Série d'exercices sur les transformations du plan 1e S

Classe: 
Première

Généralités

Exercice 1

Le plan est rapporté à un repère (O, i, j). Au point M(x, y), on fait correspondre
M(x, y) tel que :
{x=αx+βyy=γx+δy
α, β, γ et δ étant des réels donnés.

1) Cette correspondance est(elle une application de P vers P ?

A quelle condition est-ce une transformation de P ?

Déterminer alors la transformation réciproque.

2) On suppose la condition précédente vérifiée pour l'application f1, correspondant aux réels α1, β1, γ1 et δ1 et pour pour l'application f2, correspondant aux réels α2, β2, γ2 et δ2.

Montrer que f2f1 est une transformation de P.

Exercice 2

Dans le plan P rapporté à un repère (O, i, j), on fait correspondre au point M(x, y) le point M(x, y).

Cette correspondance est-elle une application de P vers P ?

De P privé de certains points ?

a) $\left\lbracex=x2+y2y=x2y2\right.$

b) $\left\lbracex=xy=y\right.$

c) $\left\lbracex=xx2+y2y=yx2+y2\right.$

d) $\left\lbracex=x2+y2y=xy\right.$

Exercice 3

Affinités

Soit deux droites sécantes D et Δ et un réel k différent de zéro.

Par un point quelconque M du plan, on trace la parallèle à Δ qui coupe D en H et on construit le point M tel que HM=kHM.

1) Montrer qu'on a ainsi défini une transformation f du plan.

2) Déterminer les points invariants par f et les droites globalement invariantes par f.

3) Déterminer l'image par f d'une droite.

Soit un point A et son image A par f.

Utiliser le résultat précédent pour construire simplement l'image M d'un point M quelconque donné.

4) Déterminer f1.

5) En choisissant un repère (O, i, j) convenable, donner une expression analytique de f.

Exercice 4

Dans le plan rapporté au repère (O, i, j), on considère les droites D et D d'équations :

D : 3x+2y6=0;D : x4y+4=0

Soit un point M(x, y) du plan.

La parallèle à D menée par M coupe xx en H; La parallèle à D menée par M coupe yy en K.

Soit M(x, y) le point qui se projette en H sur xx en K sur yy.

1) Montrer que M est l'image de M dans une application f de P dans P.

f est-elle une transformation de P ?

2) Donner une expression analytique de f.

3) Existe-t-il des points invariants par f ?

4) Reprendre les questions précédentes avec D : x+y=0 et D : xy=0

Translations

Exercice 5

Soit ABC un triangle.

Construire l'image de ce triangle par la translation de vecteur :

a) AB; b) BC; c) CA; d) V quelconque.

2) On note tu la translation de vecteur u

Déterminer tABtBCtAC

3) Soit A, B et C les images de A, B et C par la translation tABtAC

Quelle est la nature des quadrilatères ABAC, BCCB, ABBC ?

4) Le quadrilatère ABAC peut-il être un losange ? un carré ?

Exercice 6

On considère un parallélogramme ABCD.

Construire l'image de ce parallélogramme par la translation de vecteur :

a) AB; b) BC; c) CA; d) V quelconque

Exercice 7

1) Soient deux cercles C et C de centres O et O et de même rayon.

Montrer que l'un de ces deux cercles est l'image de l'autre dans une translation que l'on précisera.

2) On suppose maintenant que C et C sont sécants en A et B.

t désigne la translation de vecteur OO

Soit M un point de C et M son image par t.

Démontrer que A est l'orthocentre du triangle MBM.

Exercice 8

On considère un parallélogramme ABCD, les sommets A et B étant fixes.

Quel est l'ensemble des points D lorsque C décrit une droite ou un cercle donné ?

Exercice 9

Soit deux droites sécantes D et D et un vecteur u

Construire un segment [MM] tel que M appartienne à D, M appartienne à D et que l'on ait MM=u

Exercice 10

On donne un cercle C et deux point A et B.

Construire, en utilisant une translation deux points P et Q de C tels que ABPQ soit un parallélogramme.

Exercice 11

A, B et C sont 3 points non alignés ; t est la translation qui transforme A en B.

D est l'image de B par t. La parallèle à (BC) menée par D coupe (AC) en E.

Démontrer que C est le milieu de [AE].

