Angles - Trigonométrie - 1er S

Classe: 
Première

I Angles non orientés

I.1 Définition

Deux demi-droites de même origine O divise le plan en deux parties appelées secteurs angulaires. On a le secteur angulaire saillant noté ^xOy et le secteur angulaire rentrant noté xOy

 
 
 
Les unités de mesure sont : le radian (rd) ; le degré () ; le grade (gr).
 
Nous avons les correspondances suivantes :
180πrd200gr30π6rd2006=1003gr45π4rd50gr60π3rd2003gr90π2rd100gr

I.2 Angles alternes internes, alternes externes, correspondants, opposés par le sommet

Soient deux droites (Δ) et (Δ) parallèles et (D) une droite sécante à (Δ) et à (Δ)  respectivement en A et B.
 

 
 
  {ˆA3 et ˆB3ˆA4 et ˆB4  sont alternes internes donc ˆA3=ˆB3 et ˆA4=ˆB4
 
  {ˆA1 et ˆB1ˆA2 et ˆB2  sont alternes externes donc ˆA1=ˆB1 et ˆA2=ˆB2
 
  {ˆA1 et ˆB3ˆA4 et ˆB2ˆA3 et ˆB1ˆA2 et ˆB4  sont des angles correspondants donc 
 
ˆA1=ˆB3, ˆA4=ˆB2, ˆA3=ˆB1 et ˆA2=ˆB4
 
  {ˆA1 et ˆA3ˆA4 et ˆA2ˆB3 et ˆB1ˆB2 et ˆB4  sont des angles opposés par le sommet donc 
 
mesˆA1=mesˆA3, mesˆA4=mesˆA2, mesˆB3=mesˆB1 et mesˆB2=mesˆB4

I.3 Angle au centre - Angle inscrit

 


 
A, B, C, DC(O, R)
 
(T) est la tangente à (C) en A
 
l'angle ^AOB est un angle au centre qui intercepte l'arc AB
 
^ADB et ^ACB sont des angles inscrits qui interceptent l'arc AB
 
(^(AT1), (AB)) est l'angle formé par la tangente en A et la droite (AB)
 
Soit ^ACB=α+β
 
On a :
 
^AOB=β+β+α+α=2β+2α=2(β+α)^AOB=2^ACB
 
   L'angle au centre est le double de l'angle inscrit s'ils interceptent le même arc.
 
   Deux angles inscrits qui interceptent le même arc sont égaux.
 
(^(AT1), (AB))=^ACB=12^AOB
 
   Points cocycliques : on dira que quatre points A, B, C, D sont cocycliques (appartiennent à un même cercle) ou alignés si, et seulement si,
^ABC=^ADC^CAB=^CDB^ABD=^ACD
 

 

I.4 Longueur de l'arc

Soit C(O, R) de centre O et de rayon R ; A et B deux points de (C) tels que ^AOB=θ.
 
   La longueur de l'arc AB est donnée par AB=R×θ
 
On a :
2π2πRθ2πR×θ2π=R×θ
 

 
 
   L'aire du secteur angulaire S est donnée par 
S=θ×R22
 
On a :
2ππR2θπR2×θ2π=θ×R22

II Angles orientés

II.1 Orientation du plan

On a deux sens de parcours d'un cercle.
 
Le sens contraire des aiguilles d'une montre est appelé sens positif et le sens des aiguilles d'une montre est appelé sens négatif. 
 
Orienté le plan, c'est choisir comme sens positif le sens contraire des aiguilles d'une montre.

II.2 Angles orientés de demi-droites, de vecteurs

II.2.1 Définition 

Soient [Ox) et [Oy) deux demi-droites de même origine O.

 

 
L'angle orienté de demi-droites [Ox) et [Oy) noté (^[Ox), [Oy)) est l'angle qui a pour sommet O et pour extrémités [Ox) et [Oy), orienté de [Ox) vers [Oy).
 
Si u est un vecteur directeur de [Ox) tel que u=OA avec A[Ox) et v un vecteur directeur de [Oy) tel que v=OB avec B[Oy) alors l'angle orienté de vecteurs u et v noté (u, v) est égal à l'angle orienté de demi-droites (^[Ox), [Oy)) qui est orienté de [Ox) vers [Oy).
 
