Solution des exercices : Les polynômes - 2nd

Classe: 
Seconde
 

Exercice 1

Soient les fonctions suivantes :
 
a) f(x)=|3x2+5x7|
 
Soit : P(x)=3x2+5x7. On a : Δ=2584=59
 
Comme Δ<0 alors, P(x) est toujours du signe de (3) donc, négatif.
 
D'où,
 
f(x)=|3x2+5x7|=(3x2+5x7)=3x25x+7
 
Par suite, f(x)=3x25x+7 pour tout xR
 
Ce qui montre que la fonction f définie par f(x)=|3x2+5x7| est un polynôme
 
b) f(x)=|2x23x+1|
 
Soit : Q(x)=2x23x+1. Alors, Δ=98=1
 
Comme Δ>0 alors, on a deux racines distinctes :
x1=314=12etx2=3+14=1
Ainsi, Q(x) est positif à l'extérieur des racines, et négatif à l'intérieur des racines.
 
Par suite :
f(x)={2x23x+1six]; 12][1; +[2x2+3x1six[12; 1]
On remarque que les coefficients de f(x) ne sont pas constants, ils changent selon l'intervalle d'appartenance de x.
 
Par conséquent, la fonction f définie par f(x)=|2x23x+1| n'est pas un polynôme. 
 
c) f(x)=x2+1
 
f(x) n'est pas un polynôme car x2+1 ne peut pas se mettre sous la forme anxn+an1xn1++a2x2+a1x+a0  avec  an0  et  nN
d) f(x)=(x22x+1)2
 
On a :
 
f(x)=(x22x+1)2=|x22x+1|
 
Posons : R(x)=x22x+1. Soit alors, Δ=44=0
 
Comme Δ=0 alors, R(x) est du signe de (1) donc, positif.
 
D'où, |x22x+1|=x22x+1
 
Par suite, f(x)=x22x+1 pour tout xR
 
Par conséquent, la fonction f définie par f(x)=(x22x+1)2 est un polynôme.
 
e) f(x)=x21x1
 
On a : f(x)=x21x1=(x1)(x+1)x1
 
Donc, après simplification, on obtient : f(x)=x+1 qui définit bien une fonction polynôme.
 
Par conséquent, la fonction f définie par f(x)=x21x1 est un polynôme.

Exercice 2

Dans chacun des cas suivants vérifions que α est racine de f puis, déterminons Q(x) tel que f(x)=(xα)Q(x)
a) f(x)=2x37x217x+10,α=2
 
Soit :
 
f(α)=2α37α217α+10=2×(2)37×(2)217×(2)+10=2×(8)7×4+34+10=1628+44=0
 
Donc, f(2)=0 d'où, α=2 est racine de f
 
Par suite, il existe un polynôme Q(x) tel que f(x)=(x+2)Q(x) avec degQ=2
 
On a : f(x) divisible par (x+2) donc, par division euclidienne, on obtient :
  2x37x217x+102x34x2011x217x+10  11x2+22x 0+5x+10 5x10  0 x+22x211x+5
D'où, Q(x)=2x211x+5
 
b) f(x)=2x2(1+23)x13,α=12
 
On a :
 
f(α)=2α2(1+23)α13=2×(12)2(1+23)×(12)13=12+12+313=11=0
 
Donc, f(12)=0 ainsi, α=12 est racine de f
 
Par suite, il existe un polynôme Q(x) tel que f(x)=(x+12)Q(x) avec degQ=1
 
Q(x) est alors de la forme : Q(x)=ax+b avec a0
 
On a :
 
f(x)=(x+12)Q(x)=(x+12)(ax+b)=ax2+a2x+bx+b2=ax2+(a2+b)x+b2
 
Donc, 2x2(1+23)x13=ax2+(a2+b)x+b2
 
D'après la propriété sur l'égalité de deux polynômes on a :
{a=2(a2+b)=(1+23)b2=13{a=2b=223
D'où, Q(x)=2x223=2(x13)
 
c) f(x)=4x3+x211x+6,α=1; α=2
 
Soit :
 
f(1)=4×(1)3+(1)211×(1)+6=4+111+6=0
 
Donc, f(1)=0 d'où, α=1 est racine de f
 
Aussi,
 
f(2)=4×(2)3+(2)211×(2)+6=32+4+22+6=0
 
Donc, f(2)=0 d'où, α=2 est racine de f
 
Par suite, il existe un polynôme Q(x) tel que f(x)=(x1)(x+2)Q(x) avec degQ=1
 
Soit alors f(x) divisible par (x1)(x+2)=x2+x2 donc, par division euclidienne, on obtient :
  4x3+x211x+64x34x2+8x03x23x+6  3x2+3x6  0 x2+x24x3
D'où, Q(x)=4x3

Exercice 3

Dans chacun des cas suivants essayons de voir si f(x) est factorisable par g(x).
 
Et si tel est le cas ; nous allons déterminer une factorisation de f(x).
 
En effet, f(x) est factorisable par g(x) si, et seulement si, les racines de g sont aussi racines de f.
 
En conséquent, si une racine de g n'est pas racine de f alors, f(x) ne sera pas factorisable par g(x).
 
Donc, dans cet exercice, nous allons d'abord chercher les racines de g et ensuite, vérifier si elles sont aussi racines de f pour enfin conclure sur la factorisation f(x) par g(x).
 
1) Soient f(x)=2x33x211x+6  et  g(x)=2x1.
 
Cherchons alors les racines de g en résolvant l'équation g(x)=0.
 
On a :
 
g(x)=02x1=02x=1x=12
 
Ainsi, 12 est racine de g.
 
C'est-à-dire ; g(12)=0
 
Vérifions ensuite si 12 est aussi racine de f.
 
Pour cela, on va calculer f(12) en remplaçant x par 12, dans l'expression de f(x).
 
On obtient :
 
f(12)=2(12)33(12)211(12)+6=2(18)3(14)112+6=2834112+6=1434112+6=24112+6=12112+6=122+6=6+6=0
 
D'où, f(12)=0
 
Ainsi, 12 est aussi une racine de f.
 
Par conséquent, f(x) est factorisable par g(x).
 
Par suite, il existe un polynôme Q(x) tel que f(x)=g(x)×Q(x) avec degQ=2
 
Comme f(x) est factorisable par g(x) alors, f(x) est divisible par (2x1).
 
Ainsi, par division euclidienne, on a :
  2x33x211x+62x3+x202x211x+6  2x2x 012x+612x6  0 2x1x2x6
D'où, Q(x)=x2x6
 
Par conséquent, f(x)=(2x1)(x2x6)
 
Pour une factorisation complète de f(x), nous allons essayer de voir si Q(x) est factorisable.
 
Soit : Q(x)=x2x6.
 
Alors, on a :
 
Δ=(1)24×(6)=1+24=25
 
Donc, Δ=25  Δ=5
 
Ainsi, les racines x1  et  x2 de Q(x) sont données par :
 
x1=(1)+252×1=1+52=62=3
 
Donc, x1=3
 
x2=(1)252×1=152=42=2
 
Donc, x2=2
 
Ainsi, Q(x)=(x3)(x+2)
 
D'où, une factorisation complète de f(x) est donnée par :
f(x)=(2x1)(x3)(x+2)
2) Soient f(x)=2x3+x29x+5  et  g(x)=2x+5
 
Alors, cherchons d'abord les racines de g en résolvant l'équation g(x)=0.
 
On a :
 
g(x)=02x+5=02x=5x=52
 
Donc, 52 est une racine de g.
 
Ce qui signifie que g(52)=0
 
Vérifions ensuite si 52 est aussi racine de f.
 
Pour cela, on va calculer f(52) en remplaçant x par 52, dans l'expression de f(x).
 
Cela donne alors :
 
f(52)=2(52)3+(52)29(52)+5=2(1258)+(254)+452+5=2×1258+254+452+102=1254+254+552=1004+552=502+552=52
 
D'où, f(52)=52
 
Donc, f(52)0 ; ce qui signifie que 52 n'est pas une racine de f.
 
Par conséquent, f(x) n'est pas factorisable par g(x).
 
3) Soient f(x)=3x3x2+7x+6  et  g(x)=3x+2.
 
Cherchons d'abord les racines de g en résolvant l'équation g(x)=0.
 
On a :
 
g(x)=03x+2=03x=2x=23
 
Donc, 23 est une racine de g.
 
Ainsi, g(23)=0
 
Ensuite, vérifions si 23 est aussi une racine de f.
 
Pour cela, on calcule f(23) en remplaçant x par 23, dans l'expression de f(x).
 
On a alors :
 
f(23)=3(23)3(23)2+7(23)+6=3(827)(49)143+6=3×82749143+6=8949429+6=129429+6=549+6=6+6=0
 
Donc, f(23)=0
 
D'où, 23 est aussi une racine de f.
 
Par conséquent, f(x) est factorisable par g(x).
 
Ainsi, il existe un polynôme Q(x) de degré 2 tel que :
f(x)=g(x)×Q(x)
Déterminons alors ce polynôme Q(x).
 
En effet, comme Q est de degré 2 alors Q(x) est de la forme :
Q(x)=ax2+bx+cavec a0
Par la méthode d'identification des coefficients, cherchons a, b  et  c.
 
On a :
 
f(x)=g(x)×Q(x)3x3x2+7x+6=(3x+2)(ax2+bx+c)3x3x2+7x+6=3ax3+3bx2+3cx+2ax2+2bx+2c3x3x2+7x+6=3ax3+(3b+2a)x2+(3c+2b)x+2c
 
Ainsi, en appliquant la propriété d'égalité de deux polynômes, on obtient :
{3a=33b+2a=13c+2b=72c=6{a=1b=1c=3
D'où, Q(x)=x2x+3
 
Calculons alors son discriminant pour voir si Q(x) est à son tour factorisable.
 
Soit : Δ=(1)24×3=112=11<0
 
Comme Δ est négatif alors, Q(x) n'est pas factorisable.
 
Par conséquent, la factorisation de f(x) est donnée par :
f(x)=(3x+2)(x2x+3)

Exercice 4

On donne :
P(x)=5(x29)(x5)(62x)
1) Développons et réduisons P(x)
 
On a :
 
P(x)=5(x29)(x5)(62x)=5x245(6x2x230+10x)=5x2456x+2x2+3010x=5x2+2x26x10x45+30=7x216x15
 
D'où, P(x)=7x216x15
 
2) Factorisons P(x)
 
Pour cela, nous utilisons la forme factorisée des identités remarquables et le facteur commun.
 
On a :
 
P(x)=5(x29)(x5)(62x)=5(x3)(x+3)(x5)(3x)2=5(x3)(x+3)2(3x)(x5)=5(x3)(x+3)+2(x3)(x5)=(x3)[5(x+3)+2(x5)]=(x3)(5x+15+2x10)=(x3)(7x+5)
 
Ainsi, P(x)=(x3)(7x+5)
 
3) Utilisons la forme convenable pour résoudre les équations :
P(x)=0;P(x)=15;P(x)=7x+5
Soit à résoudre l'équation P(x)=0.
 
Nous utiliseront alors la forme factorisée de P(x).
 
Ainsi, on a :
 
P(x)=0(x3)(7x+5)=0x3=0ou7x+5=0x=3ou7x=5x=3oux=57
 
D'où, l'ensemble des solutions de l'équation P(x)=0 est donné par :
S={57; 3}
Résolvons l'équation P(x)=15
 
En utilisant la forme développée de P(x), on obtient :
 
P(x)=157x216x15=157x216x15+15=07x216x=0x(7x16)=0x=0ou7x16=0x=0ou7x=16x=0oux=167
 
D'où, l'ensemble des solutions de l'équation P(x)=15 est donné par :
S={0; 167}
Soit à résoudre l'équation P(x)=7x+5.
 
