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Solution des exercices : Les polynômes - 2nd

Classe:

Seconde

Exercice 1

Soient les fonctions suivantes :

a) $f(x)=|-3x^{2}+5x-7|$

Soit : $P(x)=-3x^{2}+5x-7.$ On a : $\Delta=25-84=-59$

Comme $\Delta <0$ alors, $P(x)$ est toujours du signe de $(-3)$ donc, négatif.

D'où,

$\begin{array}{rcl} f(x)&=&|-3x^{2}+5x-7|\\\\&=&-(-3x^{2}+5x-7)\\\\&=&3x^{2}-5x+7\end{array}$

Par suite, $f(x)=3x^{2}-5x+7$ pour tout $x\in\mathbb{R}$

Ce qui montre que la fonction $f$ définie par $f(x)=|-3x^{2}+5x-7|$ est un polynôme

b) $f(x)=|2x^{2}-3x+1|$

Soit : $Q(x)=2x^{2}-3x+1.$ Alors, $\Delta=9-8=1$

Comme $\Delta>0$ alors, on a deux racines distinctes :

$$x_{1}=\dfrac{3-1}{4}=\dfrac{1}{2}\quad\text{et}\quad x_{2}=\dfrac{3+1}{4}=1$$

Ainsi, $Q(x)$ est positif à l'extérieur des racines, et négatif à l'intérieur des racines.

Par suite :

$$f(x)=\left\lbrace\begin{array}{rcl} 2x^{2}-3x+1&\text{si}&x\in\left]-\infty\;;\ \dfrac{1}{2}\right]\cup[1\;;\ +\infty[\\\\-2x^{2}+3x-1&\text{si}&x\in\left[\dfrac{1}{2}\;;\ 1\right]\end{array}\right.$$

On remarque que les coefficients de $f(x)$ ne sont pas constants, ils changent selon l'intervalle d'appartenance de $x.$

Par conséquent, la fonction $f$ définie par $f(x)=|2x^{2}-3x+1|$ n'est pas un polynôme.

c) $f(x)=\sqrt{x^{2}+1}$

$f(x)$ n'est pas un polynôme car $\sqrt{x^{2}+1}$ ne peut pas se mettre sous la forme $$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots\ldots+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\ \text{ avec }\ a_{n}\neq 0\ \text{ et }\ n\in\mathbb{N}$$

d) $f(x)=\sqrt{(x^{2}-2x+1)^{2}}$

On a :

$\begin{array}{rcl} f(x)&=&\sqrt{(x^{2}-2x+1)^{2}}\\\\&=&|x^{2}-2x+1|\end{array}$

Posons : $R(x)=x^{2}-2x+1.$ Soit alors, $\Delta=4-4=0$

Comme $\Delta=0$ alors, $R(x)$ est du signe de $(1)$ donc, positif.

D'où, $|x^{2}-2x+1|=x^{2}-2x+1$

Par suite, $f(x)=x^{2}-2x+1$ pour tout $x\in\mathbb{R}$

Par conséquent, la fonction $f$ définie par $f(x)=\sqrt{(x^{2}-2x+1)^{2}}$ est un polynôme.

e) $f(x)=\dfrac{x^{2}-1}{x-1}$

On a : $f(x)=\dfrac{x^{2}-1}{x-1}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}$

Donc, après simplification, on obtient : $f(x)=x+1$ qui définit bien une fonction polynôme.

Par conséquent, la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{x^{2}-1}{x-1}$ est un polynôme.

Exercice 2

Dans chacun des cas suivants vérifions que $\alpha$ est racine de $f$ puis, déterminons $Q(x)$ tel que $$f(x)=(x-\alpha)Q(x)$$

a) $f(x)=2x^{3}-7x^{2}-17x+10\;,\quad\alpha=-2$

Soit :

$\begin{array}{rcl} f(\alpha)&=&2\alpha^{3}-7\alpha^{2}-17\alpha+10\\\\&=&2\times(-2)^{3}-7\times(-2)^{2}-17\times (-2)+10\\\\&=&2\times(-8)-7\times 4+34+10\\\\&=&-16-28+44\\\\&=&0\end{array}$

Donc, $\boxed{f(-2)=0}$ d'où, $\alpha=-2$ est racine de $f$

Par suite, il existe un polynôme $Q(x)$ tel que $f(x)=(x+2)Q(x)$ avec $deg\,Q=2$

On a : $f(x)$ divisible par $(x+2)$ donc, par division euclidienne, on obtient :

$$\begin{array}{l} \ \ 2x^{3}-7x^{2}-17x+10 \\ -2x^{3}-4x^{2} \\ \hline \quad 0-11x^{2}-17x+10 \\ \qquad\ \ 11x^{2}+22x \\ \hline\qquad\qquad\ 0+5x+10\\ \qquad\qquad\quad\ -5x-10 \\ \hline\qquad\qquad\qquad\qquad\ \ 0 \end{array}\ \begin{array}{|l} x+2 \\ \hline 2x^{2}-11x+5 \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\\end{array}$$

D'où, $\boxed{Q(x)=2x^{2}-11x+5}$

b) $f(x)=2x^{2}-(1+2\sqrt{3})x-1-\sqrt{3}\;,\quad\alpha=-\dfrac{1}{2}$

On a :

$\begin{array}{rcl} f(\alpha)&=&2\alpha^{2}-(1+2\sqrt{3})\alpha-1-\sqrt{3}\\\\&=&2\times\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{2}-(1+2\sqrt{3})\times\left(-\dfrac{1}{2}\right)-1-\sqrt{3}\\\\&=&\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\sqrt{3}-1-\sqrt{3}\\\\&=&1-1\\\\&=&0\end{array}$

Donc, $\boxed{f\left(-\dfrac{1}{2}\right)=0}$ ainsi, $\alpha=-\dfrac{1}{2}$ est racine de $f$

Par suite, il existe un polynôme $Q(x)$ tel que $f(x)=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)Q(x)$ avec $deg\,Q=1$

$Q(x)$ est alors de la forme : $Q(x)=ax+b$ avec $a\neq 0$

On a :

$\begin{array}{rcl} f(x)&=&\left(x+\dfrac{1}{2}\right)Q(x)\\\\&=&\left(x+\dfrac{1}{2}\right)(ax+b)\\\\&=&ax^{2}+\dfrac{a}{2}x+bx+\dfrac{b}{2}\\\\&=&ax^{2}+\left(\dfrac{a}{2}+b\right)x+\dfrac{b}{2}\end{array}$

Donc, $2x^{2}-(1+2\sqrt{3})x-1-\sqrt{3}=ax^{2}+\left(\dfrac{a}{2}+b\right)x+\dfrac{b}{2}$

D'après la propriété sur l'égalité de deux polynômes on a :

$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} a&=&2 \\\\ \left(\dfrac{a}{2}+b\right)&=&-(1+2\sqrt{3}) \\\\\dfrac{b}{2}&=&-1-\sqrt{3} \end{array}\right.\quad\Rightarrow\quad\left\lbrace\begin{array}{rcl} a&=&2 \\ b&=&-2-2\sqrt{3} \end{array}\right.$$

D'où, $\boxed{Q(x)=2x-2-2\sqrt{3}=2(x-1-\sqrt{3})}$

c) $f(x)=4x^{3}+x^{2}-11x+6\;,\quad\alpha=1\;;\ \alpha=-2$

Soit :

$\begin{array}{rcl} f(1)&=&4\times(1)^{3}+(1)^{2}-11\times (1)+6\\\\&=&4+1-11+6\\\\&=&0\end{array}$

Donc, $\boxed{f(1)=0}$ d'où, $\alpha=1$ est racine de $f$

Aussi,

$\begin{array}{rcl} f(-2)&=&4\times(-2)^{3}+(-2)^{2}-11\times (-2)+6\\\\&=&-32+4+22+6\\\\&=&0\end{array}$

Donc, $\boxed{f(-2)=0}$ d'où, $\alpha=-2$ est racine de $f$

Par suite, il existe un polynôme $Q(x)$ tel que $f(x)=(x-1)(x+2)Q(x)$ avec $deg\,Q=1$

Soit alors $f(x)$ divisible par $(x-1)(x+2)=x^{2}+x-2$ donc, par division euclidienne, on obtient :

$$\begin{array}{l} \ \ 4x^{3}+x^{2}-11x+6 \\ -4x^{3}-4x^{2}+8x \\ \hline \quad 0-3x^{2}-3x+6 \\ \qquad\ \ 3x^{2}+3x-6 \\ \hline\qquad\qquad\qquad\qquad\ \ 0 \end{array}\ \begin{array}{|l} x^{2}+x-2 \\ \hline 4x-3 \\ \\ \\ \\ \end{array}$$

D'où, $\boxed{Q(x)=4x-3}$

Exercice 3

Dans chacun des cas suivants essayons de voir si $f(x)$ est factorisable par $g(x).$

Et si tel est le cas ; nous allons déterminer une factorisation de $f(x).$

En effet, $f(x)$ est factorisable par $g(x)$ si, et seulement si, les racines de $g$ sont aussi racines de $f.$

En conséquent, si une racine de $g$ n'est pas racine de $f$ alors, $f(x)$ ne sera pas factorisable par $g(x).$

Donc, dans cet exercice, nous allons d'abord chercher les racines de $g$ et ensuite, vérifier si elles sont aussi racines de $f$ pour enfin conclure sur la factorisation $f(x)$ par $g(x).$

1) Soient $f(x)=2x^{3}-3x^{2}-11x+6\ $ et $\ g(x)=2x-1.$

Cherchons alors les racines de $g$ en résolvant l'équation $g(x)=0.$

On a :

$\begin{array}{rcl}g(x)=0&\Leftrightarrow&2x-1=0\\\\&\Leftrightarrow&2x=1\\\\&\Leftrightarrow&x=\dfrac{1}{2}\end{array}$

Ainsi, $\dfrac{1}{2}$ est racine de $g.$

C'est-à-dire ; $\boxed{g\left(\dfrac{1}{2}\right)=0}$

Vérifions ensuite si $\dfrac{1}{2}$ est aussi racine de $f.$

Pour cela, on va calculer $f\left(\dfrac{1}{2}\right)$ en remplaçant $x$ par $\dfrac{1}{2}$, dans l'expression de $f(x).$

On obtient :

$\begin{array}{rcl}f\left(\dfrac{1}{2}\right)&=&2\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3}-3\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}-11\left(\dfrac{1}{2}\right)+6\\\\&=&2\left(\dfrac{1}{8}\right)-3\left(\dfrac{1}{4}\right)-\dfrac{11}{2}+6\\\\&=&\dfrac{2}{8}-\dfrac{3}{4}-\dfrac{11}{2}+6\\\\&=&\dfrac{1}{4}-\dfrac{3}{4}-\dfrac{11}{2}+6\\\\&=&-\dfrac{2}{4}-\dfrac{11}{2}+6\\\\&=&-\dfrac{1}{2}-\dfrac{11}{2}+6\\\\&=&-\dfrac{12}{2}+6\\\\&=&-6+6\\\\&=&0\end{array}$

D'où, $\boxed{f\left(\dfrac{1}{2}\right)=0}$

Ainsi, $\dfrac{1}{2}$ est aussi une racine de $f.$

Par conséquent, $f(x)$ est factorisable par $g(x).$

Par suite, il existe un polynôme $Q(x)$ tel que $f(x)=g(x)\times Q(x)$ avec $deg\,Q=2$

Comme $f(x)$ est factorisable par $g(x)$ alors, $f(x)$ est divisible par $(2x-1).$

Ainsi, par division euclidienne, on a :

$$\begin{array}{l} \ \ 2x^{3}-3x^{2}-11x+6 \\ -2x^{3}+x^{2} \\ \hline \quad 0-2x^{2}-11x+6 \\ \qquad\ \ 2x^{2}-x \\ \hline\qquad\qquad\ 0-12x+6\\ \qquad\qquad\quad\quad 12x-6 \\ \hline\qquad\qquad\qquad\qquad\ \ 0 \end{array}\ \begin{array}{|l} 2x-1 \\ \hline x^{2}-x-6 \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\\end{array}$$

D'où, $\boxed{Q(x)=x^{2}-x-6}$

Par conséquent, $\boxed{f(x)=(2x-1)(x^{2}-x-6)}$

Pour une factorisation complète de $f(x)$, nous allons essayer de voir si $Q(x)$ est factorisable.

