Exercice 1
Le plan est muni d'un repère orthonormal (O; →i, →j). On donne : A(−2; −2); B(−4; 4); C(2; 6) et D(4; 0).
1) Les vecteurs →AB et →AD sont-ils orthogonaux ?
2) Calculer les distances AB et AD.
3) Quelle est la nature du triangle ABD ?
4) Démontrer que le quadrilatère ABCD est un carré
Exercice 2
Le plan est muni d'un repère orthonormal (O; →i, →j). On considère les points A(6, 5); B(2, −3) et C(−4, 0).
1) Faire la figure en utilisant le centimètre comme unité.
2) Calculer les distances AB, AC et BC. Donner les résultats sous la forme a√5 où a est un nombre entier positif.
3) En déduire la nature du triangle ABC.
4) Calculer l'aire du triangle ABC
5) Calculer le périmètre du triangle ABC, donner le résultat sous la forme a√5, puis la valeur arrondie au dixième de ce résultat.
6) On considère le cercle circonscrit au triangle ABC
a) Préciser la position du centre E en justifiant la réponse. Calculer les coordonnées de ce point.
b) Déterminer la valeur exacte du rayon de ce cercle.
7) Calculer la valeur de tan^ACB puis une valeur approchée de l'angle ^ACB
8) Calculer les coordonnées du vecteur →CA. En déduire les coordonnées du point D pour que ACBD soit un parallélogramme.
Exercice 3
L'unité est le centimètre.
Dans le plan muni d'un repère orthonormal (O; →i, →j) on donne les points :
A(−2; 1); B(4; 3); C(−1; y)(y∈R)
1) Calculer y pour que les vecteurs →AB et →AC soient orthogonaux.
2) a) Soit I le milieu de [BC] ; calculer les cordonnées de I.
b) Soit D le symétrique de A par rapport à I. Calculer les coordonnées de D.
3) Soit →u(17). Calculer les coordonnées du point E, image de A par la translation de vecteur →u
4) Démontrer que ABDC est un rectangle puis, montrer que les points A, B, C et D appartiennent à un même cercle.
5) Démontrer que AEI est un triangle rectangle.
6) Établir une équation réduite de la droite (AE).
Exercice 4
Un plan P est rapporté à un repère orthonormé (O; →i, →j).
1) placer les points A, B et C donnés par les coordonnées : A(−1.5; 2); B(1.5; −2); C(6.5; 8) et montrer que O est le milieu de [AB]
2) Calculer les distances AB; AC et BC et montrer que le triangle ABC est rectangle.
3) Soit H le projeté orthogonal de A sur la droite (BC). Calculer BH, CH et AH (On utilisera les relations métriques dans le triangle rectangle)
4) Soit B′ et C′ respectivement les projetés orthogonaux des points B et C sur l'axe (Oy)
a) Calculer BHBC et B′OB′C′
b) Montrer avec précision que l'on peut en conclure que H appartient à l'axe (Ox)
Exercice 5
Dans le plan muni d'un repère orthonormé (O; →OI, →OJ), on donne les points
A(5; −4), B(−2; 0), C(−3; 4) et D(0; 5)
1) Placer les points A, B, C et D.
2) Calculer les coordonnées des points K et M milieux respectifs des segments [AB] et [DO].
3) a) Calculer les coordonnées des vecteurs →CB et →CD.
b) En déduire les distances CB et CD.
Exercice 6
Dans le plan muni d'un repère orthonormé (O; →OI, →OJ), on donne les points
E(−13), F(62), A(4−6), B(108), C(0−2) et D(35)
1) Démontrer que les vecteurs →OE et →OF sont orthogonaux.
2) Démontrer que les vecteurs →AB et →CD sont colinéaires.
3) →OE est-il égal à →AD ? Justifier la réponse.
Exercice 7
Le plan est muni d'un repère orthonormé (O; →OI, →OJ).