Alors, en utilisant la forme factorisée de P(x), on obtient :
 
P(x)=7x+5(x3)(7x+5)=7x+5(x3)(7x+5)(7x+5)=0(7x+5)[(x3)1]=0(7x+5)(x31)=0(7x+5)(x4)=07x+5=0oux4=07x=5oux=4x=57oux=4
 
Ainsi, l'ensemble des solutions de l'équation P(x)=7x+5 est donné par :
S={57; 4}
4) Calculons P(3)  et  P(25)
 
Pour calculer P(3) nous utilisons la forme développée de P(x), en remplaçant x par 3.
 
Soit P(x)=7x216x15 alors, on a :
 
P(3)=7(3)216(3)15=7×9+4815=63+4815=96
 
D'où, P(3)=96
 
De même manière, pour calculer P(25) nous utilisons la forme développée de P(x), en remplaçant x par 25.
 
On a alors :
 
P(25)=7(25)216(25)15=7×42532515=28251602537525=50725
 
Ainsi, P(25)=50725

Exercice 5

On donne : f(x)=x58x3+15x
 
1) Calculons f(3)  et  f(3)
 
Pour calculer f(3), on remplace x par 3, dans l'expression de f(x).
 
On obtient alors :
 
f(3)=(3)58(3)3+15(3)=(3)2(3)2(3)8(3)2(3)+15(3)=3×3×38×3×3+153=93243+153=0
 
Donc, f(3)=0
 
On procède de la même manière pour le calcul de f(3).
 
Ainsi, on a :
 
f(3)=(3)58(3)3+15(3)=(3)2(3)2(3)8(3)2(3)+15(3)=3×3×(3)8×3×(3)153=93+243153=0
 
D'où, f(3)=0
 
2) Factorisons mieux f(x)
 
En effet, d'après le résultat de la question 1), on a :
f(3)=0etf(3)=0
Ce qui signifie que 3  et  3 sont racines de f.
 
Donc, f(x) est factorisable par (x3)(x+3).
 
Ainsi, il existe un polynôme Q(x) de degré 3 tel que :
f(x)=(x3)(x+3)×Q(x)
Comme f(x) est factorisable par (x3)(x+3) alors, f(x) est divisible par :
(x3)(x+3)=x23
Par suite, en utilisant la méthode de la division euclidienne, on obtient :
  x58x3+15xx5+3x305x3+15x  5x315x  0 x23x35x
D'où, Q(x)=x35x
 
En factorisant Q(x), on trouve :
 
Q(x)=x35x=x(x25)=x(x5)(x+5)
 
Ainsi, Q(x)=x(x5)(x+5)
 
Par conséquent, une factorisation de f(x) est donnée par :
f(x)=x(x3)(x+3)(x5)(x+5)
3) Résolvons f(x)<0
 
Considérons le tableau de signes suivant :
x53035+x||0+|+|+(x3)(x+3)+|+0|0+|+(x5)(x+5)+0|||0+f(x)0+00+00+
L'inéquation f(x)<0 a donc pour solution :
S=]; 5[]3; 0[]3; 5[

Exercice 6

Soit f(x)=x4+3x35x213x+6
 
1) Montrons que 3 est une racine de f.
 
En effet, remplaçons x par 3, dans l'expression de f(x) puis, calculons.
 
On a alors :
 
f(3)=(3)4+3(3)35(3)213(3)+6=81+3×(27)5×9+39+6=818145+45=0
 
Donc, f(3)=0
 
Ce qui montre que 3 est une racine de f.
 
2) En déduisons une factorisation complète de f(x)
 
Comme 3 est une racine de f alors, f(x) est factorisable par (x+3).
 
Par suite, il existe un polynôme Q(x) de degré 3 vérifiant :
f(x)=(x+3)×Q(x)
Déterminons alors le polynôme Q(x) en utilisant la méthode de Hörner.
 
On a : degQ(x)=3 donc, Q(x) est de la forme :
Q(x)=ax3+bx2+cx+d avec a0
Ainsi, considérons le tableau suivant :
Coefficients de f(x)dans l'ordre décroissant135136des puissancesx0=330156Coefficients de Q(x)10520 dans l'ordre décroissantdes puissancesabcdf(x0)
Explication des étapes de la procédure :
 
On a : a=1  et  x0=3 est une racine de f(x).
 
   étape 1 : a=1 alors, 3×a=3×1=3 puis, 3+3=0 donc, b=0
 
   étape 2 : b=0 alors, 3×b=3×0=0 puis, 05=5 donc, c=5
 
   étape 3 : c=5 alors, 3×c=3×(5)=15 puis, 1513=2 donc, d=2
 
   étape 4 : d=2 alors, 3×d=3×2=6 puis, 6+6=0=f(x0)=f(3)
 
Donc, les coefficients a, b, c  et  d de Q(x) sont donnés par :
a=1,b=0,c=5,d=2
D'où, Q(x)=x35x+2
 
Par suite, on a :
fx)=(x+3)(x35x+2)
Ainsi, pour une factorisation complète de f(x), essayons de factoriser Q(x).
 
Soit Q(x)=x35x+2 alors, nous constatons que 2 est une racine évidente de Q.
 
En effet, on a :
 
Q(2)=(2)35×2+2=810+2=1010=0
 
Donc, Q(2)=0
 
D'où, 2 est une racine de Q.
 
Par suite, Q(x) est factorisable par (x2).
 
Ce qui signifie que Q(x) est divisible par (x2).
 
Ainsi, il existe un polynôme P(x) tel que :
Q(x)=(x2)×P(x)
En utilisant la méthode de la division euclidienne, on obtient :
  x35x+2x3+2x20+2x25x+2  2x2+4x  x+2 x20 x2x2+2x1
D'où, P(x)=x2+2x1
 
Factorisons P(x).
 
On a : Δ=4+4=8 donc, les racines x1  et  x2 de P sont données par :
x1=282=2222=12
x2=2+82=2+222=1+2
Ainsi, P(x)=(x+1+2)(x+12)
 
Par conséquent, une factorisation complète de f(x) est donnée par :
f(x)=(x+3)(x2)(x+1+2)(x+12)
3) Résolvons dans R, f(x)x22<0
 
D'après le résultat de la question 2), on a :
f(x)=(x+3)(x2)(x+1+2)(x+12)
Par ailleurs, d'après la forme factorisée des identités remarquables, on a :
(x22)=(x+2)(x2)
Considérons alors le tableau de signes suivant :
x31221+222+(x+3)0+|+|+|+|+|+(x2)|||||0+(x+1+2)(x+12)+|+0|0+|+|+(x+2)(x2)+|+|+|||||+|+f(x)(x22)+00+||0+||0+
D'après le tableau ci-dessus, l'expression f(x)(x22) est strictement négative sur l'intervalle ]3; 12[]2; 1+2[]2; 2[.
 
Par conséquent, l'inéquation f(x)x22<0 a pour solution :
S=]3; 12[]2; 1+2[]2; 2[

Exercice 7

1) a) Trouvons un polynôme P de degré 2 tel que P(x)P(x1)=x  et  P(0)=0
 
Soit : P(x)=ax2+bx+c avec a0
 
On a :
 
P(x)P(x1)=ax2+bx+c[a(x1)2+b(x1)+c]=ax2+bx+c[ax22ax+a+bxb+c]=ax2+bx+cax2+2axabx+bc=2axa+b
 
Or, P(x)P(x1)=x donc, 2axa+b=x
 
Ainsi, d'après la propriété sur l'égalité de deux polynômes on obtient :
{2a=1a+b=0{a=12b=12
Par suite, P(x)=12x2+12x+c
 
Comme P(0)=0  alors, c=0
 
D'où, P(x)=12x2+12x
 
b) En déduisons une expression de S=1+2+3+4++12
 
Soit : P(x)P(x1)=x
 
En appliquant 12 fois l'égalité P(x)P(x1)=x en remplaçant x successivement par 1, 2, 3,, 12, on obtient :  
{P(1)P(0)=1P(2)P(1)=2P(3)P(2)=3P(12)P(11)=12
Par addition membre à membre de ces 12 égalités, on obtient :
 
\require{cancel}(\cancel{P(1)}-P(0))+(\cancel{P(2)}-\cancel{P(1)})+(\cancel{P(3)}-\cancel{P(2)})+\ldots+(P(12)-\cancel{P(11)})=1+2+3+\ldots+12
 
Puis après simplification, on trouve :
 
\boxed{S=1+2+3+4+\ldots\ldots+12=P(12)-P(0)}
 
On a :
 
\begin{array}{rcl} P(12)-P(0)&=&\dfrac{12^{2}}{2}+\dfrac{12}{2}\\\\&=&72+6\\\\&=&78\end{array}
 
Par conséquent, \boxed{S=78}
 
2) a) Trouvons un polynôme P de degré 3 tel que P(x)-P(x-1)=x^{2}\ \text{ et }\ P(0)=0
 
Soit : P(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d avec a\neq 0 alors,
 
\begin{array}{rcl} P(x)-P(x-1)&=&ax^{3}+bx^{2}+cx+d-[a(x-1)^{3}+b(x-1)^{2}+c(x-1)+d]\\\\&=&ax^{3}+bx^{2}+cx+d-[ax^{3}-3ax^{2}+3ax-a+bx^{2}-2bx+b+cx-c+d]\\\\&=&ax^{3}+bx^{2}+cx+d-ax^{3}+3ax^{2}-3ax+a-bx^{2}+2bx-b-cx+c-d\\\\&=&3ax^{2}-3ax+a+2bx-b+c\\\\&=&3ax^{2}+(2b-3a)x+a-b+c\end{array}
 
Comme, P(x)-P(x-1)=x^{2} alors, 3ax^{2}+(2b-3a)x+a-b+c=x^{2}
 
Ainsi, d'après la propriété sur l'égalité de deux polynômes on obtient :
\left\lbrace\begin{array}{rcl} 3a&=&1 \\2b-3a&=&0\\a-b+c&=&0\end{array}\right.\quad\Rightarrow\quad\left\lbrace\begin{array}{rcl} a&=&\dfrac{1}{3}\\\\b&=&\dfrac{1}{2}\\\\c&=&\dfrac{1}{6}\end{array}\right.
Par suite, P(x)=\dfrac{1}{3}x^{3}+\dfrac{1}{2}x^{2}+\dfrac{1}{6}x+d
 
P(0)=0\ \Rightarrow\ d=0
 
D'où, \boxed{P(x)=\dfrac{1}{3}x^{3}+\dfrac{1}{2}x^{2}+\dfrac{1}{6}x}
 
b) En déduisons, en fonction de n, une expression de S_{n}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots\ldots+n^{2}
 
D'après question 2) a) on a : P(x)-P(x-1)=x^{2}
 
En appliquant n fois l'égalité P(x)-P(x-1)=x^{2} en remplaçant x successivement par 1\;,\ 2\;,\ 3\;,\ldots\ldots\;,\ n, on obtient :  
\left\lbrace\begin{array}{rcl} P(1)-P(0)&=&1^{2}\\\\P(2)-P(1)&=&2^{2}\\\\P(3)-P(2)&=&3^{2}\\\\\ldots\quad\ldots\quad\ldots&\ldots&\ldots\\\\\ldots\quad\ldots\quad\ldots&\ldots&\ldots\\\\P(n)-P(n-1)&=&n^{2}\end{array}\right.
Par addition membre à membre de ces n égalités, on obtient :
 
\require{cancel}(\cancel{P(1)}-P(0))+(\cancel{P(2)}-\cancel{P(1)})+(\cancel{P(3)}-\cancel{P(2)})+\ldots+(P(n)-\cancel{P(n-1)})=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots+n^{2}
 
En simplifiant, on trouve :
 
\begin{array}{rcl} 1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots+n^{2}&=&P(n)-P(0)\\\\&=&\dfrac{1}{3}n^{3}+\dfrac{1}{2}n^{2}+\dfrac{1}{6}n-0\end{array}
 
