Série d'exercices sur les transformations du plan 1e S
Généralités
Exercice 1
Le plan est rapporté à un repère (O, →i, →j). Au point M(x, y), on fait correspondre
M′(x′, y′) tel que :
α, β, γ et δ étant des réels donnés.
1) Cette correspondance est(elle une application de P vers P ?
A quelle condition est-ce une transformation de P ?
Déterminer alors la transformation réciproque.
2) On suppose la condition précédente vérifiée pour l'application f1, correspondant aux réels α1, β1, γ1 et δ1 et pour pour l'application f2, correspondant aux réels α2, β2, γ2 et δ2.
Montrer que f2∘f1 est une transformation de P.
Exercice 2
Dans le plan P rapporté à un repère (O, →i, →j), on fait correspondre au point M(x, y) le point M′(x′, y′).
Cette correspondance est-elle une application de P vers P ?
De P privé de certains points ?
a) $\left\lbrace
b) $\left\lbrace
c) $\left\lbrace
d) $\left\lbrace
Exercice 3
Affinités
Soit deux droites sécantes D et Δ et un réel k différent de zéro.
Par un point quelconque M du plan, on trace la parallèle à Δ qui coupe D en H et on construit le point M′ tel que →HM′=k→HM.
1) Montrer qu'on a ainsi défini une transformation f du plan.
2) Déterminer les points invariants par f et les droites globalement invariantes par f.
3) Déterminer l'image par f d'une droite.
Soit un point A et son image A′ par f.
Utiliser le résultat précédent pour construire simplement l'image M′ d'un point M quelconque donné.
4) Déterminer f−1.
5) En choisissant un repère (O, →i, →j) convenable, donner une expression analytique de f.
Exercice 4
Dans le plan rapporté au repère (O, →i, →j), on considère les droites D et D′ d'équations :
D : 3x+2y−6=0;D′ : x−4y+4=0
Soit un point M(x, y) du plan.
La parallèle à D menée par M coupe x′x en H; La parallèle à D′ menée par M coupe y′y en K.
Soit M′(x′, y′) le point qui se projette en H sur x′x en K sur y′y.
1) Montrer que M′ est l'image de M dans une application f de P dans P.
f est-elle une transformation de P ?
2) Donner une expression analytique de f.
3) Existe-t-il des points invariants par f ?
4) Reprendre les questions précédentes avec D : x+y=0 et D′ : x−y=0
Translations
Exercice 5
Soit ABC un triangle.
Construire l'image de ce triangle par la translation de vecteur :
a) →AB; b) →BC; c) →CA; d) →V quelconque.
2) On note t→u la translation de vecteur →u
Déterminer t→AB∘t→BC∘t→AC
3) Soit A′, B′ et C′ les images de A, B et C par la translation t→AB∘t→AC
Quelle est la nature des quadrilatères ABA′C, BCC′B′, ABB′C ?
4) Le quadrilatère ABA′C peut-il être un losange ? un carré ?
Exercice 6
On considère un parallélogramme ABCD.
Construire l'image de ce parallélogramme par la translation de vecteur :
a) →AB; b) →BC; c) →CA; d) →V quelconque
Exercice 7
1) Soient deux cercles C et C′ de centres O et O′ et de même rayon.
Montrer que l'un de ces deux cercles est l'image de l'autre dans une translation que l'on précisera.
2) On suppose maintenant que C et C′ sont sécants en A et B.
t désigne la translation de vecteur →OO′
Soit M un point de C et M′ son image par t.
Démontrer que A est l'orthocentre du triangle MBM′.
Exercice 8
On considère un parallélogramme ABCD, les sommets A et B étant fixes.
Quel est l'ensemble des points D lorsque C décrit une droite ou un cercle donné ?
Exercice 9
Soit deux droites sécantes D et D′ et un vecteur →u
Construire un segment [MM′] tel que M appartienne à D, M′ appartienne à D′ et que l'on ait →MM′=→u
Exercice 10
On donne un cercle C et deux point A et B.