On a (u,v)=(^[Ox), [Oy))

II.2.2 Propriétés


 

 
  (u, v)=(v, u)[2π]
 
  (u, v)=(u, v)=π+(u, v)
 
(u, v)=(u, v)[2π]
 
  (ku, kv)=(u, v)[2π]k0
 
  (ku, v)={(u, v)[2π] si k>0π+(u, v)[2π] si k<0
 
  (u, v)+(v, w)=(u, w)[2π] (Relation de Chasles)
 
  u1u2 et v1v2 alors (u1, v1)=(u2, v2)[π]

II.3 Lignes de niveau

Définition

Soient A et B deux points du plan P et soit l'application f : PRMf(M)=(MA, MB)  
 
Soit θR ; la ligne de niveau θ est l'ensemble des points M du plan P tels que f(M)=θ

Exemples 

a) l'ensemble E={MP; (MA, MB)=0[π]} est la droite (AB) privée des points A et B.
 
b) l'ensemble E={MP; (MA, MB)=0[2π]} est la droite (AB) privée des points du segment [AB].
 
c) l'ensemble E={MP; (MA, MB)=π[2π]} est le segment [AB] privé des points A et B.
 
d) l'ensemble E={MP; (MA, MB)=π[π]} est la droite (AB).
 
e) l'ensemble E={MP; (MA, MB)=θ[π]} est un cercle passant par A et B et privé de des points A et B.
 
f) l'ensemble E={MP; (MA, MB)=θ[2π]} est un arc de cercle.
 
g) l'ensemble E={MP; (MA, MB)=π2[π]} est le cercle de diamètre [AB] privé des points A et B.
 
h) l'ensemble E={MP; (MA, MB)=π2[2π]} est un demi-cercle.
 
 
 

III Trigonométrie

III.1 Cercle trigonométrique et angles remarquables

III.1.1 Définition

On appelle cercle trigonométrique le cercle de centre O et de rayon 1, orienté.

III.1.2 Angles associés

 

 

Dans la liste qui suit, nous allons donner quelques relations en fonctions de cosα et sinα.
 
On a :
 
cos(α+2kπ)=cosα,sin(α+2kπ)=sinα
 
cos(α)=cosα,sin(α)=sinα cos(πα)=cosα,sin(πα)=sinα
 
cos(π+α)=cosα,sin(π+α)=sinα
 
cos(π2α)=sinα,sin(π2α)=cosα
 
cos(π2+α)=sinα,sin(π2+α)=cosα
 
tan(πα)=tanα,tan(π+α)=tanα
 
tan(α+2kπ)=tanα,tan(α)=tanα
 
Le tableau ci-après nous donne le cosinus et le sinus des angles remarquables
α0π6π4π3π2sinα01222321cosα13222120tanα03313×

Exemple :

Déterminer les cosinus et sinus de : 77π4, 81π6, 17π3

Résolution :

Soit α; π<απ et kZ
 
a) posons 77π4=α+2kπα=77π42kπ alors on a
 
π<77π42kπππ77π4<2kππ77π477π4π2kπ<77π4+π18.252k<20.259.125k<10.125
 
On obtient : k=10α=3π4
 
Donc,

cos77π4=cos(3π4)=cos3π4=cos(ππ4)=cosπ4=22

 
De même,
 
sin77π4=sin(ππ4)=sinπ4=22
 
D'où, cos77π4=22 et sin77π4=22
 
b) posons 81π6=α+2kπα=81π62kπ alors on a
 
π<81π62kπππ81π6<2kππ81π681π6π2kπ<81π6+π12.52k<14.56.25k<7.25
 
On obtient : k=7α=3π4
 
Donc,  cos81π6=22 et sin81π6=22
 
c) On a : 17π3=18π3+π3=6π+π3
 
Donc, cos(17π3)=cosπ3=12etsin(17π3)=sinπ3=32

III.1.3 Coordonnées polaires

Soit P un plan muni d'un repère orthonormal (O; i, j) et M(xy) un point de P.
 
x et y sont les coordonnées de M dans le repère (O; i, j).

 

 
On pose OM=||OM||=r et (i, OM)=θ.
 
r et θ sont appelés coordonnées polaires de M.
 
On a alors {x=rcosθy=rsinθ

III.2 Formules d'addition et de multiplication par deux

III.2.1 Formules d'addition

Soient A et B deux point appartenant à C(O, 1) tels que (i, OA)=a et (i, OB)=b.

