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Solution des exercices : Les polynômes - 2nd

Classe:

Seconde

Exercice 1

Soient les fonctions suivantes :

a) $f(x)=|-3x^{2}+5x-7|$

Soit : $P(x)=-3x^{2}+5x-7.$ On a : $\Delta=25-84=-59$

Comme $\Delta <0$ alors, $P(x)$ est toujours du signe de $(-3)$ donc, négatif.

D'où,

$\begin{array}{rcl} f(x)&=&|-3x^{2}+5x-7|\\\\&=&-(-3x^{2}+5x-7)\\\\&=&3x^{2}-5x+7\end{array}$

Par suite, $f(x)=3x^{2}-5x+7$ pour tout $x\in\mathbb{R}$

Ce qui montre que la fonction $f$ définie par $f(x)=|-3x^{2}+5x-7|$ est un polynôme

b) $f(x)=|2x^{2}-3x+1|$

Soit : $Q(x)=2x^{2}-3x+1.$ Alors, $\Delta=9-8=1$

Comme $\Delta>0$ alors, on a deux racines distinctes :

$$x_{1}=\dfrac{3-1}{4}=\dfrac{1}{2}\quad\text{et}\quad x_{2}=\dfrac{3+1}{4}=1$$

Ainsi, $Q(x)$ est positif à l'extérieur des racines, et négatif à l'intérieur des racines.

Par suite :

$$f(x)=\left\lbrace\begin{array}{rcl} 2x^{2}-3x+1&\text{si}&x\in\left]-\infty\;;\ \dfrac{1}{2}\right]\cup[1\;;\ +\infty[\\\\-2x^{2}+3x-1&\text{si}&x\in\left[\dfrac{1}{2}\;;\ 1\right]\end{array}\right.$$

On remarque que les coefficients de $f(x)$ ne sont pas constants, ils changent selon l'intervalle d'appartenance de $x.$

Par conséquent, la fonction $f$ définie par $f(x)=|2x^{2}-3x+1|$ n'est pas un polynôme.

c) $f(x)=\sqrt{x^{2}+1}$

$f(x)$ n'est pas un polynôme car $\sqrt{x^{2}+1}$ ne peut pas se mettre sous la forme $$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots\ldots+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\ \text{ avec }\ a_{n}\neq 0\ \text{ et }\ n\in\mathbb{N}$$

d) $f(x)=\sqrt{(x^{2}-2x+1)^{2}}$

On a :

$\begin{array}{rcl} f(x)&=&\sqrt{(x^{2}-2x+1)^{2}}\\\\&=&|x^{2}-2x+1|\end{array}$

Posons : $R(x)=x^{2}-2x+1.$ Soit alors, $\Delta=4-4=0$

Comme $\Delta=0$ alors, $R(x)$ est du signe de $(1)$ donc, positif.

D'où, $|x^{2}-2x+1|=x^{2}-2x+1$

Par suite, $f(x)=x^{2}-2x+1$ pour tout $x\in\mathbb{R}$

Par conséquent, la fonction $f$ définie par $f(x)=\sqrt{(x^{2}-2x+1)^{2}}$ est un polynôme.

e) $f(x)=\dfrac{x^{2}-1}{x-1}$

On a : $f(x)=\dfrac{x^{2}-1}{x-1}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}$

Donc, après simplification, on obtient : $f(x)=x+1$ qui définit bien une fonction polynôme.

Par conséquent, la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{x^{2}-1}{x-1}$ est un polynôme.

