Série d'exercices sur les transformations du plan 1e S

Classe: 
Première

Généralités

Exercice 1

Le plan est rapporté à un repère $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$. Au point $M(x\;,\ y)$, on fait correspondre
$M'(x'\;,\ y')$ tel que :
$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} x' &=& \alpha x+\beta y \\ \\ y' &=& \gamma x+\delta y \end{array}\right.$$
$\alpha\;,\ \beta\;,\ \gamma\text{ et }\delta$ étant des réels donnés.

1) Cette correspondance est(elle une application de $\mathcal{P}$ vers $\mathcal{P}$ ?

A quelle condition est-ce une transformation de $\mathcal{P}$ ?

Déterminer alors la transformation réciproque.

2) On suppose la condition précédente vérifiée pour l'application $f_{1}$, correspondant aux réels $\alpha_{1}\;,\ \beta_{1}\;,\ \gamma_{1}\text{ et }\delta_{1}$ et pour pour l'application $f_{2}$, correspondant aux réels $\alpha_{2}\;,\ \beta_{2}\;,\ \gamma_{2}\text{ et }\delta_{2}.$

Montrer que $f_{2}\circ f_{1}$ est une transformation de $\mathcal{P}.$

Exercice 2

Dans le plan $\mathcal{P}$ rapporté à un repère $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$, on fait correspondre au point $M(x\;,\ y)$ le point $M'(x'\;,\ y')$.

Cette correspondance est-elle une application de $\mathcal{P}\text{ vers }\mathcal{P}$ ?

De $\mathcal{P}$ privé de certains points ?

a) $\left\lbrace\begin{array}{lcl} x' &=& x^{2}+y^{2} \\ \\ y' &=& x^{2}-y^{2}\end{array}\right.$

b) $\left\lbrace\begin{array}{lcl} x' &=& \sqrt{x} \\ \\ y' &=& \sqrt{y}\end{array}\right.$

c) $\left\lbrace\begin{array}{lcl} x' &=& \dfrac{x}{x^{2}+y^{2}} \\ \\ y' &=& \dfrac{y}{x^{2}+y^{2}}\end{array}\right.$

d) $\left\lbrace\begin{array}{lcl} x' &=& \sqrt{x^{2}+y^{2}} \\ \\ y' &=& x-y\end{array}\right.$

Exercice 3

Affinités

Soit deux droites sécantes $\mathcal{D}\text{ et }\Delta$ et un réel $k$ différent de zéro.

Par un point quelconque $M$ du plan, on trace la parallèle à $\Delta$ qui coupe $\mathcal{D}\text{ en }H$ et on construit le point $M'$ tel que $\overrightarrow{HM'}=k\overrightarrow{HM}$.

1) Montrer qu'on a ainsi défini une transformation $f$ du plan.

2) Déterminer les points invariants par $f$ et les droites globalement invariantes par $f.$

3) Déterminer l'image par $f$ d'une droite.

Soit un point $A$ et son image $A'\text{ par }f.$

Utiliser le résultat précédent pour construire simplement l'image $M'$ d'un point $M$ quelconque donné.

4) Déterminer $f^{-1}.$

5) En choisissant un repère $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ convenable, donner une expression analytique de $f.$

Exercice 4

Dans le plan rapporté au repère $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$, on considère les droites $\mathcal{D}\text{ et }\mathcal{D'}$ d'équations :

$\mathcal{D}\ :\ 3x+2y-6=0\;;\qquad \mathcal{D'}\ :\ x-4y+4=0$

Soit un point $M(x\;,\ y)$ du plan.

La parallèle à $\mathcal{D}$ menée par $M$ coupe $x'x\text{ en }H$; La parallèle à $\mathcal{D'}$ menée par $M$ coupe $y'y\text{ en }K$.

Soit $M'(x'\;,\ y')$ le point qui se projette en $H\text{ sur }x'x\text{ en }K\text{ sur }y'y.$

1) Montrer que $M'$ est l'image de $M$ dans une application $f\text{ de }\mathcal{P}\text{ dans }\mathcal{P}.$

$f$ est-elle une transformation de $\mathcal{P}$ ?

2) Donner une expression analytique de $f.$

3) Existe-t-il des points invariants par $f$ ?

4) Reprendre les questions précédentes avec $\mathcal{D}\ :\ x+y=0\text{ et }\mathcal{D'}\ :\ x-y=0$

Translations

Exercice 5

Soit $ABC$ un triangle.

Construire l'image de ce triangle par la translation de vecteur :

a) $\overrightarrow{AB}\;;\quad$ b) $\overrightarrow{BC}\;;\quad$ c) $\overrightarrow{CA}\;;\quad$ d) $\vec{V}\text{ quelconque.}$

2) On note $t_{\vec{u}}$ la translation de vecteur $\vec{u}$

Déterminer $t_{\overrightarrow{AB}}\circ t_{\overrightarrow{BC}}\circ t_{\overrightarrow{AC}}$

3) Soit $A'\;,\ B'\text{ et }C'$ les images de $A\;,\ B\text{ et }C$ par la translation $t_{\overrightarrow{AB}}\circ t_{\overrightarrow{AC}}$

Quelle est la nature des quadrilatères $ABA'C\;,\ BCC'B'\;,\ ABB'C$ ?