D'où, \boxed{S_{n}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+\ldots\ldots+n^{2}=\dfrac{2n^{3}+3n^{2}+n}{6}}

Exercice 8

1) Déterminons le polynôme P de degré 3 vérifiant :
P(x+1)-P(x)=3x^{2}+3x\ \text{ et }\ P(0)=0
Soit : P(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d avec a\neq 0 alors, on a :
 
\begin{array}{rcl} P(x+1)-P(x)&=&a(x+1)^{3}+b(x+1)^{2}+c(x+1)+d-[ax^{3}+bx^{2}+cx+d]\\\\&=&a(x^{3}+3x^{2}+3x+1)+b(x^{2}+2x+1)+cx+c+d-ax^{3}-bx^{2}-cx-d\\\\&=&ax^{3}+3ax^{2}+3ax+a+bx^{2}+2bx+b+c-ax^{3}-bx^{2}\\\\&=&3ax^{2}+(3a+2b)x+a+b+c\end{array}
 
Ainsi, \boxed{P(x+1)-P(x)=3ax^{2}+(3a+2b)x+a+b+c}
 
Par ailleurs, comme P(x+1)-P(x)=3x^{2}+3x alors, on a :
3ax^{2}+(3a+2b)x+a+b+c=3x^{2}+3x
Ainsi, par identification, d'après la propriété sur l'égalité de deux polynômes, on obtient :
\left\lbrace\begin{array}{rcl} 3a&=&3\\\\3a+2b&=&3\\\\a+b+c&=&0\end{array}\right.\quad\Rightarrow\quad\left\lbrace\begin{array}{rcl} a&=&\dfrac{3}{3}=1\\\\b&=&\dfrac{3-3}{2}=0\\\\c&=&-1\end{array}\right.
Par suite, P(x)=x^{3}-x+d
 
Or, on sait que P(0)=0
 
Donc, dans l'expression de P(x), en remplaçant x par 0, on obtient : d=0
 
D'où, \boxed{P(x)=x^{3}-x}
 
2) En déduisons une expression de
S_{n}=3\times 2+6\times 3+\ldots\ldots+3n(n+1)
en fonction de n
 
En effet, d'après les données de la question 1\,), on a :
P(x+1)-P(x)=3x^{2}+3x=3x(x+1)
Alors, appliquons n fois l'égalité P(x+1)-P(x)=3x(x+1).
 
Pour cela, remplaçons x successivement par 1\;,\ 2\;,\ 3\;,\ldots\ldots\;,\ n dans l'égalité P(x+1)-P(x)=3x(x+1).
 
On obtient :
\left\lbrace\begin{array}{rcl} P(2)-P(1)&=&3\times 2\\\\P(3)-P(2)&=&6\times 3\\\\P(4)-P(3)&=&9\times 4\\\\\ldots\quad\ldots\quad\ldots&\ldots&\ldots\\\\\ldots\quad\ldots\quad\ldots&\ldots&\ldots\\\\P(n+1)-P(n)&=&3n(n+1)\end{array}\right.
Par suite, en additionnant membre à membre ces n égalités, on obtient :
 
\require{cancel}(\cancel{P(2)}-P(1))+(\cancel{P(3)}-\cancel{P(2)})+(\cancel{P(4)}-\cancel{P(3)})+\ldots+(P(n+1)-\cancel{P(n)})=3\times 2+6\times 3+9\times 4+\ldots\ldots+3n(n+1)
 
En simplifiant, on trouve :
 
\begin{array}{rcl} 3\times 2+6\times 3+9\times 4+\ldots\ldots+3n(n+1)&=&P(n+1)-P(1)\\\\&=&(n+1)^{3}-(n+1)-(1-1)\\\\&=&n^{3}+3n^{2}+3n+1-n-1-0\\\\&=&n^{3}+3n^{2}+2n\end{array}
 
D'où, \boxed{S_{n}=3\times 2+6\times 3+\ldots\ldots+3n(n+1)=n^{3}+3n^{2}+2n}
 
3) En déduisons la valeur de
3\times 2+6\times 3+\ldots\ldots+300\times 101
Cette somme peut encore être réécrite de la manière suivante :
3\times 2+6\times 3+\ldots\ldots+300\times 101=3\times 2+6\times 3+\ldots\ldots+3\times 100(100+1)
On remarque alors qu'on a effectué une somme des n=100 premiers termes.
 
Autrement dit ; on a additionné les termes jusqu'à n=100.
 
Donc, d'après le résultat de la question 2\,), cela revient tout simplement à calculer S_{100}.
 
Ainsi, dans l'expression de S_{n}, en remplaçant n par 100, on obtient :
 
\begin{array}{rcl} S_{100}&=&100^{3}+3\times 100^{2}+2\times 100\\\\&=&1\,000\,000+30\,000+200\\\\&=&1\,030\,200\end{array}
 
D'où, \boxed{3\times 2+6\times 3+\ldots\ldots+300\times 101=1\,030\,200}

Exercice 9

Soit : P(x)=x^{3}+2x^{2}-5x-6
 
On suppose que P(x)=0 admet 3 racines \alpha\;,\ \beta\ et \ \delta.
 
Sans calculer ces racines ; donnons les valeurs de :
\alpha+\beta+\delta\;;\quad\alpha\beta\delta\;;\quad\alpha\beta+\alpha\delta+\beta\delta\;;\quad\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}+\dfrac{1}{\delta}\;;\quad\alpha^{2}+\beta^{2}+\delta^{2}
Comme \alpha\;,\ \beta\ et \ \delta sont racines distinctes de P alors, P(x) est factorisable par (x-\alpha)(x-\beta)(x-\delta).
 
Ainsi, il existe un polynôme Q tel que :
P(x)=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\delta)\times Q(x)
P étant de degré 3 alors le polynôme Q est de degré 0, d'où : Q(x)=a
 
On a alors :
 
\begin{array}{rcl} (x-\alpha)(x-\beta)(x-\delta)\times Q(x)&=&(x-\alpha)(x-\beta)(x-\delta)\times a\\\\&=&(x^{2}-\alpha x-\beta x+\alpha\beta)(x-\delta)\times a\\\\&=&a(x^{3}-\alpha x^{2}-\beta x^{2}+\alpha\beta x-\delta x^{2}+\delta\alpha x+\delta\beta x-\alpha\beta\delta)\\\\&=&ax^{3}-a(\alpha+\beta+\delta)x^{2}+a(\alpha\beta+\delta\alpha+\delta\beta)x-a\alpha\beta\delta)\end{array}
 
Donc, P(x)=ax^{3}-a(\alpha+\beta+\delta)x^{2}+a(\alpha\beta+\delta\alpha+\delta\beta)x-a\alpha\beta\delta)
 
Par suite, x^{3}+2x^{2}-5x-6=ax^{3}-a(\alpha+\beta+\delta)x^{2}+a(\alpha\beta+\delta\alpha+\delta\beta)x-a\alpha\beta\delta)
 
Ainsi, d'après la propriété sur l'égalité de deux polynômes, on obtient par identification des coefficients :
\begin{array}{rcl}\left\lbrace\begin{array}{rcl} a&=&1\\ \\-a(\alpha+\beta+\delta)&=&2\\\\a(\alpha\beta+\delta\alpha+\delta\beta)&=&-5\\\\-a\alpha\beta\delta&=&-6\end{array}\right.&\Rightarrow&\left\lbrace\begin{array}{rcl} a&=&1\\ \\\alpha+\beta+\delta&=&-2\\\\\alpha\beta+\delta\alpha+\delta\beta&=&-5\\\\\alpha\beta\delta&=&6\end{array}\right.\end{array}
D'où, \boxed{\alpha+\beta+\delta=-2\;;\quad\alpha\beta+\delta\alpha+\delta\beta=-5\;;\quad\alpha\beta\delta=6}
 
En utilisant ces résultats, on peut écrire :
 
\begin{array}{rcl}\dfrac{\alpha\beta+\delta\alpha+\delta\beta}{\alpha\beta\delta}&=&\dfrac{\alpha\beta}{\alpha\beta\delta}+\dfrac{\delta\alpha}{\alpha\beta\delta}+\dfrac{\delta\beta}{\alpha\beta\delta}\\\\&=&\dfrac{1}{\delta}+\dfrac{1}{\beta}+\dfrac{1}{\alpha}\end{array}
 
Donc, \dfrac{1}{\delta}+\dfrac{1}{\beta}+\dfrac{1}{\alpha}=\dfrac{\alpha\beta+\delta\alpha+\delta\beta}{\alpha\beta\delta}=-\dfrac{5}{6}
 
D'où, \boxed{\dfrac{1}{\delta}+\dfrac{1}{\beta}+\dfrac{1}{\alpha}=-\dfrac{5}{6}}
 
Par ailleurs, on a :
 
\begin{array}{rcl}(\alpha+\beta+\delta)^{2}=(-2)^{2}&\Leftrightarrow&\alpha^{2}+\beta^{2}+\delta^{2}+2\alpha\beta+2\alpha\delta+2\beta\delta=4\\\\&\Leftrightarrow&\alpha^{2}+\beta^{2}+\delta^{2}+2(\alpha\beta+\alpha\delta+\beta\delta)=4\\\\&\Leftrightarrow&\alpha^{2}+\beta^{2}+\delta^{2}+2(-5)=4\\\\&\Leftrightarrow&\alpha^{2}+\beta^{2}+\delta^{2}-10=4\\\\&\Leftrightarrow&\alpha^{2}+\beta^{2}+\delta^{2}=14\end{array}
 
D'où, \boxed{\alpha^{2}+\beta^{2}+\delta^{2}=14}

Exercice 10

Soit le polynôme Q défini par :
Q(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+18
1) Déterminons a\ et \ b pour que Q(x) soit divisible par x^{2}-9
 
En effet, le polynôme Q(x) est divisible par x^{2}-9 si, et seulement si, les racines de (x^{2}-9) sont aussi racines de Q(x).
 
Cherchons alors les racines de (x^{2}-9).
 
D'après la forme factorisée des identités remarquables, on a :
x^{2}-9=(x-3)(x+3)
Ce qui signifie que -3\ et \ 3 sont racines de (x^{2}-9).
 
Par conséquent, ces deux nombres entiers sont aussi racines de Q(x).
 
Donc, Q(-3)=0\ et \ Q(3)=0
 
Ainsi, dans l'expression de Q(x), en remplaçant x par -3, on obtient :
 
\begin{array}{rcl}Q(-3)=0&\Leftrightarrow&(-3)^{3}+a(-3)^{2}+b(-3)+18=0\\\\&\Leftrightarrow&-27+9a-3b+18=0\\\\&\Leftrightarrow&9a-3b-9=0\\\\&\Leftrightarrow&3(3a-b-3)=0\\\\&\Leftrightarrow&3a-b-3=0\end{array}
 
D'où, \boxed{3a-b-3=0\qquad(1)}
 
De la même manière,  en remplaçant x par 3, dans l'expression de Q(x), on obtient :
 
\begin{array}{rcl}Q(3)=0&\Leftrightarrow&3^{3}+a\times 3^{2}+b\times 3+18=0\\\\&\Leftrightarrow&27+9a+3b+18=0\\\\&\Leftrightarrow&9a+3b+45=0\\\\&\Leftrightarrow&3(3a+b+15)=0\\\\&\Leftrightarrow&3a+b+15=0\end{array}
 
Donc, \boxed{3a+b+15=0\qquad(2)}
 
Considérons alors le système d'équations à deux inconnues suivant, formé des équations (1)\ et \ (2)\ :
\left\lbrace\begin{array}{rcl}3a-b-3&=&0\qquad(1)\\\\3a+b+15&=&0\qquad(2)\end{array}\right.
En résolvant ce système, on trouve alors les coefficients a\ et \ b.
 