Exercice 12

ABC est un triangle.

M et N sont les points définis par AM=CA et BN=MB

1) Construire M et N.

2) La translation qui transforme B en N transforme A en E.

Montrer que (EN)(AB) et (CE)(AB).

Que peut-on en déduire pour les points C, E et N ?

Exercice 13

Construire la droite passant par P et concourante à D et D.

Exercice 14

Soit un triangle ABC d'orthocentre H et deux points D et E tels que BCDE soit un parallélogramme.

Les perpendiculaires menées de D à (AB) et de E à (AC) se coupent en K.

1) Montrer que K est le transformé de H dans la translation de vecteur BE

2) En déduire une condition pour que A, H, K soient alignés.

Exercice 15

On considère un parallélogramme ABCD.

1) Montrer qu'il existe une translation qui transforme la droite (AB) en la droite (DC) et la droite (AD) en la droite (BC).

2) Soit K un point du plan.

Une droite Δ passant par K coupe (AB) et (DC) en M et N respectivement, (AD) et (BC) en P et Q respectivement.

Montrer qu'il existe deux droites Δ telles que les segments [MN] et [PQ] aient la même longueur.

Exercice 16

On considère un triangle ABC et une droite D passant par A.

On marque sur D deux points P et Q tels que A soit le milieu de [PQ].

Soit P l'image de P par la translation de vecteur AB et Q l'image de Q par la translation de vecteur AC.

Montrer que les segments [BC] et [PQ] ont le même milieu.

Exercice 17

Le plan est muni d'un repère (O, i, j)

Donner l'expression analytique de la translation de vecteur V et une équation cartésienne de la transformée de la droite D et du cercle D dans chacun des cas suivants :

1) V(4, 1)D : 5xy+4=0C : x2+y29=0.

2) V(3, 5)D : x+4y+1=0C : x2+y22x2y7=0

Exercice 18

Dans le plan muni du repère (O, i, j), on considère les points

A(2, 0), B(1, 2), C(1, 2) et D(3, 3).

Soit t la translation de vecteur AB et B, C et D les images respectives de B, C et D par t.

1) Écrire les formules analytiques de t et en déduire les coordonnées des points B, C et D.

2) Soit G le barycentre des points pondérés (B, 2) et (D, 3).

Déterminer les coordonnées de G.

3) Soit G l'image de G par t.

Déterminer les coordonnées de G et vérifier que le point G est le barycentre des points pondérés (B, 2) et (D, 3).

4) Soit K l'isobarycentre des points B, C et D. Déterminer les coordonnées de K.

5) Montrer que K, image de K, est l'isobarycentre des points B, C et D.

Exercice 19

D et D sont deux droits parallèles ; A et B sont deux points fixes situés à l'extérieur de la bande de plan déterminée par D et D et de part et d'autre de cette bande.

Déterminer un point M sur D et un point M sur D tels que la droite (MM) soit perpendiculaire à D et D et que la somme AM+MM+MB soit minimale.

Exercice 20

D et D sont deux droits parallèles ; A et B sont deux points fixes situés de part et d'autre de la bande comprise entre D et D.

Une droite (Δ) variable, de direction fixée, coupe respectivement D et D en M et M.

Déterminer (Δ) pour que la longueur de la ligne brisée AMMB soit minimale.

Homothéties

Exercice 21

Soit un triangle ABC.

Construire l'image de ce triangle par l'homothétie de centre O et de rapport k dans les cas suivants :

a) O=A et k=1.b) O=A et k=2

c) O est le milieu de [BC] et k=2.

d) O et k sont quelconques.

Exercice 22

Montrer que l'image d'un carré par une homothétie est un carré.

Exercice 23

Soit A et B deux points du plan, A et B leurs images par une homothétie h de centre O et de rapport k ; montrer que l'image par h du milieu I de [AB] est le milieu I de [AB].

En déduire que l'image du centre de gravité G d'un triangle ABC par h est le centre de gravité du triangle ABC homothétique du triangle ABC.

Exercice 24

Soit O, A, B trois points donnés.

Montrer qu'il existe une unique homothétie h de centre O transformant A en B dans les cas suivants ; (on déterminera son rapport) :

a) OB=32OAb) AB=5OAc) OA+OB=0

Exercice 25

Soit A et B deux points donnés.

