Etude de fonction - T S
I. Variations de fonction
Propriété :
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
∙ Si la dérivée est positive sur I, alors f est croissante sur I.
∙ Si la dérivée est négative sur I, alors f est décroissante sur I.
∙ Si la dérivée est nulle en toute valeur de I, alors la fonction f est constante sur I.
Exemple :
f(x)=2x2+3x+5g(x)=x+1x−1
h(x)=ex±xk(x)=x+ln∽x
II. Parité d’une fonction
a. Ensemble de définition centré
Soit f une fonction.
Soit Df son ensemble de définition.
On dit que Df est un ensemble de définition centré si et et seulement si :
Pour tout réel x, si x∈Df, alors −x∈Df.
b) Fonction paire
On dit qu'une fonction f est paire si et seulement si :
1) Son ensemble de définition est centré,
2) Pour tout réel x de Df, on a : f(−x)=f(x)
Exemple :
− Si n est un entier pair, positif, la fonction définie par f(x)=kxn est paire.
− la fonction x↦|x| est une fonction paire,
c) Fonction impaire
On dit qu'une fonction f est impaire si et seulement si :
1) Son ensemble de définition est centré,
2) Pour tout réel x de Df, on a : f(−x)=−f(x)
− la courbe représentative d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine.
d) Autres cas de symétries dans une courbe
Soit f une fonction.
Soit Df son ensemble de définition et (C) sa courbe représentative.
Deux cas peuvent se présenter :
− (C) est symétrique par rapport à un axe d'équation x=a,
− (C) est symétrique par rapport à un point A(a, b).
Nous admettrons les résultats suivants :
Si, pour tout réel x tel que : a+x∈Df, on a : a−x∈Df et f(a+x)=f(a−x)
Alors, la courbe (C) est symétrique par rapport à l'axe d'équation x=a.
Si, pour tout réel x tel que a+x∈Df, on a : a−x∈Df et f(a+x)+f(a−x)=2b
Alors, la courbe (C) est symétrique par rapport au point A(a, b).
e) Périodicité
Définition :
On dit qu'une fonction f est périodique si et seulement si, il existe un réel T strictement positif tel que :
∀x∈Df, on a : x+T∈Df et f(x+T)=f(x).
On appelle période de la fonction f le plus petit réel T vérifiant la propriété ci-dessus.
Si f est une fonction de période T, alors on a :
∀x∈Df : f(x+T)=f(x)
L'intervalle d'étude d'une fonction périodique peut se réduire à un intervalle couvrant une seule période.
Application :
f est la fonction définie sur R par f(x)=x2−x−2x2−x+1
Démontrer, en utilisant les deux méthodes, que la droite d'équation x=12 est un axe de symétrie de (C).
f est la fonction définie sur R par f(x)=x3+3x2−4
Démontrer, en utilisant les deux méthodes, que le point W(−1; −2) est un centre de symétrie de (C)
III. Extremums de fonction
Propriété :
Lorsque la dérivée d'une fonction s'annule, en changeant de signe, la fonction f admet un extremum.
Si f admet un extremum.
En un point d'abscisse a alors f′(a)=0.
En effet deux types de tableaux de variation peuvent se rencontrer :
Cas d’un maximum
valeurs de xacbsigne de f′(x)+0−maximumvariations de f↗|↘|
Cas d’un minimum
valeurs de xacbsigne de f′(x)−0+|variations de f↘|↗minimum
Exemple :
Déterminer la nature des extrémums des fonctions suivantes
f(x)=x3+3x2−6x+5g(x)=x+lnx
Exercice
Soit la fonction f définie pour tout x élément de l'intervalle [0, +∞[ par :
[f(x)=x3−19x2+130x+100]
La fonction f modélise sur l'intervalle ]0; 16] la fonction coût total de production, en euro, d'un produit.
Sa représentation graphique sur cet intervalle, notée, est donnée ci-dessous
Pour tout x dans l'intervalle ]0; 16], le quotient CM(x)=f(x)x est appelé coût moyen de production de x kilogrammes de produit.
1) Pour x dans l'intervalle ]0; 16], soit A le point d'abscisse x de la représentation graphique (C) de la fonction f.
Montrer que le coefficient directeur de la droite (OA) est égal au coût moyen
CM(x)=f(x)x.
2) L'entreprise cherche à minimiser le coût moyen de production.
a) Par lecture graphique indiquer la valeur de x qui réalise ce minimum et la valeur de ce minimum.
b) On note CM′ la dérivée de la fonction.
Calculer CM′ et vérifier que pour x dans l'intervalle ]0; 16] :
C′(x)=(x−10)(2x2+x+10)x2
∙ Étudier les variations de la fonction x↦CM(x) sur ]0; 16].
∙ En déduire la valeur x0 de x qui minimise le coût moyen.
3) On appelle coût marginal la dépense occasionnée par la production d'un objet supplémentaire.
On modélise ce coût marginal par Cm(x)=f′(x) où f′ est la dérivée de f.
Exprimer en fonction de x le coût marginal.
Vérifier que pour x0, le coût marginal est égal au coût unitaire moyen.
Auteur:
Moussa Fall
Commentaires
Ouattara (non vérifié)
lun, 05/13/2019 - 05:19
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Bien
Anonyme (non vérifié)
sam, 05/29/2021 - 21:02
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Anonyme (non vérifié)
sam, 05/29/2021 - 21:03
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