Triangle rectangle : Théorème de Pythagore - 4e

Classe: 
Quatrième
 

I. Rappel

On appelle triangle rectangle tout triangle possédant un angle de 9090 donc, deux côtés perpendiculaires.

 

 
Remarques
 
  Comme mesˆA=90 alors, ˆB  et  ˆC sont complémentaires.
 
  Le milieu de l'hypoténuse est le centre du cercle circonscrit à ABC.
 
  Le sommet de l'angle droit (A) est l'hortocentre de ABC.

II. Théorème de Pythagore

II.1. Activité


 
KLMN est un carré dont O, P, Q  et  R sont respectivement les milieux de [KL], [LM], [MN]  et  [NK].
 
x, y  et  z sont des mesures de longueur.
 
Calculons de deux manières différentes l'aire A du carré KLMN.
 
  1e méthode
 
A=(x+y)(x+y)=(x+y)2
 
Donc, A=(x+y)2
 
  2e méthode
 
A=A1+A2+A3+A4+A5=xy2+xy2+xy2+xy2+z2=4×xy2+z2=2xy+z2
 
Ainsi, A=2xy+z2
 
Finalement :
 
2xy+z2=(x+y)22xy+z2=x2+2xy+y2z2=x2+y2
 
D'où, z2=x2+y2

II.2. Énoncé du théorème

Pour tout triangle rectangle le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des côtés perpendiculaires.

Application

EFG est un triangle rectangle en F tel que :
FG=3cmetFE=5cm
Faire la figure et calculer EG.

Solution


 
Comme EFG est rectangle en F alors,
EG2=EF2+FG2
Donc,
 
EG2=32+42=9+16=25
 
Par suite, EG=25=5
 
D'où, EG=5cm

III. Réciproque du théorème de Pythagore

III.1. Activité

ABC est un triangle tel que :
AB=6cm; AC=8cm et BC=10cm
1) Calculer AB2; AC2  et  BC2
 
2) Comparer AB2+AC2  et  BC2
 
3) Le théorème de Pythagore est-il vérifié ?
 
En déduire la nature du triangle ABC.

Solution

1) Calculons :
 
AB2=62=36
 
AC2=82=64
 
BC2=102=100
 
2) On a :
 
AB2+AC2=36+64=100
 
Donc, AB2+AC2=BC2
 
3) La propriété de Pythagore est donc vérifiée.
 
D'où, le triangle ABC est rectangle en A.

 
 

III.2. Énoncé

Si dans un triangle le carré de la longueur d'un côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés alors, le triangle est rectangle.

IV. Longueur de la hauteur issue du sommet de l'angle droit

IV.1. Activité

Soit ABC un triangle rectangle en A  et  H le pied de la hauteur issue de ˆA.
 
Donner l'expression de AH en fonction de AB, AC  et  BC.
 
Indication : Calculer de deux manières la surface du triangle ABC.

Solution


 
Soit :
 
S la surface de ABC
 
S1 la surface de ABH
 
S2 la surface de ACH
 
Calculons S de deux façons différentes
 
  1e méthode
S=AB×AC2
  2e méthode
 
S=S1+S2=BH×AH2+AH×HC2=AH(BH2+CH2)=AH(BH+CH2)=AH×BC2
 
Ainsi,
S=AH×BC2
Finalement, on a :
 
AH×BC2=AB×AC2AH×BC=AB×ACAH=AB×ACBC
 
D'où, AH=AB×ACBC

IV.2. Énoncé

Dans un triangle rectangle la longueur de la hauteur issue du sommet de l'angle droit est le produit des longueurs des côtés perpendiculaires divisé par la longueur de l'hypoténuse.

Application

L'unité est le cm; 1cm sur le dessin est égal à 10cm
 
FLK est un triangle rectangle en L.

 

 
1) Montrer que FIK est un triangle isocèle.
 
2) Déterminer la longueur du segment [LH].

Solution

1) Montrons que FIK est isocèle.
 
Calculons les longueurs des côtés.
 
FLK est un triangle rectangle en L donc,
 
FK2=FL2+LK2=402+302=1600+900=2500=502
 
Ainsi, FK=502=50
 
D'où, FK=50cm
 
IJK est un triangle rectangle en J donc,
 
IK2=KJ2+JI2=202+402=400+1600=2000
 
Ainsi, IK=2000=205
 
D'où, IK=205cm
 
Comme FI=LJ=50cm  et  FK=50cm alors, FKI est isocèle en F.
 
2) Déterminons la longueur du segment [LH].
 
On a : FLK un triangle rectangle en L  et  H le pied de la hauteur issue de L donc,
 
LH=FL×LKFK=40×3050=24
 
D'où, LH=24cm

 


 
Auteur: 
Mamadou Siradji Dia

Commentaires

super merci beaucoup

Excellent j'aimerais télécharger le document pour mon école si possible

Excellent en maths

Merci à vous

revoir les erreurs

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