En effet, en additionnant, membre à membre, les équations (1)\ et \ (2) du système, on obtient :
 
\begin{array}{rcl}3a-b-3+3a+b+15=0&\Leftrightarrow&6a+12=0\\\\&\Leftrightarrow&6a=-12\\\\&\Leftrightarrow&a=-\dfrac{12}{6}\\\\&\Leftrightarrow&a=-2\end{array}
 
Donc, \boxed{a=-2}
 
En remplaçant cette valeur de a dans l'équation (2), on trouve :
 
\begin{array}{rcl}3\times(-2)+b+15=0&\Leftrightarrow&-6+b+15=0\\\\&\Leftrightarrow&b+9=0\\\\&\Leftrightarrow&b=-9\end{array}
 
Ainsi, \boxed{b=-9}
 
D'où,
\boxed{Q(x)=x^{3}-2x^{2}-9x+18}
2) a) Factorisons Q(x)
 
En effet, comme Q(x) est divisible par x^{2}-9 alors, il existe un polynôme P(x) de degré 1 tel que :
Q(x)=(x^{2}-9)\times P(x)
Ainsi, par division euclidienne, on obtient :
\begin{array}{l} \ \ x^{3}-2x^{2}-9x+18 \\ -x^{3}+9x \\ \hline \quad\qquad -2x^{2}+18 \\ \qquad\qquad 2x^{2}-18 \\ \hline\qquad\qquad\qquad\ \ 0 \end{array}\ \begin{array}{|l} x^{2}-9 \\ \hline x-2 \\ \\  \\ \\ \end{array}
D'où, \boxed{P(x)=x-2}
 
Par conséquent, une factorisation complète de Q(x) est donnée par :
\boxed{Q(x)=(x-3)(x+3)(x-2)}
b) Résolvons Q(x)=0\ et \ Q(x)>0
 
En utilisant la forme factorisée de Q(x), on a :
 
\begin{array}{rcl}Q(x)=0&\Leftrightarrow&(x-3)(x+3)(x-2)=0\\\\&\Leftrightarrow&x-3=0\quad\text{ou}\quad x+3=0\quad\text{ou}\quad x-2=0\\\\&\Leftrightarrow&x=3\quad\text{ou}\quad x=-3\quad\text{ou}\quad x=2\end{array}
 
D'où, l'ensemble des solutions S est donné par :
S=\lbrace -3\;;\ 2\;;\ 3\rbrace
Résolvons l'inéquation Q(x)>0
 
Pour cela, cherchons le signe de Q(x) en considérant le tableau de signes suivant :
\begin{array}{|c|lcccccccr|} \hline x&-\infty&&-3&&2&&3&&+\infty\\\hline (x-3)(x+3)&&+&0&-&|&-&0&+&\\\hline (x-2)&&-&|&-&0&+&|&+&\\\hline Q(x)&&-&0&+&0&-&0&+&\\\hline\end{array}
D'après le tableau, le polynôme Q(x) est strictement positif sur l'intervalle ]-3\;;\ 2[\cup]3\;;\ +\infty[.
 
D'où, l'inéquation Q(x)>0 a pour solution :
S=]-3\;;\ 2[\cup]3\;;\ +\infty[
c) Résolvons Q(x^{2}+3)=0
 
Procédons par changement de variable.
 
Posons :
X=x^{2}+3
Ainsi, résoudre l'équation Q(x^{2}+3)=0 revient tout simplement à résoudre l'équation Q(X)=0.
 
Or, d'après le résultat de la question 2\,)\,b), on a Q(X)=0 si, et seulement si,
X=3\quad\text{ou}\quad X=-3\quad\text{ou}\quad X=2
Donc, en faisant un retour sur le changement de variable, pour chacun de ces nombres entiers, on obtient :
 
\begin{array}{rcl}X=3&\Leftrightarrow&x^{2}+3=3\\\\&\Leftrightarrow&x^{2}=3-3\\\\&\Leftrightarrow&x^{2}=0\\\\&\Leftrightarrow&x=0\end{array}
 
D'où, \boxed{S_{1}=\lbrace 0\rbrace}
 
\begin{array}{rcl}X=-3&\Leftrightarrow&x^{2}+3=-3\\\\&\Leftrightarrow&x^{2}=-3-3\\\\&\Leftrightarrow&x^{2}=-6\end{array}
 
Ce qui est impossible, car dans \mathbb{R}, un carré n'est jamais négatif.
 
D'où, \boxed{S_{2}=\emptyset}
 
\begin{array}{rcl}X=2&\Leftrightarrow&x^{2}+3=2\\\\&\Leftrightarrow&x^{2}=2-3\\\\&\Leftrightarrow&x^{2}=-1\end{array}
 
Là encore c'est impossible.
 
D'où, \boxed{S_{3}=\emptyset}
 
Donc, 0 est l'unique valeur de x vérifiant Q(x^{2}+3)=0.
 
Par conséquent, l'équation Q(x^{2}+3)=0 a pour solution :
S=S_{1}\cup S_{2}\cup S_{3}=\lbrace 0\rbrace

Exercice 11

Soit le polynôme f(x) défini par : f(x)=ax^{3}+bx-19x-30
1) Déterminons a\ et \ b pour que f(x) soit factorisable par (x^{2}-3x-10)
 
On a : f(x) factorisable par (x^{2}-3x-10) alors, il existe un polynôme Q(x) tel que :
f(x)=Q(x)\cdot(x^{2}-3x-10)
Par suite, les racines du polynôme (x^{2}-3x-10) sont aussi racines de f(x).
 
Cherchons alors les racines du polynôme x^{2}-3x-10
 
Soit : \Delta=(-3)^{2}-4\times(-10)\times 1=9+40=49
 
On a : x_{1}=\dfrac{3-7}{2}=\dfrac{-4}{2}=-2\ et \ x_{2}=\dfrac{3+7}{2}=\dfrac{10}{2}=5
 
Ainsi, -2\ et \ 5 vérifient l'équation f(x)=0
 
Donc, en remplaçant, on obtient :
 
\begin{array}{rcl}\left\lbrace\begin{array}{rcl} a\times(-2)^{3}+b\times(-2)-19\times(-2)-30&=&0\\ \\a\times(5)^{3}+b\times(5)-19\times(5)-30&=&0\end{array}\right.&\Rightarrow&\left\lbrace\begin{array}{rcl} -8a-2b+38-30&=&0\\ \\125a+5b-95-30&=&0\end{array}\right.\\\\&\Rightarrow&\left\lbrace\begin{array}{rcl} -8a-2b+8&=&0\\ \\125a+5b-125&=&0\end{array}\right.\\\\&\Rightarrow&\left\lbrace\begin{array}{rcl} -4a-b+4&=&0\quad(1) \\\\25a+b-25&=&0\quad(2)\end{array}\right.\end{array}
 
Résolvons le dernier système obtenu.
 
Ainsi, en additionnant les équation (1)\ et \ (2) on obtient :
 
\begin{array}{rcl} (-4a-b+4)+(25a+b-25)=0&\Rightarrow&21a-21=0\\\\&\Rightarrow&21a=21\\\\&\Rightarrow&a=\dfrac{21}{21}\\\\&\Rightarrow&a=1\end{array}
 
En remplaçant la valeur de a dans l'équation (1), on trouve :
 
\begin{array}{rcl} -4\times 1-b+4=0&\Rightarrow&-4-b+4=0\\\\&\Rightarrow&b=0\end{array}
 
D'où, \boxed{a=1\ \text{ et }\ b=0}
 
Par conséquent, f(x)=x^{3}-19x-30
 
2) Résolvons dans \mathbb{R} l'inéquation f(x)\geq 0
 
Comme f(x) est factorisable par (x^{2}-3x-10) alors, il existe un polynôme Q(x) tel que :
f(x)=Q(x)\cdot(x^{2}-3x-10)
Donc, f(x) divisible par (x^{2}-3x-10)
 
Ainsi, par division euclidienne, on obtient :
\begin{array}{l} \ \ x^{3}-19x-30 \\ -x^{3}+3x^{2}+10x \\ \hline \quad 0+3x^{2}-9x-30 \\ \qquad -3x^{2}+9x+30 \\  \hline\qquad\qquad\qquad\qquad\ \ 0 \end{array}\ \begin{array}{|l} x^{2}-3x-10 \\ \hline x+3 \\ \\ \\\\ \end{array}
D'où, \boxed{Q(x)=x+3}
 
Ce qui donne finalement :
f(x)=(x+3)(x^{2}-3x-10)
En utilisant le tableau de signes, on obtient :
\begin{array}{|c|lcccccccr|} \hline x&-\infty&&-3&&-2&&5&&+\infty\\\hline(x+3)&&-&0&+&|&+&|&+&\\\hline(x^{2}-3x-10)&&+&|&+&0&-&0&+&\\\hline f(x)&&-&0&+&0&-&0&+&\\\hline\end{array}
D'où, l'inéquation f(x)\geq 0 a pour solution :
S=[-3\;;\ -2]\cup[5\;;\ +\infty[

Exercice 12

Un polynôme x^{2}+px+q divisé par (x-2) a pour reste 3, divisé par x a pour reste 5.
 
Déterminons les coefficients p\ et \ q en divisant successivement le polynôme x^{2}+px+q par (x-2) et par x.
 
Par division euclidienne, on a :
\begin{array}{l} \ \ x^{2}+px+q \\ -x^{2}+2x \\ \hline \quad 0+(p+2)x+q \\ \qquad -(p+2)x+2p+4 \\  \hline\qquad\qquad\ 2p+4+q \end{array}\ \begin{array}{|l} x-2 \\ \hline x+p+2 \\ \\ \\\\ \end{array}
D'où, le reste R_{1} de cette division est donné par :
\boxed{R_{1}=2p+4+q}
\begin{array}{l} \ \ x^{2}+px+q \\ -x^{2} \\ \hline \quad 0+px+q \\ \qquad -px \\  \hline\qquad\qquad\ q \end{array}\ \begin{array}{|l} x \\ \hline x+p \\ \\ \\\\ \end{array}
D'où, le reste R_{1} de cette division est donné par :
\boxed{R_{2}=q}
Par ailleurs, on sait que :
R_{1}=3\quad\text{et}\quad R_{2}=5
C'est-à-dire ;
\left\lbrace\begin{array}{rcl}2p+4+q&=&3\qquad(1)\\\\q&=&5\qquad(2)\end{array}\right.
Donc, en remplaçant q par sa valeur, dans la relation (1), on obtient :
 
\begin{array}{rcl}2p+4+q=3&\Rightarrow&2p+4+5=3\\\\&\Rightarrow&2p+9=3\\\\&\Rightarrow&2p=3-9\\\\&\Rightarrow&2p=-6\\\\&\Rightarrow&p=-\dfrac{6}{2}\\\\&\Rightarrow&p=-3\end{array}
 
Ainsi, \boxed{p=-3\quad\text{et}\quad q=5}
 
Par conséquent, ce polynôme est défini par :
\boxed{x^{2}-3x+5}

Exercice 13

Soit le polynôme P défini par P(x)=x^{3}-x+2m
 
1) Cherchons m pour que P soit factorisable par (x+1)
 
P factorisable par (x+1) alors, il existe un polynôme Q(x) tel que :
f(x)=(x+1)\times Q(x)
Donc, les racines du polynôme (x+1) sont aussi racines de P.
 