Exercice 2

Dans chacun des cas suivants vérifions que $\alpha$ est racine de $f$ puis déterminons $Q(x)$ tel que $$f(x)=(x-\alpha)Q(x)$$

a) $f(x)=2x^{3}-7x^{2}-17x+10\;,\quad\alpha=-2$

Soit :

$\begin{array}{rcl} f(\alpha)&=&2\alpha^{3}-7\alpha^{2}-17\alpha+10\\\\&=&2\times(-2)^{3}-7\times(-2)^{2}-17\times (-2)+10\\\\&=&2\times(-8)-7\times 4+34+10\\\\&=&-16-28+44\\\\&=&0\end{array}$

Donc, $\boxed{f(-2)=0}$ d'où, $\alpha=-2$ est racine de $f$

Par suite, il existe un polynôme $Q(x)$ tel que $f(x)=(x+2)Q(x)$ avec $deg\,Q=2$

On a : $f(x)$ divisible par $(x+2)$ donc, par division euclidienne, on obtient :

$$\begin{array}{l} \ \ 2x^{3}-7x^{2}-17x+10 \\ -2x^{3}-4x^{2} \\ \hline \quad 0-11x^{2}-17x+10 \\ \qquad\ \ 11x^{2}+22x \\ \hline\qquad\qquad\ 0+5x+10\\ \qquad\qquad\quad\ -5x-10 \\ \hline\qquad\qquad\qquad\qquad\ \ 0 \end{array}\ \begin{array}{|l} x+2 \\ \hline 2x^{2}-11x+5 \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\\end{array}$$

D'où, $\boxed{Q(x)=2x^{2}-11x+5}$

b) $f(x)=2x^{2}-(1+2\sqrt{3})x-1-\sqrt{3}\;,\quad\alpha=-\dfrac{1}{2}$

On a :

$\begin{array}{rcl} f(\alpha)&=&2\alpha^{2}-(1+2\sqrt{3})\alpha-1-\sqrt{3}\\\\&=&2\times\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{2}-(1+2\sqrt{3})\times\left(-\dfrac{1}{2}\right)-1-\sqrt{3}\\\\&=&\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\sqrt{3}-1-\sqrt{3}\\\\&=&1-1\\\\&=&0\end{array}$

Donc, $\boxed{f\left(-\dfrac{1}{2}\right)=0}$ ainsi, $\alpha=-\dfrac{1}{2}$ est racine de $f$

Par suite, il existe un polynôme $Q(x)$ tel que $f(x)=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)Q(x)$ avec $deg\,Q=1$

$Q(x)$ est alors de la forme : $Q(x)=ax+b$

On a :

$\begin{array}{rcl} f(x)&=&\left(x+\dfrac{1}{2}\right)Q(x)\\\\&=&\left(x+\dfrac{1}{2}\right)(ax+b)\\\\&=&ax^{2}+\dfrac{a}{2}x+bx+\dfrac{b}{2}\\\\&=&ax^{2}+\left(\dfrac{a}{2}+b\right)x+\dfrac{b}{2}\end{array}$

Donc, $2x^{2}-(1+2\sqrt{3})x-1-\sqrt{3}=ax^{2}+\left(\dfrac{a}{2}+b\right)x+\dfrac{b}{2}$

D'après la propriété sur l'égalité de deux polynômes on a :

$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} a&=&2 \\\\ \left(\dfrac{a}{2}+b\right)&=&-(1+2\sqrt{3}) \\\\\dfrac{b}{2}&=&-1-\sqrt{3} \end{array}\right.\quad\Rightarrow\quad\left\lbrace\begin{array}{rcl} a&=&2 \\ b&=&-2-2\sqrt{3} \end{array}\right.$$

D'où, $\boxed{Q(x)=2x-2-2\sqrt{3}=2(x-1-\sqrt{3})}$

c) $f(x)=4x^{3}+x^{2}-11x+6\;,\quad\alpha=1\;;\ \alpha=-2$

Soit :

$\begin{array}{rcl} f(1)&=&4\times(1)^{3}+(1)^{2}-11\times (1)+6\\\\&=&4+1-11+6\\\\&=&0\end{array}$