 

 
 
1e façon
 
Soit OA=||OA||=1 et OB=||OB||=1
 
On a : OA(OAcosaOAsina) et OB(OBcosbOBsinb)
 
Alors, OAOB=cosacosb+sinasinb
 
2e façon
 
Soit (OA, OB)=(ab)
 
On a : OAOB=||OA||.||OB||.cos(OA, OB)=cos(ab)
 
en combinant les deux méthodes on obtient :
cos(ab)=cosacosb+sinasinb
 
Par conséquent, on a :
 
cos(a+b)=cos(a(b))=cosacos(b)+sinasin(b)
 
Or, cos(b)=cosb et sin(b)=sinb
 
Donc, cos(a+b)=cosacosbsinasinb
sin(a+b)=cos[π2(a+b)]=cos[(π2a)b)]=sinacosb+cosasinb
 
D'où, sin(a+b)=sinacosb+cosasinb
 
Par suite, 
 
sin(ab)=sin(a+(b))=sinacos(b)+cosasin(b)
 
D'où, sin(ab)=sinacosbcosasinb
 
En résumé on a :
 
cos(ab)=cosacosb+sinasinb(1)cos(a+b)=cosacosbsinasinb(2)sin(a+b)=sinacosb+cosasinb(3)sin(ab)=sinacosbcosasinb(4)
 
En conséquence, nous obtenons les relations suivantes :
 
tan(a+b)=sin(a+b)cos(a+b)=sinacosb+cosasinbcosacosbsinasinb=sinacosb+cosasinbcosacosbcosacosbsinasinbcosacosb=sinacosbcosacosb+cosasinbcosacosbcosacosbcosacosbsinasinbcosacosb=tana+tanb1tanatanb
 
D'où, tan(a+b)=tana+tanb1tanatanb
 
et par suite  
 
tan(ab)=tan(a+(b))=tana+tan(b)1tanatan(b)
 
Or, tan(b)=tanb
 
donc, tan(ab)=tanatanb1+tanatanb

Exemple : 

Donner les valeurs exactes de :
 
cosπ12, sinπ12, cos7π12, sin7π12

Résolution :

cosπ12=cos(π3π4)=cosπ3cosπ4+sinπ3sinπ4=12×22+32×22=24+64
 
D'où, cosπ12=2+64
 
sinπ12=sin(π3π4)=sinπ3cosπ4cosπ3sinπ4=32×2212×22=6424
 
D'où, sinπ12=624
 
cos7π12=cos(π3+π4)=cosπ3cosπ4sinπ3sinπ4=12×2232×22=2464
 
D'où, cos7π12=264
 
sin7π12=sin(π3+π4)=sinπ3cosπ4+cosπ3sinπ4=32×22+12×22=64+24
 
D'où, sin7π12=6+24
 
   Autres formes
 
En additionnant les relations (1) et (2) du résumé on obtient 
(1)+(2)2cosacosb=cos(a+b)+cos(ab)
Donc, cosacosb=cos(a+b)+cos(ab)2
 
Et leur différence donne :
 
(1)(2)2sinasinb=cos(ab)cos(a+b)
 
Ainsi, sinasinb=cos(ab)cos(a+b)2
 
Enfin en additionnant les relations (3) et (4) on a 
 
(3)+(4)2sinacosb=sin(a+b)+sin(ab)
 
D'où, sinacosb=sin(a+b)+sin(ab)2

Remarque 

En posant {a+b=pab=q  {a=p+q2b=pq2 on obtient les relations suivantes :
cosp+cosq=2cosp+q2cospq2cospcosq=2sinp+q2sinpq2
sinp+sinq=2sinp+q2cospq2sinpsinq=2sinpq2cosp+q2
tanp+tanq=sin(p+q)cospcosqtanptanq=sin(pq)cospcosq

III.2.2 Formules de multiplication par deux

Soit les relations suivantes :
 
cos(a+b)=cosacosbsinasinb(5)sin(a+b)=sinacosb+cosasinb(6)tan(a+b)=tana+tanb1tanatanb(7)
 
