Exercices d'entrainement types du Bac : Équations différentielles

Classe:

Terminale

Exercice 1

Résoudre les équations différentielles suivantes :

a)

$2y'-3y=x^{2}+5$

b)

$2y'-3y=\cos 2x+x^{2}$

c) En déduire la solution qui passe par

$A\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$

Exercice 2

Soit

$\mathcal{F}$ l'ensemble des applications

$f$ de

$\mathbb{R}$ dans

$\mathbb{R}$ deux fois dérivables sur

$\mathbb{R}$ tel que, pour tout réel

$x$ on ait

$f''(x)+f(x)=x^{3}+2$

1) Démontrer qu'il existe une fonction polynôme

$\mathrm{P}$ du quatrième degré telle que la fonction

$f_{0}:x\longmapsto \mathrm{P}(x)\mathrm{e}^{-x}$ appartient à

$\mathcal{F}$

2) Résolvez l'équation différentielle

$(\mathbf{E}): y''+2y'+y=0$

3) Soit

$g$ une fonction deux fois dérivable sur

$\mathbb{R}$ . Montrer que

$g$ appartient à

$\mathcal{F}$ si et seulement si

$g-f$ est solution de

$(\mathbf{E})$ .

4) Déduisez-en l'ensemble

$\mathcal{F}$ .

Exercice 3

Soit

$f$ une fonction définie sur

$\mathbb{R}$ , à valeurs réelles, deux fois dérivables telle que, pour tout réel

$x$ , on ait

$f''(x)-f(-x)=x$ . On pose

$g(x)=f'(x)+f(-x)$ et

$h(x)=f(x)-f(-x)-2x$ .

1) a) Calculer, à l'aide de

$f$ et de ses dérivées

$f'$ et

$f''$ , les dérivées premières et secondes de

$h$ et de

$g$ .

b) Déduisez-en que les fonctions

$h$ et

$g$ vérifient les équations différentielles :

$g''=g \qquad (1)$

$h''=-h \qquad (2)$

2) Déterminer l'ensemble des fonctions paires solutions de (1) et l'ensemble des fonctions impaires solutions de (2).

3) Exprimer

$f$ en fonction de

$g$ et de

$h$ . Déduisez de ce qui précède qu'il existe 2 constantes réelles

$\lambda$ et

$\mu$ telles que, pour tout élément

$x$ de

$\mathbb{R}$ , on ait

$f(x)=\lambda(\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x})+\mu\sin x+x$ .

Inverser une telle fonction. Est-elle solution du problème posé ?

Exercice 4

On considère l'équation différentielle

$(\mathbf{E}) : y'-2y=\mathrm{e}^{2x}$ .

1) Démontrer que la fonction

$f$ définie sur

$\mathbb{R}$ par

$f(x)=x\mathrm{e}^{2x}$ est une solution de

$\mathbf{E}$ .

2) Résoudre l'équation différentielle

$(\mathbf{E}') : y'-2y=\mathrm{e}^{2x}$ .

3) Démontrer qu'une fonction

$g$ définie sur

$\mathbb{R}$ est solution de

$(\mathbf{E})$ si, et seulement si,

$g-f$ est solution de

$(\mathbf{E}')$ .

4) En déduire toutes les solutions de

$(\mathbf{E})$ .

5) Déterminer la fonction solution de

$(\mathbf{E})$ , qui prend la valeur 1 en 0.

Exercice 5

$(\mathbf{E})$ est l'équation différentielle

$y''-4y'+3y=0$

1) Montrer que

$(\mathbf{E})$ possède deux solutions particulières de la forme

$x\longmapsto\mathrm{e}^{rx}$ où

$r$ est un réel.

2) a) Montrer que les fonctions

$\varphi_{(a,\ b)}\ :\ \longmapsto a\mathrm{e}^{x}+b\mathrm{e}^{3x}$ ,

$a$ et

$b$ étant deux réels quelconques, sont solutions de

$(\mathbf{E})$ .

b) Déterminer

$(a,\ b)$ pour que

$\varphi_{(a,\ b)}$ vérifie les deux conditions suivantes :

$\varphi_{(a,\ b)}(0)=1\ \mbox{et}\ \varphi_{(a,\ b)}'(0)=-1$

3)

$\varphi$ est la fonction définie sur

$\mathbb{R}$ par

$\varphi(x)=2\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{3x}$ . Déterminer le réel

$k$ tel que

$\varphi$ soit solution de l'équation différentielle

$(\mathbf{E}_{1})\ :\ y''+3y'-4y=k\mathrm{e}^{3x}$ .