Or, -1 annule (x+1) donc, -1 est aussi racine de P(x). Ce qui signifie : P(-1)=0
 
On a alors,
 
\begin{array}{rcl} P(-1)=0&\Rightarrow&(-1)^{3}-(-1)+2m=0\\\\&\Rightarrow&-1+1+2m=0\\\\&\Rightarrow&2m=0\\\\&\Rightarrow&m=0\end{array}
 
Ainsi, \boxed{m=0}
 
Par suite, P(x)=x^{3}-x
2) Trouvons donc le polynôme Q tel que P(x)=(x+1)\times Q(x)
 
On a : P(x)=(x+1)\times Q(x)
 
Donc, P(x) divisible par (x+1)
 
Ainsi, par division euclidienne, on obtient :
\begin{array}{l} \ \ x^{3}-x \\ -x^{3}-x^{2} \\ \hline \quad 0-x^{2}-x \\ \qquad\ \ x^{2}+x \\  \hline\qquad\qquad\ \ 0 \end{array}\ \begin{array}{|l} x+1 \\ \hline x^{2}-x \\ \\ \\\\ \end{array}
D'où, \boxed{Q(x)=x^{2}-x=x(x-1)}
 
3) Pour m=0, résolvons dans \mathbb{R}
 
a) P(x)=0
 
On a :
 
\begin{array}{rcl} P(x)=0&\Leftrightarrow&(x+1)\times Q(x)\\\\&\Leftrightarrow&(x+1)\times x(x-1)=0\\\\&\Leftrightarrow&x+1=0\quad\text{ou}\quad x=0\quad\text{ou}\quad x-1=0\\\\&\Leftrightarrow&x=-1\quad\text{ou}\quad x=0\quad\text{ou}\quad x=1\end{array}
 
Par suite, \boxed{S=\{-1\;;\ 0\;;\ 1\}}
 
b) P(x)\geq 0
 
Considérons le tableau de signes suivant :
\begin{array}{|c|lcccccccr|} \hline x&-\infty&&-1&&0&&1&&+\infty\\\hline(x+1)&&-&0&+&|&+&|&+&\\\hline Q(x)&&+&|&+&0&-&0&+&\\\hline P(x)&&-&0&+&0&-&0&+&\\\hline\end{array}
La solution de l'inéquation P(x)\geq 0 sera alors donnée par :
S=[-1\;;\ 0]\cup[1\;;\ +\infty[

Exercice 14

Soit P(x)=-2x^{3}+x^{2}+5x+2
 
1) Montrons que (-1) est une racine de P
 
Pour cela, calculons P(-1) en remplaçant x par -1, dans l'expression de P(x).
 
On obtient alors :
 
\begin{array}{rcl} P(-1)&=&-2(-1)^{3}+(-1)^{2}+5(-1)+2\\\\&=&2+1-5+2\\\\&=&5-5\\\\&=&0\end{array}
 
Donc, \boxed{P(-1)=0}
 
Ce qui montre que -1 est une racine de P.
 
2) Factorisons P(x) puis résolvons P(x)=0
 
D'après le résultat de la question 1\,), on a -1 de P.
 
Ce qui signifie que P(x) est factorisable par (x+1).
 
Par conséquent, P(x) est divisible par (x+1).
 
Ainsi, il existe un polynôme Q(x) de degré 2 vérifiant :
P(x)=(x+1)\times Q(x)
Déterminons alors Q(x) par division euclidienne.
 
On a :
\begin{array}{l} \ \ -2x^{3}+x^{2}+5x+2 \\ \quad\  2x^{3}+2x^{2} \\ \hline \qquad 0+3x^{2}+5x+2 \\ \qquad\quad -3x^{2}-3x \\  \hline\qquad\qquad\qquad \ 2x+2\\ \qquad\qquad\quad\ -2x-2\\  \hline\qquad\qquad\qquad\quad\ 0 \end{array}\ \begin{array}{|l} x+1 \\ \hline -2x^{2}+3x+2 \\\\ \\ \\\\\\\\ \end{array}
D'où, \boxed{Q(x)=-2x^{2}+3x+2}
 
Par conséquent,
P(x)=(x+1)(-2x^{2}+3x+2)
Alors, pour une factorisation complète, factorisons Q(x).
 
Soit :
 
\begin{array}{rcl}\Delta&=&3^{2}-4\times(-2)\times 2\\\\&=&9+16\\\\&=&25\end{array}
 
Donc, \boxed{\Delta=25\;,\quad\sqrt{\Delta}=5}
 
Ainsi, Q a deux racines distinctes x_{1}\ et \ x_{2} telles que :
 
\begin{array}{rcl}x_{1}&=&\dfrac{-3-\sqrt{25}}{2\times(-2)}\\\\&=&\dfrac{-3-5}{-4}\\\\&=&\dfrac{-8}{-4}\\\\&=&2\end{array}
 
Donc, \boxed{x_{1}=2}
 
\begin{array}{rcl}x_{2}&=&\dfrac{-3+\sqrt{25}}{2\times(-2)}\\\\&=&\dfrac{-3+5}{-4}\\\\&=&\dfrac{2}{-4}\\\\&=&-\dfrac{1}{2}\end{array}
 
Donc, \boxed{x_{2}=-\dfrac{1}{2}}
 
Par suite,
Q(x)=-2(x-2)\left(x+\dfrac{1}{2}\right)
D'où, une factorisation de P(x) est donnée par :
\boxed{P(x)=-2(x+1)(x-2)\left(x+\dfrac{1}{2}\right)}
Résolvons dans \mathbb{R}\;,\ P(x)=0
 
En effet, en utilisant la forme factorisée de P(x), on a :
 
\begin{array}{rcl}P(x)=0&\Leftrightarrow&-2(x+1)(x-2)\left(x+\dfrac{1}{2}\right)=0\\\\&\Leftrightarrow&(x+1)(x-2)\left(x+\dfrac{1}{2}\right)=0\\\\&\Leftrightarrow&x+1=0\quad\text{ou}\quad x-2=0\quad\text{ou}\quad x+\dfrac{1}{2}=0\\\\&\Leftrightarrow&x=-1\quad\text{ou}\quad x=2\quad\text{ou}\quad x=-\dfrac{1}{2}\end{array}
 
D'où, l'ensemble des solutions S est donné par :
\boxed{S=\left\lbrace -1\;;\ -\dfrac{1}{2}\;;\ 2\right\rbrace}
3) Résolvons dans \mathbb{R}
-2(x^{2}-1)^{3}+(x^{2}-1)^{2}+5(x^{2}-1)+2=0
Par analogie à la question 2\,), cela revient donc à résoudre l'équation :
P(x^{2}-1)=0
Effectuons alors un changement de variable.
 
Posons :
X=x^{2}-1
L'équation devient donc :
-2X^{3}+X^{2}+5X+2=0
Ainsi, résoudre l'équation P(x^{2}-1)=0 revient tout simplement à résoudre l'équation P(X)=0.
 
Or, d'après le résultat de la question 2\,)), on a P(X)=0 si, et seulement si,
X=-1\quad\text{ou}\quad X=-\dfrac{1}{2}\quad\text{ou}\quad X=2
Donc, en faisant un retour sur le changement de variable, pour chacun de ces nombres réels, on obtient :
 
\begin{array}{rcl}X=-1&\Leftrightarrow&x^{2}-1=-1\\\\&\Leftrightarrow&x^{2}=-1+1\\\\&\Leftrightarrow&x^{2}=0\\\\&\Leftrightarrow&x=0\end{array}
 
D'où, \boxed{S_{1}=\lbrace 0\rbrace}
 
\begin{array}{rcl}X=-\dfrac{1}{2}&\Leftrightarrow&x^{2}-1=-\dfrac{1}{2}\\\\&\Leftrightarrow&x^{2}=-\dfrac{1}{2}+1\\\\&\Leftrightarrow&x^{2}=\dfrac{1}{2}\\\\&\Leftrightarrow&x=\sqrt{\dfrac{1}{2}}\quad\text{ou}\quad x=-\sqrt{\dfrac{1}{2}}\\\\&\Leftrightarrow&x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\quad\text{ou}\quad x=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\\\&\Leftrightarrow&x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\quad\text{ou}\quad x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{array}
 
D'où, \boxed{S_{2}=\left\lbrace -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\;;\ \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right\rbrace}
 
\begin{array}{rcl}X=2&\Leftrightarrow&x^{2}-1=2\\\\&\Leftrightarrow&x^{2}=2+1\\\\&\Leftrightarrow&x^{2}=3\\\\&\Leftrightarrow&x=\sqrt{3}\quad\text{ou}\quad x=-\sqrt{3}\end{array}
 
D'où, \boxed{S_{3}=\left\lbrace -\sqrt{3}\;;\ \sqrt{3}\right\rbrace}
 
Par conséquent, l'équation P(x^{2}-1)=0 a pour solution :
\boxed{S=S_{1}\cup S_{2}\cup S_{3}=\left\lbrace 0\;;\ -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\;;\ \dfrac{\sqrt{2}}{2}\;;\ -\sqrt{3}\;;\ \sqrt{3}\right\rbrace}

Exercice 15

Déterminons a\ et \ b pour que x^{5}+ax^{4}+b soit divisible par (x-1)^{2}.
 
En effet, x^{5}+ax^{4}+b est divisible par (x-1)^{2} si, et seulement si, les racines de (x-1)^{2} sont aussi racines de x^{5}+ax^{4}+b.
 
De plus, le resta de la division de x^{5}+ax^{4}+b par (x-1)^{2} est égal à 0.
 
Comme 1 est racine de (x-1)^{2} alors, 1 est aussi racine de x^{5}+ax^{4}+b.
 
Ce qui se traduit par :
1^{5}+a\times 1^{4}+b=0
D'où, \boxed{a+b+1=0\qquad(1)}
 
Par ailleurs, on a : (x-1)^{2}=x^{2}-2x+1
 
Donc, par division euclidienne, on obtient :
\begin{array}{l} \ \ x^{5}+ax^{4}+b \\  -x^{5}+2x^{4}-x^{3} \\ \hline\ (a+2)x^{4}-x^{3}+b\\  -(a+2)x^{4}+(2a+4)x^{3}-(a+2)x^{2} \\  \hline\ (2a+3)x^{3}-(a+2)x^{2}+b\\ -(2a+3)x^{3}+(4a+6)x^{2}-(2a+3)x\\  \hline\ (3a+4)x^{2}-(2a+3)x+b\\  -(3a+4)x^{2}+(6a+8)x-(3a+4)\\ \hline\qquad\qquad\qquad (4a+5)x-(3a+4)+b \end{array}\ \begin{array}{|l} x^{2}-2x+1 \\ \hline x^{3}+(a+2)x^{2}+(2a+3)x+(3a+4) \\\\\\ \\\\ \\\\\\\\ \end{array}
Ainsi, le reste R(x) de la division euclidienne du polynôme x^{5}+ax^{4}+b par (x-1)^{2} est donné par :
\boxed{R(x)=(4a+5)x-(3a+4)+b}
Alors, x^{5}+ax^{4}+b est divisible par (x-1)^{2} si, et seulement si, le reste R(x) est égal à 0.
 
Or, un polynôme est nul si, et seulement si, tous ses coefficients sont nuls.
 
Ce qui se traduit par :
R(x)=0\ \Leftrightarrow\ \left\lbrace\begin{array}{rcl}(4a+5)&=&0\qquad(2)\\\\-(3a+4)+b&=&0\qquad(3)\end{array}\right.
En résolvant ce système d'équation à deux inconnues, on trouve a\ et \ b.
 
Considérons l'équation (2).
 
On a :
 
\begin{array}{rcl}4a+5=0&\Leftrightarrow&4a=-5\\\\&\Leftrightarrow&a=-\dfrac{5}{4}\end{array}
 
Donc, \boxed{a=-\dfrac{5}{4}}
 
Pour déterminer b, remplaçons cette valeur de a dans l'équation (3).
 
On obtient alors :
 
\begin{array}{rcl}-(3a+4)+b=0&\Leftrightarrow&b=3a+4\\\\&\Leftrightarrow&b=3\left(-\dfrac{5}{4}\right)+4\\\\&\Leftrightarrow&b=-\dfrac{15}{4}+\dfrac{16}{4}\\\\&\Leftrightarrow&b=\dfrac{1}{4}\end{array}
 
Donc, \boxed{b=\dfrac{1}{4}}
 
Vérification
 
D'après l'équation (1), on a :
a+b+1=0
En remplaçant les valeurs de a\ et \ b dans l'équation (1), on obtient :
-\dfrac{5}{4}+\dfrac{1}{4}+1=-\dfrac{4}{4}+1=-1+1=0
Ce qui montre que ces valeurs de a\ et \ b vérifient bien l'équation (1).
 