Dans la relation (5) remplaçons b par a, alors on obtient
 
cos2a=cosacosasinasina=cos2asin2a
 
Donc cos2a=cos2asin2a
 
mais comme cos2a+sin2a=1 alors, 
 
cos2a=cos2a(cos2a+1)=2cos2a1
 
Ainsi, cos2a=2cos2a1
 
Aussi, cos2a=cos2asin2a=1sin2asin2a
 
Ce qui donne : cos2a=12sin2a
 
Par analogie on a :
cosx=cos2x2sin2x2cosx=2cos2x21cosx=12sin2x2
 
En remplaçant b par a, dans la relation (6), on obtient 
 
sin2a=2sinacosa
 
De même, en prenant b=a dans la relation (7), on obtient
 
tan2a=2tana1tan2a
 
En conséquence, nous avons :
 
cost=cos2t2sin2t2=cos2t2sin2t21=cos2t2sin2t2cos2t2+sin2t2=cos2t2cos2t2sin2t2cos2t2cos2t2cos2t2+sin2t2cos2t2=1tan2t21+tan2t2
 
Ainsi, cost=1tan2t21+tan2t2
 
De même,
 
sint=2sint2cost2=2sint2cost2cos2t2+sin2t2=2tant21+tan2t2
 
Donc, sint=2tant21+tan2t2

Exercice d'application 

Factoriser 1cosx+sinx

Résolution

On a :
 
1cosx+sinx=cos2x2+sin2x2cos2x2+sin2x2+2sinx2cosx2=2sin2x2+2sinx2cosx2=2sinx2(sinx2+cosx2)=2sinx2(sinx2+sin(π2x2))=2sinx2(2sinπ4cos(x2π4))=2sinx2(2cos(x2π4))=22sinx2cos(x2π4)

III.3 Équations et Inéquations trigonométriques

III.3.1 Équations trigonométriques

III.3.1.1 Équations du type cosx=a

Si a[1; 1] l'équation n'admet pas de solution ; S=
 
Si a[1; 1] alors il existe un seul réel α[0; π] tel que a=cosα
 
L'équation devient : cosx=cosα
 
Deux angles ayant même cosinus sont égaux ou opposés cosx=cosα  {x=α+2kπoux=α+2kπ;k, kZ
S={α+2kπ; α+2kπ,(k; k)Z2}

Exemple 

Résoudre dans R cosx=12
 
cosx=12cosx=cosπ3{x=π3+2kπoux=π3+2kπ;k, kZ
S={π3+2kπ; π3+2kπ,(k; k)Z2}

III.3.1.2 Équations du type sinx=a

Si a[1; 1] l'équation n'admet pas de solution ; S=
 
Si a[1; 1] alors il existe un seul réel α[π2; π2] tel que a=cosα
 
L'équation devient cosx=cosα
 
Deux angles ayant même sinus sont égaux ou supplémentaires sinx=sinα  {x=α+2kπoux=πα+2kπ;k, kZ
S={α+2kπ; πα+2kπ,(k; k)Z2}

Exemple 

Résoudre dans R sinx=22
 
sinx=22sinx=cosπ4{x=π4+2kπoux=ππ4+2kπ;k, kZ{x=π4+2kπoux=3π4+2kπ;k, kZ
S={π4+2kπ; 3π4+2kπ,(k; k)Z2}

III.3.1.3 Équations du type tanx=a

Pour tout réel a, il existe un seul réel α]π2; π2[ tel que tanx=tanα

 

 
Dire que tanx=tanα revient à dire que les droites (OM) et (ON) coupent l'axe des tangentes au même point. Donc :
 
Soit M=N ce qui signifie que x=α+2kπ
 
Soit M et N sont symétriques par rapport à O et alors : x=α+π+2kπ

Remarque : 

Dans le dernier cas, on peut écrire : x=α+(2k+1)π, donc dans tous les cas on : x=α+kπ; kZ
 
S={α+kπ;kZ}

Exemple 

Résoudre dans R tanx=1
 
tanx=1tanx=tanπ4x=π4+kπ;kZ
S={π4+kπ;kZ}

III.3.1.4 Équations du type acosx+bsinx=c

Transformons d'abord acosx+bsinx en Acos(x+θ) ou en Asin(x+φ)
 
On a : acosx+bsinx=a2+b2(aa2+b2cosx+ba2+b2sinx)
 