Exercice 6

On veut étudier la fonction

$\varphi$ dérivable sur

$\mathbb{R}$ solution de l'équation différentielle

$(\mathbf{E})\ :\ y'=2y+2x+1$ ont la dérivée s'annule en 1.

1) Montrer qu'il existe une fonction affine, notée

$f_{0}$ , solution de

$(\mathbf{E})$ .

2) Montrer que

$f$ est solution de

$(\mathbf{E})$ si et seulement si

$(f-f_{0})$ est solution de l'équation différentielle

$(\mathbf{E}_{1})\ :\ y'=2y$ .

3) Résoudre

$(\mathbf{E}_{1})$ et en déduire l'ensemble solution de

$(\mathbf{E})$ .

4) Déterminer

$\varphi$ et établir son tableau de variation.

Exercice 7

1) Résoudre l'équation différentielle

$(\mathbf{E})\ :\ y'-2y=0$ .

2) Donner la solution

$f$ de

$(\mathbf{E})$ dont la courbe représentative

$\mathbf{C}$ dans un repère donné passe par le point

$A(1,\ -2)$ .

3) Étudier

$f$ et tracer

$\mathbf{C}$ .

4) Donner la solution

$g$ de l'équation différentielle

$(\mathbf{E}')\ :\ y'=2y+4$ dont la courbe représentative

$\Gamma$ possède une tangente parallèle à la droite

$\Delta$ d'équation

$y=x$ en son point d'abscisse 1.

5)

$(\mathbf{E}'')$ est l'équation différentielle :

$y'=2y+4x+6+\dfrac{1}{x}-2\ln x$ .

a) Déterminer deux réels

$a$ et

$b$ tels que la fonction

$\varphi\ :\ x\longmapsto ax+b+\ln x$ soit solution particulière de

$(\mathbf{E}'')$ .

b) Démontrer que la fonction

$h$ est solution de

$(\mathbf{E}'')$ si et seulement si la fonction

$h-\varphi$ est solution de

$(\mathbf{E})$ .

c) En déduire l'ensemble des solutions de

$(\mathbf{E}'')$ .

d) Vérifier que la solution de l'équation différentielle

$(\mathbf{E}'')$ dont la courbe représentative

$\mathcal{C}$ dans un repère donné passe par le point

$A(1,\ -2)$ est la fonction

$\Psi\ :\ x\longmapsto -2x-4+\ln x+4\mathrm{e}^{2x-2}$ .

6) a) Calculer

$\Psi'(x)$ ,

$\Psi''(x)$ puis

$\Psi'''(x)$ . En déduire le sens de variation de la fonction

$\Psi'$ .

b) Vérifier que

$\Psi'(x)=\dfrac{1-2x}{x}+8\mathrm{e}^{2x-2}$ .

En déduire que pour tout réel de l'intervalle

$]0;\ 0.5]$ ,

$\Psi'(x)>0$ .

c) Dresser alors le tableau de variation de

$\Psi$ et calculer

$\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\Psi(x)}{x}$ Construire

$\mathcal{C}$ .

Exercice 8

Montrer que la fonction

$\tau\ :\ x\longmapsto 2\mathrm{e}^{2x}-4\mathrm{e}^{-3x}+\ln (x^{2}+1)$ est solution de l'équation différentielle

$(\mathbf{E})\ :\ y''+y'-6y=\dfrac{2(x^{3}-x^{2}+x+1)}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}-6\ln (x^{2}+1)$

Exercice 9

Soit l'équation différentielle

$(E)\ :\ xy'+y=\dfrac{1}{1-x^{2}}\;;\quad x\in[0,\ 1[$

1) Résoudre

$(E)$ .

2) En déduire la solution

$f$ de

$(E)$ telle que

$f(0)=0$ .

Exercice 10

On considère l'équation différentielle suivante

$(E)\ :\ y'-\dfrac{2x}{1+x^{2}}y=\arctan x$

1) Intégrer l'équation différentielle

$(E)$ .

2) En déduire la solution

$f$ de

$(E)$ telle que

$f(0)=0$ .

Commentaires

Anonyme (non vérifié)

jeu, 06/13/2024 - 15:31

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Anonyme (non vérifié)

jeu, 06/13/2024 - 15:32

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Anonyme (non vérifié)

sam, 03/15/2025 - 00:44

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