Énergie potentielle-énergie mécanique - 1er s

$$\begin{eqnarray} E_{p}\left(z_{\text{réf}}\right) &=& mgz_{\text{réf}}+\text{Cte}\nonumber\\\\ &=&0\nonumber\\\\\Rightarrow \text{Cte} &=&-mgz_{\text{réf}}\nonumber\\\\\Rightarrow E_{p}(z) &=&mg\left(z-z_{\text{réf}}\right) \end{eqnarray}$$

 

Conséquences

 

$\blacktriangleright\ $Si $z<z_{\text{réf}}\Rightarrow\;E_{p}<0$

 

$\blacktriangleright\ $Si $z>z_{\text{réf}}\Rightarrow\;E_{p}>0$

 

Cas particulier

 

$\blacktriangleright\ $Si $<z_{\text{réf}}=0\Rightarrow\;E_{p}(z)=mgz$

 

Si la position de référence correspond à l'énergie des cotes (altitudes). $E_{p}$ prend son expression le plus simple $(mgz)$

$$\begin{eqnarray} W_{\overrightarrow{P}} &=&mgh\quad\text{or }\nonumber\\\\ h&=&z_{1}-z_{2}\nonumber\\\\\Rightarrow W_{\overrightarrow{P}} &=&mg\left(z_{1}-z_{2}\right)\nonumber\\\\\Rightarrow W_{\overrightarrow{P}} &=& E_{P_{1}}-E_{P_{2}}\nonumber\\\\ &=&-\left(E_{P_{2}}-E_{P_{1}}\right) \end{eqnarray}$$

 

En posant $E_{P_{1}}=mgz_{1}$  et  $E_{P_{2}}=mgz_{2}$

 

$\Delta E_{P}=-W_{\overrightarrow{P}}$

 

 

La variation de l'énergie potentielle de pesanteur est à l'opposé du travail du poids d'un corps. 

Considérons le système « masse-ressort » 

 

Lorsque l'extrémité libre d'un ressort est déplacée par rapport à la position d'équilibre d'une abscisse $x$, le ressort possède potentielle élastique :

 

$E_{p}=\dfrac{1}{2}kx^{2}+$cte avec $k$ la constante de raideur en $N\cdot m^{-1}$ ;  

 

$E_{p}$ en joules $(J)$

 

 

Cas particulier

 

Si cte$=0$ alors $E_{p}$ prend une valeur particulière 

$$E_{p}=\dfrac{1}{2}kx^{2}$$

Lorsque le fil est déformé par une tension élastique d'un angle $\theta$ il acquiert une énergie potentielle de torsion tel que :

 

$E_{p}=\dfrac{1}{2}C\theta^{2}+$cte avec $C$ : la constante de torsion en $N\cdot m\cdot rad^{-1}$ ; 

 

$E_{p}$ en joules $(J).$

 

Si cte$=0\Rightarrow\;E_{p}=\dfrac{1}{2}C\theta^{2}$

 

La variation de l'énergie potentielle d'un système entre deux instants donnés est opposée au travail des forces extérieures.

Une force est dite conservative si son travail ne dépend pas du chemin suivi mais de la position initiale et de la position finale de son point d'application.

 

Exemple de forces conservatives : 

 

les forces électrostatiques, les forces de gravitations (poids d'un corps), les forces élastiques (ressort, pendule de torsion) les rections normales.

Lors de la chute d'un corps de masse $(m)$, la variation de l'énergie cinétique est égale au travail du poids.