Construire, en utilisant une translation deux points P et Q de C tels que ABPQ soit un parallélogramme.
Exercice 11
A, B et C sont 3 points non alignés ; t est la translation qui transforme A en B.
D est l'image de B par t. La parallèle à (BC) menée par D coupe (AC) en E.
Démontrer que C est le milieu de [AE].
Exercice 12
ABC est un triangle.
M et N sont les points définis par →AM=→CA et →BN=→MB
1) Construire M et N.
2) La translation qui transforme B en N transforme A en E.
Montrer que (EN)∥(AB) et (CE)∥(AB).
Que peut-on en déduire pour les points C, E et N ?
Exercice 13
Construire la droite passant par P et concourante à D et D′.
Exercice 14
Soit un triangle ABC d'orthocentre H et deux points D et E tels que BCDE soit un parallélogramme.
Les perpendiculaires menées de D à (AB) et de E à (AC) se coupent en K.
1) Montrer que K est le transformé de H dans la translation de vecteur →BE
2) En déduire une condition pour que A, H, K soient alignés.
Exercice 15
On considère un parallélogramme ABCD.
1) Montrer qu'il existe une translation qui transforme la droite (AB) en la droite (DC) et la droite (AD) en la droite (BC).
2) Soit K un point du plan.
Une droite Δ passant par K coupe (AB) et (DC) en M et N respectivement, (AD) et (BC) en P et Q respectivement.
Montrer qu'il existe deux droites Δ telles que les segments [MN] et [PQ] aient la même longueur.
Exercice 16
On considère un triangle ABC et une droite D passant par A.
On marque sur D deux points P et Q tels que A soit le milieu de [PQ].
Soit P′ l'image de P par la translation de vecteur →AB et Q′ l'image de Q par la translation de vecteur →AC.
Montrer que les segments [BC] et [PQ] ont le même milieu.
Exercice 17
Le plan est muni d'un repère (O, →i, →j)
Donner l'expression analytique de la translation de vecteur →V et une équation cartésienne de la transformée de la droite D et du cercle D dans chacun des cas suivants :
1) →V(4, −1)D : 5x−y+4=0C : x2+y2−9=0.
2) →V(−3, −5)D : x+4y+1=0C : x2+y2−2x−2y−7=0
Exercice 18
Dans le plan muni du repère (O, →i, →j), on considère les points
A(2, 0), B(1, −2), C(−1, 2) et D(3, 3).
Soit t la translation de vecteur →AB et B′, C′ et D′ les images respectives de B, C et D par t.
1) Écrire les formules analytiques de t et en déduire les coordonnées des points B′, C′ et D′.
2) Soit G le barycentre des points pondérés (B, 2) et (D, −3).
Déterminer les coordonnées de G.
3) Soit G′ l'image de G par t.
Déterminer les coordonnées de G′ et vérifier que le point G′ est le barycentre des points pondérés (B′, 2) et (D′, −3).
4) Soit K l'isobarycentre des points B, C et D. Déterminer les coordonnées de K.
5) Montrer que K′, image de K, est l'isobarycentre des points B′, C′ et D′.
Exercice 19
D et D′ sont deux droits parallèles ; A et B sont deux points fixes situés à l'extérieur de la bande de plan déterminée par D et D′ et de part et d'autre de cette bande.
Déterminer un point M sur D et un point M′ sur D′ tels que la droite (MM′) soit perpendiculaire à D et D′ et que la somme AM+MM′+M′B soit minimale.
Exercice 20
D et D′ sont deux droits parallèles ; A et B sont deux points fixes situés de part et d'autre de la bande comprise entre D et D′.
Une droite (Δ) variable, de direction fixée, coupe respectivement D et D′ en M et M′.
Déterminer (Δ) pour que la longueur de la ligne brisée AMM′B soit minimale.
