Triangle rectangle : Théorème de Pythagore - 4e
Classe:
Quatrième
I. Rappel
On appelle triangle rectangle tout triangle possédant un angle de 90∘90∘ donc, deux côtés perpendiculaires.
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig60_15.png)
Remarques
− Comme mesˆA=90∘ alors, ˆB et ˆC sont complémentaires.
− Le milieu de l'hypoténuse est le centre du cercle circonscrit à ABC.
− Le sommet de l'angle droit (A) est l'hortocentre de ABC.
II. Théorème de Pythagore
II.1. Activité
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig61_18.png)
KLMN est un carré dont O, P, Q et R sont respectivement les milieux de [KL], [LM], [MN] et [NK].
x, y et z sont des mesures de longueur.
Calculons de deux manières différentes l'aire A du carré KLMN.
⋅ 1e méthode
A=(x+y)(x+y)=(x+y)2
Donc, A=(x+y)2
⋅ 2e méthode
A=A1+A2+A3+A4+A5=xy2+xy2+xy2+xy2+z2=4×xy2+z2=2xy+z2
Ainsi, A=2xy+z2
Finalement :
2xy+z2=(x+y)2⇔2xy+z2=x2+2xy+y2⇔z2=x2+y2
D'où, z2=x2+y2
II.2. Énoncé du théorème
Pour tout triangle rectangle le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des côtés perpendiculaires.
Application
EFG est un triangle rectangle en F tel que :
FG=3cmetFE=5cm
Faire la figure et calculer EG.
Solution
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig62_12.png)
Comme EFG est rectangle en F alors,
EG2=EF2+FG2
Donc,
EG2=32+42=9+16=25
Par suite, EG=√25=5
D'où, EG=5cm
III. Réciproque du théorème de Pythagore
III.1. Activité
ABC est un triangle tel que :
AB=6cm; AC=8cm et BC=10cm
1) Calculer AB2; AC2 et BC2
2) Comparer AB2+AC2 et BC2
3) Le théorème de Pythagore est-il vérifié ?
En déduire la nature du triangle ABC.
Solution
1) Calculons :
AB2=62=36
AC2=82=64
BC2=102=100
2) On a :
AB2+AC2=36+64=100
Donc, AB2+AC2=BC2
3) La propriété de Pythagore est donc vérifiée.
D'où, le triangle ABC est rectangle en A.
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig63_13.png)
III.2. Énoncé
Si dans un triangle le carré de la longueur d'un côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés alors, le triangle est rectangle.
IV. Longueur de la hauteur issue du sommet de l'angle droit
IV.1. Activité
Soit ABC un triangle rectangle en A et H le pied de la hauteur issue de ˆA.
Donner l'expression de AH en fonction de AB, AC et BC.
Indication : Calculer de deux manières la surface du triangle ABC.
Solution
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig64_12.png)
Soit :
S la surface de ABC
S1 la surface de ABH
S2 la surface de ACH
Calculons S de deux façons différentes
⋅ 1e méthode
S=AB×AC2
⋅ 2e méthode
S=S1+S2=BH×AH2+AH×HC2=AH(BH2+CH2)=AH(BH+CH2)=AH×BC2
Ainsi,
S=AH×BC2
Finalement, on a :
AH×BC2=AB×AC2⇒AH×BC=AB×AC⇒AH=AB×ACBC
D'où, AH=AB×ACBC
IV.2. Énoncé
Dans un triangle rectangle la longueur de la hauteur issue du sommet de l'angle droit est le produit des longueurs des côtés perpendiculaires divisé par la longueur de l'hypoténuse.
Application
L'unité est le cm; 1cm sur le dessin est égal à 10cm
FLK est un triangle rectangle en L.
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig65_12.png)
1) Montrer que FIK est un triangle isocèle.
2) Déterminer la longueur du segment [LH].
Solution
1) Montrons que FIK est isocèle.
Calculons les longueurs des côtés.
FLK est un triangle rectangle en L donc,
FK2=FL2+LK2=402+302=1600+900=2500=502
Ainsi, FK=√502=50
D'où, FK=50cm
IJK est un triangle rectangle en J donc,
IK2=KJ2+JI2=202+402=400+1600=2000
Ainsi, IK=√2000=20√5
D'où, IK=20√5cm
Comme FI=LJ=50cm et FK=50cm alors, FKI est isocèle en F.
2) Déterminons la longueur du segment [LH].
On a : FLK un triangle rectangle en L et H le pied de la hauteur issue de L donc,
LH=FL×LKFK=40×3050=24
D'où, LH=24cm
Auteur:
Mamadou Siradji Dia
Commentaires
hosanna (non vérifié)
mar, 10/27/2020 - 21:36
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super merci beaucoup
Anonyme (non vérifié)
mar, 10/27/2020 - 21:36
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super
habib ndiaye (non vérifié)
lun, 07/12/2021 - 20:25
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super
Anonyme (non vérifié)
lun, 07/12/2021 - 21:38
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Merci
Anonyme (non vérifié)
jeu, 02/03/2022 - 21:01
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Excellent j'aimerais
Anonyme (non vérifié)
mer, 06/15/2022 - 22:16
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Excellent en maths
Ahmadou (non vérifié)
mer, 06/22/2022 - 19:44
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Merci à vous
Anonyme (non vérifié)
mer, 03/15/2023 - 08:06
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