Solutions des exercices : Équations et Inéquations du second degré - 2nd

a) $x^{2}+2x=(x+2)^{2}-1\;;\qquad$ b) $x^{2}+6x=(x+3)^{2}-9$

 

c) $x^{2}-x=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^{2}-\dfrac{1}{4}\;;\qquad$ d) $x^{2}-4x=(x-2)^{2}-4$

 

e) $x^{2}+3x=\left(x+\dfrac{3}{2}\right)^{2}-\dfrac{9}{4}\;;\qquad$ f) $x^{2}-\dfrac{1}{2}x=\left(x-\dfrac{1}{4}\right)^{2}-\dfrac{1}{16}$

a) $(x+1)^{2}+2\qquad$ b) $(x-2)^{2}+4$

 

c) $\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^{2}-\dfrac{81}{4}\qquad$ d) $2\left[(x+1)^{2}-\dfrac{9}{2}\right]$

 

e) $4\left[\left(x+\dfrac{1}{4}\right)^{2}-\dfrac{13}{16}\right]\qquad$ f) $-\left[\left(x+\dfrac{1}{4}\right)^{2}-\dfrac{49}{16}\right]$

 

g) $-\left[(x-2)^{2}-\dfrac{49}{16}\right]\qquad$ h) $-3[(x+1)^{2}-6]$

a) $S=\left\{0\;;\ -\dfrac{5}{2}\right\}\qquad$ b) $S=\left\{0\;;\ \dfrac{49}{2}\right\}$

 

c) L'équation équivaut à : $(x+5)^{2}-4(x+5)=0$, soit à : 

 

$(x+5)[(x+5)-4]=0\;,\quad S=\{-5\;;\ -1\}$ 

 

d) L'équation équivaut à : $(x+5)(x-5)+3(x+5)=0$, soit à : 

 

$(x+5)[(x-5)+3]=0\;,\quad S=\{-5\;;\ 2\}$

 

e) $S=\left\{-\dfrac{9}{2}\;;\ \dfrac{9}{2}\right\}$ 

 

f) L'équation équivaut à : $[(x-9)-7][(x-9)+7]=0$, 

 

soit à : $(x-16)(x-2)=0\;,\quad S=\{16\;;\ 2\}$

 

g) L'équation équivaut à : $[(3x-7)-2(x+1)][(3x-7)+2(x+1)]=0$,

 

soit à : $(x-9)(5x-6)=0\;,\quad S=\left\{9\;;\ \dfrac{6}{5}\right\}$

a) $S=\{6\}\qquad$ b) $S=\left\{-\dfrac{3}{2}\right\}$

 

c) $S=\left\{-1\;;\ \dfrac{7}{2}\right\}\qquad$ d) $S=\left\{3\;;\ 2\right\}$

 

e) $S=\left\{-1\;;\ \dfrac{4}{3}\right\}\qquad$ f) $S=\left\{\dfrac{1}{3}\;;\ 3\right\}$

 

g) $S=\left\{-8\;;\ 2\right\}\qquad$ h) $S=\emptyset$

 

i) $S=\left\{-1\;;\ 4\right\}\qquad$ j) $S=\left\{15\;;\ 7\right\}$

 

k) $S=\left\{-\dfrac{17}{5}\;;\ 2\right\}\qquad$ l) $S=\left\{\dfrac{3}{2}\;;\ 1\right\}$

 

m) $S=\left\{5\;;\ 1\right\}\qquad$ n) $S=\left\{-1\;;\ 3\right\}$

 

o) $S=\left\{\dfrac{9-\sqrt{41}}{2}\;;\ \dfrac{9+\sqrt{41}}{2}\right\}\qquad$ p) $S=\left\{2\;;\ -1\right\}$

 

q) $S=\left\{-2\sqrt{2}\;;\ \sqrt{2}\right\}\qquad$ r) $S=\left\{\sqrt{3}\right\}$

 

s) $S=\left\{-1-\sqrt{2}\;;\ 1-\sqrt{2}\right\}\qquad$ t) $S=\left\{\dfrac{\sqrt{5}}{2}\right\}$ 

 

u) $\Delta=1\;;\ S=\left\{2-\sqrt{2}\;;\ 1-\sqrt{2}\right\}$ 

 

v) Après développement du premier membre, l'équation se réduit à : 

 

$3x^{2}+10x+3=0\;,\quad S=\left\{-\dfrac{1}{3}\;;\ -3\right\}$

1) On a $\Delta=b^{2}-4ac=(2b')^{2}-4ac=4(b'^{2}-ac)=4\Delta'.$ Donc $\Delta$ et $\Delta'$ ont même signe, de sorte que :

 

$-\ $ si $\Delta'<0$, alors $\Delta<0$ et $(E)$ n'a pas de solution réelle.

 

$-\ $ si $\Delta'=0$, alors $\Delta=0$ et $(E)$ a une solution double $x_{0}=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{2b'}{2a}=-\dfrac{b'}{a}$

 

$-\ $ si $\Delta'>0$, alors $\Delta>0$ et $(E)$ a deux solutions : $$x'=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-2b'-\sqrt{4\Delta'}}{2a}=\dfrac{-2b'-2\sqrt{\Delta'}}{2a}=\dfrac{-b'-\sqrt{\Delta'}}{a}$$ et $$\ x''=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-2b'+\sqrt{4\Delta'}}{2a}=\dfrac{-2b'+2\sqrt{\Delta'}}{2a}=\dfrac{-b'+\sqrt{\Delta'}}{a}$$

 

2) a) $\Delta'=1\;,\ S=\left\{-7\;;\ -5\right\}\qquad$ b) $\Delta'=-1\;,\ S=\emptyset$

 

c) $\Delta'=2\;,\ S=\left\{5-\sqrt{2}\;;\ 5+\sqrt{2}\right\}\qquad$ d) $\Delta'=0\;,\ S=\left\{\dfrac{3}{2}\right\}$