Homothéties
Exercice 21
Soit un triangle ABC.
Construire l'image de ce triangle par l'homothétie de centre O et de rapport k dans les cas suivants :
a) O=A et k=−1.b) O=A et k=2
c) O est le milieu de [BC] et k=2.
d) O et k sont quelconques.
Exercice 22
Montrer que l'image d'un carré par une homothétie est un carré.
Exercice 23
Soit A et B deux points du plan, A′ et B′ leurs images par une homothétie h de centre O et de rapport k ; montrer que l'image par h du milieu I de [AB] est le milieu I′ de [A′B′].
En déduire que l'image du centre de gravité G d'un triangle ABC par h est le centre de gravité du triangle A′B′C′ homothétique du triangle ABC.
Exercice 24
Soit O, A, B trois points donnés.
Montrer qu'il existe une unique homothétie h de centre O transformant A en B dans les cas suivants ; (on déterminera son rapport) :
a) →OB=−32→OAb) →AB=5→OAc) →OA+→OB=→0
Exercice 25
Soit A et B deux points donnés.
Montrer qu'il existe une unique homothétie h de rapport k transformant A en B dans les cas suivants (on déterminera son centre) :
a) k=2b) k=−12c) k=−1
Exercice 26
Soient A, B, A′, B′ des points donnés du plan.
On suppose que A et B sont distincts, A′ et B′ sont distincts, les droites (AB) et (A′B′) sont parallèles, et →AB≠→A′B′
Montrer qu'il existe une unique homothétie h transformant A en A′ et B en B′
(construire son centre et déterminer son rapport).
Exercice 27
Soit deux triangles ABC et A′B′C′ dont les cotés (AB) et (A′B′)
(BC) et (B′C′), (CA) et (C′A′) sont parallèles.
1) On suppose que AB=A′B′.
Montrer que l'un de ces triangles est l'image de l'autre dans une translation ou dans une symétrie centrale que l'on précisera.
(On distinguera les deux cas →AB=→A′B′ et →AB=−→A′B′)
2) On suppose que AB≠A′B′.
Montrer que l'un de ces triangles est l'image de l'autre dans une homothétie que l'on précisera
Exercice 28
Soit un parallélogramme ABCD.
Construire l'image de ce parallélogramme par l'homothétie de centre O et de rapport k dans les cas suivants :
a) O=A et k=−1b) O=A et k=2
c) O est le milieu de [BC] et k=2d) O et k sont quelconques.
Exercice 29
Montrer que la composée de deux symétries centrales est une translation.
Exercice 30
Soit ABC un triangle.
On note A′ et B′ les milieux des cotés [BC] et [AC], H l'orthocentre, G le centre de gravité et O le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
On considère l'homothétie h de centre G qui transforme A en A′.
Quel est son rapport ?
Quelle est l'image de la droite (AH) ? de la droite (BH) ?
En déduire que H, G, O sont alignés (la droite contenant ces points est appelée droite d'Euler).
Exercice 31
Le plan est rapporté au repère (O, →i, →j).
On considère le point I(−2, 3) et la droite D d'équation 2x+y−3=0.
Définir analytiquement l'homothétie de centre I et de rapport −23, puis donner une équation de l'image de D par h.
Exercice 32
On considère deux droites D et D′ sécantes en O et un point A extérieur à ces droites.
Le but de l'exercice est de construire M sur D et N sur D′ vérifiant la relation vectorielle :
→AN=−2→AM.
1) Montrer que N est l'image de M par une transformation que l'on précisera.
2) En déduire que N est aussi sur une droite Δ que l'on précisera.
3) Achever la construction.
Exercice 33
On considère un triangle ABC ayant 3 angles aigus.
M est un point de [AB].
P et N sont deux points de [BC].
Q est tels que MNPQ est un carré.
Construire grâce à une homothétie un carré IJKL dont tous les sommets sont sur les cotés du triangle ABC.