4) Le quadrilatère $ABA'C$ peut-il être un losange ? un carré ?

Exercice 6

On considère un parallélogramme $ABCD.$

Construire l'image de ce parallélogramme par la translation de vecteur :

a) $\overrightarrow{AB}\;;\qquad$ b) $\overrightarrow{BC}\;;\qquad$ c) $\overrightarrow{CA}\;;\qquad$ d) $\vec{V}\text{ quelconque}$

Exercice 7

1) Soient deux cercles $\mathcal{C}\text{ et }\mathcal{C'}$ de centres $O\text{ et }O '$ et de même rayon.

Montrer que l'un de ces deux cercles est l'image de l'autre dans une translation que l'on précisera.

2) On suppose maintenant que $\mathcal{C}\text{ et }\mathcal{C'}$ sont sécants en $A\text{ et }B.$

$t$ désigne la translation de vecteur $\overrightarrow{OO'}$

Soit $M$ un point de $\mathcal{C}\text{ et }M'$ son image par $t.$

Démontrer que $A$ est l'orthocentre du triangle $MBM'.$

Exercice 8

On considère un parallélogramme $ABCD$, les sommets $A\text{ et }B$ étant fixes.

Quel est l'ensemble des points $D$ lorsque $C$ décrit une droite ou un cercle donné ?

Exercice 9

Soit deux droites sécantes $\mathcal{D}\text{ et }\mathcal{D'}$ et un vecteur $\vec{u}$

Construire un segment $[MM']$ tel que $M$ appartienne à $\mathcal{D}\;,\ M'\text{ appartienne à }\mathcal{D'}$ et que l'on ait $\overrightarrow{MM'}=\vec{u}$

Exercice 10

On donne un cercle $\mathcal{C}$ et deux point $A\text{ et }B.$

Construire, en utilisant une translation deux points $P\text{ et }Q\text{ de }\mathcal{C}$ tels que $ABPQ$ soit un parallélogramme.

Exercice 11

$A\;,\ B\text{ et }C$ sont 3 points non alignés ; $t$ est la translation qui transforme $A\text{ en }B.$

$D$ est l'image de $B\text{ par }t.$ La parallèle à $(BC)$ menée par $\mathcal{D}$ coupe $(AC)\text{ en }E.$

Démontrer que $C$ est le milieu de $[AE].$

Exercice 12

$ABC$ est un triangle.

$M\text{ et }N$ sont les points définis par $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{CA}\text{ et } \overrightarrow{BN}=\overrightarrow{MB}$

1) Construire $M\text{ et }N.$

2) La translation qui transforme $B\text{ en }N$ transforme $A\text{ en }E.$

Montrer que $(EN)\parallel (AB)\text{ et }(CE)\parallel (AB).$

Que peut-on en déduire pour les points $C\;,\ E\text{ et }N$ ?

Exercice 13

Construire la droite passant par $P$ et concourante à $D\text{ et }D'.$

Exercice 14

Soit un triangle $ABC$ d'orthocentre $H$ et deux points $D\text{ et }E$ tels que $BCDE$ soit un parallélogramme.

Les perpendiculaires menées de $D\text{ à }(AB)\text{ et de }E\text{ à }(AC)$ se coupent en $K.$

1) Montrer que $K$ est le transformé de $H$ dans la translation de vecteur $\overrightarrow{BE}$

2) En déduire une condition pour que $A\;,\ H\;,\ K$ soient alignés.

Exercice 15

On considère un parallélogramme $ABCD.$

1) Montrer qu'il existe une translation qui transforme la droite $(AB)$ en la droite $(DC)$ et la droite $(AD)$ en la droite $(BC).$

2) Soit $K$ un point du plan.

Une droite $\Delta$ passant par $K\text{ coupe }(AB)\text{ et }(DC)\text{ en }M\text{ et }N$ respectivement, $(AD)\text{ et }(BC)\text{ en }P\text{ et }Q$ respectivement.

Montrer qu'il existe deux droites $\Delta$ telles que les segments $[MN]\text{ et }[PQ]$ aient la même longueur.

Exercice 16

On considère un triangle $ABC$ et une droite $D$ passant par $A.$

On marque sur $D$ deux points $P\text{ et }Q$ tels que $A$ soit le milieu de $[PQ].$

Soit $P'$ l'image de $P$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}\text{ et }Q'$ l'image de $Q$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{AC}.$

Montrer que les segments $[BC]\text{ et }[PQ]$ ont le même milieu.

