Exercices d'entrainement types du Bac : Équations différentielles

Classe: 
Terminale

Exercice 1

Résoudre les équations différentielles suivantes :
 
a) 2y3y=x2+5
 
b) 2y3y=cos2x+x2
 
c) En déduire la solution qui passe par A(01)

Exercice 2

Soit F l'ensemble des applications f de R dans R deux fois dérivables sur R tel que, pour tout réel x on ait f(x)+f(x)=x3+2
 
1) Démontrer qu'il existe une fonction polynôme P du quatrième degré telle que la fonction f0:xP(x)ex appartient à F
 
2) Résolvez l'équation différentielle (E):y+2y+y=0
 
3) Soit g une fonction deux fois dérivable sur R. Montrer que g appartient à F si et seulement si gf est solution de (E).
 
4) Déduisez-en l'ensemble F.

Exercice 3

Soit f une fonction définie sur R, à valeurs réelles, deux fois dérivables telle que, pour tout réel x, on ait f(x)f(x)=x. On pose g(x)=f(x)+f(x) et h(x)=f(x)f(x)2x.
 
1) a) Calculer, à l'aide de f et de ses dérivées f et f, les dérivées premières et secondes de h et de g.
 
b) Déduisez-en que les fonctions h et g vérifient les équations différentielles : g=g(1)
h=h(2)
 
2) Déterminer l'ensemble des fonctions paires solutions de (1) et l'ensemble des fonctions impaires solutions de (2).
 
3) Exprimer f en fonction de g et de h. Déduisez de ce qui précède qu'il existe 2 constantes réelles λ et μ telles que, pour tout élément x de R, on ait f(x)=λ(ex+ex)+μsinx+x.
Inverser une telle fonction. Est-elle solution du problème posé ?

Exercice 4

On considère l'équation différentielle (E):y2y=e2x.
 
1) Démontrer que la fonction f définie sur R par f(x)=xe2x est une solution de E.
 
2) Résoudre l'équation différentielle (E):y2y=e2x.
 
3) Démontrer qu'une fonction g définie sur R est solution de (E) si, et seulement si, gf est solution de (E).
 
4) En déduire toutes les solutions de (E).
 
5) Déterminer la fonction solution de (E), qui prend la valeur 1 en 0.

Exercice 5

(E) est l'équation différentielle y4y+3y=0
 
1) Montrer que (E) possède deux solutions particulières de la forme xerxr est un réel.
 
2) a) Montrer que les fonctions φ(a, b) : aex+be3x, a et b étant deux réels quelconques, sont solutions de (E).
 
b) Déterminer (a, b) pour que φ(a, b) vérifie les deux conditions suivantes : φ(a, b)(0)=1 et φ(a, b)(0)=1
 
3) φ est la fonction définie sur R par φ(x)=2exe3x. Déterminer le réel k tel que φ soit solution de l'équation différentielle (E1) : y+3y4y=ke3x.

Exercice 6

On veut étudier la fonction φ dérivable sur R solution de l'équation différentielle (E) : y=2y+2x+1 ont la dérivée s'annule en 1.
 
1) Montrer qu'il existe une fonction affine, notée f0, solution de (E).
 
2) Montrer que f est solution de (E) si et seulement si (ff0) est solution de l'équation différentielle (E1) : y=2y.
 
3) Résoudre (E1) et en déduire l'ensemble solution de (E).
 
4) Déterminer φ et établir son tableau de variation.

Exercice 7

1) Résoudre l'équation différentielle (E) : y2y=0.
 
2) Donner la solution f de (E) dont la courbe représentative C dans un repère donné passe par le point A(1, 2).
 
3) Étudier f et tracer C.
 
4) Donner la solution g de l'équation différentielle (E) : y=2y+4 dont la courbe représentative Γ possède une tangente parallèle à la droite Δ d'équation y=x en son point d'abscisse 1.
 
5) (E) est l'équation différentielle : y=2y+4x+6+1x2lnx.
 
a) Déterminer deux réels a et b tels que la fonction φ : xax+b+lnx soit solution particulière de (E).
 
b) Démontrer que la fonction h est solution de (E) si et seulement si la fonction hφ est solution de (E).
 
c) En déduire l'ensemble des solutions de (E).
 
d) Vérifier que la solution de l'équation différentielle (E) dont la courbe représentative C dans un repère donné passe par le point A(1, 2) est la fonction Ψ : x2x4+lnx+4e2x2.
 
6) a) Calculer Ψ(x), Ψ(x) puis Ψ(x). En déduire le sens de variation de la fonction Ψ.
 
b) Vérifier que Ψ(x)=12xx+8e2x2.
 
En déduire que pour tout réel de l'intervalle ]0; 0.5], Ψ(x)>0.
 
c) Dresser alors le tableau de variation de Ψ et calculer limx+Ψ(x)x Construire C.

Exercice 8

Montrer que la fonction τ : x2e2x4e3x+ln(x2+1) est solution de l'équation différentielle (E) : y+y6y=2(x3x2+x+1)(x2+1)26ln(x2+1)

Exercice 9

Soit l'équation différentielle (E) : xy+y=11x2;x[0, 1[
 
1) Résoudre (E).
 
2) En déduire la solution f de (E) telle que f(0)=0.

Exercice 10

On considère l'équation différentielle suivante (E) : y2x1+x2y=arctanx
 
1) Intégrer l'équation différentielle (E).
 
2) En déduire la solution f de (E) telle que f(0)=0.
 

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