Exercice 34
Soit C un cercle et soit A et B deux points extérieurs au cercle, I étant le milieu de [AB].
1) A tout point M de C on associe le point N centre de gravité de ABM.
Montrer que N est l'image de M par une homothétie bien choisie.
Déterminer et construire l'ensemble des points N lorsque M décrit C.
2) A tout point M de C on associe le point P tel que AMBP soit un parallélogramme.
Montrer que P est l'image de M par une transformation que l'on précisera.
Déterminer et construire l'ensemble des points P lorsque M décrit C.
Exercice 35
ABCD est un trapèze où les droites (AB) et (CD) sont parallèles alors que (AD) et (BC) ne le sont pas.
Soient M et N les milieux de [AB] et [CD], I le point d'intersection de (AC) et (BD), J le point d'intersection de (AD) et (BC).
1) On considère l'homothétie h de centre I qui transforme A en C.
Quelle est l'image de B ?
2) En déduire que I, M, N sont alignés.
3) Montrer de même que J, M, N sont alignés.
Exercice 36
Composée de deux homothéties de centres distincts
Soit h1 une homothétie de centre O1 et de rapport k1 et h2 une homothétie de centre O2 et de rapport k2.
On pose f=h2∘h1.
1) Soit M un point quelconque du plan, M1=h1(M) et M′=h2(M1).
On a donc :
En déduire que :
→O1M′=k1k2→O1M+(1−k2)→O1O2(1)
2) On suppose que k1k2=1.
Démontrer que l'égalité (1) s'écrit :
En déduire la nature de l'application f.
3) On suppose que k1k2≠1.
a) Démontrer qu'un point O est invariant par f si et seulement si :
En déduire l'existence et l'unicité d'un tel point O, défini par :
b) Déduire de (1) et (2) que f est l'homothétie de centre O et de rapport k1k2.
Exercice 37
Centre d'homothétie de deux cercles
A) Deux cercles C(O, R) et C′(O′, R′) étant donnés, on se propose de déterminer les homothéties transformant C en C′.
1) Soit h une telle homothétie, si elle existe et k son rapport.
Montrer que l'on a :
2) a) Démontrer que, s'il existe une homothétie de rapport R′R transformant C en C′, son centre I est tel que R→IO′+R′→IO=→0.(1)
Démontrer que si R≠R′, l'égalité (1) définit un point I et un seul.
b) Vérifier que l'homothétie de centre I et de rapport R′R répond alors à la question.
3) a) Démontrer que, s'il existe une homothétie de rapport −R′R transformant C en C′, son centre J est tel que R→JO′+R′→JO=→0.(2)
Démontrer que l'égalité (2) définit un point J et un seul.
b) Vérifier que l'homothétie de centre J et de rapport R′R répond alors à la question.
Ainsi, étant donnés deux cercles C et C′ de centres O et O′ et de rayons R et R′ distincts, il existe deux homothéties transformant C en C′.
La première est l'homothétie de centre le point I tel que →IO′=−R′R→JO et de rapport −R′R
La seconde est l'homothétie de centre le point J tel que →JO′=−R′R→JO et de rapport −R′R.
Notons que si O et O′ sont distincts, alors I et J sont alignés avec O et O′ (droite des centres des deux cercles) et on a :
¯IO′¯IO=−¯JO′¯JO=R′R.
I et J sont appelés centres d'homothétie des cercles C et C′.
4) Étudier le cas où O=O′, puis celui où R=R′ et O≠O′.
Conclure par un théorème.
B) Soient C et C′ deux cercles de centres O et O′ distincts et de rayons R et R′ distincts.
Soient I et J leurs centres d'homothétie.
1) Deux demi-droites Ox et O′x′ parallèles et de même sens, coupent respectivement C en A et C′ en A′.
Démontrer que la droite (AA′) passe par I.
2) Deux demi-droites Ox et O′x′ parallèles et de sens contraires, coupent respectivement C en A et C′ en A″.