Exercice 17

Le plan est muni d'un repère $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$

Donner l'expression analytique de la translation de vecteur $\vec{V}$ et une équation cartésienne de la transformée de la droite $\mathcal{D}$ et du cercle $\mathcal{D}$ dans chacun des cas suivants :

1) $\vec{V}(4\;,\ -1)\quad \mathcal{D}\ :\ 5x-y+4=0\quad \mathcal{C}\ :\ x^{2}+y^{2}-9=0.$

2) $\vec{V}(-3\;,\ -5)\quad  \mathcal{D}\ :\ x+4y+1=0\quad \mathcal{C}\ :\ x^{2}+y^{2}-2x-2y-7=0$

Exercice 18

Dans le plan muni du repère $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$, on considère les points

$A(2\;,\ 0)\;,\ B(1\;,\ -2)\;,\ C(-1\;,\ 2)\text{ et }D(3\;,\ 3).$

Soit $t$ la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}\text{ et }B'\;,\ C'\text{ et }D'$ les images respectives de $B\;,\ C\text{ et }D\text{ par }t.$

1) Écrire les formules analytiques de $t$ et en déduire les coordonnées des points $B'\;,\ C'\text{ et }D'.$

2) Soit $G$ le barycentre des points pondérés $(B\;,\ 2)\text{ et }(D\;,\ -3).$

Déterminer les coordonnées de $G.$

3) Soit $G'$ l'image de $G\text{ par }t.$

Déterminer les coordonnées de $G'$ et vérifier que le point $G'$ est le barycentre des points pondérés $(B'\;,\ 2)\text{ et }(D'\;,\ -3).$

4) Soit $K$ l'isobarycentre des points $B\;,\ C\text{ et }D.$ Déterminer les coordonnées de $K.$

5) Montrer que $K'$, image de $K$, est l'isobarycentre des points $B'\;,\ C'\text{ et }D'.$

Exercice 19

$\mathcal{D}\text{ et }\mathcal{D'}$ sont deux droits parallèles ; $A\text{ et }B$ sont deux points fixes situés à l'extérieur de la bande de plan déterminée par $\mathcal{D}\text{ et }\mathcal{D'}$ et de part et d'autre de cette bande.

Déterminer un point $M\text{ sur }\mathcal{D}$ et un point $M'\text{ sur }\mathcal{D'}$ tels que la droite $(MM')$ soit perpendiculaire à $\mathcal{D}\text{ et }\mathcal{D'}$ et que la somme $AM+MM'+M'B$ soit minimale.

Exercice 20

$\mathcal{D}\text{ et }\mathcal{D'}$ sont deux droits parallèles ; $A\text{ et }B$ sont deux points fixes situés de part et d'autre de la bande comprise entre $D\text{ et }\mathcal{D'}.$

Une droite $(\Delta)$ variable, de direction fixée, coupe respectivement $\mathcal{D}\text{ et }\mathcal{D'}\text{ en }M\text{ et }M'.$

Déterminer $(\Delta)$ pour que la longueur de la ligne brisée $AMM'B$ soit minimale.

Homothéties

Exercice 21

Soit un triangle $ABC.$

Construire l'image de ce triangle par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ dans les cas suivants :

$a)\ O=A\text{ et }k=-1.\qquad b)\ O=A\text{ et }k=2$

$c)\ O\text{ est le milieu de }[BC]\text{ et }k=2.$

$d)\ O\text{ et }k\text{ sont quelconques.}$

Exercice 22

Montrer que l'image d'un carré par une homothétie est un carré.

Exercice 23

Soit $A\text{ et }B$ deux points du plan, $A'\text{ et }B'$ leurs images par une homothétie $h$ de centre $O$ et de rapport $k$ ; montrer que l'image par $h$ du milieu $I\text{ de }[AB]$ est le milieu $I'\text{ de }[A'B'].$

En déduire que l'image du centre de gravité $G$ d'un triangle $ABC$ par $h$ est le centre de gravité du triangle $A'B'C'$ homothétique du triangle $ABC.$

Exercice 24

Soit $O\;,\ A\;,\ B$ trois points donnés.

Montrer qu'il existe une unique homothétie $h$ de centre $O$ transformant $A\text{ en }B$ dans les cas suivants ; (on déterminera son rapport) :

$a)\ \overrightarrow{OB}=-\dfrac{3}{2}\overrightarrow{OA}\qquad b)\ \overrightarrow{AB}=5\overrightarrow{OA}\qquad c)\ \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\vec{0}$

Exercice 25

Soit $A\text{ et }B$ deux points donnés.

Montrer qu'il existe une unique homothétie $h$ de rapport $k$ transformant $A\text{ en }B$ dans les cas suivants (on déterminera son centre) :

$a)\ k=2\qquad b)\ k=-\dfrac{1}{2}\qquad c)\ k=-1$

Exercice 26

Soient $A\;,\ B\;,\ A'\;,\ B'$ des points donnés du plan.

On suppose que $A\text{ et }B$ sont distincts, $A'\text{ et }B'$ sont distincts, les droites $(AB)\text{ et }(A'B')$ sont parallèles, et $\overrightarrow{AB}\neq \overrightarrow{A'B'}$

Montrer qu'il existe une unique homothétie $h$ transformant $A\text{ en }A'\text{ et } B\text{ en }B'$

(construire son centre et déterminer son rapport).