Donc, $\boxed{f(1)=0}$ d'où, $\alpha=1$ est racine de $f$

Aussi,

$\begin{array}{rcl} f(-2)&=&4\times(-2)^{3}+(-2)^{2}-11\times (-2)+6\\\\&=&-32+4+22+6\\\\&=&0\end{array}$

Donc, $\boxed{f(-2)=0}$ d'où, $\alpha=-2$ est racine de $f$

Par suite, il existe un polynôme $Q(x)$ tel que $f(x)=(x-1)(x+2)Q(x)$ avec $deg\,Q=1$

Soit alors $f(x)$ divisible par $(x-1)(x+2)=x^{2}+x-2$ donc, par division euclidienne, on obtient :

$$\begin{array}{l} \ \ 4x^{3}+x^{2}-11x+6 \\ -4x^{3}-4x^{2}+8x \\ \hline \quad 0-3x^{2}-3x+6 \\ \qquad\ \ 3x^{2}+3x-6 \\ \hline\qquad\qquad\qquad\qquad\ \ 0 \end{array}\ \begin{array}{|l} x^{2}+x-2 \\ \hline 4x-3 \\ \\ \\ \\ \end{array}$$

D'où, $\boxed{Q(x)=4x-3}$

Exercice 7

1) a) Trouvons un polynôme $P$ de degré $2$ tel que $$P(x)-P(x-1)=x\ \text{ et }\ P(0)=0$$

Soit : $P(x)=ax^{2}+bx+c$ avec $a\neq 0$

On a :

$\begin{array}{rcl} P(x)-P(x-1)&=&ax^{2}+bx+c-[a(x-1)^{2}+b(x-1)+c]\\\\&=&ax^{2}+bx+c-[ax^{2}-2ax+a+bx-b+c]\\\\&=&ax^{2}+bx+c-ax^{2}+2ax-a-bx+b-c\\\\&=&2ax-a+b\end{array}$

Or, $P(x)-P(x-1)=x$ donc, $2ax-a+b=x$

Ainsi, d'après la propriété sur l'égalité de deux polynômes on obtient :

$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} 2a&=&1 \\-a+b&=&0\end{array}\right.\quad\Rightarrow\quad\left\lbrace\begin{array}{rcl} a&=&\dfrac{1}{2} \\\\ b&=&\dfrac{1}{2}\end{array}\right.$$

Par suite, $P(x)=\dfrac{1}{2}x^{2}+\dfrac{1}{2}x+c$

Comme $P(0)=0\ $ alors, $c=0$

D'où, $\boxed{P(x)=\dfrac{1}{2}x^{2}+\dfrac{1}{2}x}$

b) En déduisons une expression de $$S=1+2+3+4+\ldots\ldots+12$$

Soit : $P(x)-P(x-1)=x$

En appliquant $12$ fois l'égalité $P(x)-P(x-1)=x$ en remplaçant $x$ successivement par $1\;,\ 2\;,\ 3\;,\ldots\ldots\;,\ 12$, on obtient :

$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} P(1)-P(0)&=&1\\\\P(2)-P(1)&=&2\\\\P(3)-P(2)&=&3\\\\\ldots\quad\ldots\quad\ldots&\ldots&\ldots\\\\\ldots\quad\ldots\quad\ldots&\ldots&\ldots\\\\P(12)-P(11)&=&12\end{array}\right.$$

Par addition membre à membre de ces $12$ égalités, on obtient :

$\require{cancel}(\cancel{P(1)}-P(0))+(\cancel{P(2)}-\cancel{P(1)})+(\cancel{P(3)}-\cancel{P(2)})+\ldots+(P(12)-\cancel{P(11)})=1+2+3+\ldots+12$

Puis après simplification, on trouve :

$\boxed{S=1+2+3+4+\ldots\ldots+12=P(12)-P(0)}$

On a :

$\begin{array}{rcl} P(12)-P(0)&=&\dfrac{12^{2}}{2}+\dfrac{12}{2}\\\\&=&72+6\\\\&=&78\end{array}$