 

e) $\Delta'=25\;,\ S=\left\{\sqrt{3}-5\;;\ \sqrt{3}+5\right\}\qquad$ f) $\Delta'=\dfrac{7}{9}\;,\ S=\left\{\dfrac{-2-2\sqrt{7}}{9}\;;\ \dfrac{-2+2\sqrt{7}}{9}\right\}$

1) L'équation est du second degré si et seulement si le coefficient de $x^{2}$, c'est-à-dire $(m-1)$, est non nul. Donc $E=\mathbb{R}\setminus\{1\}.$

 

2) a) $\Delta=12m-6.$ L'équation n'a pas de solution si et seulement si $\Delta<0$, c'est-à-dire si et seulement si : $m<\dfrac{1}{2}$

 

b) L'équation a une solution double si et seulement si $\Delta=0\ \Leftrightarrow\ m=\dfrac{1}{2}.$

 

c) L'équation a deux solutions distinctes si et seulement si $\Delta>0\ \Leftrightarrow\ m>\dfrac{1}{2}.$

$$S=\left\{\dfrac{-m-\sqrt{3m-2}}{m-1}\;;\ \dfrac{-m+\sqrt{3m-2}}{m-1}\right\}$$

 

3) Nous présentons les résultats sous la forme d'un tableau. On a les ensembles de solutions suivants dans les cas où $m\in E$ (deux solutions) :

 

a) $S=\left\{m+1\;;\ m\right\}\qquad$ b) $S=\left\{-1\;;\ 2m+3\right\}$

 

c) $S=\left\{1\;;\ \dfrac{2-3m}{m}\right\}\qquad$ d) $S=\left\{\dfrac{-1-\sqrt{m}}{m+1}\;;\ \dfrac{-1+\sqrt{m}}{m+1}\right\}$

 

e) $S=\left\{\dfrac{2m+1}{m}\;;\ \dfrac{1}{m}\right\}$

 

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline\text{Equation}&E&\Delta&\Delta>0&\Delta=0&\Delta<0 \\ & & &(2\text{ solutions})&(1\text{ solution})&(\text{pas de} \\ & & & & &\text{solution})\\ \hline a)&\mathbb{R}&1&\text{Pour tout }m&\text{Jamais}&\text{Jamais} \\ \hline b)&\mathbb{R}&(m+2)^{2}&m\neq -2&m=-2&\text{Jamais} \\ \hline c)&\mathbb{R}\setminus\{0\}&(2m-1)^{2}&m\neq\dfrac{1}{2}&m=\dfrac{1}{2}&\text{Jamais} \\ \hline d)&m\neq -1&m(m+1)^{2}&m>0&m=0\text{ ou}&m<0 \\ & & & &m=-1& \\ \hline e)&m\neq 0&m^{4}&m\neq 0&m=0&\text{Jamais} \\ \hline \end{array}$$

1) Pour les équations avec valeurs absolues, il convient de faire un tableau :

 

a) $$\begin{array}{|c|lcccr|}\hline x&-\infty& &0& &+\infty \\ \hline x^{2}-2|x|-3& &x^{2}+2x-3&|&x^{2}-2x-3& \\ \hline\text{Equation}& &x^{2}+2x-3=0&|&x^{2}-2x-3=0& \\ \hline\text{Solutions}& &1\ \text{ et }\ -3&|&-1\ \text{ et }\ 3& \\ \hline\end{array}$$

On conclut que : $S=\{-3\;;\ 3\}$

 

b) $$\begin{array}{|c|lcccr|}\hline x&-\infty& &5/4& &+\infty \\ \hline |4x-5|& &-4x+5&|&4x-5& \\ \hline\text{Equation}& &x^{2}-3x-15=-4x+5&|&x^{2}-3x-15=4x-5& \\ & &\Leftrightarrow\ x^{2}+x-20=0&|&\Leftrightarrow\ x^{2}-7x-10=0& \\ \hline\text{Solutions}& &4\ \text{ et }\ -5&|&\dfrac{7-\sqrt{89}}{2}\ \text{ et }\ \dfrac{7+\sqrt{89}}{2}& \\ \hline\end{array}$$

On conclut que : $S=\left\{-5\;;\ \dfrac{7+\sqrt{89}}{2}\right\}$

 

c) $$\begin{array}{|c|lcccr|} \hline x&-\infty& &5/4& &+\infty \\ \hline |x-1|& &-x+1&|&x-1& \\ \hline|x+1|& &-x-4&|&x+4& \\ \hline\text{Equation}& &2x(-x+1)-x-4=0&|&2x(x-1)+x+4=0& \\ & &\Leftrightarrow\ -2x^{2}+x-4=0&|&\Leftrightarrow\ 2x^{2}-x+4=0& \\ \hline\text{Solutions}& &\text{aucune}&|&\text{aucune}& \\ \hline\end{array}$$

On conclut que : $S=\emptyset.$

 

2) Pour les équations fractionnaires, il faut d'abord chercher le domaine de définition de l'équation.

 

a) L'équation est définie si et seulement si $x+2\neq 0$ et $x^{2}-x-6\neq 0$ c'est-à-dire $x\neq -2$ et $x\neq 3.$ 

 

Elle équivaut, après réduction au même dénominateur, à : $$\dfrac{x^{2}-3x-5}{(x-2)(x-3)}=\dfrac{5-2x}{x-3}$$ ou encore, après une nouvelle réduction au même dénominateur : $$\dfrac{x^{2}-4x-15}{(x+2)(x-3)}=0$$ Le trinôme $3x^{2}-4x-15$ a pour racines $-\dfrac{5}{3}$ et 3. Or 3 ne peut pas convenir car n'appartenant pas au domaine de définition de l'équation. 

 

On en conclut que : $S=\left\{-\dfrac{5}{3}\right\}$

 

b) L'équation est définie si et seulement si $x\neq 1$ et $x\neq 0.$

 

$D=\mathbb{R}\setminus\{0\;;\ 1\}.$ 

 

Pour $x\in D$, elle équivaut, après réduction au même dénominateur, à : $$\dfrac{5x-3}{x(x-1)}=\dfrac{3x^{2}-1}{x^{2}-x}$$ soit à : $$\dfrac{3x^{2}-5x+2}{x^{2}-x}=0$$ Le trinôme $3x^{2}-5x+2$ a pour racines $\dfrac{2}{3}$ et 1. Or 1 ne peut pas convenir d'après les conditions posées au début. 