Démontrer que la droite (AA″) passe par J.
3) Déduire des deux questions précédentes une construction des centres d'homothétie I et J.
B) Soit D une droite tangente à C en A et tangente à C′ en A′.
1) Démontrer que la droite D passe par I ou J.
2) En déduire que les éventuelles tangentes communes à C et C′ sont les tangentes à C passant par I et J, s'il en existe.
3) Construire I et J et les tangentes communes à C et C′ dans les cas suivants :
a) C et C′ sont extérieurs : OO′>R+R′ ;
b) C et C′ sont tangents extérieurement : OO′=R+R′ ;
c) C et C′ sont sécants : |R−R′|<OO′<R+R′ ;
d) C et C′ sont tangents intérieurement : OO′=|R−R′| ;
e) un des deux cercles C et C′ est extérieur à l'autre : OO′<|R−R′|.
Exercice 38
La figure ci-après obtenue à partir des quatre droites (AC), (CF), (AD) et (FB)
sécantes deux à deux est appelée quadrilatère complet de sommets A, B, C, D, E et F.
On se propose de démontrer que les segments [AF], [BD] et [EC] ont leurs milieux respectifs I, J, K alignés.
1) Construire les points R et S tels que les quadrilatères FBRD et ESCF sont des parallélogrammes.
2) On considère l'homothétie h1 de centre A qui transforme B en C et l'homothétie h2 de centre A qui transforme D en E.
a) Démontrer que l'image de la droite (BR) par h2∘h1 est la droite (ES).
b) Déterminer l'image de la droite (DR) par h1∘h2.
c) Que dire des transformations h1∘h2 et h2∘h1 ?
On pose h=h1∘h2. Déterminer h(R).
En déduire que les points A, R et S sont alignés.
3) On considère l'homothétie h′ de centre F et de rapport 12.
Déterminer les images des points A, R, S par h′.
En déduire que les points I, J et K sont alignés.
Exercice 39
1) On considère un cercle C de centre O, et deux tangentes à C sécantes en I.
Montrer que O est sur la bissectrice de l'angle formé par les deux tangentes.
2) Soient deux droites D et D′ sécantes en I, A un point extérieur aux deux droites.
Construire un cercle tangent à D et D′ :
choisir son centre en tenant compte de la question 1 et construire les points de contact de ce cercle avec D et D′.
3) Construire en utilisant des homothéties deux cercles tangents à D et D′ passant par A.
Justifier la construction.
Réflexions
Exercice 40
Soit ABCD un parallélogramme et s la réflexion d'axe (BD).
On désigne par A et C′ les images respectives de A et C par s.
1) Déterminer l'image par s de la droite (AC), puis celle du segment [AC].
2) Montrer que le milieu I de [AC] est invariant par s.
3) Déduire des questions précédentes que AA′CC′ est un rectangle.
Exercice 41
Soit ABC un triangle rectangle en A, K le milieu de [BC], H le projeté orthogonal de A sur [BC], I et J les projetés orthogonaux de H sur (AB) et (AC) respectivement.
Le but de l'exercice est de montrer que les droites (AK) et (IJ) sont perpendiculaires.
On désigne par s la réflexion d'axe (AB) et on pose C′=s(C), H′=s(H).
1) a) Construire les points H′ et C′.
Montrer que B, H′ et C′ sont alignés.
b) Construire le plus simplement possible le point K′=s(K).
2) a) Quelle est la nature de AKK′C′ ?
b) Montrer que (IJ) et (AH′) sont parallèles.
3) Montrer que (AH′) et (BC′) sont perpendiculaires.
4) Déduire des questions précédentes que les droites (AK) et (IJ) sont perpendiculaires
Exercice 42
ABC est un triangle.
On note H son orthocentre et O le centre de son cercle circonscrit C.
[AD] est un diamètre de C.
La droite (AH) recoupe C en A″ et (BC) en A′.