Montrer qu'il existe une unique homothétie h de rapport k transformant A en B dans les cas suivants (on déterminera son centre) :

a) k=2b) k=12c) k=1

Exercice 26

Soient A, B, A, B des points donnés du plan.

On suppose que A et B sont distincts, A et B sont distincts, les droites (AB) et (AB) sont parallèles, et ABAB

Montrer qu'il existe une unique homothétie h transformant A en A et B en B

(construire son centre et déterminer son rapport).

Exercice 27

Soit deux triangles ABC et ABC dont les cotés (AB) et (AB)

(BC) et (BC), (CA) et (CA) sont parallèles.

1) On suppose que AB=AB.

Montrer que l'un de ces triangles est l'image de l'autre dans une translation ou dans une symétrie centrale que l'on précisera.

(On distinguera les deux cas AB=AB et AB=AB)

2) On suppose que ABAB.

Montrer que l'un de ces triangles est l'image de l'autre dans une homothétie que l'on précisera

Exercice 28

Soit un parallélogramme ABCD.

Construire l'image de ce parallélogramme par l'homothétie de centre O et de rapport k dans les cas suivants :

a) O=A et k=1b) O=A et k=2

c) O est le milieu de [BC] et k=2d) O et k sont quelconques.

Exercice 29

Montrer que la composée de deux symétries centrales est une translation.

Exercice 30

Soit ABC un triangle.

On note A et B les milieux des cotés [BC] et [AC], H l'orthocentre, G le centre de gravité et O le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.

On considère l'homothétie h de centre G qui transforme A en A.

Quel est son rapport ?

Quelle est l'image de la droite (AH) ? de la droite (BH) ?

En déduire que H, G, O sont alignés (la droite contenant ces points est appelée  droite d'Euler).

Exercice 31

Le plan est rapporté au repère (O, i, j).

On considère le point I(2, 3) et la droite D d'équation 2x+y3=0.

Définir analytiquement l'homothétie de centre I et de rapport 23, puis donner une équation de l'image de D par h.

Exercice 32

On considère deux droites D et D sécantes en O et un point A extérieur à ces droites.

Le but de l'exercice est de construire M sur D et N sur D vérifiant la relation vectorielle :

AN=2AM.

1) Montrer que N est l'image de M par une transformation que l'on précisera.

2) En déduire que N est aussi sur une droite Δ que l'on précisera.

3) Achever la construction.

Exercice 33

On considère un triangle ABC ayant 3 angles aigus.

M est un point de [AB].

P et N sont deux points de [BC].

Q est tels que MNPQ est un carré.

Construire grâce à une homothétie un carré IJKL dont tous les sommets sont sur les cotés du triangle ABC.

Exercice 34

Soit C un cercle et soit A et B deux points extérieurs au cercle, I étant le milieu de [AB].

1) A tout point M de C on associe le point N centre de gravité de ABM.

Montrer que N est l'image de M par une homothétie bien choisie.

Déterminer et construire l'ensemble des points N lorsque M décrit C.

2) A tout point M de C on associe le point P tel que AMBP soit un parallélogramme.

Montrer que P est l'image de M par une transformation que l'on précisera.

Déterminer et construire l'ensemble des points P lorsque M décrit C.

Exercice 35

ABCD est un trapèze où les droites (AB) et (CD) sont parallèles alors que (AD) et (BC) ne le sont pas.

Soient M et N les milieux de [AB] et [CD], I le point d'intersection de (AC) et (BD), J le point d'intersection de (AD) et (BC).

1) On considère l'homothétie h de centre I qui transforme A en C.

Quelle est l'image de B ?

2) En déduire que I, M, N sont alignés.

3) Montrer de même que J, M, N sont alignés.

Exercice 36

Composée de deux homothéties de centres distincts

Soit h1 une homothétie de centre O1 et de rapport k1 et h2 une homothétie de centre O2 et de rapport k2.

On pose f=h2h1.

1) Soit M un point quelconque du plan, M1=h1(M) et M=h2(M1).

On a donc :
O1M=k1O1M et O2M=k2O2M1

En déduire que :

O1M=k1k2O1M+(1k2)O1O2(1)

2) On suppose que k1k2=1.

Démontrer que l'égalité (1) s'écrit :
MM=(1k2)O1O2

En déduire la nature de l'application f.