Soit : $Q(x)=x^{2}-x-6.$

Alors, on a :

$\begin{array}{rcl}\Delta&=&(-1)^{2}-4\times(-6)\\\\&=&1+24\\\\&=&25\end{array}$

Donc, $\boxed{\Delta=25\ \Rightarrow\ \sqrt{\Delta}=5}$

Ainsi, les racines $x_{1}\ $ et $\ x_{2}$ de $Q(x)$ sont données par :

$\begin{array}{rcl}x_{1}&=&\dfrac{-(-1)+\sqrt{25}}{2\times 1}\\\\&=&\dfrac{1+5}{2}\\\\&=&\dfrac{6}{2}\\\\&=&3\end{array}$

Donc, $\boxed{x_{1}=3}$

$\begin{array}{rcl}x_{2}&=&\dfrac{-(-1)-\sqrt{25}}{2\times 1}\\\\&=&\dfrac{1-5}{2}\\\\&=&\dfrac{-4}{2}\\\\&=&-2\end{array}$

Donc, $\boxed{x_{2}=-2}$

Ainsi, $Q(x)=(x-3)(x+2)$

D'où, une factorisation complète de $f(x)$ est donnée par :

$$\boxed{f(x)=(2x-1)(x-3)(x+2)}$$

2) Soient $f(x)=2x^{3}+x^{2}-9x+5\ $ et $\ g(x)=2x+5$

Alors, cherchons d'abord les racines de $g$ en résolvant l'équation $g(x)=0.$

On a :

$\begin{array}{rcl}g(x)=0&\Leftrightarrow&2x+5=0\\\\&\Leftrightarrow&2x=-5\\\\&\Leftrightarrow&x=-\dfrac{5}{2}\end{array}$

Donc, $-\dfrac{5}{2}$ est une racine de $g.$

Ce qui signifie que $\boxed{g\left(-\dfrac{5}{2}\right)=0}$

Vérifions ensuite si $-\dfrac{5}{2}$ est aussi racine de $f.$

Pour cela, on va calculer $f\left(-\dfrac{5}{2}\right)$ en remplaçant $x$ par $-\dfrac{5}{2}$, dans l'expression de $f(x).$

Cela donne alors :

$\begin{array}{rcl}f\left(-\dfrac{5}{2}\right)&=&2\left(-\dfrac{5}{2}\right)^{3}+\left(-\dfrac{5}{2}\right)^{2}-9\left(-\dfrac{5}{2}\right)+5\\\\&=&2\left(-\dfrac{125}{8}\right)+\left(\dfrac{25}{4}\right)+\dfrac{45}{2}+5\\\\&=&-\dfrac{2\times 125}{8}+\dfrac{25}{4}+\dfrac{45}{2}+\dfrac{10}{2}\\\\&=&-\dfrac{125}{4}+\dfrac{25}{4}+\dfrac{55}{2}\\\\&=&-\dfrac{100}{4}+\dfrac{55}{2}\\\\&=&-\dfrac{50}{2}+\dfrac{55}{2}\\\\&=&\dfrac{5}{2}\end{array}$

D'où, $\boxed{f\left(-\dfrac{5}{2}\right)=\dfrac{5}{2}}$

Donc, $f\left(-\dfrac{5}{2}\right)\neq 0$ ; ce qui signifie que $-\dfrac{5}{2}$ n'est pas une racine de $f.$

Par conséquent, $f(x)$ n'est pas factorisable par $g(x).$

3) Soient $f(x)=3x^{3}-x^{2}+7x+6\ $ et $\ g(x)=3x+2.$

Cherchons d'abord les racines de $g$ en résolvant l'équation $g(x)=0.$

On a :

$\begin{array}{rcl}g(x)=0&\Leftrightarrow&3x+2=0\\\\&\Leftrightarrow&3x=-2\\\\&\Leftrightarrow&x=-\dfrac{2}{3}\end{array}$

Donc, $-\dfrac{2}{3}$ est une racine de $g.$

Ainsi, $\boxed{g\left(-\dfrac{2}{3}\right)=0}$

Ensuite, vérifions si $-\dfrac{2}{3}$ est aussi une racine de $f.$

Pour cela, on calcule $f\left(-\dfrac{2}{3}\right)$ en remplaçant $x$ par $-\dfrac{2}{3}$, dans l'expression de $f(x).$

On a alors :

$\begin{array}{rcl}f\left(-\dfrac{2}{3}\right)&=&3\left(-\dfrac{2}{3}\right)^{3}-\left(-\dfrac{2}{3}\right)^{2}+7\left(-\dfrac{2}{3}\right)+6\\\\&=&3\left(-\dfrac{8}{27}\right)-\left(\dfrac{4}{9}\right)-\dfrac{14}{3}+6\\\\&=&-\dfrac{3\times 8}{27}-\dfrac{4}{9}-\dfrac{14}{3}+6\\\\&=&-\dfrac{8}{9}-\dfrac{4}{9}-\dfrac{42}{9}+6\\\\&=&-\dfrac{12}{9}-\dfrac{42}{9}+6\\\\&=&-\dfrac{54}{9}+6\\\\&=&-6+6\\\\&=&0\end{array}$

Donc, $\boxed{f\left(-\dfrac{2}{3}\right)=0}$

D'où, $-\dfrac{2}{3}$ est aussi une racine de $f.$

Par conséquent, $f(x)$ est factorisable par $g(x).$

Ainsi, il existe un polynôme $Q(x)$ de degré $2$ tel que :

$$f(x)=g(x)\times Q(x)$$

Déterminons alors ce polynôme $Q(x).$

En effet, comme $Q$ est de degré $2$ alors $Q(x)$ est de la forme :

$$Q(x)=ax^{2}+bx+c\qquad\text{avec }a\neq 0$$

Par la méthode d'identification des coefficients, cherchons $a\;,\ b\ $ et $\ c.$

On a :

$\begin{array}{rcl}f(x)=g(x)\times Q(x)&\Leftrightarrow&3x^{3}-x^{2}+7x+6=(3x+2)(ax^{2}+bx+c)\\\\&\Leftrightarrow&3x^{3}-x^{2}+7x+6=3ax^{3}+3bx^{2}+3cx+2ax^{2}+2bx+2c\\\\&\Leftrightarrow&3x^{3}-x^{2}+7x+6=3ax^{3}+(3b+2a)x^{2}+(3c+2b)x+2c\end{array}$

Ainsi, en appliquant la propriété d'égalité de deux polynômes, on obtient :

$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} 3a&=&3 \\\\3b+2a&=&-1 \\\\3c+2b&=&7\\\\2c&=&6 \end{array}\right.\quad\Rightarrow\quad\left\lbrace\begin{array}{rcl} a&=&1\\\\b&=&-1\\\\c&=&3 \end{array}\right.$$

D'où, $\boxed{Q(x)=x^{2}-x+3}$

Calculons alors son discriminant pour voir si $Q(x)$ est à son tour factorisable.

Soit : $\Delta=(-1)^{2}-4\times 3=1-12=-11<0$

Comme $\Delta$ est négatif alors, $Q(x)$ n'est pas factorisable.

Par conséquent, la factorisation de $f(x)$ est donnée par :

$$\boxed{f(x)=(3x+2)(x^{2}-x+3)}$$

Exercice 4

On donne :

$$P(x)=5(x^{2}-9)-(x-5)(6-2x)$$

1) Développons et réduisons $P(x)$

On a :

$\begin{array}{rcl}P(x)&=&5(x^{2}-9)-(x-5)(6-2x)\\\\&=&5x^{2}-45-(6x-2x^{2}-30+10x)\\\\&=&5x^{2}-45-6x+2x^{2}+30-10x\\\\&=&5x^{2}+2x^{2}-6x-10x-45+30\\\\&=&7x^{2}-16x-15\end{array}$

D'où, $\boxed{P(x)=7x^{2}-16x-15}$

2) Factorisons $P(x)$

Pour cela, nous utilisons la forme factorisée des identités remarquables et le facteur commun.

On a :

$\begin{array}{rcl}P(x)&=&5(x^{2}-9)-(x-5)(6-2x)\\\\&=&5(x-3)(x+3)-(x-5)(3-x)2\\\\&=&5(x-3)(x+3)-2(3-x)(x-5)\\\\&=&5(x-3)(x+3)+2(x-3)(x-5)\\\\&=&(x-3)[5(x+3)+2(x-5)]\\\\&=&(x-3)(5x+15+2x-10)\\\\&=&(x-3)(7x+5)\end{array}$

Ainsi, $\boxed{P(x)=(x-3)(7x+5)}$

3) Utilisons la forme convenable pour résoudre les équations :

$$P(x)=0\;;\quad P(x)=-15\;;\quad P(x)=7x+5$$

Soit à résoudre l'équation $P(x)=0.$

Nous utiliseront alors la forme factorisée de $P(x).$

Ainsi, on a :

$\begin{array}{rcl}P(x)=0&\Leftrightarrow&(x-3)(7x+5)=0\\\\&\Leftrightarrow&x-3=0\quad\text{ou}\quad 7x+5=0\\\\&\Leftrightarrow&x=3\quad\text{ou}\quad 7x=-5\\\\&\Leftrightarrow&x=3\quad\text{ou}\quad x=-\dfrac{5}{7}\end{array}$

D'où, l'ensemble des solutions de l'équation $P(x)=0$ est donné par :

$$S=\left\lbrace -\dfrac{5}{7}\;;\ 3\right\rbrace$$

Résolvons l'équation $P(x)=-15$

En utilisant la forme développée de $P(x)$, on obtient :

$\begin{array}{rcl}P(x)=-15&\Leftrightarrow&7x^{2}-16x-15=-15\\\\&\Leftrightarrow&7x^{2}-16x-15+15=0\\\\&\Leftrightarrow&7x^{2}-16x=0\\\\&\Leftrightarrow&x(7x-16)=0\\\\&\Leftrightarrow&x=0\quad\text{ou}\quad 7x-16=0\\\\&\Leftrightarrow&x=0\quad\text{ou}\quad 7x=16\\\\&\Leftrightarrow&x=0\quad\text{ou}\quad x=\dfrac{16}{7}\end{array}$

D'où, l'ensemble des solutions de l'équation $P(x)=-15$ est donné par :

$$S=\left\lbrace 0\;;\ \dfrac{16}{7}\right\rbrace$$

Soit à résoudre l'équation $P(x)=7x+5.$

Alors, en utilisant la forme factorisée de $P(x)$, on obtient :

$\begin{array}{rcl}P(x)=7x+5&\Leftrightarrow&(x-3)(7x+5)=7x+5\\\\&\Leftrightarrow&(x-3)(7x+5)-(7x+5)=0\\\\&\Leftrightarrow&(7x+5)[(x-3)-1]=0\\\\&\Leftrightarrow&(7x+5)(x-3-1)=0\\\\&\Leftrightarrow&(7x+5)(x-4)=0\\\\&\Leftrightarrow&7x+5=0\quad\text{ou}\quad x-4=0\\\\&\Leftrightarrow&7x=-5\quad\text{ou}\quad x=4\\\\&\Leftrightarrow&x=-\dfrac{5}{7}\quad\text{ou}\quad x=4\end{array}$

Ainsi, l'ensemble des solutions de l'équation $P(x)=7x+5$ est donné par :

$$S=\left\lbrace -\dfrac{5}{7}\;;\ 4\right\rbrace$$

4) Calculons $P(-3)\ $ et $\ P\left(\dfrac{2}{5}\right)$

Pour calculer $P(-3)$ nous utilisons la forme développée de $P(x)$, en remplaçant $x$ par $-3.$

Soit $P(x)=7x^{2}-16x-15$ alors, on a :

$\begin{array}{rcl}P(-3)&=&7(-3)^{2}-16(-3)-15\\\\&=&7\times 9+48-15\\\\&=&63+48-15\\\\&=&96\end{array}$

D'où, $\boxed{P(-3)=96}$

De même manière, pour calculer $P\left(\dfrac{2}{5}\right)$ nous utilisons la forme développée de $P(x)$, en remplaçant $x$ par $\dfrac{2}{5}.$

On a alors :

$\begin{array}{rcl}P\left(\dfrac{2}{5}\right)&=&7\left(\dfrac{2}{5}\right)^{2}-16\left(\dfrac{2}{5}\right)-15\\\\&=&7\times\dfrac{4}{25}-\dfrac{32}{5}-15\\\\&=&\dfrac{28}{25}-\dfrac{160}{25}-\dfrac{375}{25}\\\\&=&-\dfrac{507}{25}\end{array}$

Ainsi, $\boxed{P\left(\dfrac{2}{5}\right)=-\dfrac{507}{25}}$

Exercice 5

On donne : $f(x)=x^{5}-8x^{3}+15x$

1) Calculons $f(\sqrt{3})\ $ et $\ f(-\sqrt{3})$

Pour calculer $f(\sqrt{3})$, on remplace $x$ par $\sqrt{3}$, dans l'expression de $f(x).$

On obtient alors :

$\begin{array}{rcl}f(\sqrt{3})&=&(\sqrt{3})^{5}-8(\sqrt{3})^{3}+15(\sqrt{3})\\\\&=&(\sqrt{3})^{2}(\sqrt{3})^{2}(\sqrt{3})-8(\sqrt{3})^{2}(\sqrt{3})+15(\sqrt{3})\\\\&=&3\times 3\times\sqrt{3}-8\times 3\times\sqrt{3}+15\sqrt{3}\\\\&=&9\sqrt{3}-24\sqrt{3}+15\sqrt{3}\\\\&=&0\end{array}$

Donc, $\boxed{f(\sqrt{3})=0}$

On procède de la même manière pour le calcul de $f(-\sqrt{3}).$

Ainsi, on a :

$\begin{array}{rcl}f(-\sqrt{3})&=&(-\sqrt{3})^{5}-8(-\sqrt{3})^{3}+15(-\sqrt{3})\\\\&=&(-\sqrt{3})^{2}(-\sqrt{3})^{2}(-\sqrt{3})-8(-\sqrt{3})^{2}(-\sqrt{3})+15(-\sqrt{3})\\\\&=&3\times 3\times(-\sqrt{3})-8\times 3\times(-\sqrt{3})-15\sqrt{3}\\\\&=&-9\sqrt{3}+24\sqrt{3}-15\sqrt{3}\\\\&=&0\end{array}$

D'où, $\boxed{f(-\sqrt{3})=0}$

2) Factorisons mieux $f(x)$

En effet, d'après le résultat de la question $1\;)$, on a :

$$f(\sqrt{3})=0\quad\text{et}\quad f(-\sqrt{3})=0$$

Ce qui signifie que $\sqrt{3}\ $ et $\ -\sqrt{3}$ sont racines de $f.$

Donc, $f(x)$ est factorisable par $(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3}).$

Ainsi, il existe un polynôme $Q(x)$ de degré $3$ tel que :

$$f(x)=(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})\times Q(x)$$

Comme $f(x)$ est factorisable par $(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})$ alors, $f(x)$ est divisible par :

$$(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})=x^{2}-3$$

Par suite, en utilisant la méthode de la division euclidienne, on obtient :

$$\begin{array}{l} \ \ x^{5}-8x^{3}+15x \\ -x^{5}+3x^{3} \\ \hline \quad 0-5x^{3}+15x\\ \qquad\ \ 5x^{3}-15x \\ \hline\qquad\qquad\qquad\ \ 0 \end{array}\ \begin{array}{|l} x^{2}-3 \\ \hline x^{3}-5x\\ \\ \\ \\\end{array}$$

D'où, $\boxed{Q(x)=x^{3}-5x}$

En factorisant $Q(x)$, on trouve :

$\begin{array}{rcl}Q(x)&=&x^{3}-5x\\\\&=&x(x^{2}-5)\\\\&=&x(x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5})\end{array}$

Ainsi, $\boxed{Q(x)=x(x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5})}$

Par conséquent, une factorisation de $f(x)$ est donnée par :

$$\boxed{f(x)=x(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5})}$$

3) Résolvons $f(x)<0$

Considérons le tableau de signes suivant :

$$\begin{array}{|c|lcccccccccccr|} \hline x&-\infty&&-\sqrt{5}&&-\sqrt{3}&&0&&\sqrt{3}&&\sqrt{5}&&+\infty\\\hline x&&-&|&-&|&-&0&+&|&+&|&+&\\\hline (x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})&&+&|&+&0&-&|&-&0&+&|&+&\\\hline (x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5})&&+&0&-&|&-&|&-&|&-&0&+&\\\hline f(x)&&-&0&+&0&-&0&+&0&-&0&+&\\\hline\end{array}$$

L'inéquation $f(x)<0$ a donc pour solution :

$$S=]-\infty\;;\ -\sqrt{5}[\cup]-\sqrt{3}\;;\ 0[\cup]\sqrt{3}\;;\ \sqrt{5}[$$

Exercice 6

Soit $f(x)=x^{4}+3x^{3}-5x^{2}-13x+6$

1) Montrons que $-3$ est une racine de $f.$

En effet, remplaçons $x$ par $-3$, dans l'expression de $f(x)$ puis, calculons.