Le point O′ est le milieu de [BC] et Δ est la parallèle à (BC) passant par O.
On note s1 la réflexion d'axe Δ et s2 la réflexion d'axe (BC).
1) Montrer que le quadrilatère BHCD est un parallélogramme.
2) Montrer, en utilisant une homothétie, que →AH=2→OO.
3) Identifier la transformation s2∘s1.
Donner l'image de A par s2∘s1 et préciser alors s2∘s1.
4) Quelle est l'image de H par s2 ?
Formuler alors une propriété remarquable de l'orthocentre du triangle et du cercle circonscrit.
5) Application :
Construire un triangle ABC connaissant son cercle circonscrit C de centre O, son orthocentre H et un point D du coté [BC].
Rotations. Composée D'isométries
Exercice 43
Dans un plan orienté, on considère un triangle ABC tel que (→AB, →AC)=π3[2π] et AB<AC;
On désigne par ζ le cercle circonscrit à ce triangle et par O son centre
1) Faire un figure
2) Soit E={M∈P∖(→AB, →AC)=π3[2π]}
a) Vérifier que A∈E puis déterminer et construire E
b) Déterminer et construire le point I tel que IB=IC et (→IB, →IC)=π3[π]
3) Soit P le point du segment [AC] tel que CP=AB
a) Montrer qu'il existe une unique rotation R telle que R(A)=P et R(B)=C, quel est son angle
b) Déterminer le centre de la rotation R
4) Donner la nature du triangle IAP et en déduire que : AC=AI+AB
5) Soit M un point variable de l'ensemble F et G le centre de gravité du triangle MBC.
Déterminer et construire l'ensemble décrit par le point G lorsque M décrit E
Exercice 44
Soit (O, →i, →j) un repère orthonormé du plan
Soit f l'application qui à tout point M(x, y) du plan associe le point M′(x′, y′) du plan tel que
1) Montrer que f est une isométrie du plan
2) Montrer que le point Ω(−2, 1) est l'unique point invariant par f
3) Soit les points M(x, y) et M′(x′, y′) tel que f(M)=M′
a) Exprimer en fonction de x et y →ΩM⋅→ΩM′ et déterminer (→ΩM, →ΩM′).
b) En déduire la mesure principale de l'angle (→ΩM, →ΩM′).
c) Quelle est alors la nature de f ?
Exercice 45
Dans un plan orienté, on considère un parallélogramme ABCD de sens direct
1) Construire le triangle IAD rectangle et isocèle en I tel que
(→IA, →ID)=π2[2π]
et le triangle DCE rectangle isocèle en D tel que
(→DC, →DE)=π2[2π]
2) Soit R la rotation de centre I et d'angle π2
a) Quelle est l'image de A par R ?
b) Montrer que R(B)=E.
3) Soit A′ le symétrique de A par rapport à I.
a) Justifier que A′=R(D)
b) Montrer que A′E=BD et que les droites (A′E) et (BD) sont perpendiculaires
Exercice 46
Dans un plan orienté ; on considère un triangle ABC de sens direct.
BAB′ et ACC′ deux triangles rectangles et isocèles en A et de sens direct
1) En utilisant la rotation r1 de centre A et d'angle π2, montrer que :
BC′=B′C et que (BC′)⊥(B′C)
2) a) Montrer qu'il existe une unique rotation r2 qui transforme B en C et C′ en B′
b) Déterminer son angle θ et construire son centre J
3) Soit E=B×C′ et F=C×B′
a) Déterminer r1(F) et r2(E).
b) En déduire que AFJE est un carré.
Exercice 46
Dans un plan orienté ; on considère un triangle ABC rectangle et isocèle en A tel que
(→AB, →AC)=π2[2π].
On désigne par I le milieu de [BC] et par Δ la droite perpendiculaire à (BC) et passant par C et on désigne par K le point d'intersection de Δ et (AB).
