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Etude de fonction - T S

I. Variations de fonction

Propriété :

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I.$

$\bullet\ $ Si la dérivée est positive sur $I$, alors $f$ est croissante sur $I.$

$\bullet\ $ Si la dérivée est négative sur $I$, alors $f$ est décroissante sur $I.$

$\bullet\ $ Si la dérivée est nulle en toute valeur de $I$, alors la fonction $f$ est constante sur $I.$

Exemple :

$f(x)=2x^{2}+3x+5\qquad g(x)=\dfrac{x+1}{x-1}$

$h(x)=\mathrm{e}^{x}±x\qquad k(x)=x+\ln\backsim x$

II. Parité d’une fonction

a. Ensemble de définition centré

Soit $f$ une fonction.

Soit $D_{f}$ son ensemble de définition.

On dit que $D_{f}$ est un ensemble de définition centré si et et seulement si :

Pour tout réel $x$, si $x\in D_{f}$, alors $-x\in D_{f}.$

b) Fonction paire

On dit qu'une fonction $f$ est paire si et seulement si :

1) Son ensemble de définition est centré,

2) Pour tout réel $x$ de $D_{f}$, on a : $f(-x)=f(x)$

Exemple :

$-\ \ $ Si n est un entier pair, positif, la fonction définie par $f(x)=kx^{n}$ est paire.

$-\ \ $ la fonction $x\mapsto |x|$ est une fonction paire,

c) Fonction impaire

On dit qu'une fonction $f$ est impaire si et seulement si :

1) Son ensemble de définition est centré,

2) Pour tout réel $x$ de $D_{f}$, on a : $f(-x)=-f(x)$

$-\ \ $ la courbe représentative d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine.

d) Autres cas de symétries dans une courbe

Soit $f$ une fonction.

Soit $D_{f}$ son ensemble de définition et $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative.

Deux cas peuvent se présenter :

$-\ \ (\mathcal{C})$ est symétrique par rapport à un axe d'équation $x=a$,

$-\ \ (\mathcal{C})$ est symétrique par rapport à un point $A(a\;,\ b)$.

Nous admettrons les résultats suivants :

Si, pour tout réel $x$ tel que : $a+x\in D_{f}$, on a : $a-x\in D_{f}\text{ et }f(a+x)=f(a-x)$

Alors, la courbe $(\mathcal{C})$ est symétrique par rapport à l'axe d'équation $x=a.$

Si, pour tout réel $x$ tel que $a+x\in D_{f}$, on a : $a-x\in D_{f}\text{ et }f(a+x)+f(a-x)=2b$

Alors, la courbe $(\mathcal{C})$ est symétrique par rapport au point $A(a\;,\ b).$

e) Périodicité

Définition :

On dit qu'une fonction $f$ est périodique si et seulement si, il existe un réel $T$ strictement positif tel que :

$$\forall \;x\in D_{f}\;,\text{ on a : }x+T\in D_{f}\text{ et }f(x+T)=f(x).$$

On appelle période de la fonction $f$ le plus petit réel $T$ vérifiant la propriété ci-dessus.

Si $f$ est une fonction de période $T$, alors on a :

$$\forall\; x\in D_{f}\ :\ f(x+T)=f(x)$$

L'intervalle d'étude d'une fonction périodique peut se réduire à un intervalle couvrant une seule période.

Application :

$f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{x^{2}-x-2}{x^{2}-x+1}$

Démontrer, en utilisant les deux méthodes, que la droite d'équation $x=\dfrac{1}{2}$ est un axe de symétrie de $(\mathcal{C}).$

$f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^{3}+3x^{2}-4$

Démontrer, en utilisant les deux méthodes, que le point $W(-1\;;\ -2)$ est un centre de symétrie de $(\mathcal{C})$

III. Extremums de fonction

Propriété :

Lorsque la dérivée d'une fonction s'annule, en changeant de signe, la fonction $f$ admet un extremum.

Si $f$ admet un extremum.

En un point d'abscisse $a$ alors $f'(a)=0.$

En effet deux types de tableaux de variation peuvent se rencontrer :

Cas d’un maximum

$$\begin{array}{|l|lcccr|}\hline\text{valeurs de } x&a&&c&&b\\ \hline\text{signe de } f'(x)&&+&0&-&\\ \hline&&&\text{maximum}&&\\ \text{variations de }f&&\nearrow&|&\searrow&\\&&&|&&\\ \hline \end{array}$$
Cas d’un minimum
$$\begin{array}{|l|lcccr|}\hline\text{valeurs de } x&a&&c&&b\\ \hline\text{signe de } f'(x)&&-&0&+&\\ \hline&&&|&&\\ \text{variations de }f&&\searrow&|&\nearrow&\\&&&\text{minimum}&&\\ \hline \end{array}$$

Exemple :

Déterminer la nature des extrémums des fonctions suivantes

$f(x)=x^{3}+3x^{2}-6x+5\qquad g(x)=x+\ln x$

Exercice

Soit la fonction $f$ définie pour tout $x$ élément de l'intervalle $[0\;,\ +\infty[$ par :

$[f(x)=x^{3}-19x^{2}+130x+100]$

La fonction $f$ modélise sur l'intervalle $]0\;;\ 16]$ la fonction coût total de production, en euro, d'un produit.

Sa représentation graphique sur cet intervalle, notée, est donnée ci-dessous

Pour tout $x$ dans l'intervalle $]0\;;\ 16]$, le quotient $C_{M(x)}=\dfrac{f(x)}{x}$ est appelé coût moyen de production de $x$ kilogrammes de produit.

1) Pour $x$ dans l'intervalle $]0\;;\ 16]$, soit $A$ le point d'abscisse $x$ de la représentation graphique $(\mathcal{C})$ de la fonction $f.$

Montrer que le coefficient directeur de la droite $(OA)$ est égal au coût moyen

$$C_{M(x)}=\dfrac{f(x)}{x}.$$

2) L'entreprise cherche à minimiser le coût moyen de production.

a) Par lecture graphique indiquer la valeur de $x$ qui réalise ce minimum et la valeur de ce minimum.

b) On note $C_{M'}$ la dérivée de la fonction.

Calculer $C_{M'}$ et vérifier que pour $x$ dans l'intervalle $]0\;;\ 16]$ :

$$C'(x)=\dfrac{(x-10)(2x^{2}+x+10)}{x^{2}}$$

$\bullet\ \ $ Étudier les variations de la fonction $x\mapsto C_{M(x)}$ sur $]0\;;\ 16].$

$\bullet\ \ $ En déduire la valeur $x_{0}$ de $x$ qui minimise le coût moyen.

3) On appelle coût marginal la dépense occasionnée par la production d'un objet supplémentaire.

On modélise ce coût marginal par $C_{m}(x)=f'(x)\text{ où }f'$ est la dérivée de $f.$