On a alors :

$\begin{array}{rcl}f(-3)&=&(-3)^{4}+3(-3)^{3}-5(-3)^{2}-13(-3)+6\\\\&=&81+3\times(-27)-5\times 9+39+6\\\\&=&81-81-45+45\\\\&=&0\end{array}$

Donc, $\boxed{f(-3)=0}$

Ce qui montre que $-3$ est une racine de $f.$

2) En déduisons une factorisation complète de $f(x)$

Comme $-3$ est une racine de $f$ alors, $f(x)$ est factorisable par $(x+3).$

Par suite, il existe un polynôme $Q(x)$ de degré $3$ vérifiant :

$$f(x)=(x+3)\times Q(x)$$

Déterminons alors le polynôme $Q(x)$ en utilisant la méthode de Hörner.

On a : $deg\;Q(x)=3$ donc, $Q(x)$ est de la forme :

$$Q(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\quad\text{ avec }a\neq 0$$

Ainsi, considérons le tableau suivant :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline\text{Coefficients de }f(x)& & & & &\\ \text{dans l'ordre décroissant} &1&3&-5&-13&6 \\ \text{des puissances}& & & & &\\ \hline & & & & &\\ x_{0}=-3& &-3&0&15&-6 \\ & & & & &\\ \hline \text{Coefficients de }Q(x)&1&0&-5&2&0 \\ \text{ dans l'ordre décroissant}&\uparrow&\uparrow&\uparrow&\uparrow&\uparrow \\ \text{des puissances}&a&b&c&d&f(x_{0}) \\ \hline\end{array}$$

Explication des étapes de la procédure :

On a : $a=1\ $ et $\ x_{0}=-3$ est une racine de $f(x).$

$\centerdot\ \ $ étape 1 : $a=1$ alors, $-3\times a=-3\times 1=-3$ puis, $-3+3=0$ donc, $b=0$

$\centerdot\ \ $ étape 2 : $b=0$ alors, $-3\times b=-3\times 0=0$ puis, $0-5=-5$ donc, $c=-5$

$\centerdot\ \ $ étape 3 : $c=-5$ alors, $-3\times c=-3\times(-5)=15$ puis, $15-13=2$ donc, $d=2$

$\centerdot\ \ $ étape 4 : $d=2$ alors, $-3\times d=-3\times 2=-6$ puis, $-6+6=0=f(x_{0})=f(-3)$

Donc, les coefficients $a\;,\ b\;,\ c\ $ et $\ d$ de $Q(x)$ sont donnés par :

$$a=1\;,\quad b=0\;,\quad c=-5\;,\quad d=2$$

D'où, $\boxed{Q(x)=x^{3}-5x+2}$

Par suite, on a :

$$fx)=(x+3)(x^{3}-5x+2)$$

Ainsi, pour une factorisation complète de $f(x)$, essayons de factoriser $Q(x).$

Soit $Q(x)=x^{3}-5x+2$ alors, nous constatons que $2$ est une racine évidente de $Q.$

En effet, on a :

$\begin{array}{rcl}Q(2)&=&(2)^{3}-5\times 2+2\\\\&=&8-10+2\\\\&=&10-10\\\\&=&0\end{array}$

Donc, $\boxed{Q(2)=0}$

D'où, $2$ est une racine de $Q.$

Par suite, $Q(x)$ est factorisable par $(x-2).$

Ce qui signifie que $Q(x)$ est divisible par $(x-2).$

Ainsi, il existe un polynôme $P(x)$ tel que :

$$Q(x)=(x-2)\times P(x)$$

En utilisant la méthode de la division euclidienne, on obtient :

$$\begin{array}{l} \ \ x^{3}-5x+2 \\ -x^{3}+2x^{2} \\ \hline \quad 0+2x^{2}-5x+2\\ \quad\ \ -2x^{2}+4x \\ \hline\qquad\qquad\ \ -x+2\\ \qquad\qquad\quad \ x-2\\ \hline\qquad\qquad\qquad\quad 0 \end{array}\ \begin{array}{|l} x-2 \\ \hline x^{2}+2x-1\\ \\ \\ \\ \\ \\\end{array}$$

D'où, $\boxed{P(x)=x^{2}+2x-1}$

Factorisons $P(x).$

On a : $\Delta=4+4=8$ donc, les racines $x_{1}\ $ et $\ x_{2}$ de $P$ sont données par :

$$x_{1}=\dfrac{-2-\sqrt{8}}{2}=\dfrac{-2-2\sqrt{2}}{2}=-1-\sqrt{2}$$

$$x_{2}=\dfrac{-2+\sqrt{8}}{2}=\dfrac{-2+2\sqrt{2}}{2}=-1+\sqrt{2}$$

Ainsi, $\boxed{P(x)=\left(x+1+\sqrt{2}\right)\left(x+1-\sqrt{2}\right)}$

Par conséquent, une factorisation complète de $f(x)$ est donnée par :

$$\boxed{f(x)=(x+3)(x-2)\left(x+1+\sqrt{2}\right)\left(x+1-\sqrt{2}\right)}$$

3) Résolvons dans $\mathbb{R}\;,\ \dfrac{f(x)}{x^{2}-2}<0$

D'après le résultat de la question $2\,)$, on a :

$$f(x)=(x+3)(x-2)\left(x+1+\sqrt{2}\right)\left(x+1-\sqrt{2}\right)$$

Par ailleurs, d'après la forme factorisée des identités remarquables, on a :

$$(x^{2}-2)=(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})$$

Considérons alors le tableau de signes suivant :

$$\begin{array}{|c|lcccccccccccccr|} \hline x&-\infty&&-3&&-1-\sqrt{2}&&-\sqrt{2}&&-1+\sqrt{2}&&\sqrt{2}&&2&&+\infty\\\hline (x+3)&&-&0&+&|&+&|&+&|&+&|&+&|&+&\\\hline (x-2)&&-&|&-&|&-&|&-&|&-&|&-&0&+&\\\hline \left(x+1+\sqrt{2}\right)\left(x+1-\sqrt{2}\right)&&+&|&+&0&-&|&-&0&+&|&+&|&+&\\\hline \left(x+\sqrt{2}\right)\left(x-\sqrt{2}\right)&&+&|&+&|&+&||&-&|&-&||&+&|&+&\\\hline\dfrac{f(x)}{(x^{2}-2)}&&+&0&-&0&+&||&-&0&+&||&-&0&+&\\\hline\end{array}$$

D'après le tableau ci-dessus, l'expression $\dfrac{f(x)}{(x^{2}-2)}$ est strictement négative sur l'intervalle $\left]-3\;;\ -1-\sqrt{2}\right[\cup\left]-\sqrt{2}\;;\ -1+\sqrt{2}\right[\cup\left]\sqrt{2}\;;\ 2\right[.$

Par conséquent, l'inéquation $\dfrac{f(x)}{x^{2}-2}<0$ a pour solution :

$$S=\left]-3\;;\ -1-\sqrt{2}\right[\cup\left]-\sqrt{2}\;;\ -1+\sqrt{2}\right[\cup\left]\sqrt{2}\;;\ 2\right[$$

Exercice 7

1) a) Trouvons un polynôme $P$ de degré $2$ tel que $$P(x)-P(x-1)=x\ \text{ et }\ P(0)=0$$

Soit : $P(x)=ax^{2}+bx+c$ avec $a\neq 0$

On a :

$\begin{array}{rcl} P(x)-P(x-1)&=&ax^{2}+bx+c-[a(x-1)^{2}+b(x-1)+c]\\\\&=&ax^{2}+bx+c-[ax^{2}-2ax+a+bx-b+c]\\\\&=&ax^{2}+bx+c-ax^{2}+2ax-a-bx+b-c\\\\&=&2ax-a+b\end{array}$

Or, $P(x)-P(x-1)=x$ donc, $2ax-a+b=x$

Ainsi, d'après la propriété sur l'égalité de deux polynômes on obtient :

$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} 2a&=&1 \\-a+b&=&0\end{array}\right.\quad\Rightarrow\quad\left\lbrace\begin{array}{rcl} a&=&\dfrac{1}{2} \\\\ b&=&\dfrac{1}{2}\end{array}\right.$$

Par suite, $P(x)=\dfrac{1}{2}x^{2}+\dfrac{1}{2}x+c$

Comme $P(0)=0\ $ alors, $c=0$

D'où, $\boxed{P(x)=\dfrac{1}{2}x^{2}+\dfrac{1}{2}x}$

b) En déduisons une expression de $$S=1+2+3+4+\ldots\ldots+12$$

Soit : $P(x)-P(x-1)=x$

En appliquant $12$ fois l'égalité $P(x)-P(x-1)=x$ en remplaçant $x$ successivement par $1\;,\ 2\;,\ 3\;,\ldots\ldots\;,\ 12$, on obtient :

$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} P(1)-P(0)&=&1\\\\P(2)-P(1)&=&2\\\\P(3)-P(2)&=&3\\\\\ldots\quad\ldots\quad\ldots&\ldots&\ldots\\\\\ldots\quad\ldots\quad\ldots&\ldots&\ldots\\\\P(12)-P(11)&=&12\end{array}\right.$$

Par addition membre à membre de ces $12$ égalités, on obtient :

$\require{cancel}(\cancel{P(1)}-P(0))+(\cancel{P(2)}-\cancel{P(1)})+(\cancel{P(3)}-\cancel{P(2)})+\ldots+(P(12)-\cancel{P(11)})=1+2+3+\ldots+12$

Puis après simplification, on trouve :

$\boxed{S=1+2+3+4+\ldots\ldots+12=P(12)-P(0)}$

On a :

$\begin{array}{rcl} P(12)-P(0)&=&\dfrac{12^{2}}{2}+\dfrac{12}{2}\\\\&=&72+6\\\\&=&78\end{array}$

Par conséquent, $\boxed{S=78}$

2) a) Trouvons un polynôme $P$ de degré $3$ tel que $$P(x)-P(x-1)=x^{2}\ \text{ et }\ P(0)=0$$

Soit : $P(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ avec $a\neq 0$ alors,

$\begin{array}{rcl} P(x)-P(x-1)&=&ax^{3}+bx^{2}+cx+d-[a(x-1)^{3}+b(x-1)^{2}+c(x-1)+d]\\\\&=&ax^{3}+bx^{2}+cx+d-[ax^{3}-3ax^{2}+3ax-a+bx^{2}-2bx+b+cx-c+d]\\\\&=&ax^{3}+bx^{2}+cx+d-ax^{3}+3ax^{2}-3ax+a-bx^{2}+2bx-b-cx+c-d\\\\&=&3ax^{2}-3ax+a+2bx-b+c\\\\&=&3ax^{2}+(2b-3a)x+a-b+c\end{array}$

Comme, $P(x)-P(x-1)=x^{2}$ alors, $3ax^{2}+(2b-3a)x+a-b+c=x^{2}$

Ainsi, d'après la propriété sur l'égalité de deux polynômes on obtient :

$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} 3a&=&1 \\2b-3a&=&0\\a-b+c&=&0\end{array}\right.\quad\Rightarrow\quad\left\lbrace\begin{array}{rcl} a&=&\dfrac{1}{3}\\\\b&=&\dfrac{1}{2}\\\\c&=&\dfrac{1}{6}\end{array}\right.$$

Par suite, $P(x)=\dfrac{1}{3}x^{3}+\dfrac{1}{2}x^{2}+\dfrac{1}{6}x+d$

$P(0)=0\ \Rightarrow\ d=0$

D'où, $\boxed{P(x)=\dfrac{1}{3}x^{3}+\dfrac{1}{2}x^{2}+\dfrac{1}{6}x}$

b) En déduisons, en fonction de $n$, une expression de $$S_{n}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots\ldots+n^{2}$$

D'après question 2) a) on a : $P(x)-P(x-1)=x^{2}$

En appliquant $n$ fois l'égalité $P(x)-P(x-1)=x^{2}$ en remplaçant $x$ successivement par $1\;,\ 2\;,\ 3\;,\ldots\ldots\;,\ n$, on obtient :

$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} P(1)-P(0)&=&1^{2}\\\\P(2)-P(1)&=&2^{2}\\\\P(3)-P(2)&=&3^{2}\\\\\ldots\quad\ldots\quad\ldots&\ldots&\ldots\\\\\ldots\quad\ldots\quad\ldots&\ldots&\ldots\\\\P(n)-P(n-1)&=&n^{2}\end{array}\right.$$

Par addition membre à membre de ces $n$ égalités, on obtient :

$\require{cancel}(\cancel{P(1)}-P(0))+(\cancel{P(2)}-\cancel{P(1)})+(\cancel{P(3)}-\cancel{P(2)})+\ldots+(P(n)-\cancel{P(n-1)})=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots+n^{2}$

En simplifiant, on trouve :

$\begin{array}{rcl} 1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots+n^{2}&=&P(n)-P(0)\\\\&=&\dfrac{1}{3}n^{3}+\dfrac{1}{2}n^{2}+\dfrac{1}{6}n-0\end{array}$

D'où, $\boxed{S_{n}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+\ldots\ldots+n^{2}=\dfrac{2n^{3}+3n^{2}+n}{6}}$

Exercice 8

1) Déterminons le polynôme $P$ de degré $3$ vérifiant :

$$P(x+1)-P(x)=3x^{2}+3x\ \text{ et }\ P(0)=0$$

Soit : $P(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ avec $a\neq 0$ alors, on a :

$\begin{array}{rcl} P(x+1)-P(x)&=&a(x+1)^{3}+b(x+1)^{2}+c(x+1)+d-[ax^{3}+bx^{2}+cx+d]\\\\&=&a(x^{3}+3x^{2}+3x+1)+b(x^{2}+2x+1)+cx+c+d-ax^{3}-bx^{2}-cx-d\\\\&=&ax^{3}+3ax^{2}+3ax+a+bx^{2}+2bx+b+c-ax^{3}-bx^{2}\\\\&=&3ax^{2}+(3a+2b)x+a+b+c\end{array}$