Par conséquent, le polynôme x^{5}+ax^{4}+b, divisible par (x-1)^{2}, est défini par :
\boxed{x^{5}-\dfrac{5}{4}x^{4}+\dfrac{1}{4}}

Exercice 16

1) Déterminons les réels p\ et \ q pour que x^{4}+px^{2}+q soit divisible par x^{2}-6x+5
 
En effet, le polynôme x^{4}+px^{2}+q est divisible par x^{2}-6x+5 si, et seulement si, les racines du polynôme x^{2}-6x+5 sont aussi racines de x^{4}+px^{2}+q.
 
Cherchons alors les racines du polynôme x^{2}-6x+5.
 
Soit :
 
\begin{array}{rcl}\Delta&=&(-6)^{2}-4\times 1\times 5\\\\&=&36-20\\\\&=&16\end{array}
 
Donc, \boxed{\Delta=16\ \Rightarrow\ \sqrt{\Delta}=4}
 
Ainsi, le polynôme x^{2}-6x+5 admet deux racines distinctes ; x_{1}\ et \ x_{2} telles que :
 
\begin{array}{rcl}x_{1}&=&\dfrac{-(-6)-\sqrt{\Delta}}{2}\\\\&=&\dfrac{6-4}{2}\\\\&=&\dfrac{2}{2}\\\\&=&1\end{array}
 
D'où, \boxed{x_{1}=1}
 
\begin{array}{rcl}x_{2}&=&\dfrac{-(-6)+\sqrt{\Delta}}{2}\\\\&=&\dfrac{6+4}{2}\\\\&=&\dfrac{10}{2}\\\\&=&5\end{array}
 
D'où, \boxed{x_{2}=5}
 
Par conséquent, 1\ et \ 5 sont aussi racines du polynôme x^{4}+px^{2}+q.
 
Ce qui signifie que 1\ et \ 5 annulent ce polynôme.
 
Ainsi, en remplaçant x par 1, on obtient :
 
\begin{array}{rcl}1^{4}+p\times 1^{2}+q=0&\Leftrightarrow&1+p+q=0\\\\&\Leftrightarrow&p+q+1=0\end{array}
 
D'où, \boxed{p+q+1=0\qquad(1)}
 
De la même manière,  en remplaçant x par 5, on obtient :
 
\begin{array}{rcl}5^{4}+p\times 5^{2}+q=0&\Leftrightarrow&625+p\times 25+q=0\\\\&\Leftrightarrow&25p+q+625=0\end{array}
 
Donc, \boxed{25p+q+625=0\qquad(2)}
 
Considérons alors le système d'équations à deux inconnues suivant, formé des équations (1)\ et \ (2)\ :
\left\lbrace\begin{array}{rcl}p+q+1&=&0\qquad(1)\\\\25p+q+625&=&0\qquad(2)\end{array}\right.
En résolvant ce système, on trouve alors les coefficients p\ et \ q.
 
En effet, multiplions d'abord l'équation (1) par -1.
 
Le système devient alors :
\left\lbrace\begin{array}{rcl}-p-q-1&=&0\qquad(3)\\\\25p+q+625&=&0\qquad(2)\end{array}\right.
Additionnons ensuite, membre à membre, les équations (3)\ et \ (2) du nouveau système.
 
On obtient :
 
\begin{array}{rcl}-p-q-1+25p+q+625=0&\Leftrightarrow&24p+624=0\\\\&\Leftrightarrow&24p=-624\\\\&\Leftrightarrow&p=-\dfrac{624}{24}\\\\&\Leftrightarrow&p=-26\end{array}
 
Donc, \boxed{p=-26}
 
Enfin, en remplaçant cette valeur de p dans l'équation (1), on trouve :
 
\begin{array}{rcl}-26+q+1=0&\Leftrightarrow&-25+q=0\\\\&\Leftrightarrow&q=25\end{array}
 
Ainsi, \boxed{q=25}
 
D'où, le polynôme x^{4}+px^{2}+q divisible par x^{2}-6x+5 est défini par :
\boxed{x^{4}-26x^{2}+25}
2) Pour les valeurs de p\ et \ q ainsi trouvées, en déduisons les solutions de l'équation :
x^{4}+px^{2}+q=0
D'après le résultat de la question 1\,), on a x^{4}-26x^{2}+25 divisible par x^{2}-6x+5.
 
Donc, il existe un polynôme Q(x) tel que :
x^{4}-26x^{2}+25=(x^{2}-6x+5)\times Q(x)
Ainsi, par division euclidienne, on obtient :
\begin{array}{l} \ \ x^{4}-26x^{2}+25 \\ -x^{4}+6x^{3}-5x^{2} \\ \hline \quad 6x^{3}-31x^{2}+25 \\ \ -6x^{3}+36x^{2}-30x\\ \hline \quad\quad 5x^{2}-30x+25\\ \ \quad -5x^{2}+30x-25\\\hline\qquad\qquad\qquad \ 0 \end{array}\ \begin{array}{|l} x^{2}-6x+5 \\ \hline x^{2}+6x+5 \\ \\\\\\\\  \\ \\ \end{array}
D'où, \boxed{Q(x)=x^{2}+6x+5}
 
Factorisons alors Q(x).
 
On a :
 
\begin{array}{rcl}\Delta&=&6^{2}-4\times 1\times 5\\\\&=&36-20\\\\&=&16\end{array}
 
Donc, \boxed{\Delta=16\ \Rightarrow\ \sqrt{\Delta}=4}
 
Ainsi, le polynôme Q(x) admet deux racines distinctes x_{1}\ et \ x_{2} données par :
 
\begin{array}{rcl}x_{1}&=&\dfrac{-6-\sqrt{\Delta}}{2}\\\\&=&\dfrac{-6-4}{2}\\\\&=&\dfrac{-10}{2}\\\\&=&-5\end{array}
 
D'où, \boxed{x_{1}=-5}
 
\begin{array}{rcl}x_{2}&=&\dfrac{-6+\sqrt{\Delta}}{2}\\\\&=&\dfrac{-6+4}{2}\\\\&=&\dfrac{-2}{2}\\\\&=&-1\end{array}
 
D'où, \boxed{x_{2}=-1}
 
Ainsi, la forme factorisée de Q(x) est donnée par :
Q(x)=(x+1)(x+5)
Par ailleurs, d'après le résultat de la question 1\,), on a 1\ et \ 5 racines du polynôme x^{2}-6x+5.
 
Donc, sa forme factorisée est donnée par :
x^{2}-6x+5=(x-1)(x-5)
Par conséquent, la forme factorisée du polynôme x^{4}-26x^{2}+25 est :
\boxed{x^{4}-26x^{2}+25=(x-1)(x-5)(x+1)(x+5)}
Utilisons alors cette forme factorisée pour résoudre l'équation :
x^{4}-26x^{2}+25=0
On a :
 
\begin{array}{rcl}x^{4}-26x^{2}+25=0&\Leftrightarrow&(x-1)(x-5)(x+1)(x+5)=0\\\\&\Leftrightarrow&x-1=0\quad\text{ou}\quad x-5=0\quad\text{ou}\quad x+1=0\quad\text{ou}\quad x+5=0\\\\&\Leftrightarrow&x=1\quad\text{ou}\quad x=5\quad\text{ou}\quad x=-1\quad\text{ou}\quad x=-5\end{array}
D'où, l'ensemble des solutions S est donné par :
S=\left\lbrace -1\;;\ -5\;;\ 1\;;\ 5\right\rbrace

Exercice 17

Déterminons l'ensemble de définition de :
f(x)=\dfrac{2x+1}{x^{2}-4x}
Rappelons que l'ensemble de définition de f(x) est l'ensemble D_{f} tel que :
D_{f}=\left\lbrace x\in\mathbb{R}\;;\ (x^{2}-4x)\neq 0\right\rbrace=\mathbb{R}\setminus S
où, S est l'ensemble des solutions de l'équation x^{2}-4x=0
 
Donc, pour déterminer D_{f} on peut procéder comme suit : déterminer d'abord S puis, faire
D_{f}=\mathbb{R}\setminus S
Soit alors :
 
\begin{array}{rcl}x^{2}-4x=0&\Leftrightarrow&x(x-4)=0\\\\&\Leftrightarrow&x=0\quad\text{ou}\quad x-4=0\\\\&\Leftrightarrow&x=0\quad\text{ou}\quad x=4\end{array}
 
Ainsi, l'ensemble des solutions S est donné par :
S=\left\lbrace 0\;;\ 4\right\rbrace
D'où,
\boxed{D_{f}=\mathbb{R}\setminus\left\lbrace 0\;;\ 4\right\rbrace}
Déterminons l'ensemble de définition de :
g(x)=\dfrac{x^{2}-4x}{x^{2}+1}
Soit S l'ensemble des solutions de l'équation x^{2}+1=0.
 
Déterminons alors S.
 
On a :
 
\begin{array}{rcl}x^{2}+1=0&\Leftrightarrow&x^{2}=-1\end{array}
 
Ce qui est impossible car, dans \mathbb{R}, un carré n'est jamais négatif.
 
Donc, il n'existe pas de réel x vérifiant : x^{2}+1=0.
 
Par conséquent,
S=\emptyset
D'où, l'ensemble de définition de g(x) est donné par :
\boxed{D_{g}=\mathbb{R}\setminus\emptyset=\mathbb{R}}
Déterminons l'ensemble de définition de :
h(x)=\dfrac{x^{2}+1}{x^{2}-4x+3}
Pour cela, déterminons d'abord l'ensemble S des solutions de l'équation x^{2}-4x+3=0.
 
Soit :
 
\begin{array}{rcl}\Delta&=&(-4)^{2}-4\times 1\times 3\\\\&=&16-12\\\\&=&4\end{array}
 
Donc, \boxed{\Delta=4\ \Rightarrow\ \sqrt{\Delta}=2}
 
Ainsi, l'équation x^{2}-4x+3=0 admet deux solutions distinctes x_{1}\ et \ x_{2} telles que :
 
\begin{array}{rcl}x_{1}&=&\dfrac{-(-4)-\sqrt{\Delta}}{2}\\\\&=&\dfrac{4-2}{2}\\\\&=&\dfrac{2}{2}\\\\&=&1\end{array}
 
D'où, \boxed{x_{1}=1}
 
\begin{array}{rcl}x_{2}&=&\dfrac{-(-4)+\sqrt{\Delta}}{2}\\\\&=&\dfrac{4+2}{2}\\\\&=&\dfrac{6}{2}\\\\&=&3\end{array}
 
D'où, \boxed{x_{2}=3}
 
Ainsi, l'ensemble S des solutions de l'équation x^{2}-4x+3=0 est donné par :
S=\left\lbrace 1\;;\ 3\right\rbrace
Par conséquent, l'ensemble de définition de h(x) est :
\boxed{D_{h}=\mathbb{R}\setminus\left\lbrace 1\;;\ 3\right\rbrace}

Exercice 18

Soient les polynômes P\;,\ R\ et \ Q définis par :
P(x)\ :\ 2x^{3}+ax^{2}+x+2
R(x)\ :\ cx^{3}+bx^{2}+dx-3
Q(x)\ :\ (2x+1)(x+3)-(4x+1)(b-x)
1) a) Trouvons le réel a pour que 2 soit racine de P.
 
En effet, 2 est racine de P si, et seulement si, 2 annule P(x) ; c'est-à-dire, P(2)=0.
 
Donc, dans l'expression de P(x), remplaçons x par 2 puis, calculons P(2)=0.
 