Exercice 27

Soit deux triangles $ABC\text{ et }A'B'C'$ dont les cotés $(AB)\text{ et }(A'B')$

$(BC)\text{ et }(B'C')\;,\ (CA)\text{ et }(C'A')$ sont parallèles.

1) On suppose que $AB=A'B'.$

Montrer que l'un de ces triangles est l'image de l'autre dans une translation ou dans une symétrie centrale que l'on précisera.

(On distinguera les deux cas $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A'B'}\text{ et }\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{A'B'})$

2) On suppose que $AB\neq A'B'.$

Montrer que l'un de ces triangles est l'image de l'autre dans une homothétie que l'on précisera

Exercice 28

Soit un parallélogramme $ABCD.$

Construire l'image de ce parallélogramme par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ dans les cas suivants :

$a)\ O=A\text{ et }k=-1\qquad b)\ O=A\text{ et }k=2$

$c)\ O\text{ est le milieu de }[BC]\text{ et }k=2\qquad d)\ O\text{ et }k\text{ sont quelconques.}$

Exercice 29

Montrer que la composée de deux symétries centrales est une translation.

Exercice 30

Soit $ABC$ un triangle.

On note $A'\text{ et }B'$ les milieux des cotés $[BC]\text{ et }[AC]$, $H$ l'orthocentre, $G$ le centre de gravité et $O$ le centre du cercle circonscrit au triangle $ABC.$

On considère l'homothétie $h$ de centre $G$ qui transforme $A\text{ en }A'.$

Quel est son rapport ?

Quelle est l'image de la droite $(AH)$ ? de la droite $(BH)$ ?

En déduire que $H\;,\ G\;,\ O$ sont alignés (la droite contenant ces points est appelée  droite d'Euler).

Exercice 31

Le plan est rapporté au repère $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

On considère le point $I(-2\;,\ 3)$ et la droite $D$ d'équation $2x+y-3=0.$

Définir analytiquement l'homothétie de centre $I$ et de rapport $-\dfrac{2}{3}$, puis donner une équation de l'image de $D\text{ par }h.$

Exercice 32

On considère deux droites $D\text{ et }D'$ sécantes en $O$ et un point $A$ extérieur à ces droites.

Le but de l'exercice est de construire $M\text{ sur }D\text{ et }N\text{ sur }D'$ vérifiant la relation vectorielle :

$\overrightarrow{AN}=-2\overrightarrow{AM}.$

1) Montrer que $N$ est l'image de $M$ par une transformation que l'on précisera.

2) En déduire que $N$ est aussi sur une droite $\Delta$ que l'on précisera.

3) Achever la construction.

Exercice 33

On considère un triangle $ABC$ ayant 3 angles aigus.

$M$ est un point de $[AB].$

$P\text{ et }N$ sont deux points de $[BC].$

$Q$ est tels que $MNPQ$ est un carré.

Construire grâce à une homothétie un carré $IJKL$ dont tous les sommets sont sur les cotés du triangle $ABC.$

Exercice 34

Soit $C$ un cercle et soit $A\text{ et }B$ deux points extérieurs au cercle, $I$ étant le milieu de $[AB].$

1) A tout point $M\text{ de }C$ on associe le point $N$ centre de gravité de $ABM.$

Montrer que $N$ est l'image de $M$ par une homothétie bien choisie.

Déterminer et construire l'ensemble des points $N$ lorsque $M$ décrit $C.$

2) A tout point $M\text{ de }C$ on associe le point $P$ tel que $AMBP$ soit un parallélogramme.

Montrer que $P$ est l'image de $M$ par une transformation que l'on précisera.

Déterminer et construire l'ensemble des points $P$ lorsque $M$ décrit $C.$

Exercice 35

$ABCD$ est un trapèze où les droites $(AB)\text{ et }(CD)$ sont parallèles alors que $(AD)\text{ et }(BC)$ ne le sont pas.

Soient $M\text{ et }N$ les milieux de $[AB]\text{ et }[CD]$, $I$ le point d'intersection de $(AC)\text{ et }(BD)$, $J$ le point d'intersection de $(AD)\text{ et }(BC).$

1) On considère l'homothétie $h$ de centre $I$ qui transforme $A\text{ en }C.$

Quelle est l'image de $B$ ?

2) En déduire que $I\;,\ M\;,\ N$ sont alignés.

3) Montrer de même que $J\;,\ M\;,\ N$ sont alignés.