 

On en conclut que : $S=\left\{\dfrac{2}{3}\right\}$

 

c) L'équation est définie si et seulement si $x\neq 3$ et $x\neq 0.$

 

$D=\mathbb{R}\setminus\{0\;;\ 3\}.$ 

 

Pour $x\in D$, elle équivaut, après réduction au même dénominateur, à : $$\dfrac{x^{2}+x-3}{x^{2}(x-3)}=\dfrac{9}{x^{2}(x-3)}$$ soit à : $$\dfrac{x^{2}+x-12}{x^{2}(x-3)}=0$$ Le trinôme $x^{2}+x-12$ a pour racines 3 et -4.  

 

On en conclut que : $S=\left\{-4\right\}$ car $3\notin D$

 

d) L'équation est définie si et seulement si $x\neq 1\;,\ x\neq 2\;,\ \neq 3$ et $x\neq \dfrac{26}{11}.$

 

$D=\mathbb{R}\setminus\left\{1\;;\ 2\;;\ 3\;;\ \dfrac{26}{11}\right\}.$ 

 

Pour $x\in D$, elle équivaut, après réduction au même dénominateur, à : $$\dfrac{3x^{2}-12x+11}{(x-1)(x-2)(x-3)}=\dfrac{33}{11x-26}$$ soit à : $$\dfrac{-12x^{2}+70x-88}{(x-1)(x-2)(x-3)(11x-26)}=0$$ Le trinôme $-12x^{2}+70x-88$ a pour racines 4 et $\dfrac{11}{6}.$  

 

On en conclut que : $S=\left\{4\;;\ \dfrac{11}{6}\right\}$ 

 

3) a) On pose $X=x^{2}.$ L'équation devient $X^{2}-11X+18=0.$

 

Son discriminant est $\Delta=11^{2}-4\times 18=49.$ Ses racines sont 2 et 9.

 

Donc, on a $X=x^{2}=9$ ou bien $X=x^{2}=2.\;,\ S=\{\sqrt{2}\;;\ -\sqrt{2}\;;\ 3\;;\ -3\}$

 

b) $S=\left\{\dfrac{\sqrt{6}}{3}\;;\ -\dfrac{\sqrt{6}}{3}\right\}\qquad$ c) $S=\emptyset\qquad$  d) $S=\left\{\sqrt{2}\;;\ -\sqrt{2}\right\}$ 

 

e) $S=\left\{\dfrac{\sqrt{7}}{7}\;;\ -\dfrac{\sqrt{7}}{7}\;;\ \dfrac{\sqrt{2}}{2}\;;\ -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right\}\qquad$ f) $S=\left\{\dfrac{\sqrt{3}}{3}\;;\ -\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right\}$

 

g) On pose $X=\dfrac{2x+1}{x-3}.$ L'équation devient $X^{2}+2X-3=0.$ Ses racines sont $1\ $ et $\ -3.$

 

Donc, on a : $X=\dfrac{2x+1}{x-3}=1\ \text{ ou bien }\ \dfrac{2x+1}{x-3}=-3$

h) On pose $X=\sqrt{x}.$ L'équation devient $X^{2}-5X-6=0.$ Ses racines sont 6 et -1.

 

Donc, on a $X=\sqrt{x}=6$ car un carré n'est jamais négatif. $$S=\{36\}$$

Les nombres $x$ et $y$, s'ils existent, sont les solutions de l'équation du second degré : $$X^{2}-SX+P=0$$ On a les résultats suivants :

 

a) $x=15\ $ et $\ y=11\ $ ou bien $\ x=11\ $ et $\ y=15$ 

 

b) $x=y=-23$

 

c) $x=1-\sqrt{2}\ $ et $\ y=1+\sqrt{2}\ $ ou bien $\ x=1+\sqrt{2}\ $ et $\ y=1-\sqrt{2}$ 

 

d) $x$ et $y$ n'existent pas

 

e) $x=\dfrac{2}{7}\ $ et $\ y=\dfrac{3}{5}\ $ ou bien $\ x=\dfrac{3}{5}\ $ et $\ y=\dfrac{2}{7}$

 

f) $x=-\dfrac{5}{9}\ $ et $\ y=-\dfrac{4}{9}\ $ ou bien $\ x=-\dfrac{4}{9}\ $ et $\ y=-\dfrac{5}{9}$

 

g) $x=101\ $ et $\ y=99\ $ ou bien $\ x=99\ $ et $\ y=101$

En désignant par $S$ la somme des racines $(x'+x'')$ et par $P$ leur produit $(x'x'')$, on a :

 

$\cdot\ E_{1}=\dfrac{x'^{2}+x''^{2}}{x'^{2}x'^{2}}=\dfrac{(x'+x'')^{2}-2x'x''}{(x'x'')^{2}}=\dfrac{S^{2}-2P}{P^{2}}$

 

$\cdot\ E_{2}=\dfrac{x'^{3}+x''^{3}}{(x'x')^{3}}=\dfrac{(x'+x'')(x'^{2}-x'x''+x''^{2})}{(x'x'')^{3}}$ d'après une formule d'identité remarquable relative à la somme de 2 cubes. Soit, d'après le calcul précédent :

 

$E_{2}=\dfrac{S(S^{2}-2P-P)}{P^{3}}=\dfrac{S(S^{2}-3P)}{P^{3}}$

 

$\cdot\ E_{3}=\dfrac{(x'^{2}+x''^{2})+4(x'+x'')+6}{(x'+1)(x''+1)}=\dfrac{S^{2}-2P+4S+6}{P+S+1}$

 

$\cdot\ E_{4}=x'^{3}+x''^{3}-9(x'^{2}+x''^{2})+27(x'+x'')-54$, soit d'après les calculs précédents : 

 