1) Soient →AB(5+x3) et →CD(12y−3). Calculer x et y pour que ces deux vecteurs soient égaux.
2) Soient →OE(73x+2) et →OF(23−x). Calculer x pour que ces deux vecteurs soient colinéaires.
3) Soient →BE(3x+3) et →MF(23−2x−4). Calculer x pour que ces deux vecteurs soient orthogonaux.
4) On considère les points A, B et C, tels que : →OA(4; 2); →AB(−4; 4) et →BC(−2; −2). Calculer les coordonnées des points A, B et C.
Exercice 8
Le plan est muni d'un repère orthonormé (O; →OI, →OJ).
1) On donne les points A(35), B(2−3) et C(−34).
Trouver les coordonnées de D pour que ABCD soit un parallélogramme.
2) On donne les points K(−21), M(13) et N(2−5). Trouver les coordonnées de P image de K par la translation de vecteur →MN.
3) Trouver les coordonnées de F symétrique de K par rapport à O.
Exercice 9
Le plan est muni d'un repère orthonormal (O; →i, →j), On donne les points A, B et C tels que : →OA=6→i−→j; →OB=2→i−2→j et →OC=5→i+3→j
1) Placer les points A, B, C et montrer que →AB et →AC sont orthogonaux.
2) Calculer les distances AB, CB et AC. En déduire la nature du triangle ABC.
3) Calculer les coordonnées du centre K du cercle (ζ) circonscrit à ABC. Tracer (ζ) puis calculer son rayon.
4) Calculer le sinus et la tangente de l'angle ^ABC. En déduire la mesure de l'angle ^ABC.
Exercice 10
1) Trouve l'équation réduite de la droite (D) passant par A(1; 1) et de coefficient directeur 2.
2) Soit (D′) : 2y+x−3=0. Justifie que (D) et (D′) sont perpendiculaires.
Exercice 11
Soient (D) : −2x+y−1=0 et (D′) : y=−12x+b
1) Justifie que (D) et (D′) sont perpendiculaires.
2) Calcule le réel b pour que la droite (D′) passe par le point A(2; 3).
Exercice 12
Soient les vecteurs →u(a; b) et →v(a′; b′) dans le plan muni d'un repère orthonormal (O; →i, →j).
1) Indique une relation entre a; b; a′ et b′ traduisant la colinéarité des vecteurs →u et →v.
2) On donne →u(x−1−3) et →v(−32) détermine x pour que →u et →v soient colinéaires.
Exercice 13
Dans le plan muni d'un repère orthonormal (O; →i, →j) , on considère les droites (D1) : y=−x+1 et (D2) : x−y+3=0.
1) Démontre que les droites (D1) et (D2) sont perpendiculaires.
2) a) Construis les droites (D1) et (D2).
b) Justifie par le calcul que le point J appartient à la droite (D1).
c) On appelle E le point d'intersection de (D1) et (D2). Justifie par le calcul que E a pour couple de coordonnées (−1; 2).
d) Calcule la distance EJ.
e) Détermine une équation de la droite (D3) passant par J et parallèle à (D2).
f) Quelle est la position relative de (D3) et (D1) ? Justifie ta réponse.
Exercice 14
Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O; →i, →j).
On donne la droite (d) d'équation y=2x−1 ; le point A de coordonnées (2; 3) et le point B de coordonnées (0; 5).
1) Placer les points A et B.
2) Montrer que le point A est sur la droite (d).
3) Construire la droite (d).
4) Calculer :
a) les coordonnées du milieu I de [AB] ;
b) les coordonnées du vecteur →AB ;
c) la distance AB.
5) (Δ) est une droite perpendiculaire à (d). Quel est son coefficient directeur ?
6) (Δ) est la droite perpendiculaire à (d) qui passe par le point B. Tracer la droite (Δ) et, sans calcul, donner une équation de (Δ).
Exercice 15
Dans le plan muni d'un repère orthonormal (O; →i, →j), on donne : →AO(2; −7), →OB(−5; −2), C(7; −2) et →DC(6; −6).
