Exercices d'entrainement types du Bac : Équations différentielles

Classe:

Terminale

Exercice 1

Résoudre les équations différentielles suivantes :

a) $2y'-3y=x^{2}+5$

b) $2y'-3y=\cos 2x+x^{2}$

c) En déduire la solution qui passe par $A\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$

Exercice 2

Soit $\mathcal{F}$ l'ensemble des applications $f$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ deux fois dérivables sur $\mathbb{R}$ tel que, pour tout réel $x$ on ait $f''(x)+f(x)=x^{3}+2$

1) Démontrer qu'il existe une fonction polynôme $\mathrm{P}$ du quatrième degré telle que la fonction $f_{0}:x\longmapsto \mathrm{P}(x)\mathrm{e}^{-x}$ appartient à $\mathcal{F}$

2) Résolvez l'équation différentielle $(\mathbf{E}): y''+2y'+y=0$

3) Soit $g$ une fonction deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$. Montrer que $g$ appartient à $\mathcal{F}$ si et seulement si $g-f$ est solution de $(\mathbf{E})$.

4) Déduisez-en l'ensemble $\mathcal{F}$.

Exercice 3

Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$, à valeurs réelles, deux fois dérivables telle que, pour tout réel $x$, on ait $f''(x)-f(-x)=x$. On pose $g(x)=f'(x)+f(-x)$ et $h(x)=f(x)-f(-x)-2x$.

1) a) Calculer, à l'aide de $f$ et de ses dérivées $f'$ et $f''$, les dérivées premières et secondes de $h$ et de $g$.

b) Déduisez-en que les fonctions $h$ et $g$ vérifient les équations différentielles : $$g''=g \qquad (1)$$

$$h''=-h \qquad (2)$$

2) Déterminer l'ensemble des fonctions paires solutions de (1) et l'ensemble des fonctions impaires solutions de (2).

3) Exprimer $f$ en fonction de $g$ et de $h$. Déduisez de ce qui précède qu'il existe 2 constantes réelles $\lambda$ et $\mu$ telles que, pour tout élément $x$ de $\mathbb{R}$, on ait $f(x)=\lambda(\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x})+\mu\sin x+x$.

Inverser une telle fonction. Est-elle solution du problème posé ?

Exercice 4

On considère l'équation différentielle $(\mathbf{E}) : y'-2y=\mathrm{e}^{2x}$.

1) Démontrer que la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x\mathrm{e}^{2x}$ est une solution de $\mathbf{E}$.

2) Résoudre l'équation différentielle $(\mathbf{E}') : y'-2y=\mathrm{e}^{2x}$.

3) Démontrer qu'une fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ est solution de $(\mathbf{E})$ si, et seulement si, $g-f$ est solution de $(\mathbf{E}')$.

4) En déduire toutes les solutions de $(\mathbf{E})$.

5) Déterminer la fonction solution de $(\mathbf{E})$, qui prend la valeur 1 en 0.

Exercice 5

$(\mathbf{E})$ est l'équation différentielle $y''-4y'+3y=0$

1) Montrer que $(\mathbf{E})$ possède deux solutions particulières de la forme $x\longmapsto\mathrm{e}^{rx}$ où $r$ est un réel.

2) a) Montrer que les fonctions $\varphi_{(a,\ b)}\ :\ \longmapsto a\mathrm{e}^{x}+b\mathrm{e}^{3x}$, $a$ et $b$ étant deux réels quelconques, sont solutions de $(\mathbf{E})$.

b) Déterminer $(a,\ b)$ pour que $\varphi_{(a,\ b)}$ vérifie les deux conditions suivantes : $$\varphi_{(a,\ b)}(0)=1\ \mbox{et}\ \varphi_{(a,\ b)}'(0)=-1$$

3) $\varphi$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $\varphi(x)=2\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{3x}$. Déterminer le réel $k$ tel que $\varphi$ soit solution de l'équation différentielle $(\mathbf{E}_{1})\ :\ y''+3y'-4y=k\mathrm{e}^{3x}$.

Exercice 6

On veut étudier la fonction $\varphi$ dérivable sur $\mathbb{R}$ solution de l'équation différentielle $(\mathbf{E})\ :\ y'=2y+2x+1$ ont la dérivée s'annule en 1.

1) Montrer qu'il existe une fonction affine, notée $f_{0}$, solution de $(\mathbf{E})$.

2) Montrer que $f$ est solution de $(\mathbf{E})$ si et seulement si $(f-f_{0})$ est solution de l'équation différentielle $(\mathbf{E}_{1})\ :\ y'=2y$.

3) Résoudre $(\mathbf{E}_{1})$ et en déduire l'ensemble solution de $(\mathbf{E})$.

4) Déterminer $\varphi$ et établir son tableau de variation.

Exercice 7

1) Résoudre l'équation différentielle $(\mathbf{E})\ :\ y'-2y=0$.

2) Donner la solution $f$ de $(\mathbf{E})$ dont la courbe représentative $\mathbf{C}$ dans un repère donné passe par le point $A(1,\ -2)$.

3) Étudier $f$ et tracer $\mathbf{C}$.

4) Donner la solution $g$ de l'équation différentielle $(\mathbf{E}')\ :\ y'=2y+4$ dont la courbe représentative $\Gamma$ possède une tangente parallèle à la droite $\Delta$ d'équation $y=x$ en son point d'abscisse 1.

5) $(\mathbf{E}'')$ est l'équation différentielle : $y'=2y+4x+6+\dfrac{1}{x}-2\ln x$.

a) Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que la fonction $\varphi\ :\ x\longmapsto ax+b+\ln x$ soit solution particulière de $(\mathbf{E}'')$.

b) Démontrer que la fonction $h$ est solution de $(\mathbf{E}'')$ si et seulement si la fonction $h-\varphi$ est solution de $(\mathbf{E})$.

c) En déduire l'ensemble des solutions de $(\mathbf{E}'')$.

d) Vérifier que la solution de l'équation différentielle $(\mathbf{E}'')$ dont la courbe représentative $\mathcal{C}$ dans un repère donné passe par le point $A(1,\ -2)$ est la fonction $\Psi\ :\ x\longmapsto -2x-4+\ln x+4\mathrm{e}^{2x-2}$.

6) a) Calculer $\Psi'(x)$, $\Psi''(x)$ puis $\Psi'''(x)$. En déduire le sens de variation de la fonction $\Psi'$.

b) Vérifier que $\Psi'(x)=\dfrac{1-2x}{x}+8\mathrm{e}^{2x-2}$.

En déduire que pour tout réel de l'intervalle $]0;\ 0.5]$, $\Psi'(x)>0$.

c) Dresser alors le tableau de variation de $\Psi$ et calculer $$\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\Psi(x)}{x}$$ Construire $\mathcal{C}$.

Exercice 8

Montrer que la fonction $\tau\ :\ x\longmapsto 2\mathrm{e}^{2x}-4\mathrm{e}^{-3x}+\ln (x^{2}+1)$ est solution de l'équation différentielle $$(\mathbf{E})\ :\ y''+y'-6y=\dfrac{2(x^{3}-x^{2}+x+1)}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}-6\ln (x^{2}+1)$$