$E_{4}=S(S^{2}-3P)-9(S^{2}-2P)+27S-54=S^{3}-9S^{2}-3PS+18P+27S-54.$

a) Si $m=-1$, l'équation est du premier degré et s'écrit : $2x-4=0.$ Elle a une solution positive $x=2.$

 

Si $m\neq -1$, l'équation est du second degré, et les quantités $\Delta$ (discriminant), $P$ (produit des racines, si elles existent) et $S$ (somme des racines, si elles existent) ont pour valeurs respectives : $\Delta'=2m+3\;,\ P=\dfrac{m-3}{m+1}\;,\ S=\dfrac{2m}{m+1}.$ L'étude simultanée du signe de ces 3 expressions dans un tableau donne les résultats suivants : $$\begin{array}{|c|lcccccccccr|}\hline m&-\infty& &-3/2& &-1& &0& &3& &+\infty \\ \hline\Delta& &-&|&+&||&+&|&+&|&+& \\ \hline P& & &|&+&||&-&|&-&|&+& \\ \hline S& & &|&+&||&-&|&+&|&+& \\ \hline \end{array}$$

 

On a alors la discussion suivante : 

 

$\centerdot\ \ $ Si $m<-\dfrac{3}{2}$ : l'équation n'a pas de solution. 

 

$\centerdot\ \ $ Si $-\dfrac{3}{2}<m<-1$ : l'équation a 2 racines positives. 

 

$\centerdot\ \ $ Si $-1<m<0$ : l'équation a 2 racines de signes contraires. 

 

$\centerdot\ \ $ Si $0<m<3$ : l'équation a 2 racines de signes contraires. 

 

$\centerdot\ \ $ Si $m>3$ : l'équation a 2 racines positives.

 

Cas particuliers : 

 

$\centerdot\ \ $ Si $m=-\dfrac{3}{2}$, l'équation a une racine double (car $\Delta$ s'annule) qui est positive. 

 

$\centerdot\ \ $ Si $m=0$, l'équation a 2 racines opposées (car $S$ s'annule). 

 

$\centerdot\ \ $ Si $m=3$, l'équation a une racine nulle et une racine positive (car $P$ s'annule tandis que S reste positif).

 

b) Si $m=3$, l'équation n'a aucune solution. (On obtient 1=0 !) Si $m\neq 3$, l'équation est du second degré, et les quantités $\Delta$ (discriminant), $P$ (produit des racines, si elles existent) et $S$ (somme des racines, si elles existent) ont pour valeurs respectives : $\Delta'=-m+3\;,\ P=\dfrac{m-2}{m-3}\;,\ S=2.$ L'étude simultanée du signe de ces 3 expressions dans un tableau donne les résultats suivants : $$\begin{array}{|c|lcccccr|}\hline m&-\infty& &2& &3& &+\infty \\ \hline\Delta& &+&|&+&|&-& \\ \hline P& &+&|&-&|& & \\ \hline S& &+&|&+&|& & \\ \hline \end{array}$$

On a alors la discussion suivante : 

 

$\centerdot\ \ $ Si $m<2$ : l'équation a 2 racines positives. 

 

$\centerdot\ \ $ Si $2<m<3$ : l'équation a 2 racines de signes contraires. 

 

$\centerdot\ \ $ Si $m>3$ : l'équation n'a pas de solution.

 

Cas particulier : 

 

$\centerdot\ \ $ Si $m=2$, l'équation a une racine nulle et une racine positive (car $P$ s'annule tandis que $S$ reste positif).

 

c) Si $m=6$, l'équation est du premier degré et s'écrit : $15x+10=0.$ Elle a une solution négative $x=-\dfrac{2}{3}.$

 

Si $m\neq 6$, l'équation est du second degré, et les quantités $\Delta$ (discriminant), $P$ (produit des racines, si elles existent) et $S$ (somme des racines, si elles existent) ont pour valeurs respectives :

 

$\Delta'=20m+105\;,\ P=\dfrac{m+4}{m-6}\;,\ S=-\dfrac{2m+3}{m-6}.$

L'étude simultanée du signe de ces $3$ expressions dans un tableau donne les résultats suivants :

$$\begin{array}{|c|lcccccccccr|}\hline m&-\infty& &-21/4& &-4& &-3/2& &6& &+\infty \\ \hline\Delta& &-&|&+&|&+&|&+&|&+& \\ \hline P& & &|&+&|&-&|&-&|&+& \\ \hline S& & &|&-&|&-&|&+&|&-& \\ \hline \end{array}$$
 

On a alors la discussion suivante : 

 

$\centerdot\ \ $ Si $m<-\dfrac{21}{4}$ : l'équation n'a pas de solution. 

 

$\centerdot\ \ $ Si $-\dfrac{21}{4}<m<-4$ : l'équation a 2 racines négatives. 

 

$\centerdot\ \ $ Si $-4<m<-\dfrac{3}{2}$ : l'équation a 2 racines de signes contraires. 

 

$\centerdot\ \ $ Si $-\dfrac{3}{2}<m<6$ : l'équation a 2 racines de signes contraires. 

 

$\centerdot\ \ $ Si $m>6$ : l'équation a 2 racines négatives.

 

Cas particuliers : 

 

$\centerdot\ \ $ Si $m=-\dfrac{21}{4}$, l'équation a une racine double (car $\Delta$ s'annule) qui est négative. 

 

$\centerdot\ \ $ Si $m=-4$, l'équation a une racine nulle et une racine négative (car $P$ s'annule tandis que $S$ reste négatif). 

 

$\centerdot\ \ $ Si $m=-\dfrac{3}{2}$, l'équation a 2 racines opposées (car $S$ s'annule). 

 

d) Si $m=2$, l'équation est du premier degré et s'écrit : 1=0, donc elle n'admet aucune solution.

 

Si $m=-2$, l'équation est du premier degré et s'écrit : $8x+1=0.$ Elle a une solution négative.