Ainsi, $\boxed{P(x+1)-P(x)=3ax^{2}+(3a+2b)x+a+b+c}$

Par ailleurs, comme $P(x+1)-P(x)=3x^{2}+3x$ alors, on a :

$$3ax^{2}+(3a+2b)x+a+b+c=3x^{2}+3x$$

Ainsi, par identification, d'après la propriété sur l'égalité de deux polynômes, on obtient :

$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} 3a&=&3\\\\3a+2b&=&3\\\\a+b+c&=&0\end{array}\right.\quad\Rightarrow\quad\left\lbrace\begin{array}{rcl} a&=&\dfrac{3}{3}=1\\\\b&=&\dfrac{3-3}{2}=0\\\\c&=&-1\end{array}\right.$$

Par suite, $P(x)=x^{3}-x+d$

Or, on sait que $P(0)=0$

Donc, dans l'expression de $P(x)$, en remplaçant $x$ par $0$, on obtient : $d=0$

D'où, $\boxed{P(x)=x^{3}-x}$

2) En déduisons une expression de

$$S_{n}=3\times 2+6\times 3+\ldots\ldots+3n(n+1)$$

en fonction de $n$

En effet, d'après les données de la question $1\,)$, on a :

$$P(x+1)-P(x)=3x^{2}+3x=3x(x+1)$$

Alors, appliquons $n$ fois l'égalité $P(x+1)-P(x)=3x(x+1).$

Pour cela, remplaçons $x$ successivement par $1\;,\ 2\;,\ 3\;,\ldots\ldots\;,\ n$ dans l'égalité $P(x+1)-P(x)=3x(x+1).$

On obtient :

$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} P(2)-P(1)&=&3\times 2\\\\P(3)-P(2)&=&6\times 3\\\\P(4)-P(3)&=&9\times 4\\\\\ldots\quad\ldots\quad\ldots&\ldots&\ldots\\\\\ldots\quad\ldots\quad\ldots&\ldots&\ldots\\\\P(n+1)-P(n)&=&3n(n+1)\end{array}\right.$$

Par suite, en additionnant membre à membre ces $n$ égalités, on obtient :

$\require{cancel}(\cancel{P(2)}-P(1))+(\cancel{P(3)}-\cancel{P(2)})+(\cancel{P(4)}-\cancel{P(3)})+\ldots+(P(n+1)-\cancel{P(n)})=3\times 2+6\times 3+9\times 4+\ldots\ldots+3n(n+1)$

En simplifiant, on trouve :

$\begin{array}{rcl} 3\times 2+6\times 3+9\times 4+\ldots\ldots+3n(n+1)&=&P(n+1)-P(1)\\\\&=&(n+1)^{3}-(n+1)-(1-1)\\\\&=&n^{3}+3n^{2}+3n+1-n-1-0\\\\&=&n^{3}+3n^{2}+2n\end{array}$

D'où, $\boxed{S_{n}=3\times 2+6\times 3+\ldots\ldots+3n(n+1)=n^{3}+3n^{2}+2n}$

3) En déduisons la valeur de

$$3\times 2+6\times 3+\ldots\ldots+300\times 101$$

Cette somme peut encore être réécrite de la manière suivante :

$$3\times 2+6\times 3+\ldots\ldots+300\times 101=3\times 2+6\times 3+\ldots\ldots+3\times 100(100+1)$$

On remarque alors qu'on a effectué une somme des $n=100$ premiers termes.

Autrement dit ; on a additionné les termes jusqu'à $n=100.$

Donc, d'après le résultat de la question $2\,)$, cela revient tout simplement à calculer $S_{100}.$

Ainsi, dans l'expression de $S_{n}$, en remplaçant $n$ par $100$, on obtient :

$\begin{array}{rcl} S_{100}&=&100^{3}+3\times 100^{2}+2\times 100\\\\&=&1\,000\,000+30\,000+200\\\\&=&1\,030\,200\end{array}$

D'où, $\boxed{3\times 2+6\times 3+\ldots\ldots+300\times 101=1\,030\,200}$

Exercice 9

Soit : $P(x)=x^{3}+2x^{2}-5x-6$

On suppose que $P(x)=0$ admet $3$ racines $\alpha\;,\ \beta\ $ et $\ \delta.$

Sans calculer ces racines ; donnons les valeurs de :

$$\alpha+\beta+\delta\;;\quad\alpha\beta\delta\;;\quad\alpha\beta+\alpha\delta+\beta\delta\;;\quad\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}+\dfrac{1}{\delta}\;;\quad\alpha^{2}+\beta^{2}+\delta^{2}$$

Comme $\alpha\;,\ \beta\ $ et $\ \delta$ sont racines distinctes de $P$ alors, $P(x)$ est factorisable par $(x-\alpha)(x-\beta)(x-\delta).$

Ainsi, il existe un polynôme $Q$ tel que :

$$P(x)=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\delta)\times Q(x)$$

$P$ étant de degré $3$ alors le polynôme $Q$ est de degré $0$, d'où : $Q(x)=a$

On a alors :

$\begin{array}{rcl} (x-\alpha)(x-\beta)(x-\delta)\times Q(x)&=&(x-\alpha)(x-\beta)(x-\delta)\times a\\\\&=&(x^{2}-\alpha x-\beta x+\alpha\beta)(x-\delta)\times a\\\\&=&a(x^{3}-\alpha x^{2}-\beta x^{2}+\alpha\beta x-\delta x^{2}+\delta\alpha x+\delta\beta x-\alpha\beta\delta)\\\\&=&ax^{3}-a(\alpha+\beta+\delta)x^{2}+a(\alpha\beta+\delta\alpha+\delta\beta)x-a\alpha\beta\delta)\end{array}$

Donc, $P(x)=ax^{3}-a(\alpha+\beta+\delta)x^{2}+a(\alpha\beta+\delta\alpha+\delta\beta)x-a\alpha\beta\delta)$

Par suite, $x^{3}+2x^{2}-5x-6=ax^{3}-a(\alpha+\beta+\delta)x^{2}+a(\alpha\beta+\delta\alpha+\delta\beta)x-a\alpha\beta\delta)$

Ainsi, d'après la propriété sur l'égalité de deux polynômes, on obtient par identification des coefficients :

$$\begin{array}{rcl}\left\lbrace\begin{array}{rcl} a&=&1\\ \\-a(\alpha+\beta+\delta)&=&2\\\\a(\alpha\beta+\delta\alpha+\delta\beta)&=&-5\\\\-a\alpha\beta\delta&=&-6\end{array}\right.&\Rightarrow&\left\lbrace\begin{array}{rcl} a&=&1\\ \\\alpha+\beta+\delta&=&-2\\\\\alpha\beta+\delta\alpha+\delta\beta&=&-5\\\\\alpha\beta\delta&=&6\end{array}\right.\end{array}$$

D'où, $\boxed{\alpha+\beta+\delta=-2\;;\quad\alpha\beta+\delta\alpha+\delta\beta=-5\;;\quad\alpha\beta\delta=6}$

En utilisant ces résultats, on peut écrire :

$\begin{array}{rcl}\dfrac{\alpha\beta+\delta\alpha+\delta\beta}{\alpha\beta\delta}&=&\dfrac{\alpha\beta}{\alpha\beta\delta}+\dfrac{\delta\alpha}{\alpha\beta\delta}+\dfrac{\delta\beta}{\alpha\beta\delta}\\\\&=&\dfrac{1}{\delta}+\dfrac{1}{\beta}+\dfrac{1}{\alpha}\end{array}$

Donc, $\dfrac{1}{\delta}+\dfrac{1}{\beta}+\dfrac{1}{\alpha}=\dfrac{\alpha\beta+\delta\alpha+\delta\beta}{\alpha\beta\delta}=-\dfrac{5}{6}$

D'où, $\boxed{\dfrac{1}{\delta}+\dfrac{1}{\beta}+\dfrac{1}{\alpha}=-\dfrac{5}{6}}$

Par ailleurs, on a :

$\begin{array}{rcl}(\alpha+\beta+\delta)^{2}=(-2)^{2}&\Leftrightarrow&\alpha^{2}+\beta^{2}+\delta^{2}+2\alpha\beta+2\alpha\delta+2\beta\delta=4\\\\&\Leftrightarrow&\alpha^{2}+\beta^{2}+\delta^{2}+2(\alpha\beta+\alpha\delta+\beta\delta)=4\\\\&\Leftrightarrow&\alpha^{2}+\beta^{2}+\delta^{2}+2(-5)=4\\\\&\Leftrightarrow&\alpha^{2}+\beta^{2}+\delta^{2}-10=4\\\\&\Leftrightarrow&\alpha^{2}+\beta^{2}+\delta^{2}=14\end{array}$

D'où, $\boxed{\alpha^{2}+\beta^{2}+\delta^{2}=14}$

Exercice 10

Soit le polynôme $Q$ défini par :

$$Q(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+18$$

1) Déterminons $a\ $ et $\ b$ pour que $Q(x)$ soit divisible par $x^{2}-9$

En effet, le polynôme $Q(x)$ est divisible par $x^{2}-9$ si, et seulement si, les racines de $(x^{2}-9)$ sont aussi racines de $Q(x).$

Cherchons alors les racines de $(x^{2}-9).$

D'après la forme factorisée des identités remarquables, on a :

$$x^{2}-9=(x-3)(x+3)$$

Ce qui signifie que $-3\ $ et $\ 3$ sont racines de $(x^{2}-9).$

Par conséquent, ces deux nombres entiers sont aussi racines de $Q(x).$

Donc, $Q(-3)=0\ $ et $\ Q(3)=0$

Ainsi, dans l'expression de $Q(x)$, en remplaçant $x$ par $-3$, on obtient :

$\begin{array}{rcl}Q(-3)=0&\Leftrightarrow&(-3)^{3}+a(-3)^{2}+b(-3)+18=0\\\\&\Leftrightarrow&-27+9a-3b+18=0\\\\&\Leftrightarrow&9a-3b-9=0\\\\&\Leftrightarrow&3(3a-b-3)=0\\\\&\Leftrightarrow&3a-b-3=0\end{array}$

D'où, $\boxed{3a-b-3=0\qquad(1)}$

De la même manière, en remplaçant $x$ par $3$, dans l'expression de $Q(x)$, on obtient :

$\begin{array}{rcl}Q(3)=0&\Leftrightarrow&3^{3}+a\times 3^{2}+b\times 3+18=0\\\\&\Leftrightarrow&27+9a+3b+18=0\\\\&\Leftrightarrow&9a+3b+45=0\\\\&\Leftrightarrow&3(3a+b+15)=0\\\\&\Leftrightarrow&3a+b+15=0\end{array}$

Donc, $\boxed{3a+b+15=0\qquad(2)}$

Considérons alors le système d'équations à deux inconnues suivant, formé des équations $(1)\ $ et $\ (2)\ :$

$$\left\lbrace\begin{array}{rcl}3a-b-3&=&0\qquad(1)\\\\3a+b+15&=&0\qquad(2)\end{array}\right.$$

En résolvant ce système, on trouve alors les coefficients $a\ $ et $\ b.$

En effet, en additionnant, membre à membre, les équations $(1)\ $ et $\ (2)$ du système, on obtient :

$\begin{array}{rcl}3a-b-3+3a+b+15=0&\Leftrightarrow&6a+12=0\\\\&\Leftrightarrow&6a=-12\\\\&\Leftrightarrow&a=-\dfrac{12}{6}\\\\&\Leftrightarrow&a=-2\end{array}$

Donc, $\boxed{a=-2}$

En remplaçant cette valeur de $a$ dans l'équation $(2)$, on trouve :

$\begin{array}{rcl}3\times(-2)+b+15=0&\Leftrightarrow&-6+b+15=0\\\\&\Leftrightarrow&b+9=0\\\\&\Leftrightarrow&b=-9\end{array}$

Ainsi, $\boxed{b=-9}$

D'où,

$$\boxed{Q(x)=x^{3}-2x^{2}-9x+18}$$

2) a) Factorisons $Q(x)$

En effet, comme $Q(x)$ est divisible par $x^{2}-9$ alors, il existe un polynôme $P(x)$ de degré $1$ tel que :

$$Q(x)=(x^{2}-9)\times P(x)$$

Ainsi, par division euclidienne, on obtient :

$$\begin{array}{l} \ \ x^{3}-2x^{2}-9x+18 \\ -x^{3}+9x \\ \hline \quad\qquad -2x^{2}+18 \\ \qquad\qquad 2x^{2}-18 \\ \hline\qquad\qquad\qquad\ \ 0 \end{array}\ \begin{array}{|l} x^{2}-9 \\ \hline x-2 \\ \\ \\ \\ \end{array}$$

D'où, $\boxed{P(x)=x-2}$

Par conséquent, une factorisation complète de $Q(x)$ est donnée par :

$$\boxed{Q(x)=(x-3)(x+3)(x-2)}$$

b) Résolvons $Q(x)=0\ $ et $\ Q(x)>0$

En utilisant la forme factorisée de $Q(x)$, on a :

$\begin{array}{rcl}Q(x)=0&\Leftrightarrow&(x-3)(x+3)(x-2)=0\\\\&\Leftrightarrow&x-3=0\quad\text{ou}\quad x+3=0\quad\text{ou}\quad x-2=0\\\\&\Leftrightarrow&x=3\quad\text{ou}\quad x=-3\quad\text{ou}\quad x=2\end{array}$

D'où, l'ensemble des solutions $S$ est donné par :

$$S=\lbrace -3\;;\ 2\;;\ 3\rbrace$$

Résolvons l'inéquation $Q(x)>0$

Pour cela, cherchons le signe de $Q(x)$ en considérant le tableau de signes suivant :

$$\begin{array}{|c|lcccccccr|} \hline x&-\infty&&-3&&2&&3&&+\infty\\\hline (x-3)(x+3)&&+&0&-&|&-&0&+&\\\hline (x-2)&&-&|&-&0&+&|&+&\\\hline Q(x)&&-&0&+&0&-&0&+&\\\hline\end{array}$$

D'après le tableau, le polynôme $Q(x)$ est strictement positif sur l'intervalle $]-3\;;\ 2[\cup]3\;;\ +\infty[.$

D'où, l'inéquation $Q(x)>0$ a pour solution :

$$S=]-3\;;\ 2[\cup]3\;;\ +\infty[$$

c) Résolvons $Q(x^{2}+3)=0$

Procédons par changement de variable.