Par conséquent, $\boxed{S=78}$

2) a) Trouvons un polynôme $P$ de degré $3$ tel que $$P(x)-P(x-1)=x^{2}\ \text{ et }\ P(0)=0$$

Soit : $P(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ avec $a\neq 0$ alors,

$\begin{array}{rcl} P(x)-P(x-1)&=&ax^{3}+bx^{2}+cx+d-[a(x-1)^{3}+b(x-1)^{2}+c(x-1)+d]\\\\&=&ax^{3}+bx^{2}+cx+d-[ax^{3}-3ax^{2}+3ax-a+bx^{2}-2bx+b+cx-c+d]\\\\&=&ax^{3}+bx^{2}+cx+d-ax^{3}+3ax^{2}-3ax+a-bx^{2}+2bx-b-cx+c-d\\\\&=&3ax^{2}-3ax+a+2bx-b+c\\\\&=&3ax^{2}+(2b-3a)x+a-b+c\end{array}$

Comme, $P(x)-P(x-1)=x^{2}$ alors, $3ax^{2}+(2b-3a)x+a-b+c=x^{2}$

Ainsi, d'après la propriété sur l'égalité de deux polynômes on obtient :

$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} 3a&=&1 \\2b-3a&=&0\\a-b+c&=&0\end{array}\right.\quad\Rightarrow\quad\left\lbrace\begin{array}{rcl} a&=&\dfrac{1}{3}\\\\b&=&\dfrac{1}{2}\\\\c&=&\dfrac{1}{6}\end{array}\right.$$

Par suite, $P(x)=\dfrac{1}{3}x^{3}+\dfrac{1}{2}x^{2}+\dfrac{1}{6}x+d$

$P(0)=0\ \Rightarrow\ d=0$

D'où, $\boxed{P(x)=\dfrac{1}{3}x^{3}+\dfrac{1}{2}x^{2}+\dfrac{1}{6}x}$

b) En déduisons, en fonction de $n$, une expression de $$S_{n}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots\ldots+n^{2}$$

D'après question 2) a) on a : $P(x)-P(x-1)=x^{2}$

En appliquant $n$ fois l'égalité $P(x)-P(x-1)=x^{2}$ en remplaçant $x$ successivement par $1\;,\ 2\;,\ 3\;,\ldots\ldots\;,\ n$, on obtient :

$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} P(1)-P(0)&=&1^{2}\\\\P(2)-P(1)&=&2^{2}\\\\P(3)-P(2)&=&3^{2}\\\\\ldots\quad\ldots\quad\ldots&\ldots&\ldots\\\\\ldots\quad\ldots\quad\ldots&\ldots&\ldots\\\\P(n)-P(n-1)&=&n^{2}\end{array}\right.$$

Par addition membre à membre de ces $n$ égalités, on obtient :

$\require{cancel}(\cancel{P(1)}-P(0))+(\cancel{P(2)}-\cancel{P(1)})+(\cancel{P(3)}-\cancel{P(2)})+\ldots+(P(n)-\cancel{P(n-1)})=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots+n^{2}$

En simplifiant, on trouve :

$\begin{array}{rcl} 1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots+n^{2}&=&P(n)-P(0)\\\\&=&\dfrac{1}{3}n^{3}+\dfrac{1}{2}n^{2}+\dfrac{1}{6}n-0\end{array}$

D'où, $\boxed{S_{n}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+\ldots\ldots+n^{2}=\dfrac{2n^{3}+3n^{2}+n}{6}}$

Exercice 9

Soit : $P(x)=x^{3}+2x^{2}-5x-6$

On suppose que $P(x)=0$ admet $3$ racines $\alpha\;,\ \beta\ $ et $\ \delta.$

Sans calculer ces racines ; donnons les valeurs de :

$$\alpha+\beta+\delta\;;\quad\alpha\beta\delta\;;\quad\alpha\beta+\alpha\delta+\beta\delta\;;\quad\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}+\dfrac{1}{\delta}\;;\quad\alpha^{2}+\beta^{2}+\delta^{2}$$