 

Si $m\neq 2$ et $m\neq -2$, l'équation est du second degré, et les quantités $\Delta$ (discriminant), $P$ (produit des racines, si elles existent) et $S$ (somme des racines, si elles existent) ont pour valeurs respectives :

 

$\Delta'=8-4m\;,\ P=\dfrac{1}{m^{2}-4}\;,\ S=\dfrac{1}{m+2}.$ L'étude simultanée du signe de ces 3 expressions dans un tableau donne les résultats suivants :
$$\begin{array}{|c|lcccccr|} \hline m&-\infty& &-2& &2& &+\infty \\ \hline \Delta& &+&||&+&||&-& \\ \hline P& &+&||&-&||& & \\ \hline S& &-&||&+&||& & \\ \hline \end{array}$$

On a alors la discussion suivante : 

 

$\centerdot\ \ $ Si $m<-2$ : l'équation a $2$ racines négatives 

 

$\centerdot\ \ $ Si $-2<m<2$ : l'équation a $2$ racines de signes contraires. 

 

1) $A$ est un trinôme dont les racines sont $\dfrac{3}{2}$ et $-4.$

Son tableau de signes est :
$$\begin{array}{|c|lcccccr|} \hline x&-\infty&&-4&&\dfrac{3}{2}&&+\infty\\ \hline A=(2x-3)(x+4)&&+&|&-&|&+&\\ \hline \end{array}$$

De même pour $B\;,\ C\;,\ D\;,\ E\;,\ F$ et $G$, on obtient les tableaux suivants :
$$\begin{array}{|c|lcccccr|} \hline x&-\infty&&-1&&7&&+\infty\\ \hline B=(x+1)(7-x)&&-&|&+&|&-&\\ \hline \end{array}$$

$$\begin{array}{|c|lccccr||} \hline x&-\infty&&1&&10&&+\infty\\ \hline C=x^{2}-11x&&+&|&-&|&+&\\ \hline \end{array}$$

$$\begin{array}{|c|lcccccr||} \hline x&-\infty&&-2&&\dfrac{3}{2}&&+\infty\\ \hline D=-3x^{2}+4x&&-&|&+&|&-&\\ \hline \end{array}$$

$$\begin{array}{|c|lccr|} \hline x&-\infty&&+\infty\\ \hline E=-3x^{2}+x-2&&-&\\ \hline \end{array}$$

$$\begin{array}{|c|lccr|} \hline x&-\infty&&+\infty\\ \hline F=2x^{2}-x+1&&+&\\ \hline \end{array}$$

$$\begin{array}{|c|lcccr|} \hline x&-\infty&&\dfrac{2}{3}&&+\infty\\ \hline G=-9 x^{2}+12x&&-&|&-&\\ \hline \end{array}$$

2) On étudie simultanément les signes du numérateur et du dénominateur dans un tableau.

On obtient les résultats suivants :
$$\begin{array}{|c|lcccccr|} \hline x&-\infty&&\dfrac{1}{3}&&2&&+\infty\\ \hline 3x-1&&-&|&+&|&+&\\ \hline 2-x&&+&|&+&|&-&\\ \hline H&&-&|&+&|&-&\\ \hline \end{array}$$
$$\begin{array}{|c|lcccccccccr|} \hline x&-\infty&&-7&&-\dfrac{1}{2}&&3&&5&&+\infty\\ \hline 3x^{2}+4x-21&&+&|&-&|&-&|&+&|&+&\\ \hline -2x^{2}+9x+5&&-&|&-&|&+&|&+&|&-&\\ \hline I&&-&|&+&|&-&|&+&|&-&\\ \hline \end{array}$$
$$\begin{array}{|c|lcccccccr|} \hline x&-\infty&&-3&&\dfrac{1}{2}&&\dfrac{3}{5}&&+\infty\\ \hline -5x+3&&+&|&+&|&+&|&-&\\ \hline 2x^{2}+5x-3&&+&|&-&|&+&|&+&\\ \hline J&&+&|&-&|&+&|&-&\\ \hline \end{array}$$
$$\begin{array}{|c|lcccccccr|} \hline x&-\infty&&-2&&\dfrac{1}{3}&&\dfrac{7}{2}&&+\infty\\ \hline 3x^{2}+5x-2&&+&|&-&|&+&|&+&\\ \hline 6x^{2}-23x+7&&+&|&+&|&-&|&+&\\ \hline K&&+&|&-&|&-&|&+&\\ \hline \end{array}$$

1) inéquations du second degré

a) $S=\dfrac{2}{3}$

b) $S=\left]-\infty\ ;\ -\dfrac{1}{2}\right[\cup\left]-\dfrac{1}{2}\ ;\ +\infty\right[$

c) $S=]-\infty\ ;\ -1]\cup\left[\dfrac{1}{4}\ ;\ +\infty\right[$

d) $S=\emptyset$

e) L’équation équivaut, après transposition à :

$-5x^{2}-2x+2>0.$

$S=\left[-\dfrac{1-\sqrt{11}}{5}\ ;\ \dfrac{-1+\sqrt{11}}{5}\right]$

f) $S=\mathbb{R}$

2) inéquations dont la résolution se ramène à celle d’ inéquations du second degré

L’équation équivaut, après factorisation par $(2x-3)$ à : $(2x-3)(-x^{2}+x-4)\leq 0.$

a) $S=\left[\dfrac{3}{2}\ ;\ +\infty\right[$

b) $S=\left]-2\ ;\ \dfrac{2}{3}\right[\cup\left]\dfrac{2}{3}\ ;\ \dfrac{3}{2}\right[$

(Faire un tableau de signes)

c) $S=\left[-5\ ;\ \dfrac{\sqrt{5}-3}{2}\right]\cup\left[\dfrac{1}{2}\ ;\ \dfrac{\sqrt{5}+3}{2}\right]$

d) Après factorisation, l’équation devient :

$-(x^{2}+2x)(x^{2}+8x+4)<0.$

$S=\left]-\infty\ ;\ \dfrac{-4-\sqrt{31}}{5}\right[\cup\left]\dfrac{4+\sqrt{31}}{5}\ ;\ 5-2\sqrt{5}\right[\cup]5+\sqrt{5}\ ;\ +\infty[$

e) Après factorisation, l’équation devient :