On a :
 
\begin{array}{rcl}P(2)=0&\Leftrightarrow&2\times 2^{3}+a\times 2^{2}+2+2=0\\\\&\Leftrightarrow&2\times 8+a\times 4+4=0\\\\&\Leftrightarrow&16+4a+4=0\\\\&\Leftrightarrow&4a+20=0\\\\&\Leftrightarrow&4a=-20\\\\&\Leftrightarrow&a=-\dfrac{20}{4}\\\\&\Leftrightarrow&a=-5\end{array}
 
D'où, \boxed{a=-5}
 
Par conséquent,
\boxed{P(x)=2x^{3}-5x^{2}+x+2}
b) En déduisons la factorisation complète de P(x)
 
D'après le résultat de la question 1\,)\,a), on a 2 racine de P.
 
Cela signifie que P(x) est divisible par (x-2).
 
Donc, il existe un polynôme A(x) de degré 2 tel que :
P(x)=(x-2)\times A(x)
Ainsi, par division euclidienne, on a :
\begin{array}{l} \ \ 2x^{3}-5x^{2}+x+2 \\ -2x^{3}+4x^{2} \\ \hline \qquad -x^{2}+x+2 \\ \qquad\quad x^{2}-2x+2\\ \hline \qquad\qquad\quad -x+2\\ \ \qquad\qquad\quad\ x-2\\\hline\qquad\qquad\qquad\quad \ 0 \end{array}\ \begin{array}{|l} x-2 \\ \hline 2x^{2}-x-1 \\ \\\\\\\\  \\ \\ \end{array}
D'où, \boxed{A(x)=2x^{2}-x-1}
 
Donc, on a :
P(x)=(x-2)\times(2x^{2}-x-1)
Par suite, pour une factorisation complète de P(x), nous allons essayer de factoriser A(x).
 
On a :
 
\begin{array}{rcl}\Delta&=&(-1)^{2}-4\times 2\times(-1)\\\\&=&1+8\\\\&=&9\end{array}
 
Donc, \boxed{\Delta=9\ \Rightarrow\ \sqrt{\Delta}=3}
 
Ainsi, le polynôme A(x) admet deux racines distinctes x_{1}\ et \ x_{2} définies par :
 
\begin{array}{rcl}x_{1}&=&\dfrac{-(-1)-\sqrt{\Delta}}{2\times 2}\\\\&=&\dfrac{1-3}{4}\\\\&=&\dfrac{-2}{4}\\\\&=&-\dfrac{1}{2}\end{array}
 
D'où, \boxed{x_{1}=-\dfrac{1}{2}}
 
\begin{array}{rcl}x_{2}&=&\dfrac{-(-1)+\sqrt{\Delta}}{2\times 2}\\\\&=&\dfrac{1+3}{4}\\\\&=&\dfrac{4}{4}\\\\&=&1\end{array}
 
D'où, \boxed{x_{2}=1}
 
Ainsi, la forme factorisée de A(x) est donnée par :
A(x)=2(x-1)\left(x+\dfrac{1}{2}\right)
Par conséquent, la factorisation complète de P(x) est donnée par :
\boxed{P(x)=2(x-2)(x-1)\left(x+\dfrac{1}{2}\right)}
2) Trouvons les réels b\;,\ c\ et \ d pour que R(x)\ et \ Q(x) soient égaux.
 
En effet, d'après la propriété sur l'égalité de deux polynômes, on a R(x)=Q(x) si, et seulement si, les monômes de même degré semblable à R(x)\ et \ Q(x) ont même coefficient.
 
Soit : R(x)=cx^{3}+bx^{2}+dx-3\ et \ Q(x)=(2x+1)(x+3)-(4x+1)(b-x).
 
Donnons d'abord la forme développée de Qx).
 
On a :
 
\begin{array}{rcl}Q(x)&=&(2x+1)(x+3)-(4x+1)(b-x)\\\\&=&(2x^{2}+6x+x+3)-(4bx-4x^{2}+b-x)\\\\&=&2x^{2}+7x+3-[-4x^{2}+(4b-1)x+b]\\\\&=&2x^{2}+7x+3+4x^{2}-(4b-1)x-b\\\\&=&6x^{2}+[7-(4b-1)]x-b+3\\\\&=&6x^{2}+(7-4b+1)x-b+3\\\\&=&6x^{2}+(8-4b)x-b+3\end{array}
 
Donc, \boxed{Q(x)=6x^{2}+(8-4b)x-b+3}
 
Par suite, en appliquant la propriété d'égalité de deux polynômes, on obtient :
 
\begin{array}{rcl}R(x)=Q(x)&\Leftrightarrow&\left\lbrace\begin{array}{rcl}c&=&0\\\\b&=&6\\\\d&=&8-4b\\\\-3&=&-b+3\end{array}\right.\\\\&\Leftrightarrow&\left\lbrace\begin{array}{rcl}c&=&0\\\\b&=&6\\\\d&=&8-4\times 6\end{array}\right.\\\\&\Leftrightarrow&\left\lbrace\begin{array}{rcl}c&=&0\\\\b&=&6\\\\d&=&8-24\end{array}\right.\\\\&\Leftrightarrow&\left\lbrace\begin{array}{rcl}c&=&0\\\\b&=&6\\\\d&=&-16\end{array}\right.\end{array}
 
D'où, \boxed{b=6\;;\ c=0\;;\ d=-16}
 
3) Soit la fraction rationnelle T définie par :
T(x)=\dfrac{2x^{3}-5x^{2}+x+2}{-2x^{2}+8x-8}
a) Déterminons l'ensemble de définition de T(x)
 
Soit D_{T} l'ensemble de définition de T(x).
 
Alors, par définition, on a :
D_{T}=\mathbb{R}\setminus S
où, S est l'ensemble des solutions de l'équation -2x^{2}+8x-8=0.
 
Déterminons alors S en résolvant l'équation -2x^{2}+8x-8=0.
 
On a :
 
\begin{array}{rcl}-2x^{2}+8x-8=0&\Leftrightarrow&-2(x^{2}-4x+4)=0\\\\&\Leftrightarrow&x^{2}-4x+4=0\\\\&\Leftrightarrow&(x-2)^{2}=0\\\\&\Leftrightarrow&x-2=0\\\\&\Leftrightarrow&x=2\end{array}
 
Ainsi, l'ensemble S des solutions de l'équation -2x^{2}+8x-8=0 est donné par :
S=\left\lbrace 2\right\rbrace
Par conséquent, l'ensemble de définition de T(x) est :
\boxed{D_{T}=\mathbb{R}\setminus\left\lbrace 2\right\rbrace}
b) Simplifions T(x)
 
En effet, dans l'expression de T(x), nous pouvons remarquer que le numérateur est égal P(x).
 
Donc, en considérant la forme factorisée de P(x), on a :
T(x)=\dfrac{2(x-2)(x-1)\left(x+\dfrac{1}{2}\right)}{-2x^{2}+8x-8}
Par ailleurs, concernant le dénominateur de T(x), on peut écrire :
 
\begin{array}{rcl}-2x^{2}+8x-8&=&-2(x^{2}-4x+4)\\\\&=&-2(x-2)^{2}\end{array}
 
Donc, \boxed{-2x^{2}+8x-8=-2(x-2)^{2}}
 
Ainsi, en remplaçant -2x^{2}+8x-8 par sa forme factorisée, dans l'expression de T(x), on obtient :
 
\begin{array}{rcl}T(x)&=&\dfrac{2(x-2)(x-1)\left(x+\dfrac{1}{2}\right)}{-2(x-2)^{2}}\\\\&=&\dfrac{(x-1)\left(x+\dfrac{1}{2}\right)}{-(x-2)}\\\\&=&-\dfrac{(x-1)\left(x+\dfrac{1}{2}\right)}{x-2}\end{array}
 
D'où, \boxed{T(x)=-\dfrac{(x-1)\left(x+\dfrac{1}{2}\right)}{x-2}}
 
c) Résolvons alors l'équation T(x)=0 et l'inéquation T(x)<0
 
Soit à résoudre l'équation T(x)=0.
 
Considérons alors la forme simplifiée de T(x).
 
On a :
 
\begin{array}{rcl}T(x)=0&\Leftrightarrow&-\dfrac{(x-1)\left(x+\dfrac{1}{2}\right)}{x-2}=0\\\\&\Leftrightarrow&-(x-1)\left(x+\dfrac{1}{2}\right)=0\\\\&\Leftrightarrow&(x-1)\left(x+\dfrac{1}{2}\right)=0\\\\&\Leftrightarrow&x-1=0\quad\text{ou}\quad x+\dfrac{1}{2}=0\\\\&\Leftrightarrow&x=1\quad\text{ou}\quad x=-\dfrac{1}{2}\end{array}
 
D'où, l'ensemble S des solutions de l'équation T(x)=0 est donné par :
\boxed{S=\left\lbrace-\dfrac{1}{2}\;;\ 1\right\rbrace}
Résolvons l'inéquation T(x)<0.
 
Là encore, nous allons considérer la forme simplifiée de T(x).
 
Donc,
T(x)<0\ \Leftrightarrow\ -\dfrac{(x-1)\left(x+\dfrac{1}{2}\right)}{x-2}<0
Cherchons le signe de T(x) en considérant le tableau de signes suivant :
\begin{array}{|c|lcccccccr|} \hline x&-\infty&&-\dfrac{1}{2}&&1&&2&&+\infty\\\hline (-1)&&-&|&-&|&-&|&-&\\\hline (x-1)\left(x+\dfrac{1}{2}\right)&&+&0&-&0&+&|&+&\\\hline (x-2)&&-&|&-&|&-&0&+&\\\hline T(x)&&+&0&-&0&+&\|&-&\\\hline\end{array}
D'après le tableau, T(x) est strictement négatif sur l'intervalle ]-3\;;\ 2[\cup]3\;;\ +\infty[.
 
D'où, l'inéquation T(x)<0 a pour solution :
S=\left]-\dfrac{1}{2}\;;\ 1\right[\cup\left]2\;;\ +\infty\right[

Exercice 19

Soit f(x)=\dfrac{x^{3}+4x^{2}+5x+3}{x^{2}+3x+2}
 
1) Déterminons D_{f}
 
Par définition, on a :
D_{f}=\mathbb{R}\setminus S
où, S est l'ensemble des solutions de l'équation x^{2}+3x+2=0.
 
Déterminons alors S en résolvant l'équation x^{2}+3x+2=0.
 
Soit :
 
\begin{array}{rcl}\Delta&=&3^{2}-4\times 2\times 1\\\\&=&9-8\\\\&=&1\end{array}
 
Donc, \boxed{\Delta=1\ \Rightarrow\ \sqrt{\Delta}=1}
 
Ainsi, l'équation x^{2}+3x+2=0 admet deux solutions distinctes x_{1}\ et \ x_{2} données par :
 
\begin{array}{rcl}x_{1}&=&\dfrac{-3-\sqrt{\Delta}}{2\times 1}\\\\&=&\dfrac{-3-1}{2}\\\\&=&\dfrac{-4}{2}\\\\&=&-2\end{array}
 
D'où, \boxed{x_{1}=-2}
 
\begin{array}{rcl}x_{2}&=&\dfrac{-3+\sqrt{\Delta}}{2\times 1}\\\\&=&\dfrac{-3+1}{2}\\\\&=&\dfrac{-2}{2}\\\\&=&-1\end{array}
 
D'où, \boxed{x_{2}=-1}
 
Par suite, l'ensemble S des solutions de l'équation x^{2}+3x+2=0 est donné par :
S=\left\lbrace -2\;;\ -1\right\rbrace
Par conséquent, l'ensemble de définition de f(x) est :
\boxed{D_{f}=\mathbb{R}\setminus\left\lbrace -2\;;\ -1\right\rbrace}
2) Montrons qu'il existe quatre réels a\;,\ b\;,\ c\ et \ d tels que :
f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x+1}+\dfrac{d}{x+2}
En effet, dans le numérateur de f(x), en remplaçant x par -1, on trouve 1.
(-1)^{3}+4(-1)^{2}+5(-1)+3=-1+4-5+3=1
Cela signifie que -1 n'est pas racine de ce polynôme et par conséquent, x^{3}+4x^{2}+5x+3 n'est pas divisible par x^{2}+3x+2.
 