Comme $\alpha\;,\ \beta\ $ et $\ \delta$ sont racines distinctes de $P$ alors, $P(x)$ est factorisable par $(x-\alpha)(x-\beta)(x-\delta).$

Ainsi, il existe un polynôme $Q$ tel que :

$$P(x)=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\delta)\times Q(x)$$

$P$ étant de degré $3$ alors le polynôme $Q$ est de degré $0$, d'où : $Q(x)=a$

On a alors :

$\begin{array}{rcl} (x-\alpha)(x-\beta)(x-\delta)\times Q(x)&=&(x-\alpha)(x-\beta)(x-\delta)\times a\\\\&=&(x^{2}-\alpha x-\beta x+\alpha\beta)(x-\delta)\times a\\\\&=&a(x^{3}-\alpha x^{2}-\beta x^{2}+\alpha\beta x-\delta x^{2}+\delta\alpha x+\delta\beta x-\alpha\beta\delta)\\\\&=&ax^{3}-a(\alpha+\beta+\delta)x^{2}+a(\alpha\beta+\delta\alpha+\delta\beta)x-a\alpha\beta\delta)\end{array}$

Donc, $P(x)=ax^{3}-a(\alpha+\beta+\delta)x^{2}+a(\alpha\beta+\delta\alpha+\delta\beta)x-a\alpha\beta\delta)$

Par suite, $x^{3}+2x^{2}-5x-6=ax^{3}-a(\alpha+\beta+\delta)x^{2}+a(\alpha\beta+\delta\alpha+\delta\beta)x-a\alpha\beta\delta)$

Ainsi, d'après la propriété sur l'égalité de deux polynômes, on obtient par identification des coefficients :

$$\begin{array}{rcl}\left\lbrace\begin{array}{rcl} a&=&1\\ \\-a(\alpha+\beta+\delta)&=&2\\\\a(\alpha\beta+\delta\alpha+\delta\beta)&=&-5\\\\-a\alpha\beta\delta&=&-6\end{array}\right.&\Rightarrow&\left\lbrace\begin{array}{rcl} a&=&1\\ \\\alpha+\beta+\delta&=&-2\\\\\alpha\beta+\delta\alpha+\delta\beta&=&-5\\\\\alpha\beta\delta&=&6\end{array}\right.\end{array}$$

D'où, $\boxed{\alpha+\beta+\delta=-2\;;\quad\alpha\beta+\delta\alpha+\delta\beta=-5\;;\quad\alpha\beta\delta=6}$

En utilisant ces résultats, on peut écrire :

$\begin{array}{rcl}\dfrac{\alpha\beta+\delta\alpha+\delta\beta}{\alpha\beta\delta}&=&\dfrac{\alpha\beta}{\alpha\beta\delta}+\dfrac{\delta\alpha}{\alpha\beta\delta}+\dfrac{\delta\beta}{\alpha\beta\delta}\\\\&=&\dfrac{1}{\delta}+\dfrac{1}{\beta}+\dfrac{1}{\alpha}\end{array}$

Donc, $\dfrac{1}{\delta}+\dfrac{1}{\beta}+\dfrac{1}{\alpha}=\dfrac{\alpha\beta+\delta\alpha+\delta\beta}{\alpha\beta\delta}=-\dfrac{5}{6}$

D'où, $\boxed{\dfrac{1}{\delta}+\dfrac{1}{\beta}+\dfrac{1}{\alpha}=-\dfrac{5}{6}}$

Par ailleurs, on a :