Exercice 36

Composée de deux homothéties de centres distincts

Soit $h_{1}$ une homothétie de centre $O_{1}$ et de rapport $k_{1}\text{ et }h_{2}$ une homothétie de centre $O_{2}$ et de rapport $k_{2}.$

On pose $f=h_{2}\circ h_{1}.$

1) Soit $M$ un point quelconque du plan, $M_{1}=h_{1}(M)\text{ et }M'=h_{2}(M_{1}).$

On a donc :
$$\overrightarrow{O_{1}M'}=k_{1}\overrightarrow{O_{1}M}\text{ et }\overrightarrow{O_{2}M'}=k_{2}\overrightarrow{O_{2}M_{1}}$$

En déduire que :

$\overrightarrow{O_{1}M'}=k_{1}k_{2}\overrightarrow{O_{1}M}+(1-k_{2})\overrightarrow{O_{1}O_{2}}\quad (1)$

2) On suppose que $k_{1}k_{2}=1.$

Démontrer que l'égalité (1) s'écrit :
$$\overrightarrow{MM'}=(1-k_{2})\overrightarrow{O_{1}O_{2}}$$

En déduire la nature de l'application $f.$

3) On suppose que $k_{1}k_{2}\neq 1.$

a) Démontrer qu'un point $O$ est invariant par $f$ si et seulement si :
$$\overrightarrow{O_{1}O}=k_{1}k_{2}\overrightarrow{O_{1}O}+(1-k_{2})\overrightarrow{O_{1}O_{2}}\quad (2).$$

En déduire l'existence et l'unicité d'un tel point $O$, défini par :
$$\overrightarrow{O_{1}O}=\dfrac{1-k_{2}}{1-k_{1}k_{2}}\overrightarrow{O_{1}O_{2}}$$

b) Déduire de (1) et (2) que $f$ est l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k_{1}k_{2}.$

Exercice 37

Centre d'homothétie de deux cercles

A) Deux cercles $\mathcal{C}(O\;,\ R)\text{ et }\mathcal{C'}(O'\;,\ R')$ étant donnés, on se propose de déterminer les homothéties transformant $\mathcal{C}\text{ en }\mathcal{C'}.$

1) Soit $h$ une telle homothétie, si elle existe et $k$ son rapport.

Montrer que l'on a :
$$k=\dfrac{R'}{R}\text{ ou }k=-\dfrac{R'}{R}.$$

2) a) Démontrer que, s'il existe une homothétie de rapport $\dfrac{R'}{R}$ transformant $\mathcal{C}\text{ en }\mathcal{C'}$, son centre $I$ est tel que $R\;\overrightarrow{IO'}+R'\overrightarrow{IO}=\vec{0}.\quad(1)$

Démontrer que si $R\neq R'$, l'égalité (1) définit un point $I$ et un seul.

b) Vérifier que l'homothétie de centre $I$ et de rapport $\dfrac{R'}{R}$ répond alors à la question.

3) a) Démontrer que, s'il existe une homothétie de rapport $-\dfrac{R'}{R}$ transformant $\mathcal{C}\text{ en }\mathcal{C'}$, son centre $J$ est tel que $R\;\overrightarrow{JO'}+R'\overrightarrow{JO}=\vec{0}.\quad(2)$

Démontrer que l'égalité (2) définit un point $J$ et un seul.

b) Vérifier que l'homothétie de centre $J$ et de rapport $\dfrac{R'}{R}$ répond alors à la question.

Ainsi, étant donnés deux cercles $\mathcal{C}\text{ et }\mathcal{C'}$ de centres $O\text{ et }O'$ et de rayons $R\text{ et }R'$ distincts, il existe deux homothéties transformant $\mathcal{C}\text{ en }\mathcal{C'}.$

La première est l'homothétie de centre le point $I$ tel que $\overrightarrow{IO'}=-\dfrac{R'}{R}\overrightarrow{JO}$ et de rapport $-\dfrac{R'}{R}$

La seconde est l'homothétie de centre le point $J$ tel que $\overrightarrow{JO'}=-\dfrac{R'}{R}\overrightarrow{JO}$ et de rapport $-\dfrac{R'}{R}.$

Notons que si $O\text{ et }O'$ sont distincts, alors $I\text{ et }J$ sont alignés avec $O\text{ et }O'$ (droite des centres des deux cercles) et on a :

$\dfrac{\overline{IO'}}{\overline{IO}}=-\dfrac{\overline{JO'}}{\overline{JO}}=\dfrac{R'}{R}.$

$I\text{ et }J$ sont appelés centres d'homothétie des cercles $\mathcal{C}\text{ et }\mathcal{C'}.$

4) Étudier le cas où $O=O'$, puis celui où $R=R'\text{ et }O\neq O'.$

Conclure par un théorème.

B) Soient $\mathcal{C}\text{ et }\mathcal{C'}$ deux cercles de centres $O\text{ et }O'$ distincts et de rayons $R\text{ et }R'$ distincts.

Soient $I\text{ et }J$ leurs centres d'homothétie.

