Exercices d'entrainement types du Bac : Équations différentielles
Classe:
Terminale
Exercice 1
Résoudre les équations différentielles suivantes :
a) 2y′−3y=x2+5
b) 2y′−3y=cos2x+x2
c) En déduire la solution qui passe par A(01)
Exercice 2
Soit F l'ensemble des applications f de R dans R deux fois dérivables sur R tel que, pour tout réel x on ait f″(x)+f(x)=x3+2
1) Démontrer qu'il existe une fonction polynôme P du quatrième degré telle que la fonction f0:x⟼P(x)e−x appartient à F
2) Résolvez l'équation différentielle (E):y″+2y′+y=0
3) Soit g une fonction deux fois dérivable sur R. Montrer que g appartient à F si et seulement si g−f est solution de (E).
4) Déduisez-en l'ensemble F.
Exercice 3
Soit f une fonction définie sur R, à valeurs réelles, deux fois dérivables telle que, pour tout réel x, on ait f″(x)−f(−x)=x. On pose g(x)=f′(x)+f(−x) et h(x)=f(x)−f(−x)−2x.
1) a) Calculer, à l'aide de f et de ses dérivées f′ et f″, les dérivées premières et secondes de h et de g.
b) Déduisez-en que les fonctions h et g vérifient les équations différentielles : g″=g(1)
h″=−h(2)
2) Déterminer l'ensemble des fonctions paires solutions de (1) et l'ensemble des fonctions impaires solutions de (2).
3) Exprimer f en fonction de g et de h. Déduisez de ce qui précède qu'il existe 2 constantes réelles λ et μ telles que, pour tout élément x de R, on ait f(x)=λ(ex+e−x)+μsinx+x.
Inverser une telle fonction. Est-elle solution du problème posé ?
Exercice 4
On considère l'équation différentielle (E):y′−2y=e2x.
1) Démontrer que la fonction f définie sur R par f(x)=xe2x est une solution de E.
2) Résoudre l'équation différentielle (E′):y′−2y=e2x.
3) Démontrer qu'une fonction g définie sur R est solution de (E) si, et seulement si, g−f est solution de (E′).
4) En déduire toutes les solutions de (E).
5) Déterminer la fonction solution de (E), qui prend la valeur 1 en 0.
Exercice 5
(E) est l'équation différentielle y″−4y′+3y=0
1) Montrer que (E) possède deux solutions particulières de la forme x⟼erx où r est un réel.
2) a) Montrer que les fonctions φ(a, b) : ⟼aex+be3x, a et b étant deux réels quelconques, sont solutions de (E).
b) Déterminer (a, b) pour que φ(a, b) vérifie les deux conditions suivantes : φ(a, b)(0)=1 et φ′(a, b)(0)=−1
3) φ est la fonction définie sur R par φ(x)=2ex−e3x. Déterminer le réel k tel que φ soit solution de l'équation différentielle (E1) : y″+3y′−4y=ke3x.
Exercice 6
On veut étudier la fonction φ dérivable sur R solution de l'équation différentielle (E) : y′=2y+2x+1 ont la dérivée s'annule en 1.
1) Montrer qu'il existe une fonction affine, notée f0, solution de (E).
2) Montrer que f est solution de (E) si et seulement si (f−f0) est solution de l'équation différentielle (E1) : y′=2y.
3) Résoudre (E1) et en déduire l'ensemble solution de (E).
4) Déterminer φ et établir son tableau de variation.
Exercice 7
1) Résoudre l'équation différentielle (E) : y′−2y=0.
2) Donner la solution f de (E) dont la courbe représentative C dans un repère donné passe par le point A(1, −2).
3) Étudier f et tracer C.
4) Donner la solution g de l'équation différentielle (E′) : y′=2y+4 dont la courbe représentative Γ possède une tangente parallèle à la droite Δ d'équation y=x en son point d'abscisse 1.
5) (E″) est l'équation différentielle : y′=2y+4x+6+1x−2lnx.
a) Déterminer deux réels a et b tels que la fonction φ : x⟼ax+b+lnx soit solution particulière de (E″).
b) Démontrer que la fonction h est solution de (E″) si et seulement si la fonction h−φ est solution de (E).
c) En déduire l'ensemble des solutions de (E″).
d) Vérifier que la solution de l'équation différentielle (E″) dont la courbe représentative C dans un repère donné passe par le point A(1, −2) est la fonction Ψ : x⟼−2x−4+lnx+4e2x−2.
6) a) Calculer Ψ′(x), Ψ″(x) puis Ψ‴(x). En déduire le sens de variation de la fonction Ψ′.
b) Vérifier que Ψ′(x)=1−2xx+8e2x−2.
En déduire que pour tout réel de l'intervalle ]0; 0.5], Ψ′(x)>0.
c) Dresser alors le tableau de variation de Ψ et calculer lim Construire \mathcal{C}.
Exercice 8
Montrer que la fonction \tau\ :\ x\longmapsto 2\mathrm{e}^{2x}-4\mathrm{e}^{-3x}+\ln (x^{2}+1) est solution de l'équation différentielle (\mathbf{E})\ :\ y''+y'-6y=\dfrac{2(x^{3}-x^{2}+x+1)}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}-6\ln (x^{2}+1)
Exercice 9
Soit l'équation différentielle (E)\ :\ xy'+y=\dfrac{1}{1-x^{2}}\;;\quad x\in[0,\ 1[
1) Résoudre (E).
2) En déduire la solution f de (E) telle que f(0)=0.
Exercice 10
On considère l'équation différentielle suivante (E)\ :\ y'-\dfrac{2x}{1+x^{2}}y=\arctan x
1) Intégrer l'équation différentielle (E).
2) En déduire la solution f de (E) telle que f(0)=0.
Commentaires
Anonyme (non vérifié)
jeu, 06/13/2024 - 15:31
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Anonyme (non vérifié)
jeu, 06/13/2024 - 15:32
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Anonyme (non vérifié)
sam, 03/15/2025 - 00:44
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Bien
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