$\begin{array}{rcl}(\alpha+\beta+\delta)^{2}=(-2)^{2}&\Leftrightarrow&\alpha^{2}+\beta^{2}+\delta^{2}+2\alpha\beta+2\alpha\delta+2\beta\delta=4\\\\&\Leftrightarrow&\alpha^{2}+\beta^{2}+\delta^{2}+2(\alpha\beta+\alpha\delta+\beta\delta)=4\\\\&\Leftrightarrow&\alpha^{2}+\beta^{2}+\delta^{2}+2(-5)=4\\\\&\Leftrightarrow&\alpha^{2}+\beta^{2}+\delta^{2}-10=4\\\\&\Leftrightarrow&\alpha^{2}+\beta^{2}+\delta^{2}=14\end{array}$

D'où, $\boxed{\alpha^{2}+\beta^{2}+\delta^{2}=14}$

Exercice 11

Soit le polynôme $f(x)$ défini par : $$f(x)=ax^{3}+bx-19x-30$$

1) Déterminons $a\ $ et $\ b$ pour que $f(x)$ soit factorisable par $(x^{2}-3x-10)$

On a : $f(x)$ factorisable par $(x^{2}-3x-10)$ alors, il existe un polynôme $Q(x)$ tel que :

$$f(x)=Q(x)\cdot(x^{2}-3x-10)$$

Par suite, les racines du polynôme $(x^{2}-3x-10)$ sont aussi racines de $f(x).$

Cherchons alors les racines du polynôme $x^{2}-3x-10$

Soit : $\Delta=(-3)^{2}-4\times(-10)\times 1=9+40=49$

On a : $x_{1}=\dfrac{3-7}{2}=\dfrac{-4}{2}=-2\ $ et $\ x_{2}=\dfrac{3+7}{2}=\dfrac{10}{2}=5$

Ainsi, $-2\ $ et $\ 5$ vérifient l'équation $f(x)=0$

Donc, en remplaçant, on obtient :

$\begin{array}{rcl}\left\lbrace\begin{array}{rcl} a\times(-2)^{3}+b\times(-2)-19\times(-2)-30&=&0 \\a\times(5)^{3}+b\times(5)-19\times(5)-30&=&0\end{array}\right.&\Rightarrow&\left\lbrace\begin{array}{rcl} -8a-2b+38-30&=&0 \\125a+5b-95-30&=&0\end{array}\right.\\\\&\Rightarrow&\left\lbrace\begin{array}{rcl} -8a-2b+8&=&0 \\125a+5b-125&=&0\end{array}\right.\\\\&\Rightarrow&\left\lbrace\begin{array}{rcl} -4a-b+4&=&0\quad(1) \\25a+b-25&=&0\quad(2)\end{array}\right.\end{array}$

Résolvons le dernier système obtenu.

Ainsi, en additionnant les équation $(1)\ $ et $\ (2)$ on obtient :

$\begin{array}{rcl} (-4a-b+4)+(25a+b-25)=0&\Rightarrow&21a-21=0\\\\&\Rightarrow&21a=21\\\\&\Rightarrow&a=\dfrac{21}{21}\\\\&\Rightarrow&a=1\end{array}$

En remplaçant la valeur de $a$ dans l'équation $(1)$, on trouve :

$\begin{array}{rcl} -4\times 1-b+4=0&\Rightarrow&-4-b+4=0\\\\&\Rightarrow&b=0\end{array}$

D'où, $\boxed{a=1\ \text{ et }\ b=0}$

Par conséquent, $f(x)=x^{3}-19x-30$

2) Résolvons dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $f(x)\geq 0$

Comme $f(x)$ est factorisable par $(x^{2}-3x-10)$ alors, il existe un polynôme $Q(x)$ tel que :

$$f(x)=Q(x)\cdot(x^{2}-3x-10)$$

Donc, $f(x)$ divisible par $(x^{2}-3x-10)$

Ainsi, par division euclidienne, on obtient :

$$\begin{array}{l} \ \ x^{3}-19x-30 \\ -x^{3}+3x^{2}+10x \\ \hline \quad 0+3x^{2}-9x-30 \\ \qquad -3x^{2}+9x+30 \\ \hline\qquad\qquad\qquad\qquad\ \ 0 \end{array}\ \begin{array}{|l} x^{2}-3x-10 \\ \hline x+3 \\ \\ \\\\ \end{array}$$