1) Deux demi-droites $Ox\text{ et }O'x'$ parallèles et de même sens, coupent respectivement $\mathcal{C}\text{ en }A\text{ et }\mathcal{C'}\text{ en }A'.$

Démontrer que la droite $(AA')$ passe par $I.$

2) Deux demi-droites $Ox\text{ et }O'x'$ parallèles et de sens contraires, coupent respectivement $\mathcal{C}\text{ en }A\text{ et }\mathcal{C'}\text{ en }A''.$

Démontrer que la droite $(AA'')$ passe par $J.$

3) Déduire des deux questions précédentes une construction des centres d'homothétie $I\text{ et }J.$

B) Soit $\mathcal{D}$ une droite tangente à $\mathcal{C}\text{ en }A$ et tangente à $\mathcal{C'}\text{ en }A'.$

1) Démontrer que la droite $\mathcal{D}$ passe par $I\text{ ou }J.$

2) En déduire que les éventuelles tangentes communes à $\mathcal{C}\text{ et }\mathcal{C'}$ sont les tangentes à $\mathcal{C}$ passant par $I\text{ et }J$, s'il en existe.

3) Construire $I\text{ et }J$ et les tangentes communes à $\mathcal{C}\text{ et }\mathcal{C'}$ dans les cas suivants :

a) $\mathcal{C}\text{ et }\mathcal{C'}$ sont extérieurs : $OO'>R+R'$ ;

b) $\mathcal{C}\text{ et }\mathcal{C'}$ sont tangents extérieurement : $OO'=R+R'$ ;

c) $\mathcal{C}\text{ et }\mathcal{C'}$ sont sécants : $|R-R'|<OO'<R+R'$ ;
d) $\mathcal{C}\text{ et }\mathcal{C'}$ sont tangents intérieurement : $OO'=|R-R'|$ ;

e) un des deux cercles $\mathcal{C}\text{ et }\mathcal{C'}$ est extérieur à l'autre : $OO'<|R-R'|.$

Exercice 38

La figure ci-après obtenue à partir des quatre droites $(AC)\;,\ (CF)\;,\ (AD)\text{ et }(FB)$

sécantes deux à deux est appelée quadrilatère complet de sommets $A\;,\ B\;,\ C\;,\ D\;,\ E\text{ et }F.$

On se propose de démontrer que les segments $[AF]\;,\ [BD]\text{ et }[EC]$ ont leurs milieux respectifs $I\;,\ J\;,\ K$ alignés.

1) Construire les points $R\text{ et }S$ tels que les quadrilatères $FBRD\text{ et }ESCF$ sont des parallélogrammes.

2) On considère l'homothétie $h_{1}$ de centre $A$ qui transforme $B\text{ en }C$ et l'homothétie $h_{2}$ de centre $A$ qui transforme $D\text{ en }E.$

a) Démontrer que l'image de la droite $(BR)\text{ par }h_{2}\circ h_{1}$ est la droite $(ES).$

b) Déterminer l'image de la droite $(DR)\text{ par }h_{1}\circ h_{2}.$

c) Que dire des transformations $h_{1}\circ h_{2}\text{ et }h_{2}\circ h_{1}$ ?

On pose $h=h_{1}\circ h_{2}.$ Déterminer $h(R).$

En déduire que les points $A\;,\ R\text{ et }S$ sont alignés.

3) On considère l'homothétie $h'$ de centre $F$ et de rapport $\dfrac{1}{2}.$

Déterminer les images des points $A\;,\ R\;,\ S\text{ par }h'.$

En déduire que les points $I\;,\ J\text{ et }K$ sont alignés.

Exercice 39

1) On considère un cercle $C$ de centre $O$, et deux tangentes à $C$ sécantes en $I.$

Montrer que $O$ est sur la bissectrice de l'angle formé par les deux tangentes.

2) Soient deux droites $D\text{ et }D'$ sécantes en $I$, $A$ un point extérieur aux deux droites.

Construire un cercle tangent à $D\text{ et }D'$ :

choisir son centre en tenant compte de la question 1 et construire les points de contact de ce cercle avec $D\text{ et }D'.$

3) Construire en utilisant des homothéties deux cercles tangents à $D\text{ et }D'$ passant par $A.$

Justifier la construction.

Réflexions

Exercice 40

Soit $ABCD$ un parallélogramme et $s$ la réflexion d'axe $(BD).$

On désigne par $A\text{ et }C'$ les images respectives de $A\text{ et }C\text{ par }s.$

1) Déterminer l'image par $s$ de la droite $(AC)$, puis celle du segment $[AC].$

2) Montrer que le milieu $I\text{ de }[AC]$ est invariant par $s.$

3) Déduire des questions précédentes que $AA'CC'$ est un rectangle.

Exercice 41

Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$, $K$ le milieu de $[BC]$, $H$ le projeté orthogonal de $A\text{ sur }[BC]$, $I\text{ et }J$ les projetés orthogonaux de $H\text{ sur }(AB)\text{ et }(AC)$ respectivement.

Le but de l'exercice est de montrer que les droites $(AK)\text{ et }(IJ)$ sont perpendiculaires.

On désigne par $s$ la réflexion d'axe $(AB)$ et on pose $C'=s(C)\;,\ H'=s(H).$

1) a) Construire les points $H'\text{ et }C'.$

Montrer que $B\;,\ H'\text{ et }C'$ sont alignés.

b) Construire le plus simplement possible le point $K'=s(K).$

2) a) Quelle est la nature de $AKK'C'$ ?

b) Montrer que $(IJ)\text{ et }(AH')$ sont parallèles.

