Etude de fonction - Ts

I. Variations de fonction

Propriété :

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I.$        

$\bullet\ $ Si la dérivée est positive sur $I$, alors $f$ est croissante sur $I.$
 
$\bullet\ $ Si la dérivée est négative sur $I$, alors $f$ est décroissante sur $I.$
 
$\bullet\ $ Si la dérivée est nulle en toute valeur de $I$, alors la fonction $f$ est constante sur $I.$   

Exemple :

$f(x)=2x^{2}+3x+5\qquad g(x)=\dfrac{x+1}{x-1}$
 
$h(x)=\mathrm{e}^{x}±x\qquad k(x)=x+\ln\backsim x$                                                                           

II. Parité d’une fonction

a. Ensemble de définition centré

Soit $f$ une fonction. 
 
Soit $D_{f}$  son ensemble de définition. 
 
On dit que $D_{f}$ est un ensemble de définition centré si et et seulement si :
 
Pour tout réel $x$,  si $x\in  D_{f}$, alors  $-x\in  D_{f}.$

b)  Fonction paire

On dit qu'une fonction $f$ est paire si et seulement si :

1) Son ensemble de définition est centré,

2) Pour tout réel $x$ de $D_{f}$, on  a : $f(-x)=f(x)$

Exemple :

$-\ \ $ Si n est un entier pair, positif, la fonction définie par  $f(x)=kx^{n}$ est paire.        
 
$-\ \ $ la fonction $x\mapsto |x|$  est une fonction paire,     

c)  Fonction impaire

On dit qu'une fonction $f$ est impaire si et seulement si :
 
1) Son ensemble de définition est centré,
 
2) Pour tout réel $x$ de $D_{f}$, on  a : $f(-x)=-f(x)$
 
$-\ \ $ la courbe représentative d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine.

d)  Autres cas de symétries dans une courbe

Soit $f$ une fonction. 
 
Soit $D_{f}$ son ensemble de définition et $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative.
 
Deux cas peuvent se présenter :  
 
$-\ \ (\mathcal{C})$ est symétrique par rapport à un axe d'équation $x=a$,
 
$-\ \ (\mathcal{C})$ est symétrique par rapport à un point $A(a\;,\ b)$.
 
Nous admettrons les résultats suivants :
 
Si, pour tout réel $x$ tel que : $a+x\in  D_{f}$,  on a : $a-x\in D_{f}\text{ et }f(a+x)=f(a-x)$
 
Alors, la courbe $(\mathcal{C})$ est symétrique par rapport à l'axe d'équation $x=a.$
 
Si, pour tout réel $x$ tel que $a+x\in D_{f}$,  on a : $a-x\in D_{f}\text{ et }f(a+x)+f(a-x)=2b$
 
Alors, la courbe $(\mathcal{C})$ est symétrique par rapport au point $A(a\;,\ b).$        

e) Périodicité

Définition :  

On dit qu'une fonction $f$ est périodique si et seulement si, il existe un réel $T$ strictement positif tel que :
$$\forall \;x\in D_{f}\;,\text{ on a : }x+T\in D_{f}\text{ et }f(x+T)=f(x).$$
On appelle période de la fonction $f$ le plus petit réel $T$ vérifiant la propriété ci-dessus. 
 
Si $f$ est une fonction de période $T$, alors on a : 
$$\forall\; x\in D_{f}\ :\ f(x+T)=f(x)$$
L'intervalle d'étude d'une fonction périodique peut se réduire à un intervalle couvrant une seule période.

Application :

$f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{x^{2}-x-2}{x^{2}-x+1}$
 
Démontrer, en utilisant les deux méthodes, que la droite d'équation $x=\dfrac{1}{2}$ est un axe de symétrie de $(\mathcal{C}).$
 
$f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^{3}+3x^{2}-4$
 
Démontrer, en utilisant les deux méthodes, que le point $W(-1\;;\ -2)$ est un centre de symétrie de $(\mathcal{C})$

III. Extremums de fonction

Propriété :

Lorsque la dérivée d'une fonction s'annule, en changeant de signe, la fonction $f$ admet un extremum.
 
Si $f$ admet un extremum. 
 
En un point d'abscisse  $a$ alors $f'(a)=0.$ 
 
En effet deux types de tableaux de variation peuvent se rencontrer :
 
Cas d’un maximum

$$\begin{array}{|l|lcccr|}\hline\text{valeurs de } x&a&&c&&b\\ \hline\text{signe de } f'(x)&&+&0&-&\\ \hline&&&\text{maximum}&&\\ \text{variations de }f&&\nearrow&|&\searrow&\\&&&|&&\\ \hline \end{array}$$
Cas d’un minimum
$$\begin{array}{|l|lcccr|}\hline\text{valeurs de } x&a&&c&&b\\ \hline\text{signe de } f'(x)&&-&0&+&\\ \hline&&&|&&\\ \text{variations de }f&&\searrow&|&\nearrow&\\&&&\text{minimum}&&\\ \hline \end{array}$$

Exemple :

Déterminer la nature des extrémums des fonctions suivantes
 
$f(x)=x^{3}+3x^{2}-6x+5\qquad g(x)=x+\ln x$     

Exercice

Soit la fonction $f$ définie pour tout $x$ élément de l'intervalle $[0\;,\ +\infty[$ par :

$[f(x)=x^{3}-19x^{2}+130x+100]$
 
La fonction $f$ modélise sur l'intervalle $]0\;;\ 16]$ la fonction coût total de production, en euro, d'un produit.
 
Sa représentation graphique sur cet intervalle, notée, est donnée  ci-dessous
 
Pour tout $x$ dans l'intervalle $]0\;;\ 16]$, le quotient $C_{M(x)}=\dfrac{f(x)}{x}$ est appelé coût moyen de production de $x$ kilogrammes de produit.
 
1) Pour $x$ dans l'intervalle $]0\;;\ 16]$, soit $A$ le point d'abscisse $x$ de la représentation graphique $(\mathcal{C})$ de la fonction $f.$
 
Montrer que le coefficient directeur de la droite $(OA)$ est égal au coût moyen
$$C_{M(x)}=\dfrac{f(x)}{x}.$$
2) L'entreprise cherche à minimiser le coût moyen de production.
 
a) Par lecture graphique indiquer la valeur de $x$ qui réalise ce minimum et la valeur de ce minimum.
 
b) On note $C_{M'}$ la dérivée de la fonction.
 
Calculer $C_{M'}$ et vérifier que pour $x$ dans l'intervalle $]0\;;\ 16]$ :  
$$C'(x)=\dfrac{(x-10)(2x^{2}+x+10)}{x^{2}}$$
$\bullet\ \ $ Étudier les variations de la fonction $x\mapsto C_{M(x)}$  sur $]0\;;\ 16].$
 
$\bullet\ \ $ En déduire la valeur $x_{0}$ de $x$ qui minimise le coût moyen.
 
3) On appelle coût marginal la dépense occasionnée par la production d'un objet supplémentaire. 
 
On modélise ce coût marginal par $C_{m}(x)=f'(x)\text{ où }f'$ est la dérivée de $f.$
 
Exprimer en fonction de $x$ le coût marginal.
 
Vérifier que pour $x_{0}$, le coût marginal est égal au coût unitaire moyen.
 
Auteur: 
Moussa Fall

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