D'où, $\boxed{Q(x)=x+3}$

Ce qui donne finalement :

$$f(x)=(x+3)(x^{2}-3x-10)$$

En utilisant le tableau de signes, on obtient :

$$\begin{array}{|c|lcccccccr|} \hline x&-\infty&&-3&&-2&&5&&+\infty\\\hline(x+3)&&-&0&+&|&+&|&+&\\\hline(x^{2}-3x-10)&&+&|&+&0&-&0&+&\\\hline f(x)&&-&0&+&0&-&0&+&\\\hline\end{array}$$

D'où, l'inéquation $f(x)\geq 0$ a pour solution :

$$S=[-3\;;\ -2]\cup[5\;;\ +\infty[$$

Exercice 13

Soit le polynôme $P$ défini par $P(x)=x^{3}-x+2m$

1) Cherchons $m$ pour que $P$ soit factorisable par $(x+1)$

$P$ factorisable par $(x+1)$ alors, il existe un polynôme $Q(x)$ tel que :

$$f(x)=(x+1)\times Q(x)$$

Donc, les racines du polynôme $(x+1)$ sont aussi racines de $P.$

Or, $-1$ annule $(x+1)$ donc, $-1$ est aussi racine de $P(x).$ Ce qui signifie : $P(-1)=0$

On a alors,

$\begin{array}{rcl} P(-1)=0&\Rightarrow&(-1)^{3}-(-1)+2m=0\\\\&\Rightarrow&-1+1+2m=0\\\\&\Rightarrow&2m=0\\\\&\Rightarrow&m=0\end{array}$

Ainsi, $\boxed{m=0}$

Par suite, $$P(x)=x^{3}-x$$

2) Trouvons donc le polynôme $Q$ tel que $P(x)=(x+1)\times Q(x)$

On a : $P(x)=(x+1)\times Q(x)$

Donc, $P(x)$ divisible par $(x+1)$

Ainsi, par division euclidienne, on obtient :

$$\begin{array}{l} \ \ x^{3}-x \\ -x^{3}-x^{2} \\ \hline \quad 0-x^{2}-x \\ \qquad\ \ x^{2}+x \\ \hline\qquad\qquad\ \ 0 \end{array}\ \begin{array}{|l} x+1 \\ \hline x^{2}-x \\ \\ \\\\ \end{array}$$

D'où, $\boxed{Q(x)=x^{2}-x=x(x-1)}$

3) Pour $m=0$, résolvons dans $\mathbb{R}$

a) $P(x)=0$

On a :

$\begin{array}{rcl} P(x)=0&\Leftrightarrow&(x+1)\times Q(x)\\\\&\Leftrightarrow&(x+1)\times x(x-1)=0\\\\&\Leftrightarrow&x+1=0\quad\text{ou}\quad x=0\quad\text{ou}\quad x-1=0\\\\&\Leftrightarrow&x=-1\quad\text{ou}\quad x=0\quad\text{ou}\quad x=1\end{array}$

Par suite, $\boxed{S=\{-1\;;\ 0\;;\ 1\}}$

b) $P(x)\geq 0$

Considérons le tableau de signes suivant :

$$\begin{array}{|c|lcccccccr|} \hline x&-\infty&&-1&&0&&1&&+\infty\\\hline(x+1)&&-&0&+&|&+&|&+&\\\hline Q(x)&&+&|&+&0&-&0&+&\\\hline P(x)&&-&0&+&0&-&0&+&\\\hline\end{array}$$

La solution de l'inéquation $P(x)\geq 0$ sera alors donnée par :

$$S=[-1\;;\ 0]\cup[1\;;\ +\infty[$$

Auteur:

Diny Faye