3) On suppose que k1k21.

a) Démontrer qu'un point O est invariant par f si et seulement si :
O1O=k1k2O1O+(1k2)O1O2(2).

En déduire l'existence et l'unicité d'un tel point O, défini par :
O1O=1k21k1k2O1O2

b) Déduire de (1) et (2) que f est l'homothétie de centre O et de rapport k1k2.

Exercice 37

Centre d'homothétie de deux cercles

A) Deux cercles C(O, R) et C(O, R) étant donnés, on se propose de déterminer les homothéties transformant C en C.

1) Soit h une telle homothétie, si elle existe et k son rapport.

Montrer que l'on a :
k=RR ou k=RR.

2) a) Démontrer que, s'il existe une homothétie de rapport RR transformant C en C, son centre I est tel que RIO+RIO=0.(1)

Démontrer que si RR, l'égalité (1) définit un point I et un seul.

b) Vérifier que l'homothétie de centre I et de rapport RR répond alors à la question.

3) a) Démontrer que, s'il existe une homothétie de rapport RR transformant C en C, son centre J est tel que RJO+RJO=0.(2)

Démontrer que l'égalité (2) définit un point J et un seul.

b) Vérifier que l'homothétie de centre J et de rapport RR répond alors à la question.

Ainsi, étant donnés deux cercles C et C de centres O et O et de rayons R et R distincts, il existe deux homothéties transformant C en C.

La première est l'homothétie de centre le point I tel que IO=RRJO et de rapport RR

La seconde est l'homothétie de centre le point J tel que JO=RRJO et de rapport RR.

Notons que si O et O sont distincts, alors I et J sont alignés avec O et O (droite des centres des deux cercles) et on a :

¯IO¯IO=¯JO¯JO=RR.

I et J sont appelés centres d'homothétie des cercles C et C.

4) Étudier le cas où O=O, puis celui où R=R et OO.

Conclure par un théorème.

B) Soient C et C deux cercles de centres O et O distincts et de rayons R et R distincts.

Soient I et J leurs centres d'homothétie.

1) Deux demi-droites Ox et Ox parallèles et de même sens, coupent respectivement C en A et C en A.

Démontrer que la droite (AA) passe par I.

2) Deux demi-droites Ox et Ox parallèles et de sens contraires, coupent respectivement C en A et C en A.

Démontrer que la droite (AA) passe par J.

3) Déduire des deux questions précédentes une construction des centres d'homothétie I et J.

B) Soit D une droite tangente à C en A et tangente à C en A.

1) Démontrer que la droite D passe par I ou J.

2) En déduire que les éventuelles tangentes communes à C et C sont les tangentes à C passant par I et J, s'il en existe.

3) Construire I et J et les tangentes communes à C et C dans les cas suivants :

a) C et C sont extérieurs : OO>R+R ;

b) C et C sont tangents extérieurement : OO=R+R ;

c) C et C sont sécants : |RR|<OO<R+R ;
d) C et C sont tangents intérieurement : OO=|RR| ;

e) un des deux cercles C et C est extérieur à l'autre : OO<|RR|.

Exercice 38

La figure ci-après obtenue à partir des quatre droites (AC), (CF), (AD) et (FB)

sécantes deux à deux est appelée quadrilatère complet de sommets A, B, C, D, E et F.

On se propose de démontrer que les segments [AF], [BD] et [EC] ont leurs milieux respectifs I, J, K alignés.

1) Construire les points R et S tels que les quadrilatères FBRD et ESCF sont des parallélogrammes.

2) On considère l'homothétie h1 de centre A qui transforme B en C et l'homothétie h2 de centre A qui transforme D en E.

a) Démontrer que l'image de la droite (BR) par h2h1 est la droite (ES).

b) Déterminer l'image de la droite (DR) par h1h2.

c) Que dire des transformations h1h2 et h2h1 ?

On pose h=h1h2. Déterminer h(R).

En déduire que les points A, R et S sont alignés.

3) On considère l'homothétie h de centre F et de rapport 12.

Déterminer les images des points A, R, S par h.

En déduire que les points I, J et K sont alignés.

Exercice 39

1) On considère un cercle C de centre O, et deux tangentes à C sécantes en I.

Montrer que O est sur la bissectrice de l'angle formé par les deux tangentes.

