Combien faut-il fabriquer de fauteuils et de chaises pour obtenir, dans ces conditions, un bénéfice maximum ?

Résolution 

Données 

a) Disponibilitéen (h)A60B90C150b) Bénéfice surun articleFauteuil10000FChaise5000F
 
c) ABCTotalFauteuil1h1h3h5hChaise1h2h1h4hTotal2h3h4h
Déterminons le nombre de fauteuils et de chaises à fabriquer pour réaliser un bénéfice maximum.
 
Soit x le nombre de fauteuils et y le nombre de chaises.

Contraintes 

Considérons le système (S) ci-après 
 
(S){x0y0x+y60x+2y903x+y150
 
Soit B le bénéfice réalisé. 
 
On a B=10000x+5000y
Le bénéfice maximum sera réalisé en un point A(xB, yB) appartenant à la partie solution de (S).

Résolution graphique de (S)

 
 

 
Échelle 1cm  10
 
La partie non hachurée constitue la solution de (S).
 
Soient les droites (D1) : x+y60=0,(D2) : x+2y90=0 et (D3) : 3x+y150=0
 
Traçons les droites (DB) d'équation B=10000x+5000y  y=B50002x pour les valeurs de B suivantes : 200000; 300000; 400000 (les droites (DB) sont les droites représentées en pointillés).

Soit bB=B5000 l'ordonnée à l'origine de y=B50002x alors si B augmente bB aussi augmente.

 
On constate d'après le graphique que le point A(45; 15) permet de réaliser un bénéfice maximal.
 
Le bénéfice maximum est donc : B=10000×45+5000×15=525000F
 
Auteur: 
Diny Faye & Seyni Ndiaye

Commentaires

Bjr, je suis u jeune professeur de maths/pc et je teouve vos contenus intéressant. Cela aidera à enrichir nos cous. Merci.

Je suis content de vous

Ajouter un commentaire