1) Détermine les coordonnées des points A, B et D.
2) Place les points A, B, C et D.
3) Montre que :
a) les points A, D et C sont alignés.
b) le triangle ABD est rectangle en D.
Exercice 16
Le plan est muni d'un repère orthonormal (O; →i, →j) ; on désigne par (d) la droite passant par A(132; 4) et B(−52; −2) et (d′) : y=−32x+4
1) Déterminer une équation de (d) puis montrer que (d) et (d′) sont perpendiculaires et calculer les coordonnées de leur point d'intersection E.
2) Soit M(−1; 3) un point du plan
a) On appelle M′ image de M par la symétrie d'axe (d) suivie de la symétrie d'axe (d′) ; montrer que E est le milieu de [MM′] puis déterminer les coordonnées de M′.
b) On appelle N image de M dans la symétrie de centre O suivie de la symétrie de centre E.
Démontrer que →MN=2×→OE puis déterminer les coordonnées de N.
Exercice 17
Dans un repère orthonormal on considère les droites (D) : 2x−y−3=0 et (D′) : −2x+y+1=0
1) Représente (D) et (D′) dans le repère puis montrer que (D)∥(D′)
2) soit A(3; −3) ; construire la droite (L) qui est perpendiculaire à (D) et passant par le point A puis déterminer l'équation de la droite (L) et trouver les coordonnées des points E et F intersections respectives de (D) et (D′) avec (L).
3) Construire l'image A′ de A par la symétrie orthogonale d'axe (D) suivie de la symétrie orthogonale d'axe (D′) ; calculer les coordonnées de A′.
Exercice 18
Le plan est muni d'un R.O.N (O; →i, →j). Soit (D) la droite d'équation définie par :
(D) : −2x+3y−1=0
1) Parmi les points : A(2; −1) B(1; 1), C(−12; 0) et D(2; 0) indique ceux qui appartiennent à (D).
2) Déterminer une équation réduite de la droite (D).
3) Déterminer le coefficient directeur ; l'ordonnée à l'origine et un vecteur directeur de la droite (D).
Exercice 19
On considère les équations des droites suivantes :
(d1) : 2x+y−1=0,(d2) : −x+2y+4=0
(d3) : 4x+2y−3=0,(d4) : 2x−3y=0.
1) Mettre toutes ces équations sous la forme réduite.
2) Déterminer les positions relatives des droites : (d1) et (d2), (d3) et (d4), (d3) et (d1).
Exercice 20 BFEM 2008 1er groupe
Dans le plan muni d'un repère orthonormé (O; →OI, →OJ), on donne les droites (D) et (D′) telles que :
(D) : x−y+1=0 et (D′) : x+y+3=0.
1) Montrer que les droites (D) et (D′) sont perpendiculaires.
2) Tracer les droites (D) et (D′) dans le repère.
3) Déterminer graphiquement les coordonnées du point d'intersection A de (D) et (D′).
4) Soit B(0; −5). Construire le point E image de B par la symétrie orthogonale d'axe (D′) suivie de celle d'axe (D).
Quelle est la nature de cette transformation du plan ?
5) Trouver les coordonnées de E.
Exercice 21
Dans le plan muni d'un repère orthonormé. On donne les points : A(3; −2), B(6; 4) et C(−5; 2).
1) Déterminer une équation de la droite (AB) puis en déduire son équation réduite.
2) Soit (C) le cercle circonscrit au triangle ABC rectangle en A.
a) La droite (AB) coupe l'axe des abscisses en E. Déterminer les coordonnées de E.
b) La droite (AB) coupe l'axe des ordonnées en F. Déterminer les coordonnées de F.
3) Tracer la tangente (T) au cercle (C) en A puis déterminer une équation de la droite (T).
Exercice 22 BFEM 2009 2e groupe
Le plan est muni d'un RON. (D) : y=−2x+1 et (D′) : y+x=0.