 

$$\begin{eqnarray} E_{c_{2}}-E_{c_{1}}&=&W_{\overrightarrow{P}}\nonumber\\\\\text{or }W_{\overrightarrow{P}}&=&-\Delta E_{p}\nonumber\\\\\Rightarrow E_{c_{2}}-E_{c_{1}}&=&-\left(E_{p_{2}}-E_{p_{1}}\right)\nonumber\\\\\Rightarrow E_{c_{2}}+E_{c_{1}}&=&E_{c_{1}}+E_{p_{1}} \end{eqnarray}$$

 

On constate qu'au cours de la transformation la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle est constante. On appelle l'énergie mécanique d'un système à chaque instant dans un repère donné la somme des énergies cinétique et potentielle

$$E_{m}=E_{c}+E_{p}$$

Soit un système se déplaçant d'une position $1$ en une position $2$ en étant soumis à des forces conservatives uniquement de résultante $F.$

 

Appliquons le théorème de l'énergie cinétique entre $1$ et $2$

 

$$\begin{eqnarray} E_{c_{2}}-E_{c_{1}}&=&W_{\overrightarrow{F}}\nonumber\\\\\text{or }W_{\overrightarrow{F}}&=&-\Delta E_{p}\nonumber\\\\\Rightarrow E_{c_{2}}-E_{c_{1}}&=&-\left(E_{p_{2}}-E_{p_{1}}\right)\nonumber\\\\\Rightarrow E_{c_{2}}+E_{p_{2}}&=&E_{c_{1}}+E_{p_{1}}\nonumber\\\\\Rightarrow  E_{m_{2}}&=&E_{m_{1}} \end{eqnarray}$$

 

Ce résultat est indépendant des positions $1$ et $2$ choisies  

L'énergie mécanique d'un système soumis à des forces conservatives est constante.

La loi de conservation de l'énergie mécanique se traduit au cours du déplacement par une transformation de l'énergie potentielle en énergie cinétique ou inversement.

Soit un système qui se déplace d'une position 1 à une autre $2.$ Sur ce système s'appliquent les forces conservatives de résultante $\overrightarrow{F}$ et les forces non conservatives de résultante $\overrightarrow{f}.$

 

Le théorème de l'énergie cinétique donne :

 

$$\begin{eqnarray} \Delta E_{C}&=&W_{\overrightarrow{F}}+W_{\overrightarrow{f}}\quad\text{or }\nonumber\\\\ W_{\overrightarrow{F}}&=-\Delta E_{P}\nonumber\\\\\Rightarrow \Delta E_{C} &=& E_{P_{1}}-E_{P_{2}}+W_{\overrightarrow{f}} \nonumber\\\\\Rightarrow E_{C_{2}}+E_{P_{2}}-\left(E_{C_{1}}+E_{P_{1}}\right)\nonumber\\\\\Rightarrow E_{m_{2}}-E_{m_{1}}&=&W_{\overrightarrow{f}}\nonumber\\\\\Rightarrow\Delta E_{m}&=&W_{\overrightarrow{f}} \end{eqnarray}$$

La variation de l'énergie mécanique d'un système entre deux instants données est égale la somme des travaux des forces non conservatives entre ces $2$ instants ou $f$ est la résultante des forces non conservatives.

$$\Delta E_{m}=W_{\overrightarrow{f}}$$

Un jouet d'une gouttière $ABC$ comportant $2$ parties : $AB$ est horizontale, $BC$ est un arc de cercle de centre $O$ de rayon $R.$ la gouttière se trouve dans un plan vertical. $OB$ se trouvant sur le même vertical.

 

Un solide de masse $m$ poids peut être lancé par l'intermédiaire d'un ressort de raideur $K$

 

1. Trouvons la diminution minimale de longueur $l_{0}$ qu'il faut exprimer pour qu'il puisse envoyer le solide jusqu'au $C.$ on néglige les forces de frottements. 

 

On donne : 

 

$m=100g$, $R=0.50m$, $\alpha=60^{\circ}$, $K=10N\cdot m^{-1}$ et $g=10$ SI

 

2. On imprime maintenant au ressort une diminution de longueur à $2l_{0}.$ 

 

Trouver la vitesse du solide au passe par le point $C.$

1. La diminution minimale $l_{0}$

 

Système étudié :

 

 

Autre méthode