$(x^{2}-10x+5)(5x^{2}+8x-3)\geq 0.$

$S=]-\infty\ ;\ -4-2\sqrt{3}[\cup]-2\ ;\ -4+2\sqrt{5}[\cup]0\ ;\ +\infty[$

3) cas où l'inconnue apparaît au dénominateur
 
a) L'équation est définie si et seulement si

$x\neq 1$ et $x\neq 5.$

Après réduction au même dénominateur, elle équivaut à :  

$-\dfrac{5x^{2}+52x-63}{2(x-1)(x-5)}<0.$

Puis on fait un tableau de signes des trinômes du numérateur et du dénominateur pour trouver :

$S=]-\infty\ ;\ 1[\cup\left]\dfrac{7}{5}\ ;\ 5\right[\cup]9\ ;\ +\infty[$

b) L'équation est définie si et seulement si

$x^{2}-x-6\neq 0$,

c'est-à-dire si et seulement si $x\neq-2$ et $x\neq 3.$

Après transposition et réduction au même dénominateur, elle équivaut à :

$\dfrac{2(x^{2}-6)}{(x+2)(x-3)}>0.$

Puis on fait un tableau de signes des trinômes du numérateur et du dénominateur pour trouver :

$S=]-\infty\ ;\ -\sqrt{6}[\cup]-2\ ;\ \sqrt{6}[\cup]3\ ; +\infty[$
 
c) L'équation est définie si et seulement si $2x^{2}-x-1\neq 0$,

c'est-à-dire si et seulement si $x\neq 1$ et $x\neq-\dfrac{1}{2}.$

Après transposition et réduction au même dénominateur, elle équivaut à :

$-\dfrac{(x^{2}+4x-6)}{2x^{2}-x-1}>0.$

Puis on fait un tableau de signes des trinômes du numérateur et du dénominateur pour trouver :  

$S=\left]-2-\sqrt{10}\ ;\  -\dfrac{1}{2}\right[\cup]1\ ;\ -2+\sqrt{10}[$  
 
d) L’équation est définie si et seulement si $x\neq 3$ et $x\neq-2.$

Après transposition et réduction au même dénominateur, elle équivaut à :

$\dfrac{5(2-x)(7x+11)}{4(x+2)(x-3)}\geq 0$
 
Puis on fait un tableau de signes des trinômes du numérateur et du dénominateur pour trouver :  

$S=\left]-2\ ;\ -\dfrac{11}{7}\right]\cup[2\ ;\ 3[$

e) L'équation est définie si et seulement si $x\neq 1$ et $x\neq 3.$

Après transposition et réduction au même dénominateur, elle équivaut à :

$\dfrac{x^{2}-4x+9}{(x-1)(x-3)}\leq 0$

Puis on fait un tableau de signes des trinômes du numérateur et du dénominateur pour trouver :  

$S=]1\ ;\ 3[$
 
f) L’équation est définie si et seulement si $x\neq 0\;,\ x\neq\dfrac{3}{2}$ et $x\neq\dfrac{7}{6}.$  

Après transposition et réduction au même dénominateur, elle équivaut à :

$\dfrac{6x^{2}-15x+10}{(x-1)(2x-3)(6x-7)}\leq 0.$

Puis on fait un tableau de signes des trinômes du numérateur et du dénominateur pour trouver :  

$S=]-\infty\ ;\ 1[\cup\left]\dfrac{7}{6}\ ;\ \dfrac{3}{2}\right[$ et $x\neq\dfrac{7}{6}.$  

g) Le tableau de signes de l'expression $G=\dfrac{(x-1)(3x^{2}+x-10)}{1-2x}$ est :  

$G=\dfrac{(x-1)(3x^{2}+x-10)}{1-2x}$ est :  
 
$$\begin{array}{|c|lcccccccccr|} \hline x&-\infty&&-2&&\dfrac{1}{2}&&1&&\dfrac{5}{3}&&+ \infty\\ \hline x-1&&-&|&-&|&-&|&+&|&+&\\ \hline 3x^{2}+x-10&&+&|&-&|&-&|&-&|&+&\\ \hline \text{Numérateur}&&-&|&+&|&+&|&-&|&+&\\ \hline 1-2x&&+&|&+&|&-&|&-&|&-&\\ \hline G&&-&|&+&|&-&|&+&|&-&\\ \hline \end{array}$$

$S=\left[-2\ ;\ \dfrac{1}{2}\right[\cup\left[1\ ;\ \dfrac{5}{3}\right]$

a) $x^{2}+x-20=(x+4)(x-5)$ ;

$2x^{2}+7x+3=(x+3)(2x+1)$

Désignons par $(1)$ l'inéquation $x^{2}+x-20<0$ et par $(2)$ l'inéquation $2x^{2}+7x+3\geq 0$
$$\begin{array}{|c|lcccccccccr|} \hline x&-\infty&&-4&&-3&&-\dfrac{1}{2}&&5&&+\infty\\ \hline (1)\text{ est vérifiée}&&\text{non}&|&\text{oui}&|&\text{oui}&|&\text{oui}&|&\text{non}&\\ \hline (2)\text{ est vérifiée}&&\text{oui}&|&\text{oui}&|&\text{non}&|&\text{oui}&|&\text{oui}&\\ \hline \end{array}$$

Les réels solutions sont ceux pour lesquels $(1)$ et $(2)$ sont simultanément vérifiées.

On en déduit que :

$S=]-4\ ;\ -3]\cup\left[-\dfrac{1}{2}\ ;\ 5\right[$

b) Le système proposé est équivalent à :

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} x^{2}-\dfrac{7}{2}x+\dfrac{3}{2}&>&0\quad (1)\\\dfrac{x+11}{x-4}&\leq&0\quad (2)\end{array}\right.$

$(1)$ a pour ensemble de solutions

$S_{I}=\left]-\infty\ ;\ \dfrac{1}{2}\right[\cup[3\ ;\ +\infty[.$

$(2)$ a pour ensemble de solutions

$S_{II}=[-11\ ;\ 4[.$

(Faire un tableau de signes).