Posons :

$$X=x^{2}+3$$

Ainsi, résoudre l'équation $Q(x^{2}+3)=0$ revient tout simplement à résoudre l'équation $Q(X)=0.$

Or, d'après le résultat de la question $2\,)\,b)$, on a $Q(X)=0$ si, et seulement si,

$$X=3\quad\text{ou}\quad X=-3\quad\text{ou}\quad X=2$$

Donc, en faisant un retour sur le changement de variable, pour chacun de ces nombres entiers, on obtient :

$\begin{array}{rcl}X=3&\Leftrightarrow&x^{2}+3=3\\\\&\Leftrightarrow&x^{2}=3-3\\\\&\Leftrightarrow&x^{2}=0\\\\&\Leftrightarrow&x=0\end{array}$

D'où, $\boxed{S_{1}=\lbrace 0\rbrace}$

$\begin{array}{rcl}X=-3&\Leftrightarrow&x^{2}+3=-3\\\\&\Leftrightarrow&x^{2}=-3-3\\\\&\Leftrightarrow&x^{2}=-6\end{array}$

Ce qui est impossible, car dans $\mathbb{R}$, un carré n'est jamais négatif.

D'où, $\boxed{S_{2}=\emptyset}$

$\begin{array}{rcl}X=2&\Leftrightarrow&x^{2}+3=2\\\\&\Leftrightarrow&x^{2}=2-3\\\\&\Leftrightarrow&x^{2}=-1\end{array}$

Là encore c'est impossible.

D'où, $\boxed{S_{3}=\emptyset}$

Donc, $0$ est l'unique valeur de $x$ vérifiant $Q(x^{2}+3)=0.$

Par conséquent, l'équation $Q(x^{2}+3)=0$ a pour solution :

$$S=S_{1}\cup S_{2}\cup S_{3}=\lbrace 0\rbrace$$

Exercice 11

Soit le polynôme $f(x)$ défini par : $$f(x)=ax^{3}+bx-19x-30$$

1) Déterminons $a\ $ et $\ b$ pour que $f(x)$ soit factorisable par $(x^{2}-3x-10)$

On a : $f(x)$ factorisable par $(x^{2}-3x-10)$ alors, il existe un polynôme $Q(x)$ tel que :

$$f(x)=Q(x)\cdot(x^{2}-3x-10)$$

Par suite, les racines du polynôme $(x^{2}-3x-10)$ sont aussi racines de $f(x).$

Cherchons alors les racines du polynôme $x^{2}-3x-10$

Soit : $\Delta=(-3)^{2}-4\times(-10)\times 1=9+40=49$

On a : $x_{1}=\dfrac{3-7}{2}=\dfrac{-4}{2}=-2\ $ et $\ x_{2}=\dfrac{3+7}{2}=\dfrac{10}{2}=5$

Ainsi, $-2\ $ et $\ 5$ vérifient l'équation $f(x)=0$

Donc, en remplaçant, on obtient :

$\begin{array}{rcl}\left\lbrace\begin{array}{rcl} a\times(-2)^{3}+b\times(-2)-19\times(-2)-30&=&0\\ \\a\times(5)^{3}+b\times(5)-19\times(5)-30&=&0\end{array}\right.&\Rightarrow&\left\lbrace\begin{array}{rcl} -8a-2b+38-30&=&0\\ \\125a+5b-95-30&=&0\end{array}\right.\\\\&\Rightarrow&\left\lbrace\begin{array}{rcl} -8a-2b+8&=&0\\ \\125a+5b-125&=&0\end{array}\right.\\\\&\Rightarrow&\left\lbrace\begin{array}{rcl} -4a-b+4&=&0\quad(1) \\\\25a+b-25&=&0\quad(2)\end{array}\right.\end{array}$

Résolvons le dernier système obtenu.

Ainsi, en additionnant les équation $(1)\ $ et $\ (2)$ on obtient :

$\begin{array}{rcl} (-4a-b+4)+(25a+b-25)=0&\Rightarrow&21a-21=0\\\\&\Rightarrow&21a=21\\\\&\Rightarrow&a=\dfrac{21}{21}\\\\&\Rightarrow&a=1\end{array}$

En remplaçant la valeur de $a$ dans l'équation $(1)$, on trouve :

$\begin{array}{rcl} -4\times 1-b+4=0&\Rightarrow&-4-b+4=0\\\\&\Rightarrow&b=0\end{array}$

D'où, $\boxed{a=1\ \text{ et }\ b=0}$

Par conséquent, $f(x)=x^{3}-19x-30$

2) Résolvons dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $f(x)\geq 0$

Comme $f(x)$ est factorisable par $(x^{2}-3x-10)$ alors, il existe un polynôme $Q(x)$ tel que :

$$f(x)=Q(x)\cdot(x^{2}-3x-10)$$

Donc, $f(x)$ divisible par $(x^{2}-3x-10)$

Ainsi, par division euclidienne, on obtient :

$$\begin{array}{l} \ \ x^{3}-19x-30 \\ -x^{3}+3x^{2}+10x \\ \hline \quad 0+3x^{2}-9x-30 \\ \qquad -3x^{2}+9x+30 \\ \hline\qquad\qquad\qquad\qquad\ \ 0 \end{array}\ \begin{array}{|l} x^{2}-3x-10 \\ \hline x+3 \\ \\ \\\\ \end{array}$$

D'où, $\boxed{Q(x)=x+3}$

Ce qui donne finalement :

$$f(x)=(x+3)(x^{2}-3x-10)$$

En utilisant le tableau de signes, on obtient :

$$\begin{array}{|c|lcccccccr|} \hline x&-\infty&&-3&&-2&&5&&+\infty\\\hline(x+3)&&-&0&+&|&+&|&+&\\\hline(x^{2}-3x-10)&&+&|&+&0&-&0&+&\\\hline f(x)&&-&0&+&0&-&0&+&\\\hline\end{array}$$

D'où, l'inéquation $f(x)\geq 0$ a pour solution :

$$S=[-3\;;\ -2]\cup[5\;;\ +\infty[$$

Exercice 12

Un polynôme $x^{2}+px+q$ divisé par $(x-2)$ a pour reste $3$, divisé par $x$ a pour reste $5.$

Déterminons les coefficients $p\ $ et $\ q$ en divisant successivement le polynôme $x^{2}+px+q$ par $(x-2)$ et par $x.$

Par division euclidienne, on a :

$$\begin{array}{l} \ \ x^{2}+px+q \\ -x^{2}+2x \\ \hline \quad 0+(p+2)x+q \\ \qquad -(p+2)x+2p+4 \\ \hline\qquad\qquad\ 2p+4+q \end{array}\ \begin{array}{|l} x-2 \\ \hline x+p+2 \\ \\ \\\\ \end{array}$$

D'où, le reste $R_{1}$ de cette division est donné par :

$$\boxed{R_{1}=2p+4+q}$$

$$\begin{array}{l} \ \ x^{2}+px+q \\ -x^{2} \\ \hline \quad 0+px+q \\ \qquad -px \\ \hline\qquad\qquad\ q \end{array}\ \begin{array}{|l} x \\ \hline x+p \\ \\ \\\\ \end{array}$$

D'où, le reste $R_{1}$ de cette division est donné par :

$$\boxed{R_{2}=q}$$

Par ailleurs, on sait que :

$$R_{1}=3\quad\text{et}\quad R_{2}=5$$

C'est-à-dire ;

$$\left\lbrace\begin{array}{rcl}2p+4+q&=&3\qquad(1)\\\\q&=&5\qquad(2)\end{array}\right.$$

Donc, en remplaçant $q$ par sa valeur, dans la relation $(1)$, on obtient :

$\begin{array}{rcl}2p+4+q=3&\Rightarrow&2p+4+5=3\\\\&\Rightarrow&2p+9=3\\\\&\Rightarrow&2p=3-9\\\\&\Rightarrow&2p=-6\\\\&\Rightarrow&p=-\dfrac{6}{2}\\\\&\Rightarrow&p=-3\end{array}$

Ainsi, $\boxed{p=-3\quad\text{et}\quad q=5}$

Par conséquent, ce polynôme est défini par :

$$\boxed{x^{2}-3x+5}$$

Exercice 13

Soit le polynôme $P$ défini par $P(x)=x^{3}-x+2m$

1) Cherchons $m$ pour que $P$ soit factorisable par $(x+1)$

$P$ factorisable par $(x+1)$ alors, il existe un polynôme $Q(x)$ tel que :

$$f(x)=(x+1)\times Q(x)$$

Donc, les racines du polynôme $(x+1)$ sont aussi racines de $P.$

Or, $-1$ annule $(x+1)$ donc, $-1$ est aussi racine de $P(x).$ Ce qui signifie : $P(-1)=0$

On a alors,

$\begin{array}{rcl} P(-1)=0&\Rightarrow&(-1)^{3}-(-1)+2m=0\\\\&\Rightarrow&-1+1+2m=0\\\\&\Rightarrow&2m=0\\\\&\Rightarrow&m=0\end{array}$

Ainsi, $\boxed{m=0}$

Par suite, $$P(x)=x^{3}-x$$

2) Trouvons donc le polynôme $Q$ tel que $P(x)=(x+1)\times Q(x)$

On a : $P(x)=(x+1)\times Q(x)$

Donc, $P(x)$ divisible par $(x+1)$

Ainsi, par division euclidienne, on obtient :

$$\begin{array}{l} \ \ x^{3}-x \\ -x^{3}-x^{2} \\ \hline \quad 0-x^{2}-x \\ \qquad\ \ x^{2}+x \\ \hline\qquad\qquad\ \ 0 \end{array}\ \begin{array}{|l} x+1 \\ \hline x^{2}-x \\ \\ \\\\ \end{array}$$

D'où, $\boxed{Q(x)=x^{2}-x=x(x-1)}$

3) Pour $m=0$, résolvons dans $\mathbb{R}$

a) $P(x)=0$

On a :

$\begin{array}{rcl} P(x)=0&\Leftrightarrow&(x+1)\times Q(x)\\\\&\Leftrightarrow&(x+1)\times x(x-1)=0\\\\&\Leftrightarrow&x+1=0\quad\text{ou}\quad x=0\quad\text{ou}\quad x-1=0\\\\&\Leftrightarrow&x=-1\quad\text{ou}\quad x=0\quad\text{ou}\quad x=1\end{array}$

Par suite, $\boxed{S=\{-1\;;\ 0\;;\ 1\}}$

b) $P(x)\geq 0$

Considérons le tableau de signes suivant :

$$\begin{array}{|c|lcccccccr|} \hline x&-\infty&&-1&&0&&1&&+\infty\\\hline(x+1)&&-&0&+&|&+&|&+&\\\hline Q(x)&&+&|&+&0&-&0&+&\\\hline P(x)&&-&0&+&0&-&0&+&\\\hline\end{array}$$

La solution de l'inéquation $P(x)\geq 0$ sera alors donnée par :

$$S=[-1\;;\ 0]\cup[1\;;\ +\infty[$$

Exercice 14

Soit $P(x)=-2x^{3}+x^{2}+5x+2$

1) Montrons que $(-1)$ est une racine de $P$

Pour cela, calculons $P(-1)$ en remplaçant $x$ par $-1$, dans l'expression de $P(x).$

On obtient alors :

$\begin{array}{rcl} P(-1)&=&-2(-1)^{3}+(-1)^{2}+5(-1)+2\\\\&=&2+1-5+2\\\\&=&5-5\\\\&=&0\end{array}$

Donc, $\boxed{P(-1)=0}$

Ce qui montre que $-1$ est une racine de $P.$

2) Factorisons $P(x)$ puis résolvons $P(x)=0$

D'après le résultat de la question $1\,)$, on a $-1$ de $P.$

Ce qui signifie que $P(x)$ est factorisable par $(x+1).$

Par conséquent, $P(x)$ est divisible par $(x+1).$

Ainsi, il existe un polynôme $Q(x)$ de degré $2$ vérifiant :

$$P(x)=(x+1)\times Q(x)$$

Déterminons alors $Q(x)$ par division euclidienne.

On a :

$$\begin{array}{l} \ \ -2x^{3}+x^{2}+5x+2 \\ \quad\ 2x^{3}+2x^{2} \\ \hline \qquad 0+3x^{2}+5x+2 \\ \qquad\quad -3x^{2}-3x \\ \hline\qquad\qquad\qquad \ 2x+2\\ \qquad\qquad\quad\ -2x-2\\ \hline\qquad\qquad\qquad\quad\ 0 \end{array}\ \begin{array}{|l} x+1 \\ \hline -2x^{2}+3x+2 \\\\ \\ \\\\\\\\ \end{array}$$

D'où, $\boxed{Q(x)=-2x^{2}+3x+2}$

Par conséquent,

$$P(x)=(x+1)(-2x^{2}+3x+2)$$

Alors, pour une factorisation complète, factorisons $Q(x).$

Soit :

$\begin{array}{rcl}\Delta&=&3^{2}-4\times(-2)\times 2\\\\&=&9+16\\\\&=&25\end{array}$

Donc, $\boxed{\Delta=25\;,\quad\sqrt{\Delta}=5}$

Ainsi, $Q$ a deux racines distinctes $x_{1}\ $ et $\ x_{2}$ telles que :

$\begin{array}{rcl}x_{1}&=&\dfrac{-3-\sqrt{25}}{2\times(-2)}\\\\&=&\dfrac{-3-5}{-4}\\\\&=&\dfrac{-8}{-4}\\\\&=&2\end{array}$

Donc, $\boxed{x_{1}=2}$

$\begin{array}{rcl}x_{2}&=&\dfrac{-3+\sqrt{25}}{2\times(-2)}\\\\&=&\dfrac{-3+5}{-4}\\\\&=&\dfrac{2}{-4}\\\\&=&-\dfrac{1}{2}\end{array}$

Donc, $\boxed{x_{2}=-\dfrac{1}{2}}$

Par suite,

$$Q(x)=-2(x-2)\left(x+\dfrac{1}{2}\right)$$

D'où, une factorisation de $P(x)$ est donnée par :

$$\boxed{P(x)=-2(x+1)(x-2)\left(x+\dfrac{1}{2}\right)}$$

Résolvons dans $\mathbb{R}\;,\ P(x)=0$

En effet, en utilisant la forme factorisée de $P(x)$, on a :

$\begin{array}{rcl}P(x)=0&\Leftrightarrow&-2(x+1)(x-2)\left(x+\dfrac{1}{2}\right)=0\\\\&\Leftrightarrow&(x+1)(x-2)\left(x+\dfrac{1}{2}\right)=0\\\\&\Leftrightarrow&x+1=0\quad\text{ou}\quad x-2=0\quad\text{ou}\quad x+\dfrac{1}{2}=0\\\\&\Leftrightarrow&x=-1\quad\text{ou}\quad x=2\quad\text{ou}\quad x=-\dfrac{1}{2}\end{array}$

D'où, l'ensemble des solutions $S$ est donné par :

$$\boxed{S=\left\lbrace -1\;;\ -\dfrac{1}{2}\;;\ 2\right\rbrace}$$

3) Résolvons dans $\mathbb{R}$

$$-2(x^{2}-1)^{3}+(x^{2}-1)^{2}+5(x^{2}-1)+2=0$$

Par analogie à la question $2\,)$, cela revient donc à résoudre l'équation :

$$P(x^{2}-1)=0$$

Effectuons alors un changement de variable.