1) Montrer que (D) et (D′) sont sécantes.
2) Tracer les droites (D) et (D′).
3) Détermine le point d'intersection de (D) et (D′)
Exercice 23 BFEM 2ND groupe.
Répondre par vrai on faux en justifiant la réponse
1) Soit M(−2; −1) et N(1; 2) dans un repère orthonormal (O, →i, →j). La médiatrice de [MN] passe par l'origine.
2) Les droites d'équations respectives dans un repère orthonormé : y=72x et x=−46y sont perpendiculaires.
3) Le plan est muni d'un RON : la droite (d) passant par A(2; 1) et de vecteur →u(3; −1) passe par le point B(2; 2).
4) Dans un RON si A(1; 1) et B(1; 0) alors la droite (AB) a pour équation : x=1.
5) Le coefficient directeur de la droite (D) : −5x+y+3=0 est −5.
Exercice 24
x et y étant des réels.
On donne les vecteurs : →u(−5; x+3); →v(4; 1−x); →w(2; −1) et →z(y; 14)
1) Détermine x pour que →u et →v soient colinéaires.
2) Détermine y pour que →w et →z soient orthogonaux.
3) Détermine x pour que →v=2→w.
Exercice 25
Le plan est muni d'un repère orthonormal (O, →i, →j).
L'unité est le centimètre.
1) Place les points : A(3; 52), B(0; −1) et C(−1; 72)
2) Calcule les distances AB et BC.
On gardera les valeurs exactes.
3) Déduis-en la nature du triangle ABC.
4) Place le point M défini par :
→CM=→CA+→CB.
Calcule les coordonnées de M.
Exercice 26
Le plan est muni d'un repère orthonormal (O, →i, →j).
On donne : A(4; 4), B(7; 5) et C(8; 2).
1) Montre que le triangle ABC est rectangle et isocèle.
2) Détermine les coordonnées de E tel que →BC=→AE.
3) Donne en le justifiant, la nature exacte de ABCE.
Exercice 27
Dans un repère orthonormal dont l'unité est le centimètre, on donne les points R(−3; 5); S(5; −1) et T(1; −3).
1) Montre que RS=10.
2) Calcule les longueurs RT et ST.
Donne les résultats sous la forme a√5.
3) Montre que RTS est un triangle rectangle.
4) Calcule la valeur exacte de l'aire de RST et son périmètre.
5) On appelle (C) le cercle circonscrit au triangle RST de centre M.
a) Exprime ^TSR en fonction de ^TMR
b) Calcule les coordonnées de M.
c) Calcule le rayon du cercle (C).
d) Démontre par calcul que le point N(−3; −1) appartient au cercle (C).
Exercice 28
1) Détermine une équation générale de chacune des droites décrites ci-dessous :
a) Droite passant par les points A(2; −2) et B(4; −1).
b) Droite ((D) passant par A(2; 2) et parallèle à (BC) avec B(0; 2) et C(3; 8)
c) Droite (Δ) passant par G(−3; 2) et perpendiculaire à (EF) avec E(−1; 4) et F(1; 1)
d) Droite (L) passant par A(3; 1) et de vecteur directeur →u(−2; 5).
2) Détermine une équation réduite de chacune des droites données ci-dessous.
a) Droite passant par les points A(4; 3) et B(0; 1)
b) Droite (L) passant par H(7; −2) et de coefficient directeur −1.
c) Droite (D′) passant par K(4; 5) et perpendiculaire à la droite (D) : y=3x+1.
d) Droite (Δ′) passant par S(1; 2) et parallèle à la droite (Δ) : y=x−6.
Exercice 29
On donne les points A(−2; 1); B(4; 1) et C(1; 7).
1) Calcule AC et BC puis déduis en que C appartient à la médiatrice de [AB].
2) Détermine l'équation de (Δ) perpendiculaire à (AB) et passant par C.