De plus (aa2+b2)2+(ba2+b2)2=1 or αR; cos2α+sin2α=1
 
Donc soit {cosα=aa2+b2sinα=ba2+b2ou{sinα=aa2+b2cosα=ba2+b2
 
D'où,
 
acosx+bsinx=a2+b2(cosαcosx+sinαsinx)=a2+b2cos(xα)
 
ou encore
 
acosx+bsinx=a2+b2(sinαcosx+cosαsinx)=a2+b2sin(x+α)

Exemple 

Résoudre dans R cosx+3sinx=3
 
a=1; b=3 donc a2+b2=4=2
 
Ainsi,
 
cosx+3sinx=2(12cosx+32sinx)=2(cosπ3cosx+sinπ3sinx)=2cos(xπ3)
 
cosx+3sinx=32cos(xπ3)=3cos(xπ3)=32cos(xπ3)=cosπ6{xπ3=π6+2kπouxπ3=π6+2kπ;k, kZ{x=π2+2kπouxπ3=π6+2kπ;k, kZ
S=\left\{\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\;;\ \dfrac{\pi}{6}+2k'\pi\;,\quad (k\;;\ k')\in\mathbb{Z}^{2}\right\}

III.3.2 Inéquations trigonométriques

Les inéquations trigonométriques de la forme \cos x\geq a\;,\ \sin x\geq a ou \tan x\geq a se résolvent par lecture graphique sur un cercle trigonométrique.
 
Les solutions d'une inéquation trigonométriques sont généralement une réunion d'intervalles, dont les bornes sont les solutions de l'équation correspondante.

Exemple 1 

Soit à résoudre, dans l'intervalle [0\;;\ 2\pi] l'inéquation : \sin x >-\dfrac{1}{2}
 
On commence par chercher une valeur simple pour laquelle \sin x=-\dfrac{1}{2}. Ici on prendra x=-\dfrac{\pi}{6}.
 
On trace un cercle trigonométrique pour retrouver les autres valeurs sur la parallèle à l'axe des abscisses passant par le point correspondant à -\dfrac{\pi}{6}.
 
Attention on travaille dans l'intervalle [0\;;\ 2\pi], les valeurs retenues seront donc \dfrac{7\pi}{6} et \dfrac{11\pi}{6}.

 

 
D'après la figure ci-dessus, les valeurs pour lesquelles \sin x >-\dfrac{1}{2} sont les valeurs situées au dessus de la droite horizontale en bleu.
 
On conclut que : S=\left[0\;;\ \dfrac{7\pi}{6}\right[\cup\left]\dfrac{11\pi}{6}\;;\ 2\pi\right]

Exemple 2 

Soit à résoudre, dans l'intervalle ]-\pi\;;\ \pi] l'inéquation : 2\cos x-1<0
Elle est équivalente à \cos x<\dfrac{1}{2}. On commence par chercher une valeur simple pour laquelle \cos x=\dfrac{1}{2}. Ici on prendra x=\dfrac{\pi}{3}. 
 
On trace un cercle trigonométrique pour retrouver les autres valeurs sur la parallèle à l'axe des ordonnées passant par le point correspondant à \dfrac{\pi}{3}.
 
Attention on travaille sur l'intervalle ]-\pi\;;\ \pi], les valeurs retenues seront donc -\dfrac{\pi}{3} et \dfrac{\pi}{3}.
 
Les points M d'abscisse x pour lesquels \cos x<\dfrac{1}{2} sont les points situés à gauche de la droite verticale en bleu sur le schéma ci-dessous.

 

 
On conclut que : S=\left]-\pi\;;\ -\dfrac{\pi}{3}\right[\cup\left]\dfrac{\pi}{3}\;;\ \pi\right]

Exemple 3 

Soit à résoudre, dans l'intervalle [0\;;\ 2\pi[ l'inéquation : \tan x>1
Elle est équivalente à \tan x>\tan\dfrac{\pi}{4}. D'après l'interprétation géométrique de la tangente, pour que le réel x soit solution, il faut que le point M d'abscisse x soit situé sur l'un des arcs de cercle en rouge de la figure ci-dessous :

 

 
On en conclut que :  S=\left]\dfrac{\pi}{4}\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right[\cup\left]\dfrac{5\pi}{4}\;;\ \dfrac{3\pi}{2}\right[

Auteur: 
Diny Faye & Seyni Ndiaye

Commentaires

Très bien fait ;complet.

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