$S=S_{I}\cap S_{II}.$

On trouve, après avoir fait un tableau analogue au a) que :

$S=\left]-11\ ;\ \dfrac{1}{2}\right[\cup[3\ ;\ 4[.$

c) Le système proposé est équivalent, en prenant les racines carrées des $3$ membres à :

$\sqrt{2}<|2x-3|<\dfrac{5}{2}$, soit à $\left(\sqrt{2}<2x-3<\dfrac{5}{2}\right)$

ou bien $\left(-\dfrac{5}{2}<2x-3<-\sqrt{2}\right)$

$S=\left]\dfrac{3-\sqrt{2}}{2}\ ;\ \dfrac{11}{4}\right[\cup\left]\dfrac{3+\sqrt{2}}{2}\ ;\ \dfrac{11}{4}\right[$

d) L'inéquation proposée est équivalente au système :
$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} \dfrac{1}{x+1}&<&\dfrac{1}{(x-1)(x-3 )}\quad (1)\\ \dfrac{1}{(x-1)(x-3 )}&<&\dfrac{1}{x+3}\quad(2) \end{array}\right.$$

L'inéquation $(1)$ est équivalente, après réduction au même dénominateur, à :

$\dfrac{x^{2}-5x+2}{(x+1)(x-1)(x-3)}<0.$

Son ensemble de solutions est  

$S_{1}=]-\infty\ ;\ -1[\cup\left]\dfrac{5-\sqrt{17}}{2}\ ;\ 1\right[\cup\left]3\ ;\ \dfrac{5+\sqrt{17}}{2}\right[.$

L'inéquation $(2)$ est équivalente, après réduction au même dénominateur, à :

$\dfrac{-x(x-5)}{(x-1)(x+1)(x-3)}<0.$

Son ensemble de solutions est  

$S_{2}=]-3\ ;\ 0[\cup]1\ ;\ 3[\cup]5\ ;\ +\infty[.$

Faisons un tableau de signes pour voir là ou les deux inéquations sont simultanément vérifiées.

$$\begin{array}{|c|lcccccccccccccccccr|} \hline x&-\infty&&-3&&-1&&0&&\dfrac{5-\sqrt{17}}{2}&&1&&3&&\dfrac{5+\sqrt{17}}{2}&& 5&&+\infty\\ \hline (1)\text{ est vérifiée}&&\text{oui}&|&\text{oui}&|&\text{non}&|&\text{non}&|&\text{oui}&|&\text{non}&|&\text{oui}&|&\text{non}&|&\text{non}&\\ \hline (2)\text{ est vérifiée}&&\text{non}&|&\text{oui}&|&\text{oui}&|&\text{non}&|&\text{non}&|&\text{oui}&|&\text{non}&|&\text{non}&|&\text{oui}&\\ \hline \end{array}$$

On conclut de cette étude que

$S=S_{1}\cap S_{2}=]-3\ ;\ -1]$

e) On fait un tableau pour voir là ou les trois inéquations sont simultanément vérifiées.

$2x^{2}+5x-3>0\Leftrightarrow x\in]-\infty\ ;\ -3[\cup\left]\dfrac{1}{2}\ ;\ +\infty\right[$ ; 

$-x^{2}-3x+4\geq 0\Leftrightarrow x\in[-1\ ;\ 4]$

$x^{2}-2x+1>0\Leftrightarrow x\neq 1$
$$\begin{array}{|c|lcccccccccccr|} \hline x&-\infty&&-3&&-1&&\dfrac{1}{2}&&1&&4&&+\infty\\ \hline (1)\text{ est vérifiée}&&\text{oui}&|&\text{non}&|&\text{non}&|&\text{oui}&|&\text{oui}&|&\text{oui}&\\ \hline (2)\text{ est vérifiée}&&\text{non}&|&\text{non}&|&\text{oui}&|&\text{oui}&|&\text{oui}&|&\text{non}&\\ \hline \end{array}$$

$S=\left]\dfrac{1}{2}\ ;\ 1\right[\cup[1\ ;\ 4]$

1) a) En remplaçant $x$ par $0$, on aurait, si $0$ était solution de $(E)$,  $0^{4}+10\times 0^{3}+26 \times 0^{2}+10 \times 0+1=0$,  soit $1=0$, ce qui est impossible.
 
b) On peut donc, si $x$ est une solution de $(E)$, diviser les deux membres par $x^{2}$ $($puisque $x\neq 0)$, ce qui donne $(E').$

2) a) $X^{2}=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^{2}=x^{2}+2\times x\times\dfrac{1}{x}+\left(\dfrac{1}{x}\right)^{2}=x^{2}+2+\dfrac{1}{x^{2}}=x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}+2$,

d’où $X^{2}-2=x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}.$

b) $(E’)$ est équivalente à : $\left(x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}\right)+10\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+26=0$,

soit à : $(X^{2} -2)+10X+26=0$ ou finalement à : $X^{2}+10X+24=0.$
 
3) $(E'')$ a pour solutions $X_{1}=-4$ et $X_{2}=-6.$

Les solutions de $(E)$ sont donc les réels $x$ tels que :  
$$x+\dfrac{1}{x}=-4\quad (1)\quad\text{ou}\quad x+\dfrac{1}{x}=-6\quad (2).$$

L’équation $(1)$ équivaut, après réduction au même dénominateur, à :

$x^{2}+4x+1=0$, qui a pour solutions

$x_{1}=-2-\sqrt{3}\quad\text{et}\quad x′_{1}=-2- \sqrt{3}.$

L'équation $(2)$ équivaut, après réduction au même dénominateur, à :

$x^{2}+6x+1=0$, qui a pour solutions

$x_{2}=-3-2\sqrt{2}\quad\text{et}\quad x′_{2}=-3+2\sqrt{2}.$

L'ensemble des solutions de $(E)$ est donc :
$$S=\{-2-\sqrt{3}\  ;\  -2+\sqrt{3}\ ;\ -3+2\sqrt{2}\  ;\  -3-2\sqrt{2}\}$$
 
4) L’équation réduite correspondante est : $2X^{2}-9X+4=0.$

Elle a pour racines $\dfrac{1}{2}$ et $4.$
 
En posant à nouveau $X=x+\dfrac{1}{x'}$, on trouve :

$S={2-\sqrt{3}\ ;\ 2+\sqrt{3}}.$

1) Soit $n$ le plus petit des deux entiers.