Donc, il existe deux polynômes Q(x)\ et \ R(x) tels que :
x^{3}+4x^{2}+5x+3=(x^{2}+3x+2)\times Q(x)+R(x)
Par suite,
f(x)=Q(x)+\dfrac{R(x)}{x^{2}+3x+2}
Par division euclidienne, déterminons alors Q(x)\ et R\ (x).
 
On a :
\begin{array}{l} \ \ x^{3}+4x^{2}+5x+3 \\ -x^{3}-3x^{2}-2x \\ \hline \qquad\qquad x^{2}+3x+3 \\ \qquad\quad -x^{2}-3x-2\\ \hline \qquad\qquad\qquad\qquad 1\end{array}\ \begin{array}{|l} x^{2}+3x+2 \\ \hline x+1  \\ \\ \\ \\ \end{array}
D'où, \boxed{Q(x)=x+1\quad\text{et}\quad R(x)=1}
 
Ainsi, \boxed{a=1\quad\text{et}\quad b=1}
 
Trouvons c\ et \ d.
 
En effet, -1\ et \ -2 étant les racines du polynôme x^{2}+3x+2 alors, par factorisation, on a :
x^{2}+3x+2=(x+1)(x+2)
Donc,
f(x)=x+1+\dfrac{1}{(x+1)(x+2)}
Par suite,
 
\begin{array}{rcl}f(x)=x+1+\dfrac{c}{x+1}+\dfrac{d}{x+2}&\Leftrightarrow&x+1+\dfrac{c}{x+1}+\dfrac{d}{x+2}=x+1+\dfrac{1}{(x+1)(x+2)}\\\\&\Leftrightarrow&\dfrac{c}{x+1}+\dfrac{d}{x+2}=\dfrac{1}{(x+1)(x+2)}\\\\&\Leftrightarrow&\dfrac{c(x+2)}{(x+1)(x+2)}+\dfrac{d(x+1)}{(x+1)(x+2)}=\dfrac{1}{(x+1)(x+2)}\\\\&\Leftrightarrow&\dfrac{cx+2c+dx+d}{(x+1)(x+2)}=\dfrac{1}{(x+1)(x+2)}\\\\&\Leftrightarrow&cx+2c+dx+d=1\\\\&\Leftrightarrow&(c+d)x+2c+d=1\\\\&\Leftrightarrow&(c+d)x+2c+d-1=0\end{array}
 
Donc, \boxed{(c+d)x+2c+d-1=0}
 
Or, on sait que un polynôme est nul si, et seulement si, tous ses coefficients sont nuls.
 
Ainsi, on obtient le système d'équations suivant :
\left\lbrace\begin{array}{rcl}c+d&=&0\qquad(1)\\\\2c+d-1&=&0\qquad(2)\end{array}\right.
En résolvant ce système, on trouve les valeurs de c\ et \ d.
 
Alors, en multipliant l'équation (1) par -1, on obtient :
\left\lbrace\begin{array}{rcl}-c-d&=&0\qquad(3)\\\\2c+d-1&=&0\qquad(2)\end{array}\right.
En additionnant, membre à membre, les équations (3)\ et \ (2), on trouve :
 
\begin{array}{rcl}-c-d+2c+d-1=0&\Leftrightarrow&c-1=0\\\\&\Leftrightarrow&c=1\end{array}
 
D'où, \boxed{c=1}
 
En remplaçant cette valeur de c dans l'équation (1), on obtient :
 
\begin{array}{rcl}1+d=0&\Leftrightarrow&d=-1\end{array}
 
D'où, \boxed{d=-1}
 
Par conséquent,
\boxed{f(x)=x+1+\dfrac{1}{(x+1)}-\dfrac{1}{(x+2)}}

Exercice 20

1) Déterminons a\ et \ b pour que :
\dfrac{1}{x(x+1)}=\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x+1} 
On a :
 
\begin{array}{rcl}\dfrac{1}{x(x+1)}=\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x+1}&\Leftrightarrow&\dfrac{1}{x(x+1)}=\dfrac{a(x+1)}{x(x+1)}+\dfrac{bx}{x(x+1)}\\\\&\Leftrightarrow&\dfrac{1}{x(x+1)}=\dfrac{a(x+1)+bx}{x(x+1)}\\\\&\Leftrightarrow&\dfrac{1}{x(x+1)}=\dfrac{ax+a+bx}{x(x+1)}\\\\&\Leftrightarrow&ax+bx+a=1\\\\&\Leftrightarrow&(a+b)x+a=1\\\\&\Leftrightarrow&(a+b)x+a-1=0\end{array}
 
Donc, \boxed{(a+b)x+a-1=0}
 
Or, on sait que un polynôme est nul si, et seulement si, tous ses coefficients sont nuls.
 
Ce qui se traduit par :
\left\lbrace\begin{array}{rcl}a+b&=&0\qquad(1)\\\\a-1&=&0\qquad(2)\end{array}\right.
En résolvant ce système, on trouve les valeurs de a\ et \ b.
 
D'après l'équation (2), on trouve : \boxed{a=1}
 
En remplaçant cette de a, dans l'équation (1), on trouve : \boxed{b=-1}
 
D'où,
\boxed{\dfrac{1}{x(x+1)}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}} 
En déduire la valeur de
\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2\times 3}+\dfrac{1}{3\times 4}+\dfrac{1}{4\times 5}+\ldots\ldots+\dfrac{1}{99\times 100}
En effet, d'après le résultat qui précède, on a :
\dfrac{1}{x(x+1)}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}
Alors, appliquons 99 fois l'égalité \dfrac{1}{x(x+1)}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}.
 
Pour cela, remplaçons x successivement par 1\;,\ 2\;,\ 3\;,\ldots\ldots\;,\ 99 dans l'égalité \dfrac{1}{x(x+1)}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}.
 
On obtient :
\left\lbrace\begin{array}{rcl} \dfrac{1}{1\times 2}&=&\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}\\\\\dfrac{1}{2\times 3}&=&\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\\\\\dfrac{1}{3\times 4}&=&\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}\\\\\dfrac{1}{4\times 5}&=&\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}\\\\\ldots&\ldots&\ldots\quad\ldots\\\\\ldots&\ldots&\ldots\quad\ldots\\\\\dfrac{1}{99\times 100}&=&\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}\end{array}\right.
Par suite, en additionnant membre à membre ces 99 égalités, on obtient :
 
\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2\times 3}+\dfrac{1}{3\times 4}+\dfrac{1}{4\times 5}+\ldots\ldots+\dfrac{1}{99\times 100}=\require{cancel}\left(\dfrac{1}{1}-\cancel{\dfrac{1}{2}}\right)+\left(\cancel{\dfrac{1}{2}}-\cancel{\dfrac{1}{3}}\right)+\left(\cancel{\dfrac{1}{3}}-\cancel{\dfrac{1}{4}}\right)+\left(\cancel{\dfrac{1}{4}}-\cancel{\dfrac{1}{5}}\right)\ldots+\left(\cancel{\dfrac{1}{99}}-\dfrac{1}{100}\right)
 
En simplifiant, on trouve :
 
\begin{array}{rcl} \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2\times 3}+\dfrac{1}{3\times 4}+\dfrac{1}{4\times 5}+\ldots\ldots+\dfrac{1}{99\times 100}&=&1-\dfrac{1}{100}\\\\&=&\dfrac{100}{100}-\dfrac{1}{100}\\\\&=&\dfrac{99}{100}\\\\&=&0.99\end{array}
 
D'où, \boxed{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2\times 3}+\dfrac{1}{3\times 4}+\dfrac{1}{4\times 5}+\ldots\ldots+\dfrac{1}{99\times 100}=0.99}
 
2) Déterminons a\;,\ b\ et \ c pour que :
\dfrac{1}{x(x+1)(x+2)}=\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x+1}+\dfrac{c}{x+2}
On a :
 
\begin{array}{rcl}\dfrac{1}{x(x+1)(x+2)}=\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x+1}+\dfrac{c}{x+2}&\Leftrightarrow&\dfrac{1}{x(x+1)(x+2)}=\dfrac{a(x+1)(x+2)}{x(x+1)(x+2)}+\dfrac{bx(x+2)}{x(x+1)(x+2)}+\dfrac{cx(x+1)}{x(x+1)(x+2)}\\\\&\Leftrightarrow&\dfrac{1}{x(x+1)(x+2)}=\dfrac{a(x+1)(x+2)+bx(x+2)+cx(x+1)}{x(x+1)(x+2)}\\\\&\Leftrightarrow&\dfrac{1}{x(x+1)(x+2)}=\dfrac{ax^{2}+3ax+2a+bx^{2}+2bx+cx^{2}+cx}{x(x+1)(x+2)}\\\\&\Leftrightarrow&ax^{2}+3ax+2a+bx^{2}+2bx+cx^{2}+cx=1\\\\&\Leftrightarrow&(a+b+c)x^{2}+(3a+2b+c)x+2a=1\\\\&\Leftrightarrow&(a+b+c)x^{2}+(3a+2b+c)x+2a-1=0\end{array}
 
Donc, \boxed{(a+b+c)x^{2}+(3a+2b+c)x+2a-1=0}
 
Comme un polynôme est nul si, et seulement si, tous ses coefficients sont nuls alors, on a :
\left\lbrace\begin{array}{rcl}a+b+c&=&0\qquad(1)\\\\3a+2b+c&=&0\qquad(2)\\\\2a-1&=&0\qquad(3)\end{array}\right.
En résolvant ce système, on trouve les valeurs de a\;,\ b et \ c.
 
D'après l'équation (3), on a : \boxed{a=\dfrac{1}{2}}
 
Remplaçons alors cette valeur de a dans les équations (1)\ et \ (2) puis multiplions l'équation (1) par -1.
 
On obtient :
\left\lbrace\begin{array}{rcl}-\dfrac{1}{2}-b-c&=&0\qquad(4)\\\\\dfrac{3}{2}+2b+c&=&0\qquad(2)\end{array}\right.
En additionnant, membre à membre, les équations (4)\ et \ (2), on obtient :
 
\begin{array}{rcl}-\dfrac{1}{2}-b-c+\dfrac{3}{2}+2b+c=0&\Leftrightarrow&\dfrac{2}{2}+b=0\\\\&\Leftrightarrow&1+b=0\\\\&\Leftrightarrow&b=-1\end{array}
 
D'où, \boxed{b=-1}
 
En remplaçant cette valeur de c dans l'équation (1), on trouve :
 
\begin{array}{rcl}\dfrac{1}{2}-1+c=0&\Leftrightarrow&-\dfrac{1}{2}+c=0\\\\&\Leftrightarrow&c=\dfrac{1}{2}\end{array}
 
D'où, \boxed{c=\dfrac{1}{2}}
 
Par conséquent,
\boxed{\dfrac{1}{x(x+1)(x+2)}=\dfrac{1}{2x}-\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{2(x+2)}}
 

Auteur: 
Diny Faye

Commentaires

Le reste de la correction

Bonsoir je me nomme Momath CISSÉ . J'aimerais avoir la correction des exercices restant

Comment trouver les réels a et b pour que p(x) soit divisible par q(x)=x2_3x+2 P(x)= ax3+bx2 +ax+b-4

Comment faire pour télécharger la correction

Pourquoi L'exercice 09 n'a pas de correction ???

Il reste des exos non corrigés

Il reste des exos non corrigés

comment résoudre l'équation

Merci pour tout vous nous soutenez beaucoup

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