3) Détermine l'abscisse xE du point E de (Δ) d'ordonnée −5 puis l'abscisse xF du point F de (Δ) d'ordonnée 8.
Que constates-tu ?
4) Calcule les coordonnées du point G milieu de [AB].
5) Justifie que le quadrilatère ACBE est un losange
Exercice 30
On donne les points A(3; 2); B(5; −2) et C(−2; −5).
1) Calcule les coordonnées de K milieu de [AB] et celles de N milieu de [AC].
2) Que représentent les droites (CK) et (BN) dans le triangle ABC ?
3) Détermine une équation de (CK) et une équation de (BN).
4) Soit G le centre de gravité du triangle ABC.
Place le point G puis calcule ses coordonnées.
5) On donne :
→GA+→GB+→GC=→0
retrouve les coordonnées de G à partir de cette relation.
Exercice 31
On donne les points A(−1; 3); B(2; 1) et les droites (Δ) : x−y+4=0 et (D) : y=−3x+2
1) A appartient-il à la droite (Δ) ? B appartient-il à la droite (D) ?
2) Calculer les coordonnées de E, point d'intersection de (Δ) et (D).
3) Calcule les coordonnées de F, point d'intersection de (Δ) avec l'axe des abscisses.
4) Sans faire de calcul, donne les coordonnées de G, point d'intersection de (D) avec l'axe des ordonnées.
5) Représente les droites (Δ) et (D) puis place les points E, F et G.
Exercice 32
1) Place dans un repère orthonormé les points E, F et G définis par leurs coordonnées :
E(−2; 2); F(−3; −2); G(6; 0).
2) Calcule le coefficient directeur de la droite (EG).
3) Détermine une équation de la droite (EF).
4) Démontre que les droites (EF) et (EG) sont perpendiculaires.
5) Soit M le milieu du segment [FG].
Calcule les coordonnées de M.
6) On désigne par (C) le cercle circonscrit au triangle EFG.
a) Calcule les coordonnées de son centre I et la valeur exacte de son rayon.
b) Détermine l'équation de la droite (D) perpendiculaire à (IE) en E.
c) Calcule les valeurs exactes des longueurs EF et EG.
Exercice 33
1) Place les points A(4; 2) et B(−2; −2) dans le plan muni d'un repère orthonormal.
2) Détermine une équation de la droite (OA).
3) On appelle (Δ) la médiatrice du segment [OA].
Montre que (Δ) a pour équation y=−2x+5.
4) Trace la droite (δ1) d'équation y=−x+4.
On appelle (δ2) la droite parallèle à (δ1) qui passe par le point O.
5) Détermine une équation de (δ2).
6) On appelle P le point d'intersection des droites (Δ) et (δ1).
a) Pourquoi a-t-on : PO=PA ?
b) Quelle est la nature du triangle OAP ?
c) Calcule les coordonnées du point P.
7) On appelle E l'image du point P par la translation de vecteur →OB.
Place le point E dans le repère.
Calcule les coordonnées de E.
Vérifie par le calcul que E est un point de (δ2).
8) Démontre que BE=AP.
Exercice 34
Dans le plan muni d'un repère orthonormal, on donne les points ci-dessous :
A(1; −1); B(3; 1) et C(−1; 3).
1) Calcule AB, AC et BC, puis déduis-en la nature du triangle ABC.
2) Place le point D sur la demi-droite [AC) tel que le triangle ABD soit rectangle en B.
3) Trace le cercle (C) circonscrit au triangle ABD.
4) Démontre que le point C est le centre du cercle puis calcule son rayon.
5) Calcule les coordonnées du point D.
Construis le point K image de A par la translation de vecteur →CB ,
puis calcule les coordonnées de K.
Quelle est la nature du quadrilatère CBKA ?
6) Trace la hauteur [BH] relative au côté [AD] du triangle ABD, puis détermine une équation cartésienne de la droite (BH).
7) Le cercle (C′) de centre B passant par C, coupe le cercle (C) en M et P.