L'autre est $(n+1).$

On a donc l'équation :  $$n^{2}+(n+1)^{2}=2813\quad\text{soit}\quad 2n^{2}+2n-2812=0$$

dont la résolution conduit à $n=-36$ $($impossible, car $n$ est un entier naturel$)$ ou $n=37.$

Les entiers sont donc $37$ et $38.$  
 
2) Soient $\ell$ et $L$ les dimensions de ce rectangle.

Les données se traduisent par :  $2(\ell+L)=140$ et $\ell^{2}+L^{2}=50^{2}$ (utiliser le théorème de Pythagore), soit par le système  
$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} \ell+L&=&70\\ \ell^{2}+L^{2}&=&2500 \end{array}\right.$$

Posons

$$S=\ell+L\quad\text{et}\quad P=\ell\cdot L.$$

On a alors $S=70$ et $S^{2}-2P=2500$, soit $S=70$ et $P=1200.$  

$\ell$ et $L$, s'ils existent, sont solutions de l'équation $X^{2}-70X+1200=0.$

On trouve : $L=40$ et $\ell=30.$
 
3) Soit $x$ la longueur de ce champ.

L'aire est exprimée par $\mathcal{A}=x(100-x)$ et nous voulons rendre cette expression (qui est un trinôme incomplet) maximale.

Écrivons - la sous forme canonique.

$\mathcal{A}=-x^{2}+100x=-( x^{2}-100x)=-(x-50)^{2}+ 2500.$

Ainsi l'aire est toujours inférieure ou égale à $2500$  et elle est maximale lorsqu'elle vaut $2500.$

On a alors $x=25.$

Le rectangle est alors un carré.     

4) Soit $n$ le nombre de personnes au départ.

La part de chaque personne devait être $\dfrac{720\ 000}{n}.$  

S'il y a $5$ personnes des moins, le nombre de personnes participant au partage est alors $n-5$ et  la part de chacun devient : $\dfrac{720\ 000}{n-5}.$

L'hypothèse de l'énoncé est que cette dernière part surpasse la précédente de $2000F\ $, soit $\dfrac{720\ 000}{n-5}=\dfrac{720\ 000}{n}+2000$, équation qui, après réduction au même dénominateur, transposition des termes dans le second membre et factorisation, s'écrit :

$\dfrac{2000(n+40)(n-45)}{n(5-n)}=0$ et a donc pour solutions $n=-40$ ou $n=45.$

Il est clair que seule la valeur $n=45$ convient pour notre problème, car $n$ doit être un entier naturel.

On en conclut que : $45$ personnes ont participé au partage.
 
5) Soit $v$ la vitesse moyenne à l'aller, exprimée en $km/h.$

La vitesse moyenne au retour est évidemment $v-5$ et il suffit de déterminer $v$ pour répondre à la question posée.

Or, on a la formule générale : $$\text{vitesse moyenne}=\dfrac{\text{Distance parcourue}}{\text{Temps}}$$

d’où $$\text{Temps}=\dfrac{\text{Distance parcourue}}{\text{vitesse}}.$$

Par conséquent les temps mis pour effectuer les trajets à l'aller et au retour sont respectivement $\dfrac{75}{v}$ et $\dfrac{75}{v-5}.$

L'hypothèse est que le temps total de l'aller et du retour est $5.5 h.$

On doit donc avoir : $\dfrac{75}{v}+\dfrac{75}{v-5}=5.5$ équation dont la résolution, après réduction au même dénominateur et factorisation, se traduit par :  $$\dfrac{(v-30)(25-11v)}{v(v-5)}=0.$$

Cette dernière équation a pour solutions $v=30$ et $v=\dfrac{25}{11}$, mais il est clair que seul $v=30$ convient, car $v$ doit être supérieur ou égal à $5$ (pour que la vitesse au retour soit positive).

En résumé, les vitesses à l'aller et au retour sont respectivement $30km/h$ et $25km/h.$
 
6) Déterminons d'abord les longueurs $AB$ et $AC$ en fonction de $a.$

Le triangle étant rectangle en $A$, on a d'après le théorème de PYTHAGORE, $AB^{2} +AC^{2}=BC^{2}.$

Ceci, joint à l'hypothèse $AB+AC=\dfrac{5a}{4}$ et au fait que  $BC=a$ montrent que ces longueurs sont solutions du système :

$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} x^{2}+y^{2}&=&a^{2}\\ x+y &=&\dfrac{5a}{4} \end{array}\right.$$

Pour résoudre ce système, on remarque, d'après l'identité $(x+y )^{2}=x^{2}+y^{2}+2xy$,  et que en remplaçant $x^{2}+y^{2}$ par cette expression dans le système, et en tenant compte de la seconde équation, on voit qu'il est équivalent à :
$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y&=&\dfrac{5a}{4}\\\\ xy&=&\dfrac{1}{2}\left[\left(\dfrac{5a}{4}\right)^{2}-a^{2}\right]=\dfrac{9a^{2}}{32} \end{array}\right.$$

On a là un système somme-produit, et pour le résoudre, on pose l'équation du second degré :

$X^{2}-SX+P=0$, soit : $X^{2}-\dfrac{5a}{4}x+\dfrac{ 9a^{2}}{32}=0.$

La résolution de cette équation est aisée et mène aux solutions :

$X^{1} =\dfrac{5-\sqrt{7}}{8a}$ et $X^{2}=\dfrac{5+\sqrt{7}}{8a}.$  

On a donc  
 
En remplaçant $x^{2}+y^{2}$ par cette expression dans le système, et en tenant compte de la seconde

$AB=\dfrac{5-\sqrt{7}}{8}a$ et $AC=\dfrac{5+\sqrt{7}}{8}a$      

OU BIEN  $AB=\dfrac{5+\sqrt{7}}{8}a$ et $AC=\dfrac{5-\sqrt{7}}{8}a.$