Posons :

$$X=x^{2}-1$$

L'équation devient donc :

$$-2X^{3}+X^{2}+5X+2=0$$

Ainsi, résoudre l'équation $P(x^{2}-1)=0$ revient tout simplement à résoudre l'équation $P(X)=0.$

Or, d'après le résultat de la question $2\,))$, on a $P(X)=0$ si, et seulement si,

$$X=-1\quad\text{ou}\quad X=-\dfrac{1}{2}\quad\text{ou}\quad X=2$$

Donc, en faisant un retour sur le changement de variable, pour chacun de ces nombres réels, on obtient :

$\begin{array}{rcl}X=-1&\Leftrightarrow&x^{2}-1=-1\\\\&\Leftrightarrow&x^{2}=-1+1\\\\&\Leftrightarrow&x^{2}=0\\\\&\Leftrightarrow&x=0\end{array}$

D'où, $\boxed{S_{1}=\lbrace 0\rbrace}$

$\begin{array}{rcl}X=-\dfrac{1}{2}&\Leftrightarrow&x^{2}-1=-\dfrac{1}{2}\\\\&\Leftrightarrow&x^{2}=-\dfrac{1}{2}+1\\\\&\Leftrightarrow&x^{2}=\dfrac{1}{2}\\\\&\Leftrightarrow&x=\sqrt{\dfrac{1}{2}}\quad\text{ou}\quad x=-\sqrt{\dfrac{1}{2}}\\\\&\Leftrightarrow&x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\quad\text{ou}\quad x=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\\\&\Leftrightarrow&x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\quad\text{ou}\quad x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{array}$

D'où, $\boxed{S_{2}=\left\lbrace -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\;;\ \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right\rbrace}$

$\begin{array}{rcl}X=2&\Leftrightarrow&x^{2}-1=2\\\\&\Leftrightarrow&x^{2}=2+1\\\\&\Leftrightarrow&x^{2}=3\\\\&\Leftrightarrow&x=\sqrt{3}\quad\text{ou}\quad x=-\sqrt{3}\end{array}$

D'où, $\boxed{S_{3}=\left\lbrace -\sqrt{3}\;;\ \sqrt{3}\right\rbrace}$

Par conséquent, l'équation $P(x^{2}-1)=0$ a pour solution :

$$\boxed{S=S_{1}\cup S_{2}\cup S_{3}=\left\lbrace 0\;;\ -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\;;\ \dfrac{\sqrt{2}}{2}\;;\ -\sqrt{3}\;;\ \sqrt{3}\right\rbrace}$$

Exercice 15

Déterminons $a\ $ et $\ b$ pour que $x^{5}+ax^{4}+b$ soit divisible par $(x-1)^{2}.$

En effet, $x^{5}+ax^{4}+b$ est divisible par $(x-1)^{2}$ si, et seulement si, les racines de $(x-1)^{2}$ sont aussi racines de $x^{5}+ax^{4}+b.$

De plus, le resta de la division de $x^{5}+ax^{4}+b$ par $(x-1)^{2}$ est égal à $0.$

Comme $1$ est racine de $(x-1)^{2}$ alors, $1$ est aussi racine de $x^{5}+ax^{4}+b.$

Ce qui se traduit par :

$$1^{5}+a\times 1^{4}+b=0$$

D'où, $\boxed{a+b+1=0\qquad(1)}$

Par ailleurs, on a : $(x-1)^{2}=x^{2}-2x+1$

Donc, par division euclidienne, on obtient :

$$\begin{array}{l} \ \ x^{5}+ax^{4}+b \\ -x^{5}+2x^{4}-x^{3} \\ \hline\ (a+2)x^{4}-x^{3}+b\\ -(a+2)x^{4}+(2a+4)x^{3}-(a+2)x^{2} \\ \hline\ (2a+3)x^{3}-(a+2)x^{2}+b\\ -(2a+3)x^{3}+(4a+6)x^{2}-(2a+3)x\\ \hline\ (3a+4)x^{2}-(2a+3)x+b\\ -(3a+4)x^{2}+(6a+8)x-(3a+4)\\ \hline\qquad\qquad\qquad (4a+5)x-(3a+4)+b \end{array}\ \begin{array}{|l} x^{2}-2x+1 \\ \hline x^{3}+(a+2)x^{2}+(2a+3)x+(3a+4) \\\\\\ \\\\ \\\\\\\\ \end{array}$$

Ainsi, le reste $R(x)$ de la division euclidienne du polynôme $x^{5}+ax^{4}+b$ par $(x-1)^{2}$ est donné par :

$$\boxed{R(x)=(4a+5)x-(3a+4)+b}$$

Alors, $x^{5}+ax^{4}+b$ est divisible par $(x-1)^{2}$ si, et seulement si, le reste $R(x)$ est égal à $0.$

Or, un polynôme est nul si, et seulement si, tous ses coefficients sont nuls.

Ce qui se traduit par :

$$R(x)=0\ \Leftrightarrow\ \left\lbrace\begin{array}{rcl}(4a+5)&=&0\qquad(2)\\\\-(3a+4)+b&=&0\qquad(3)\end{array}\right.$$

En résolvant ce système d'équation à deux inconnues, on trouve $a\ $ et $\ b.$

Considérons l'équation $(2).$

On a :

$\begin{array}{rcl}4a+5=0&\Leftrightarrow&4a=-5\\\\&\Leftrightarrow&a=-\dfrac{5}{4}\end{array}$

Donc, $\boxed{a=-\dfrac{5}{4}}$

Pour déterminer $b$, remplaçons cette valeur de $a$ dans l'équation $(3).$

On obtient alors :

$\begin{array}{rcl}-(3a+4)+b=0&\Leftrightarrow&b=3a+4\\\\&\Leftrightarrow&b=3\left(-\dfrac{5}{4}\right)+4\\\\&\Leftrightarrow&b=-\dfrac{15}{4}+\dfrac{16}{4}\\\\&\Leftrightarrow&b=\dfrac{1}{4}\end{array}$

Donc, $\boxed{b=\dfrac{1}{4}}$

Vérification

D'après l'équation $(1)$, on a :

$$a+b+1=0$$

En remplaçant les valeurs de $a\ $ et $\ b$ dans l'équation $(1)$, on obtient :

$$-\dfrac{5}{4}+\dfrac{1}{4}+1=-\dfrac{4}{4}+1=-1+1=0$$

Ce qui montre que ces valeurs de $a\ $ et $\ b$ vérifient bien l'équation $(1).$

Par conséquent, le polynôme $x^{5}+ax^{4}+b$, divisible par $(x-1)^{2}$, est défini par :

$$\boxed{x^{5}-\dfrac{5}{4}x^{4}+\dfrac{1}{4}}$$

Exercice 16

1) Déterminons les réels $p\ $ et $\ q$ pour que $x^{4}+px^{2}+q$ soit divisible par $x^{2}-6x+5$

En effet, le polynôme $x^{4}+px^{2}+q$ est divisible par $x^{2}-6x+5$ si, et seulement si, les racines du polynôme $x^{2}-6x+5$ sont aussi racines de $x^{4}+px^{2}+q.$

Cherchons alors les racines du polynôme $x^{2}-6x+5.$

Soit :

$\begin{array}{rcl}\Delta&=&(-6)^{2}-4\times 1\times 5\\\\&=&36-20\\\\&=&16\end{array}$

Donc, $\boxed{\Delta=16\ \Rightarrow\ \sqrt{\Delta}=4}$

Ainsi, le polynôme $x^{2}-6x+5$ admet deux racines distinctes ; $x_{1}\ $ et $\ x_{2}$ telles que :

$\begin{array}{rcl}x_{1}&=&\dfrac{-(-6)-\sqrt{\Delta}}{2}\\\\&=&\dfrac{6-4}{2}\\\\&=&\dfrac{2}{2}\\\\&=&1\end{array}$

D'où, $\boxed{x_{1}=1}$

$\begin{array}{rcl}x_{2}&=&\dfrac{-(-6)+\sqrt{\Delta}}{2}\\\\&=&\dfrac{6+4}{2}\\\\&=&\dfrac{10}{2}\\\\&=&5\end{array}$

D'où, $\boxed{x_{2}=5}$

Par conséquent, $1\ $ et $\ 5$ sont aussi racines du polynôme $x^{4}+px^{2}+q.$

Ce qui signifie que $1\ $ et $\ 5$ annulent ce polynôme.

Ainsi, en remplaçant $x$ par $1$, on obtient :

$\begin{array}{rcl}1^{4}+p\times 1^{2}+q=0&\Leftrightarrow&1+p+q=0\\\\&\Leftrightarrow&p+q+1=0\end{array}$

D'où, $\boxed{p+q+1=0\qquad(1)}$

De la même manière, en remplaçant $x$ par $5$, on obtient :

$\begin{array}{rcl}5^{4}+p\times 5^{2}+q=0&\Leftrightarrow&625+p\times 25+q=0\\\\&\Leftrightarrow&25p+q+625=0\end{array}$

Donc, $\boxed{25p+q+625=0\qquad(2)}$

Considérons alors le système d'équations à deux inconnues suivant, formé des équations $(1)\ $ et $\ (2)\ :$

$$\left\lbrace\begin{array}{rcl}p+q+1&=&0\qquad(1)\\\\25p+q+625&=&0\qquad(2)\end{array}\right.$$

En résolvant ce système, on trouve alors les coefficients $p\ $ et $\ q.$

En effet, multiplions d'abord l'équation $(1)$ par $-1.$

Le système devient alors :

$$\left\lbrace\begin{array}{rcl}-p-q-1&=&0\qquad(3)\\\\25p+q+625&=&0\qquad(2)\end{array}\right.$$

Additionnons ensuite, membre à membre, les équations $(3)\ $ et $\ (2)$ du nouveau système.

On obtient :

$\begin{array}{rcl}-p-q-1+25p+q+625=0&\Leftrightarrow&24p+624=0\\\\&\Leftrightarrow&24p=-624\\\\&\Leftrightarrow&p=-\dfrac{624}{24}\\\\&\Leftrightarrow&p=-26\end{array}$

Donc, $\boxed{p=-26}$

Enfin, en remplaçant cette valeur de $p$ dans l'équation $(1)$, on trouve :

$\begin{array}{rcl}-26+q+1=0&\Leftrightarrow&-25+q=0\\\\&\Leftrightarrow&q=25\end{array}$

Ainsi, $\boxed{q=25}$

D'où, le polynôme $x^{4}+px^{2}+q$ divisible par $x^{2}-6x+5$ est défini par :

$$\boxed{x^{4}-26x^{2}+25}$$

2) Pour les valeurs de $p\ $ et $\ q$ ainsi trouvées, en déduisons les solutions de l'équation :

$$x^{4}+px^{2}+q=0$$

D'après le résultat de la question $1\,)$, on a $x^{4}-26x^{2}+25$ divisible par $x^{2}-6x+5.$

Donc, il existe un polynôme $Q(x)$ tel que :

$$x^{4}-26x^{2}+25=(x^{2}-6x+5)\times Q(x)$$

Ainsi, par division euclidienne, on obtient :

$$\begin{array}{l} \ \ x^{4}-26x^{2}+25 \\ -x^{4}+6x^{3}-5x^{2} \\ \hline \quad 6x^{3}-31x^{2}+25 \\ \ -6x^{3}+36x^{2}-30x\\ \hline \quad\quad 5x^{2}-30x+25\\ \ \quad -5x^{2}+30x-25\\\hline\qquad\qquad\qquad \ 0 \end{array}\ \begin{array}{|l} x^{2}-6x+5 \\ \hline x^{2}+6x+5 \\ \\\\\\\\ \\ \\ \end{array}$$

D'où, $\boxed{Q(x)=x^{2}+6x+5}$

Factorisons alors $Q(x).$

On a :

$\begin{array}{rcl}\Delta&=&6^{2}-4\times 1\times 5\\\\&=&36-20\\\\&=&16\end{array}$

Donc, $\boxed{\Delta=16\ \Rightarrow\ \sqrt{\Delta}=4}$

Ainsi, le polynôme $Q(x)$ admet deux racines distinctes $x_{1}\ $ et $\ x_{2}$ données par :

$\begin{array}{rcl}x_{1}&=&\dfrac{-6-\sqrt{\Delta}}{2}\\\\&=&\dfrac{-6-4}{2}\\\\&=&\dfrac{-10}{2}\\\\&=&-5\end{array}$

D'où, $\boxed{x_{1}=-5}$

$\begin{array}{rcl}x_{2}&=&\dfrac{-6+\sqrt{\Delta}}{2}\\\\&=&\dfrac{-6+4}{2}\\\\&=&\dfrac{-2}{2}\\\\&=&-1\end{array}$

D'où, $\boxed{x_{2}=-1}$

Ainsi, la forme factorisée de $Q(x)$ est donnée par :

$$Q(x)=(x+1)(x+5)$$

Par ailleurs, d'après le résultat de la question $1\,)$, on a $1\ $ et $\ 5$ racines du polynôme $x^{2}-6x+5.$

Donc, sa forme factorisée est donnée par :

$$x^{2}-6x+5=(x-1)(x-5)$$

Par conséquent, la forme factorisée du polynôme $x^{4}-26x^{2}+25$ est :

$$\boxed{x^{4}-26x^{2}+25=(x-1)(x-5)(x+1)(x+5)}$$

Utilisons alors cette forme factorisée pour résoudre l'équation :

$$x^{4}-26x^{2}+25=0$$

On a :

