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Triangle rectangle : Théorème de Pythagore - 4e

Classe:

Quatrième

I. Rappel

On appelle triangle rectangle tout triangle possédant un angle de $90^{\circ}$ donc, deux côtés perpendiculaires.

Remarques

$-\ $ Comme $mes\;\hat{A}=90^{\circ}$ alors, $\hat{B}\ $ et $\ \hat{C}$ sont complémentaires.

$-\ $ Le milieu de l'hypoténuse est le centre du cercle circonscrit à $ABC.$

$-\ $ Le sommet de l'angle droit $(A)$ est l'hortocentre de $ABC.$

II. Théorème de Pythagore

II.1. Activité

$KLMN$ est un carré dont $O\;,\ P\;,\ Q\ $ et $\ R$ sont respectivement les milieux de $[KL]\;,\ [LM]\;,\ [MN]\ $ et $\ [NK].$

$x\;,\ y\ $ et $\ z$ sont des mesures de longueur.

Calculons de deux manières différentes l'aire $\mathcal{A}$ du carré $KLMN.$

$\centerdot\ $ 1e méthode

$\begin{array}{rcl}\mathcal{A}&=&(x+y)(x+y)\\ \\&=&(x+y)^{2}\end{array}$

Donc, $\boxed{\mathcal{A}=(x+y)^{2}}$

$\centerdot\ $ 2e méthode

$\begin{array}{rcl}\mathcal{A}&=&\mathcal{A}_{1}+\mathcal{A}_{2}+\mathcal{A}_{3}+\mathcal{A}_{4}+\mathcal{A}_{5}\\ \\&=&\dfrac{xy}{2}+\dfrac{xy}{2}+\dfrac{xy}{2}+\dfrac{xy}{2}+z^{2}\\ \\&=&4\times\dfrac{xy}{2}+z^{2}\\ \\&=&2xy+z^{2}\end{array}$

Ainsi, $\boxed{\mathcal{A}=2xy+z^{2}}$

Finalement :

$\begin{array}{rcrcl} 2xy+z^{2}=(x+y)^{2}&\Leftrightarrow&2xy+z^{2}&=&x^{2}+2xy+y^{2}\\ \\&\Leftrightarrow&z^{2}&=&x^{2}+y^{2}\end{array}$

D'où, $\boxed{z^{2}=x^{2}+y^{2}}$

II.2. Énoncé du théorème

Pour tout triangle rectangle le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des côtés perpendiculaires.

Application

$EFG$ est un triangle rectangle en $F$ tel que :

$$FG=3\;cm\quad\text{et}\quad FE=5\;cm$$

Faire la figure et calculer $EG.$

Solution

Comme $EFG$ est rectangle en $F$ alors,

$$EG^{2}=EF^{2}+FG^{2}$$

Donc,

$\begin{array}{rcl} EG^{2}&=&3^{2}+4^{2}\\ \\&=&9+16\\ \\&=&25\end{array}$

Par suite, $EG=\sqrt{25}=5$

D'où, $\boxed{EG=5\;cm}$

III. Réciproque du théorème de Pythagore

III.1. Activité

$ABC$ est un triangle tel que :

$$AB=6\;cm\;;\ AC=8\;cm\ \text{et}\ BC=10\;cm$$

1) Calculer $AB^{2}\;;\ AC^{2}\ $ et $\ BC^{2}$

2) Comparer $AB^{2}+AC^{2}\ $ et $\ BC^{2}$

3) Le théorème de Pythagore est-il vérifié ?

En déduire la nature du triangle $ABC.$

Solution

1) Calculons :

$AB^{2}=6^{2}=36$

$AC^{2}=8^{2}=64$

$BC^{2}=10^{2}=100$

2) On a :

$\begin{array}{rcl} AB^{2}+AC^{2}&=&36+64\\ \\&=&100\end{array}$

Donc, $AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$

3) La propriété de Pythagore est donc vérifiée.

D'où, le triangle $ABC$ est rectangle en $A.$

III.2. Énoncé

Si dans un triangle le carré de la longueur d'un côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés alors, le triangle est rectangle.

IV. Longueur de la hauteur issue du sommet de l'angle droit

IV.1. Activité

Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A\ $ et $\ H$ le pied de la hauteur issue de $\hat{A}.$

Donner l'expression de $AH$ en fonction de $AB\;,\ AC\ $ et $\ BC.$

Indication : Calculer de deux manières la surface du triangle $ABC.$

Solution

Soit :

$\mathcal{S}$ la surface de $ABC$

$\mathcal{S}_{1}$ la surface de $ABH$

$\mathcal{S}_{2}$ la surface de $ACH$

Calculons $\mathcal{S}$ de deux façons différentes

$\centerdot\ $ 1e méthode

$$\mathcal{S}=\dfrac{AB\times AC}{2}$$

$\centerdot\ $ 2e méthode

$\begin{array}{rcl}\mathcal{S}&=&\mathcal{S}_{1}+\mathcal{S}_{2}\\ \\&=&\dfrac{BH\times AH}{2}+\dfrac{AH\times HC}{2}\\ \\&=&AH\left(\dfrac{BH}{2}+\dfrac{CH}{2}\right)\\ \\&=&AH\left(\dfrac{BH+CH}{2}\right)\\ \\&=&\dfrac{AH\times BC}{2}\end{array}$

Ainsi,

$$\mathcal{S}=\dfrac{AH\times BC}{2}$$

Finalement, on a :

$\begin{array}{rcrcl}\dfrac{AH\times BC}{2}=\dfrac{AB\times AC}{2}&\Rightarrow&AH\times BC&=&AB\times AC\\ \\&\Rightarrow&AH&=&\dfrac{AB\times AC}{BC}\end{array}$

D'où, $\boxed{AH=\dfrac{AB\times AC}{BC}}$

IV.2. Énoncé

Dans un triangle rectangle la longueur de la hauteur issue du sommet de l'angle droit est le produit des longueurs des côtés perpendiculaires divisé par la longueur de l'hypoténuse.