Justifie que la droite (MP) est la médiatrice du segment [BC], puis trouve une équation générale de la droite (MP).
8) Les droites (MP) et (BH) se coupent en S.
Calcule les coordonnées de S.
9) Détermine l'équation réduite de la droite (T) tangente au cercle (C′) en K.
10) Détermine l'équation réduite de la droite (Δ), parallèle à la droite (MP), passant par C.
Exercice 35
On donne les points : A(0; 4); B(4; 0) et C(−3; 0).
1) Calcule les coordonnées du centre de gravité G du triangle ABC.
2) Calcule les coordonnées de l'orthocentre H du triangle ABC.
3) Calcule les coordonnées de Ω centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
4) Vérifie que les points Ω , G et H sont alignés.
Exercice 36
Dans le repère orthonormal.
On considère les points A(−1; 2), B(0; −1) et C(3; 1).
Soit A′, B′ et C′ les milieux respectifs [BC], [AC] et [AB] et G le point d'intersection de (AA′) et (BB′).
1) Comment s'appelle le point G ?
2) Donne une équation de la droite (AA′) et de la droite (BB′).
3) Calcule les coordonnées du point G.
4) Vérifie que →GC+2→GC′=→0.
En déduire que G appartient à la droite (CC′).
Exercice 37
Dans le plan muni d'un repère orthonormal, on donne les points A(−2; 2); B(x; 0) et C(1; 3).
1) Détermine la valeur de x pour laquelle la droite (CB) est orthogonale à la droite (CA).
Montre alors que C appartient à la médiatrice de [AB].
2) On considère le cercle (C) de centre C passant par A.
Montre qu'il passe par B et O.
3) Détermine les points d'intersection de (C) avec les axes du repère.
Exercice 38
Dans le plan muni d'un repère orthonormal, on donne les points A(−2; 0); B(4; 6) et C(8; −10).
1) Calcule les longueurs AB, BC et AC.
2) Montre que le triangle ABC est rectangle.
3) Soit C(K, r) le cercle circonscrit au triangle ABC.
a) Calcule les coordonnées du point K.
b) Calcule r et la longueur du cercle
4) Montre que le point E(14; −4) appartient au cercle C.
Exercice 39
Dans le plan muni d'un repère orthonormal.
L'unité choisie est le centimètre.
Place les points A(2; 4) et B(−2; 8).
1) a) Vérifie que les points A et B appartiennent à la droite (D) d'équation : y=−x+6
b) Trace la droite (D).
2) Calcule les coordonnées de M milieu de [AB].
3) Détermine l'équation de la droite (Δ) passant par M et perpendiculaire à (D).
4) Trace (Δ).
Que représente (Δ) pour le segment [AB].
Exercice 40
Dans le plan muni d'un repère orthonormal.
On donne les points A(4; 1) et B(0; −1).
1) Détermine une équation de la droite (AB).
2) Détermine une équation de la droite (Δ) perpendiculaire en A à (AB).
3) Soit M(a; b).
Détermine les réels a et b tels que :
M∈(AB) et b=2a.
Exercice de Synthèse
Dans le plan muni d'un repéré orthonormal, on donne les points A(2; 1), B(−3; 2) et C(−2; 7)
1) Placer les points dans le repère
2) Calculer les coordonnées →AB, →BC et →AC
3) Montrer ABC est un triangle rectangle en B
4) Calculer les coordonnées du point E tel que ABEC soit un parallélogramme
5) Soit F l'image de B par la translation de vecteur →CE.
Calcule les coordonnées de F
6) Justifier que B est le milieu de [AF]
7) Soit →MN un vecteur de coordonnées →MN(53; −13)
a) Démontrer que →AB=−3→MN
b) Vérifier que →AB et →MN sont colinéaires
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jeu, 07/08/2021 - 18:27
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mar, 05/24/2022 - 17:37
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Ndickou (non vérifié)
ven, 07/15/2022 - 01:11
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