$\begin{array}{rcl}x^{4}-26x^{2}+25=0&\Leftrightarrow&(x-1)(x-5)(x+1)(x+5)=0\\\\&\Leftrightarrow&x-1=0\quad\text{ou}\quad x-5=0\quad\text{ou}\quad x+1=0\quad\text{ou}\quad x+5=0\\\\&\Leftrightarrow&x=1\quad\text{ou}\quad x=5\quad\text{ou}\quad x=-1\quad\text{ou}\quad x=-5\end{array}$

D'où, l'ensemble des solutions $S$ est donné par :

$$S=\left\lbrace -1\;;\ -5\;;\ 1\;;\ 5\right\rbrace$$

Exercice 17

Déterminons l'ensemble de définition de :

$$f(x)=\dfrac{2x+1}{x^{2}-4x}$$

Rappelons que l'ensemble de définition de $f(x)$ est l'ensemble $D_{f}$ tel que :

$$D_{f}=\left\lbrace x\in\mathbb{R}\;;\ (x^{2}-4x)\neq 0\right\rbrace=\mathbb{R}\setminus S$$

où, $S$ est l'ensemble des solutions de l'équation $x^{2}-4x=0$

Donc, pour déterminer $D_{f}$ on peut procéder comme suit : déterminer d'abord $S$ puis, faire

$$D_{f}=\mathbb{R}\setminus S$$

Soit alors :

$\begin{array}{rcl}x^{2}-4x=0&\Leftrightarrow&x(x-4)=0\\\\&\Leftrightarrow&x=0\quad\text{ou}\quad x-4=0\\\\&\Leftrightarrow&x=0\quad\text{ou}\quad x=4\end{array}$

Ainsi, l'ensemble des solutions $S$ est donné par :

$$S=\left\lbrace 0\;;\ 4\right\rbrace$$

D'où,

$$\boxed{D_{f}=\mathbb{R}\setminus\left\lbrace 0\;;\ 4\right\rbrace}$$

Déterminons l'ensemble de définition de :

$$g(x)=\dfrac{x^{2}-4x}{x^{2}+1}$$

Soit $S$ l'ensemble des solutions de l'équation $x^{2}+1=0.$

Déterminons alors $S.$

On a :

$\begin{array}{rcl}x^{2}+1=0&\Leftrightarrow&x^{2}=-1\end{array}$

Ce qui est impossible car, dans $\mathbb{R}$, un carré n'est jamais négatif.

Donc, il n'existe pas de réel $x$ vérifiant : $x^{2}+1=0.$

Par conséquent,

$$S=\emptyset$$

D'où, l'ensemble de définition de $g(x)$ est donné par :

$$\boxed{D_{g}=\mathbb{R}\setminus\emptyset=\mathbb{R}}$$

Déterminons l'ensemble de définition de :

$$h(x)=\dfrac{x^{2}+1}{x^{2}-4x+3}$$

Pour cela, déterminons d'abord l'ensemble $S$ des solutions de l'équation $x^{2}-4x+3=0.$

Soit :

$\begin{array}{rcl}\Delta&=&(-4)^{2}-4\times 1\times 3\\\\&=&16-12\\\\&=&4\end{array}$

Donc, $\boxed{\Delta=4\ \Rightarrow\ \sqrt{\Delta}=2}$

Ainsi, l'équation $x^{2}-4x+3=0$ admet deux solutions distinctes $x_{1}\ $ et $\ x_{2}$ telles que :

$\begin{array}{rcl}x_{1}&=&\dfrac{-(-4)-\sqrt{\Delta}}{2}\\\\&=&\dfrac{4-2}{2}\\\\&=&\dfrac{2}{2}\\\\&=&1\end{array}$

D'où, $\boxed{x_{1}=1}$

$\begin{array}{rcl}x_{2}&=&\dfrac{-(-4)+\sqrt{\Delta}}{2}\\\\&=&\dfrac{4+2}{2}\\\\&=&\dfrac{6}{2}\\\\&=&3\end{array}$

D'où, $\boxed{x_{2}=3}$

Ainsi, l'ensemble $S$ des solutions de l'équation $x^{2}-4x+3=0$ est donné par :

$$S=\left\lbrace 1\;;\ 3\right\rbrace$$

Par conséquent, l'ensemble de définition de $h(x)$ est :

$$\boxed{D_{h}=\mathbb{R}\setminus\left\lbrace 1\;;\ 3\right\rbrace}$$

Exercice 18

Soient les polynômes $P\;,\ R\ $ et $\ Q$ définis par :

$$P(x)\ :\ 2x^{3}+ax^{2}+x+2$$

$$R(x)\ :\ cx^{3}+bx^{2}+dx-3$$

$$Q(x)\ :\ (2x+1)(x+3)-(4x+1)(b-x)$$

1) a) Trouvons le réel $a$ pour que $2$ soit racine de $P.$

En effet, $2$ est racine de $P$ si, et seulement si, $2$ annule $P(x)$ ; c'est-à-dire, $P(2)=0.$

Donc, dans l'expression de $P(x)$, remplaçons $x$ par $2$ puis, calculons $P(2)=0.$

On a :

$\begin{array}{rcl}P(2)=0&\Leftrightarrow&2\times 2^{3}+a\times 2^{2}+2+2=0\\\\&\Leftrightarrow&2\times 8+a\times 4+4=0\\\\&\Leftrightarrow&16+4a+4=0\\\\&\Leftrightarrow&4a+20=0\\\\&\Leftrightarrow&4a=-20\\\\&\Leftrightarrow&a=-\dfrac{20}{4}\\\\&\Leftrightarrow&a=-5\end{array}$

D'où, $\boxed{a=-5}$

Par conséquent,

$$\boxed{P(x)=2x^{3}-5x^{2}+x+2}$$

b) En déduisons la factorisation complète de $P(x)$

D'après le résultat de la question $1\,)\,a)$, on a $2$ racine de $P.$

Cela signifie que $P(x)$ est divisible par $(x-2).$

Donc, il existe un polynôme $A(x)$ de degré $2$ tel que :

$$P(x)=(x-2)\times A(x)$$

Ainsi, par division euclidienne, on a :

$$\begin{array}{l} \ \ 2x^{3}-5x^{2}+x+2 \\ -2x^{3}+4x^{2} \\ \hline \qquad -x^{2}+x+2 \\ \qquad\quad x^{2}-2x+2\\ \hline \qquad\qquad\quad -x+2\\ \ \qquad\qquad\quad\ x-2\\\hline\qquad\qquad\qquad\quad \ 0 \end{array}\ \begin{array}{|l} x-2 \\ \hline 2x^{2}-x-1 \\ \\\\\\\\ \\ \\ \end{array}$$

D'où, $\boxed{A(x)=2x^{2}-x-1}$

Donc, on a :

$$P(x)=(x-2)\times(2x^{2}-x-1)$$

Par suite, pour une factorisation complète de $P(x)$, nous allons essayer de factoriser $A(x).$

On a :

$\begin{array}{rcl}\Delta&=&(-1)^{2}-4\times 2\times(-1)\\\\&=&1+8\\\\&=&9\end{array}$

Donc, $\boxed{\Delta=9\ \Rightarrow\ \sqrt{\Delta}=3}$

Ainsi, le polynôme $A(x)$ admet deux racines distinctes $x_{1}\ $ et $\ x_{2}$ définies par :

$\begin{array}{rcl}x_{1}&=&\dfrac{-(-1)-\sqrt{\Delta}}{2\times 2}\\\\&=&\dfrac{1-3}{4}\\\\&=&\dfrac{-2}{4}\\\\&=&-\dfrac{1}{2}\end{array}$

D'où, $\boxed{x_{1}=-\dfrac{1}{2}}$

$\begin{array}{rcl}x_{2}&=&\dfrac{-(-1)+\sqrt{\Delta}}{2\times 2}\\\\&=&\dfrac{1+3}{4}\\\\&=&\dfrac{4}{4}\\\\&=&1\end{array}$

D'où, $\boxed{x_{2}=1}$

Ainsi, la forme factorisée de $A(x)$ est donnée par :

$$A(x)=2(x-1)\left(x+\dfrac{1}{2}\right)$$

Par conséquent, la factorisation complète de $P(x)$ est donnée par :

$$\boxed{P(x)=2(x-2)(x-1)\left(x+\dfrac{1}{2}\right)}$$

2) Trouvons les réels $b\;,\ c\ $ et $\ d$ pour que $R(x)\ $ et $\ Q(x)$ soient égaux.

En effet, d'après la propriété sur l'égalité de deux polynômes, on a $R(x)=Q(x)$ si, et seulement si, les monômes de même degré semblable à $R(x)\ $ et $\ Q(x)$ ont même coefficient.

Soit : $R(x)=cx^{3}+bx^{2}+dx-3\ $ et $\ Q(x)=(2x+1)(x+3)-(4x+1)(b-x).$

Donnons d'abord la forme développée de $Qx).$

On a :

$\begin{array}{rcl}Q(x)&=&(2x+1)(x+3)-(4x+1)(b-x)\\\\&=&(2x^{2}+6x+x+3)-(4bx-4x^{2}+b-x)\\\\&=&2x^{2}+7x+3-[-4x^{2}+(4b-1)x+b]\\\\&=&2x^{2}+7x+3+4x^{2}-(4b-1)x-b\\\\&=&6x^{2}+[7-(4b-1)]x-b+3\\\\&=&6x^{2}+(7-4b+1)x-b+3\\\\&=&6x^{2}+(8-4b)x-b+3\end{array}$

Donc, $\boxed{Q(x)=6x^{2}+(8-4b)x-b+3}$

Par suite, en appliquant la propriété d'égalité de deux polynômes, on obtient :

$\begin{array}{rcl}R(x)=Q(x)&\Leftrightarrow&\left\lbrace\begin{array}{rcl}c&=&0\\\\b&=&6\\\\d&=&8-4b\\\\-3&=&-b+3\end{array}\right.\\\\&\Leftrightarrow&\left\lbrace\begin{array}{rcl}c&=&0\\\\b&=&6\\\\d&=&8-4\times 6\end{array}\right.\\\\&\Leftrightarrow&\left\lbrace\begin{array}{rcl}c&=&0\\\\b&=&6\\\\d&=&8-24\end{array}\right.\\\\&\Leftrightarrow&\left\lbrace\begin{array}{rcl}c&=&0\\\\b&=&6\\\\d&=&-16\end{array}\right.\end{array}$

D'où, $\boxed{b=6\;;\ c=0\;;\ d=-16}$

3) Soit la fraction rationnelle $T$ définie par :

$$T(x)=\dfrac{2x^{3}-5x^{2}+x+2}{-2x^{2}+8x-8}$$

a) Déterminons l'ensemble de définition de $T(x)$

Soit $D_{T}$ l'ensemble de définition de $T(x).$

Alors, par définition, on a :

$$D_{T}=\mathbb{R}\setminus S$$

où, $S$ est l'ensemble des solutions de l'équation $-2x^{2}+8x-8=0.$

Déterminons alors $S$ en résolvant l'équation $-2x^{2}+8x-8=0.$

On a :

$\begin{array}{rcl}-2x^{2}+8x-8=0&\Leftrightarrow&-2(x^{2}-4x+4)=0\\\\&\Leftrightarrow&x^{2}-4x+4=0\\\\&\Leftrightarrow&(x-2)^{2}=0\\\\&\Leftrightarrow&x-2=0\\\\&\Leftrightarrow&x=2\end{array}$

Ainsi, l'ensemble $S$ des solutions de l'équation $-2x^{2}+8x-8=0$ est donné par :

$$S=\left\lbrace 2\right\rbrace$$

Par conséquent, l'ensemble de définition de $T(x)$ est :

$$\boxed{D_{T}=\mathbb{R}\setminus\left\lbrace 2\right\rbrace}$$

b) Simplifions $T(x)$

En effet, dans l'expression de $T(x)$, nous pouvons remarquer que le numérateur est égal $P(x).$

Donc, en considérant la forme factorisée de $P(x)$, on a :

$$T(x)=\dfrac{2(x-2)(x-1)\left(x+\dfrac{1}{2}\right)}{-2x^{2}+8x-8}$$

Par ailleurs, concernant le dénominateur de $T(x)$, on peut écrire :

$\begin{array}{rcl}-2x^{2}+8x-8&=&-2(x^{2}-4x+4)\\\\&=&-2(x-2)^{2}\end{array}$

Donc, $\boxed{-2x^{2}+8x-8=-2(x-2)^{2}}$

Ainsi, en remplaçant $-2x^{2}+8x-8$ par sa forme factorisée, dans l'expression de $T(x)$, on obtient :

$\begin{array}{rcl}T(x)&=&\dfrac{2(x-2)(x-1)\left(x+\dfrac{1}{2}\right)}{-2(x-2)^{2}}\\\\&=&\dfrac{(x-1)\left(x+\dfrac{1}{2}\right)}{-(x-2)}\\\\&=&-\dfrac{(x-1)\left(x+\dfrac{1}{2}\right)}{x-2}\end{array}$

D'où, $\boxed{T(x)=-\dfrac{(x-1)\left(x+\dfrac{1}{2}\right)}{x-2}}$

c) Résolvons alors l'équation $T(x)=0$ et l'inéquation $T(x)<0$

Soit à résoudre l'équation $T(x)=0.$

Considérons alors la forme simplifiée de $T(x).$

On a :

$\begin{array}{rcl}T(x)=0&\Leftrightarrow&-\dfrac{(x-1)\left(x+\dfrac{1}{2}\right)}{x-2}=0\\\\&\Leftrightarrow&-(x-1)\left(x+\dfrac{1}{2}\right)=0\\\\&\Leftrightarrow&(x-1)\left(x+\dfrac{1}{2}\right)=0\\\\&\Leftrightarrow&x-1=0\quad\text{ou}\quad x+\dfrac{1}{2}=0\\\\&\Leftrightarrow&x=1\quad\text{ou}\quad x=-\dfrac{1}{2}\end{array}$