2) Soient deux droites D et D sécantes en I, A un point extérieur aux deux droites.

Construire un cercle tangent à D et D :

choisir son centre en tenant compte de la question 1 et construire les points de contact de ce cercle avec D et D.

3) Construire en utilisant des homothéties deux cercles tangents à D et D passant par A.

Justifier la construction.

Réflexions

Exercice 40

Soit ABCD un parallélogramme et s la réflexion d'axe (BD).

On désigne par A et C les images respectives de A et C par s.

1) Déterminer l'image par s de la droite (AC), puis celle du segment [AC].

2) Montrer que le milieu I de [AC] est invariant par s.

3) Déduire des questions précédentes que AACC est un rectangle.

Exercice 41

Soit ABC un triangle rectangle en A, K le milieu de [BC], H le projeté orthogonal de A sur [BC], I et J les projetés orthogonaux de H sur (AB) et (AC) respectivement.

Le but de l'exercice est de montrer que les droites (AK) et (IJ) sont perpendiculaires.

On désigne par s la réflexion d'axe (AB) et on pose C=s(C), H=s(H).

1) a) Construire les points H et C.

Montrer que B, H et C sont alignés.

b) Construire le plus simplement possible le point K=s(K).

2) a) Quelle est la nature de AKKC ?

b) Montrer que (IJ) et (AH) sont parallèles.

3) Montrer que (AH) et (BC) sont perpendiculaires.

4) Déduire des questions précédentes que les droites (AK) et (IJ) sont perpendiculaires

Exercice 42

ABC est un triangle.

On note H son orthocentre et O le centre de son cercle circonscrit C.

[AD] est un diamètre de C.

La droite (AH) recoupe C en A et (BC) en A.

Le point O est le milieu de [BC] et Δ est la parallèle à (BC) passant par O.

On note s1    la réflexion d'axe Δ et s2 la réflexion d'axe (BC).

1) Montrer que le quadrilatère BHCD est un parallélogramme.

2) Montrer, en utilisant une homothétie, que AH=2OO.

3) Identifier la transformation s2s1.

Donner l'image de A par s2s1 et préciser alors s2s1.

4) Quelle est l'image de H par s2 ?

Formuler alors une propriété remarquable de l'orthocentre du triangle et du cercle circonscrit.

5) Application :

Construire un triangle ABC connaissant son cercle circonscrit C de centre O, son orthocentre H et un point D du coté [BC].

Rotations. Composée D'isométries

Exercice 43

Dans un plan orienté, on considère un triangle ABC tel que (AB, AC)=π3[2π] et AB<AC;

On désigne par ζ le cercle circonscrit à ce triangle et par O son centre

1) Faire un figure

2) Soit E={MP(AB, AC)=π3[2π]}

a) Vérifier que AE puis déterminer et construire E

b) Déterminer et construire le point I tel que IB=IC et (IB, IC)=π3[π]

3) Soit P le point du segment [AC] tel que CP=AB

a) Montrer qu'il existe une unique rotation R telle que R(A)=P et R(B)=C, quel est son angle

b) Déterminer le centre de la rotation R

4) Donner la nature du triangle IAP et en déduire que : AC=AI+AB

5) Soit M un point variable de l'ensemble F et G le centre de gravité du triangle MBC.

Déterminer et construire l'ensemble décrit par le point G lorsque M décrit E

Exercice 44

Soit (O, i, j) un repère orthonormé du plan

Soit f l'application qui à tout point M(x, y) du plan associe le point M(x, y) du plan tel que
{x=12x32y+322y=32x+12y+1+232

1) Montrer que f est une isométrie du plan

2) Montrer que le point Ω(2, 1) est l'unique point invariant par f

3) Soit les points M(x, y) et M(x, y) tel que f(M)=M

a) Exprimer en fonction de x et y ΩMΩM et déterminer (ΩM, ΩM).

b) En déduire la mesure principale de l'angle (ΩM, ΩM).

c) Quelle est alors la nature de f ?

Exercice 45

Dans un plan orienté, on considère un parallélogramme ABCD de sens direct

1) Construire le triangle IAD rectangle et isocèle en I tel que
(IA, ID)=π2[2π]

et le triangle DCE rectangle isocèle en D tel que
(DC, DE)=π2[2π]

2) Soit R la rotation de centre I et d'angle π2

a) Quelle est l'image de A par R ?

b) Montrer que R(B)=E.