1) Faire une figure
2) Soit R la rotation de centre A et d'angle π2.
a) Déterminer R(B), R((AC))etR((BC))
b) Déduire R(C) et R(I)
3) On désigne par ζ le cercle circonscrit au triangle ABC
Déterminer l'image ζ′ du cercle ζ par la rotation R puis déterminer ζ∩ζ′
4) Soit M un point du plan tel que (→MA, →MB)=5π4[2π]
a) Déterminer l'ensemble des points M
b) On pose M′=R(M), déterminer l'ensemble des points M′ lorsque M varie
c) On pose R(I)=J, montrer que (BM)⊥(CM′) et que IM=JM′.
Exercice 47
Dans un plan orienté, on considère un carré ABCD de centre O tel que
(→AB, →AD)=π2[2π].
Soit R la rotation de centre O et d'angle π2.
1) a) Montrer que R(D)=A et R(C)=D
b) Déterminer la nature et les élément caractéristiques de R∘R
c) En déduire que R(A)=B
2) Soit M un point du segment [AD] distinct de A et D.
La perpendiculaire à la droite (MC) passant par D coupe le segment [AB] en un point N
a) Déterminer les images du segment [AD] et de la droite (MC) par la rotation R
b) En déduire que R(M)=N
c) En déduire que CM=DN et que (CM)⊥(DN)
3) Soit ζ le cercle de centre O et passant par A ; la demi-droite [CM) recoupe le cercle ζ en E. Soit F le point de la demi-droite [DN) tel que DF=CE.
a) Montrer que R(E)=F.
b) Déterminer l'image de ζ par R.
c) En déduire l'ensemble des points F lorsque M varie sur le segment [AD].
Exercice 48
Dans un plan orienté ; on considère un triangle équilatéral ABC tel que
(→AB, →AC)=π3[2π].
Soit I le milieu de [BC].
Soit le point J tel que B est le milieu de [JC]
Soit la rotation R1 de centre A et d'angle π3 et la rotation R2 de centre B et d'angle −2π3.
1) Soit A′ et B′ les images respectifs des points A et B par l'application R1∘R2
Montrer que I est le milieu de [AA′] et que B est le milieu de [AB′]
2) On pose M1=R1(M) et M2=R2(M).
En précisant la nature de R1∘R−12.
Montrer que pour tout point M du plan, I est le milieu [M1M2]
3) Montrer que l'application R1∘R2 est une rotation dont on déterminera le centre et l'angle.
Commentaires
Anonyme (non vérifié)
sam, 01/18/2020 - 22:21
Permalien
Très bon
AMEGNIKOU Yves ... (non vérifié)
sam, 05/23/2020 - 12:15
Permalien
Corrigés des exercices
Abdoul Aziz Ada... (non vérifié)
sam, 06/06/2020 - 01:44
Permalien
Bonsoir, j'ai besoin de
Freddy william (non vérifié)
mer, 02/17/2021 - 20:23
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Vous avez des très bons
Mamadou SY (non vérifié)
dim, 03/27/2022 - 21:18
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correction des exercices
bilal el wely (non vérifié)
ven, 05/13/2022 - 22:22
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svp la correction de exercices
bilal el wely (non vérifié)
ven, 05/13/2022 - 22:29
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vos exercices sont intéressants
joelle (non vérifié)
dim, 03/19/2023 - 19:44
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Vos exercices sont très
joelle (non vérifié)
dim, 03/19/2023 - 19:46
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S'il vous plait puis-je avoir
Victor F (non vérifié)
jeu, 05/11/2023 - 20:07
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Corrigé svp
j'adore scorpion (non vérifié)
jeu, 11/16/2023 - 03:29
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Puis je avoir la solution des
Anonyme (non vérifié)
ven, 04/12/2024 - 12:58
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S'il vous plaît la correction
KITATA NAMURE D... (non vérifié)
jeu, 10/24/2024 - 15:06
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Réponses aux questions d'exercices sur transformation du plan
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