3) Montrer que $(AH')\text{ et }(BC')$ sont perpendiculaires.

4) Déduire des questions précédentes que les droites $(AK)\text{ et }(IJ)$ sont perpendiculaires

Exercice 42

$ABC$ est un triangle.

On note $H$ son orthocentre et $O$ le centre de son cercle circonscrit $\mathcal{C}.$

$[AD]$ est un diamètre de $\mathcal{C}.$

La droite $(AH)$ recoupe $\mathcal{C}\text{ en }A''\text{ et }(BC)\text{ en }A'.$

Le point $O'$ est le milieu de $[BC]\text{ et }\Delta$ est la parallèle à $(BC)$ passant par $O.$

On note $s_{1}$    la réflexion d'axe $\Delta$ et $s_{2}$ la réflexion d'axe $(BC).$

1) Montrer que le quadrilatère $BHCD$ est un parallélogramme.

2) Montrer, en utilisant une homothétie, que $\overrightarrow{AH}=2\overrightarrow{OO}.$

3) Identifier la transformation $s_{2}\circ s_{1}.$

Donner l'image de $A\text{ par }s_{2}\circ s_{1}$ et préciser alors $s_{2}\circ s_{1}.$

4) Quelle est l'image de $H\text{ par }s_{2}$ ?

Formuler alors une propriété remarquable de l'orthocentre du triangle et du cercle circonscrit.

5) Application :

Construire un triangle $ABC$ connaissant son cercle circonscrit $\mathcal{C}$ de centre $O$, son orthocentre $H$ et un point $D\text{ du coté }[BC].$

Rotations. Composée D'isométries

Exercice 43

Dans un plan orienté, on considère un triangle $ABC$ tel que $(\overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{AC})=\dfrac{\pi}{3}[2\pi]\text{ et }AB<AC$;

On désigne par $\zeta$ le cercle circonscrit à ce triangle et par $O$ son centre

1) Faire un figure

2) Soit $E=\{M\in\;P \setminus(\overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{AC})=\dfrac{\pi}{3}[2\pi]\}$

a) Vérifier que $A\in\; E$ puis déterminer et construire $E$

b) Déterminer et construire le point $I$ tel que $IB=IC\text{ et }(\overrightarrow{IB}\;,\  \overrightarrow{IC})=\dfrac{\pi}{3}[\pi]$

3) Soit $P$ le point du segment $[AC]$ tel que $CP=AB$

a) Montrer qu'il existe une unique rotation $R$ telle que $R(A)=P\text{ et }R(B)=C$, quel est son angle

b) Déterminer le centre de la rotation $R$

4) Donner la nature du triangle $IAP$ et en déduire que : $AC=AI+AB$

5) Soit $M$ un point variable de l'ensemble $F\text{ et }G$ le centre de gravité du triangle $MBC.$

Déterminer et construire l'ensemble décrit par le point $G$ lorsque $M$ décrit $E$

Exercice 44

Soit $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ un repère orthonormé du plan

Soit $f$ l'application qui à tout point $M(x\;,\ y)$ du plan associe le point $M'(x'\;,\ y')$ du plan tel que
$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} x' &=& \dfrac{1}{2}x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}y+\dfrac{\sqrt{3}-2}{2} \\ \\ y' &=& \dfrac{\sqrt{3}}{2}x+\dfrac{1}{2}y+\dfrac{1+2\sqrt{3}}{2}\end{array}\right. $$

1) Montrer que $f$ est une isométrie du plan

2) Montrer que le point $\Omega(-2\;,\ 1)$ est l'unique point invariant par $f$

3) Soit les points $M(x\;,\ y)\text{ et }M'(x'\;,\ y')$ tel que $f(M)=M'$

a) Exprimer en fonction de $x\text{ et }y$ $\overrightarrow{\Omega M}\cdot \overrightarrow{\Omega M'}$ et déterminer $(\overrightarrow{\Omega M}\;,\ \overrightarrow{\Omega M'}).$

b) En déduire la mesure principale de l'angle $(\overrightarrow{\Omega M}\;,\ \overrightarrow{\Omega M'}).$

c) Quelle est alors la nature de $f$ ?

Exercice 45

Dans un plan orienté, on considère un parallélogramme $ABCD$ de sens direct

1) Construire le triangle $IAD$ rectangle et isocèle en $I$ tel que
$(\overrightarrow{IA}\;,\ \overrightarrow{ID})=\dfrac{\pi}{2}[2\pi]$

et le triangle $DCE$ rectangle isocèle en $D$ tel que
$(\overrightarrow{DC}\;,\ \overrightarrow{DE})=\dfrac{\pi}{2}[2\pi]$

2) Soit $R$ la rotation de centre $I$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$

a) Quelle est l'image de $A\text{ par }R$ ?

b) Montrer que $R(B)=E.$

3) Soit $A'$ le symétrique de $A$ par rapport à $I.$

a) Justifier que $A'=R(D)$

b) Montrer que $A'E=BD$ et que les droites $(A'E)\text{ et }(BD)$ sont perpendiculaires

Exercice 46

Dans un plan orienté ; on considère un triangle $ABC$ de sens direct.