D'où, l'ensemble $S$ des solutions de l'équation $T(x)=0$ est donné par :

$$\boxed{S=\left\lbrace-\dfrac{1}{2}\;;\ 1\right\rbrace}$$

Résolvons l'inéquation $T(x)<0.$

Là encore, nous allons considérer la forme simplifiée de $T(x).$

Donc,

$$T(x)<0\ \Leftrightarrow\ -\dfrac{(x-1)\left(x+\dfrac{1}{2}\right)}{x-2}<0$$

Cherchons le signe de $T(x)$ en considérant le tableau de signes suivant :

$$\begin{array}{|c|lcccccccr|} \hline x&-\infty&&-\dfrac{1}{2}&&1&&2&&+\infty\\\hline (-1)&&-&|&-&|&-&|&-&\\\hline (x-1)\left(x+\dfrac{1}{2}\right)&&+&0&-&0&+&|&+&\\\hline (x-2)&&-&|&-&|&-&0&+&\\\hline T(x)&&+&0&-&0&+&\|&-&\\\hline\end{array}$$

D'après le tableau, $T(x)$ est strictement négatif sur l'intervalle $]-3\;;\ 2[\cup]3\;;\ +\infty[.$

D'où, l'inéquation $T(x)<0$ a pour solution :

$$S=\left]-\dfrac{1}{2}\;;\ 1\right[\cup\left]2\;;\ +\infty\right[$$

Exercice 19

Soit $f(x)=\dfrac{x^{3}+4x^{2}+5x+3}{x^{2}+3x+2}$

1) Déterminons $D_{f}$

Par définition, on a :

$$D_{f}=\mathbb{R}\setminus S$$

où, $S$ est l'ensemble des solutions de l'équation $x^{2}+3x+2=0.$

Déterminons alors $S$ en résolvant l'équation $x^{2}+3x+2=0.$

Soit :

$\begin{array}{rcl}\Delta&=&3^{2}-4\times 2\times 1\\\\&=&9-8\\\\&=&1\end{array}$

Donc, $\boxed{\Delta=1\ \Rightarrow\ \sqrt{\Delta}=1}$

Ainsi, l'équation $x^{2}+3x+2=0$ admet deux solutions distinctes $x_{1}\ $ et $\ x_{2}$ données par :

$\begin{array}{rcl}x_{1}&=&\dfrac{-3-\sqrt{\Delta}}{2\times 1}\\\\&=&\dfrac{-3-1}{2}\\\\&=&\dfrac{-4}{2}\\\\&=&-2\end{array}$

D'où, $\boxed{x_{1}=-2}$

$\begin{array}{rcl}x_{2}&=&\dfrac{-3+\sqrt{\Delta}}{2\times 1}\\\\&=&\dfrac{-3+1}{2}\\\\&=&\dfrac{-2}{2}\\\\&=&-1\end{array}$

D'où, $\boxed{x_{2}=-1}$

Par suite, l'ensemble $S$ des solutions de l'équation $x^{2}+3x+2=0$ est donné par :

$$S=\left\lbrace -2\;;\ -1\right\rbrace$$

Par conséquent, l'ensemble de définition de $f(x)$ est :

$$\boxed{D_{f}=\mathbb{R}\setminus\left\lbrace -2\;;\ -1\right\rbrace}$$

2) Montrons qu'il existe quatre réels $a\;,\ b\;,\ c\ $ et $\ d$ tels que :

$$f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x+1}+\dfrac{d}{x+2}$$

En effet, dans le numérateur de $f(x)$, en remplaçant $x$ par $-1$, on trouve $1.$

$$(-1)^{3}+4(-1)^{2}+5(-1)+3=-1+4-5+3=1$$

Cela signifie que $-1$ n'est pas racine de ce polynôme et par conséquent, $x^{3}+4x^{2}+5x+3$ n'est pas divisible par $x^{2}+3x+2.$

Donc, il existe deux polynômes $Q(x)\ $ et $\ R(x)$ tels que :

$$x^{3}+4x^{2}+5x+3=(x^{2}+3x+2)\times Q(x)+R(x)$$

Par suite,

$$f(x)=Q(x)+\dfrac{R(x)}{x^{2}+3x+2}$$

Par division euclidienne, déterminons alors $Q(x)\ $ et $R\ (x).$

On a :

$$\begin{array}{l} \ \ x^{3}+4x^{2}+5x+3 \\ -x^{3}-3x^{2}-2x \\ \hline \qquad\qquad x^{2}+3x+3 \\ \qquad\quad -x^{2}-3x-2\\ \hline \qquad\qquad\qquad\qquad 1\end{array}\ \begin{array}{|l} x^{2}+3x+2 \\ \hline x+1 \\ \\ \\ \\ \end{array}$$

D'où, $\boxed{Q(x)=x+1\quad\text{et}\quad R(x)=1}$

Ainsi, $\boxed{a=1\quad\text{et}\quad b=1}$

Trouvons $c\ $ et $\ d.$

En effet, $-1\ $ et $\ -2$ étant les racines du polynôme $x^{2}+3x+2$ alors, par factorisation, on a :

$$x^{2}+3x+2=(x+1)(x+2)$$

Donc,

$$f(x)=x+1+\dfrac{1}{(x+1)(x+2)}$$

Par suite,

$\begin{array}{rcl}f(x)=x+1+\dfrac{c}{x+1}+\dfrac{d}{x+2}&\Leftrightarrow&x+1+\dfrac{c}{x+1}+\dfrac{d}{x+2}=x+1+\dfrac{1}{(x+1)(x+2)}\\\\&\Leftrightarrow&\dfrac{c}{x+1}+\dfrac{d}{x+2}=\dfrac{1}{(x+1)(x+2)}\\\\&\Leftrightarrow&\dfrac{c(x+2)}{(x+1)(x+2)}+\dfrac{d(x+1)}{(x+1)(x+2)}=\dfrac{1}{(x+1)(x+2)}\\\\&\Leftrightarrow&\dfrac{cx+2c+dx+d}{(x+1)(x+2)}=\dfrac{1}{(x+1)(x+2)}\\\\&\Leftrightarrow&cx+2c+dx+d=1\\\\&\Leftrightarrow&(c+d)x+2c+d=1\\\\&\Leftrightarrow&(c+d)x+2c+d-1=0\end{array}$

Donc, $\boxed{(c+d)x+2c+d-1=0}$

Or, on sait que un polynôme est nul si, et seulement si, tous ses coefficients sont nuls.

Ainsi, on obtient le système d'équations suivant :

$$\left\lbrace\begin{array}{rcl}c+d&=&0\qquad(1)\\\\2c+d-1&=&0\qquad(2)\end{array}\right.$$

En résolvant ce système, on trouve les valeurs de $c\ $ et $\ d.$

Alors, en multipliant l'équation $(1)$ par $-1$, on obtient :

$$\left\lbrace\begin{array}{rcl}-c-d&=&0\qquad(3)\\\\2c+d-1&=&0\qquad(2)\end{array}\right.$$

En additionnant, membre à membre, les équations $(3)\ $ et $\ (2)$, on trouve :

$\begin{array}{rcl}-c-d+2c+d-1=0&\Leftrightarrow&c-1=0\\\\&\Leftrightarrow&c=1\end{array}$

D'où, $\boxed{c=1}$

En remplaçant cette valeur de $c$ dans l'équation $(1)$, on obtient :

$\begin{array}{rcl}1+d=0&\Leftrightarrow&d=-1\end{array}$

D'où, $\boxed{d=-1}$

Par conséquent,

$$\boxed{f(x)=x+1+\dfrac{1}{(x+1)}-\dfrac{1}{(x+2)}}$$

Exercice 20

1) Déterminons $a\ $ et $\ b$ pour que :

$$\dfrac{1}{x(x+1)}=\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x+1}$$

On a :

$\begin{array}{rcl}\dfrac{1}{x(x+1)}=\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x+1}&\Leftrightarrow&\dfrac{1}{x(x+1)}=\dfrac{a(x+1)}{x(x+1)}+\dfrac{bx}{x(x+1)}\\\\&\Leftrightarrow&\dfrac{1}{x(x+1)}=\dfrac{a(x+1)+bx}{x(x+1)}\\\\&\Leftrightarrow&\dfrac{1}{x(x+1)}=\dfrac{ax+a+bx}{x(x+1)}\\\\&\Leftrightarrow&ax+bx+a=1\\\\&\Leftrightarrow&(a+b)x+a=1\\\\&\Leftrightarrow&(a+b)x+a-1=0\end{array}$

Donc, $\boxed{(a+b)x+a-1=0}$

Or, on sait que un polynôme est nul si, et seulement si, tous ses coefficients sont nuls.

Ce qui se traduit par :

$$\left\lbrace\begin{array}{rcl}a+b&=&0\qquad(1)\\\\a-1&=&0\qquad(2)\end{array}\right.$$

En résolvant ce système, on trouve les valeurs de $a\ $ et $\ b.$

D'après l'équation $(2)$, on trouve : $\boxed{a=1}$

En remplaçant cette de $a$, dans l'équation $(1)$, on trouve : $\boxed{b=-1}$

D'où,

$$\boxed{\dfrac{1}{x(x+1)}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}}$$

En déduire la valeur de

$$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2\times 3}+\dfrac{1}{3\times 4}+\dfrac{1}{4\times 5}+\ldots\ldots+\dfrac{1}{99\times 100}$$

En effet, d'après le résultat qui précède, on a :

$$\dfrac{1}{x(x+1)}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}$$

Alors, appliquons $99$ fois l'égalité $\dfrac{1}{x(x+1)}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}.$

Pour cela, remplaçons $x$ successivement par $1\;,\ 2\;,\ 3\;,\ldots\ldots\;,\ 99$ dans l'égalité $\dfrac{1}{x(x+1)}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}.$

On obtient :

$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} \dfrac{1}{1\times 2}&=&\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}\\\\\dfrac{1}{2\times 3}&=&\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\\\\\dfrac{1}{3\times 4}&=&\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}\\\\\dfrac{1}{4\times 5}&=&\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}\\\\\ldots&\ldots&\ldots\quad\ldots\\\\\ldots&\ldots&\ldots\quad\ldots\\\\\dfrac{1}{99\times 100}&=&\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}\end{array}\right.$$

Par suite, en additionnant membre à membre ces $99$ égalités, on obtient :

$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2\times 3}+\dfrac{1}{3\times 4}+\dfrac{1}{4\times 5}+\ldots\ldots+\dfrac{1}{99\times 100}=\require{cancel}\left(\dfrac{1}{1}-\cancel{\dfrac{1}{2}}\right)+\left(\cancel{\dfrac{1}{2}}-\cancel{\dfrac{1}{3}}\right)+\left(\cancel{\dfrac{1}{3}}-\cancel{\dfrac{1}{4}}\right)+\left(\cancel{\dfrac{1}{4}}-\cancel{\dfrac{1}{5}}\right)\ldots+\left(\cancel{\dfrac{1}{99}}-\dfrac{1}{100}\right)$

En simplifiant, on trouve :

$\begin{array}{rcl} \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2\times 3}+\dfrac{1}{3\times 4}+\dfrac{1}{4\times 5}+\ldots\ldots+\dfrac{1}{99\times 100}&=&1-\dfrac{1}{100}\\\\&=&\dfrac{100}{100}-\dfrac{1}{100}\\\\&=&\dfrac{99}{100}\\\\&=&0.99\end{array}$

D'où, $\boxed{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2\times 3}+\dfrac{1}{3\times 4}+\dfrac{1}{4\times 5}+\ldots\ldots+\dfrac{1}{99\times 100}=0.99}$

2) Déterminons $a\;,\ b\ $ et $\ c$ pour que :

$$\dfrac{1}{x(x+1)(x+2)}=\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x+1}+\dfrac{c}{x+2}$$

On a :

$\begin{array}{rcl}\dfrac{1}{x(x+1)(x+2)}=\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x+1}+\dfrac{c}{x+2}&\Leftrightarrow&\dfrac{1}{x(x+1)(x+2)}=\dfrac{a(x+1)(x+2)}{x(x+1)(x+2)}+\dfrac{bx(x+2)}{x(x+1)(x+2)}+\dfrac{cx(x+1)}{x(x+1)(x+2)}\\\\&\Leftrightarrow&\dfrac{1}{x(x+1)(x+2)}=\dfrac{a(x+1)(x+2)+bx(x+2)+cx(x+1)}{x(x+1)(x+2)}\\\\&\Leftrightarrow&\dfrac{1}{x(x+1)(x+2)}=\dfrac{ax^{2}+3ax+2a+bx^{2}+2bx+cx^{2}+cx}{x(x+1)(x+2)}\\\\&\Leftrightarrow&ax^{2}+3ax+2a+bx^{2}+2bx+cx^{2}+cx=1\\\\&\Leftrightarrow&(a+b+c)x^{2}+(3a+2b+c)x+2a=1\\\\&\Leftrightarrow&(a+b+c)x^{2}+(3a+2b+c)x+2a-1=0\end{array}$

Donc, $\boxed{(a+b+c)x^{2}+(3a+2b+c)x+2a-1=0}$

Comme un polynôme est nul si, et seulement si, tous ses coefficients sont nuls alors, on a :

$$\left\lbrace\begin{array}{rcl}a+b+c&=&0\qquad(1)\\\\3a+2b+c&=&0\qquad(2)\\\\2a-1&=&0\qquad(3)\end{array}\right.$$

En résolvant ce système, on trouve les valeurs de $a\;,\ b $ et $\ c.$

D'après l'équation $(3)$, on a : $\boxed{a=\dfrac{1}{2}}$

Remplaçons alors cette valeur de $a$ dans les équations $(1)\ $ et $\ (2)$ puis multiplions l'équation $(1)$ par $-1.$

On obtient :

$$\left\lbrace\begin{array}{rcl}-\dfrac{1}{2}-b-c&=&0\qquad(4)\\\\\dfrac{3}{2}+2b+c&=&0\qquad(2)\end{array}\right.$$

En additionnant, membre à membre, les équations $(4)\ $ et $\ (2)$, on obtient :

$\begin{array}{rcl}-\dfrac{1}{2}-b-c+\dfrac{3}{2}+2b+c=0&\Leftrightarrow&\dfrac{2}{2}+b=0\\\\&\Leftrightarrow&1+b=0\\\\&\Leftrightarrow&b=-1\end{array}$

D'où, $\boxed{b=-1}$

En remplaçant cette valeur de $c$ dans l'équation $(1)$, on trouve :

$\begin{array}{rcl}\dfrac{1}{2}-1+c=0&\Leftrightarrow&-\dfrac{1}{2}+c=0\\\\&\Leftrightarrow&c=\dfrac{1}{2}\end{array}$

D'où, $\boxed{c=\dfrac{1}{2}}$

Par conséquent,

$$\boxed{\dfrac{1}{x(x+1)(x+2)}=\dfrac{1}{2x}-\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{2(x+2)}}$$

Auteur:

Diny Faye