3) Soit A le symétrique de A par rapport à I.

a) Justifier que A=R(D)

b) Montrer que AE=BD et que les droites (AE) et (BD) sont perpendiculaires

Exercice 46

Dans un plan orienté ; on considère un triangle ABC de sens direct.

BAB et ACC deux triangles rectangles et isocèles en A et de sens direct

1) En utilisant la rotation r1 de centre A et d'angle π2, montrer que :

BC=BC et que (BC)(BC)

2) a) Montrer qu'il existe une unique rotation r2 qui transforme B en C et C en B

b) Déterminer son angle θ et construire son centre J

3) Soit E=B×C et F=C×B

a) Déterminer r1(F) et r2(E).

b) En déduire que AFJE est un carré.

Exercice 46

Dans un plan orienté ; on considère un triangle ABC rectangle et isocèle en A tel que

(AB, AC)=π2[2π].

On désigne par I le milieu de [BC] et par Δ la droite perpendiculaire à (BC) et passant par C et on désigne par K le point d'intersection de Δ et (AB).

1) Faire une figure

2) Soit R la rotation de centre A et d'angle π2.

a) Déterminer R(B), R((AC))etR((BC))

b) Déduire R(C) et R(I)

3) On désigne par ζ le cercle circonscrit au triangle ABC

Déterminer l'image ζ du cercle ζ par la rotation R puis déterminer ζζ

4) Soit M un point du plan tel que (MA, MB)=5π4[2π]

a) Déterminer l'ensemble des points M

b) On pose M=R(M), déterminer l'ensemble des points M lorsque M varie

c) On pose R(I)=J, montrer que (BM)(CM) et que IM=JM.
 

Exercice 47

Dans un plan orienté, on considère un carré ABCD de centre O tel que

(AB, AD)=π2[2π].

Soit R la rotation de centre O et d'angle π2.

1) a) Montrer que R(D)=A et R(C)=D

b) Déterminer la nature et les élément caractéristiques de RR

c) En déduire que R(A)=B

2) Soit M un point du segment [AD] distinct de A et D.

La perpendiculaire à la droite (MC) passant par D coupe le segment [AB] en un point N

a) Déterminer les images du segment [AD] et de la droite (MC) par la rotation R

b) En déduire que R(M)=N

c) En déduire que CM=DN et que (CM)(DN)

3) Soit ζ le cercle de centre O et passant par A ; la demi-droite [CM) recoupe le cercle ζ en E. Soit F le point de la demi-droite [DN) tel que DF=CE.

a) Montrer que R(E)=F.

b) Déterminer l'image de ζ par R.

c) En déduire l'ensemble des points F lorsque M varie sur le segment [AD].

Exercice 48

Dans un plan orienté ; on considère un triangle équilatéral ABC tel que

(AB, AC)=π3[2π].

 Soit I le milieu de [BC].
 
Soit le point J tel que B est le milieu de [JC]

Soit la rotation R1 de centre A et d'angle π3 et la rotation R2 de centre B et d'angle 2π3.

1) Soit A et B les images respectifs des points A et B par l'application R1R2

Montrer que I est le milieu de [AA] et que B est le milieu de [AB]

2) On pose M1=R1(M) et M2=R2(M).

En précisant la nature de R1R12.

Montrer que pour tout point M du plan, I est le milieu [M1M2]  

3) Montrer que l'application R1R2 est une rotation dont on déterminera le centre et l'angle.

Commentaires

Très bon

J'aimerais avoir svp, la correction de la série d'excercice sur transformation du plan. Merci d'avance.

Bonsoir, j'ai besoin de correction de tout les exercices sur la transformation du plan, merci et bonne suite...

Vous avez des très bons exercices et ils sont vraiment intéressants

la série est très intéressante.

svp la coorection des exercices

vos exercices sont intéressants et s il vous plait envoyé moi la correction

Vos exercices sont très interessant ; Puis-je avoir la correction?

S'il vous plait puis-je avoir le corrigé ?

Corrigé svp

Puis je avoir la solution des exercice ?

S'il vous plaît la correction

C'est trop bien les exercices, seulement des corrigés en manquent.

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