$BAB'\text{ et }ACC'$ deux triangles rectangles et isocèles en $A$ et de sens direct

1) En utilisant la rotation $r_{1}$ de centre $A$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$, montrer que :

$BC'=B'C\text{ et que }(BC')\perp (B'C)$

2) a) Montrer qu'il existe une unique rotation $r_{2}$ qui transforme $B\text{ en }C\text{ et }C'\text{ en }B'$

b) Déterminer son angle $\theta$ et construire son centre $J$

3) Soit $E= B\times C'\text{ et }F=C\times B'$

a) Déterminer $r_{1}(F)\text{ et }r_{2}(E).$

b) En déduire que $AFJE$ est un carré.

Exercice 46

Dans un plan orienté ; on considère un triangle $ABC$ rectangle et isocèle en $A$ tel que

$(\overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{AC})=\dfrac{\pi}{2}[2\pi].$

On désigne par $I$ le milieu de $[BC]$ et par $\Delta$ la droite perpendiculaire à $(BC)$ et passant par $C$ et on désigne par $K$ le point d'intersection de $\Delta\text{ et }(AB).$

1) Faire une figure

2) Soit $R$ la rotation de centre $A$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}.$

a) Déterminer $R(B)\;,\ R((AC))et R((BC))$

b) Déduire $R(C)\text{ et }R(I)$

3) On désigne par $\zeta$ le cercle circonscrit au triangle $ABC$

Déterminer l'image $\zeta'$ du cercle $\zeta$ par la rotation $R$ puis déterminer $\zeta\cap\zeta'$

4) Soit $M$ un point du plan tel que $(\overrightarrow{MA}\;,\ \overrightarrow{MB})=\dfrac{5\pi}{4}[2\pi]$

a) Déterminer l'ensemble des points $M$

b) On pose $M'=R(M)$, déterminer l'ensemble des points $M'$ lorsque $M$ varie

c) On pose $R(I)=J$, montrer que $(BM)\perp (CM')\text{ et que }IM=JM'.$
 

Exercice 47

Dans un plan orienté, on considère un carré $ABCD$ de centre $O$ tel que

$(\overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{AD})=\dfrac{\pi}{2}[2\pi].$

Soit $R$ la rotation de centre $O$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}.$

1) a) Montrer que $R(D)=A\text{ et }R(C)=D$

b) Déterminer la nature et les élément caractéristiques de $R\circ R$

c) En déduire que $R(A)=B$

2) Soit $M$ un point du segment $[AD]$ distinct de $A\text{ et }D.$

La perpendiculaire à la droite $(MC)$ passant par $D$ coupe le segment $[AB]$ en un point $N$

a) Déterminer les images du segment $[AD]$ et de la droite $(MC)$ par la rotation $R$

b) En déduire que $R(M)=N$

c) En déduire que $CM=DN\text{ et que }(CM)\perp (DN)$

3) Soit $\zeta$ le cercle de centre $O$ et passant par $A$ ; la demi-droite $[CM)$ recoupe le cercle $\zeta\text{ en }E.$ Soit $F$ le point de la demi-droite $[DN)$ tel que $DF=CE.$

a) Montrer que $R(E)=F.$

b) Déterminer l'image de $\zeta$ par $R.$

c) En déduire l'ensemble des points $F$ lorsque $M$ varie sur le segment $[AD].$

Exercice 48

Dans un plan orienté ; on considère un triangle équilatéral $ABC$ tel que

$(\overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{AC})=\dfrac{\pi}{3}[2\pi].$

 Soit $I$ le milieu de $[BC].$
 
Soit le point $J$ tel que $B$ est le milieu de $[JC]$

Soit la rotation $R_{1}$ de centre $A$ et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$ et la rotation $R_{2}$ de centre $B$ et d'angle $-\dfrac{2\pi}{3}.$

1) Soit $A'\text{ et }B'$ les images respectifs des points $A\text{ et }B$ par l'application $R_{1}\circ R_{2}$

Montrer que $I$ est le milieu de $[AA']$ et que $B$ est le milieu de $[AB']$

2) On pose $M_{1}=R_{1}(M)\text{ et }M_{2}=R_{2}(M).$

En précisant la nature de $R_{1}\circ R_{2}^{-1}.$

Montrer que pour tout point $M$ du plan, $I$ est le milieu $[M_{1}M_{2}]$  

3) Montrer que l'application $R_{1}\circ R_{2}$ est une rotation dont on déterminera le centre et l'angle.

Commentaires

3

Très bon

J'aimerais avoir svp, la correction de la série d'excercice sur transformation du plan. Merci d'avance.

Bonsoir, j'ai besoin de correction de tout les exercices sur la transformation du plan, merci et bonne suite...

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