Solutions des exercices : Équations et Inéquations du second degré - 2nd
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Exercice 4
Exercice 5
Exercice 6
Exercice 7
Exercice 8
Exercice 9
Exercice 10
L'étude simultanée du signe de ces 3 expressions dans un tableau donne les résultats suivants :
m−∞−22+∞Δ+||+||−P+||−||S−||+||
Exercice 11
1) Une équation du second degré ax2+bx+c=0 a 2 solutions de signes contraires si et seulement si :
{a≠0ETP<0
a) a=1, donc a≠0.
P<0⇔m−3<0⇔m∈]3 ; +∞[
b) On doit avoir m≠5 et 72m−5<0, soit m∈]−∞ ; 52[.
c) On doit avoir m≠5 et −4m+1m−5<0 ⇔m∈]14 ; 5[.
2) Une équation du second degré ax2+bx+c=0 a 2 solutions positives si et seulement si :
{a≠0Δ>0P>0S>0
a) On obtient le système :
{m≠34m+13>0m+1m−3>01−2mm−3>0
La résolution de ce système d'inéquations simultanées conduit à une impossibilité.
On en conclut qu'il n'existe pas de valeur de m pour laquelle l'équation admette 2 solutions positives.
b) On obtient le système :
{m≠19m+40>0m+4m−1>0−m−6m−3>0
La résolution de ce système d'inéquations simultanées conduit à m∈]−409 ; −4[∪]1 ; 3[
3) Une équation du second degré ax2+bx+c=0 a 2 solutions négatives si et seulement si :
{a≠0Δ>0P>0S>0
a) On obtient le système :
{m≠34m+13>0m+1m−3>01−2mm−3<0
La résolution de ce système d'inéquations simultanées conduit à m∈]−134 ; −1[∪]3 ; +∞[
{m≠14m+40>0m+4m−1>0−m−6m−3<0
La résolution de ce système d'inéquations simultanées conduit à m∈]3 ; +∞[
Exercice 12
a) Si m=−3, l'équation est du premier degré et s'écrit : −6x−8=0.
Elle a une solution négative x=−43.
Si m≠−3, l'équation est du second degré, et les quantités Δ (discriminant), P (produit des racines, si elles existent) et S (somme des racines, si elles existent) ont pour valeurs respectives : Δ′=2m+15, P=m−5m+3, S=−2mm+3.
L'étude simultanée du signe de ces 3 expressions dans un tableau donne les résultats suivants :
m−∞−152−305+∞Δ−|+||+|+|+P|+||−|−|+S|−||+|−|−
On a alors la discussion suivante :
∙ Si m<−152 : l'équation n'a pas de solution.
∙ Si −152<m<−3 : l'équation a 2 racines négatives.
∙ Si −3<m<5 : l'équation a 2 racines de signes contraires.
∙ Si m>5 : l'équation a 2 racines négatives.
Cas particuliers :
∙ Si m=−152, l'équation a une racine double (car Δ s'annule) qui est négative.
∙ Si m=0, l'équation a 2 racines opposées (car S s'annule).
∙ Si m=5, l'équation a une racine nulle et une racine négative (car P s'annule tandis que S reste négatif).
2) D'abord, Δ doit être positif, donc on doit avoir m>−152.
La condition donnée est équivalente à :
2x′x″−2(x′+x″)=5, soit à :
{m>−1522P−2S=5⇔{m>−1526m−10=5m+15⇔m=25
3) On élimine m entre P et S.
∙ P=m−5m+3⇒mP+3P=m−5⇒m(P−1)=−3P−5.
On vérifie aisément que P≠1, d'où : m=−3P−5P−1
∙ S=−2mm+3⇒mS+3S=−2m⇒m(S+2)=−3S.
On vérifie aisément que P≠1, d'où : m=−3SS+2
L'égalité des 2 expressions de m donne :
−3P−5P−1=−3SS+2⇔−3PS−6P−5S−10=−3PS+3S
Soit :
−6P−8S−10=0⇔3P+4S+5=0⇔3x′x″+4(x′+x″)−5
4) L'équation est X2(X′+X″)X+X′X″=0⇔X2+2mm+3X+m−5m+3=0, ce qui peut encore s'écrire :
(m+3)X2+2mX+m−5=0
Exercice 13
Soit l'équation : x2−2(m+1)x+m2+2=0.
1) L'équation a des racines (distinctes ou confondues) si et seulement si :
Δ′≥0⇔(m+1)2−(m2+2)≥0⇔2m−1≥0⇔m≥12.
2) Soit x′ et x″ les racines.
On a les 3 égalités :
{x′+x″=2(m+1)x′=2x″x′x″=m2+2
Les 2 premières donnent :
x′=4(m+1)3 et x″=2(m+1)3.
On reporte ensuite ces valeurs dans la troisième pour déterminer m.
On obtient l'équation suivante :
8(m+1)29=m2+2⇔m=8−3√6 ou m=8+3√6.
(On vérifie que chacune de ces valeurs est supérieure ou égale à 12).
Exercice 14
Son tableau de signes est :
x−∞−432+∞A=(2x−3)(x+4)+|−|+
De même pour B, C, D, E, F et G, on obtient les tableaux suivants :
x−∞−17+∞B=(x+1)(7−x)−|+|−
x−∞110+∞C=x2−11x+|−|+
x−∞−232+∞D=−3x2+4x−|+|−
x−∞+∞E=−3x2+x−2−
x−∞+∞F=2x2−x+1+
x−∞23+∞G=−9x2+12x−|−
2) On étudie simultanément les signes du numérateur et du dénominateur dans un tableau.
On obtient les résultats suivants :
x−∞132+∞3x−1−|+|+2−x+|+|−H−|+|−
x−∞−7−1235+∞3x2+4x−21+|−|−|+|+−2x2+9x+5−|−|+|+|−I−|+|−|+|−
x−∞−31235+∞−5x+3+|+|+|−2x2+5x−3+|−|+|+J+|−|+|−
x−∞−21372+∞3x2+5x−2+|−|+|+6x2−23x+7+|+|−|+K+|−|−|+
Exercice 15
Inéquations du second degré
a) S=23
b) S=]−∞ ; −12[∪]−12 ; +∞[
c) S=]−∞ ; −1]∪[14 ; +∞[
d) S=∅
e) L’équation équivaut, après transposition à :
−5x2−2x+2>0.
S=[−1−√115 ; −1+√115]
f) S=R
2) inéquations dont la résolution se ramène à celle d’ inéquations du second degré
L’équation équivaut, après factorisation par (2x−3) à : (2x−3)(−x2+x−4)≤0.
a) S=[32 ; +∞[
b) S=]−2 ; 23[∪]23 ; 32[
(Faire un tableau de signes)
c) S=[−5 ; √5−32]∪[12 ; √5+32]
d) Après factorisation, l’équation devient :
−(x2+2x)(x2+8x+4)<0.
S=]−∞ ; −4−√315[∪]4+√315 ; 5−2√5[∪]5+√5 ; +∞[
e) Après factorisation, l’équation devient :
(x2−10x+5)(5x2+8x−3)≥0.
S=]−∞ ; −4−2√3[∪]−2 ; −4+2√5[∪]0 ; +∞[
3) cas où l'inconnue apparaît au dénominateur
a) L'équation est définie si et seulement si
x≠1 et x≠5.
Après réduction au même dénominateur, elle équivaut à :
−5x2+52x−632(x−1)(x−5)<0.
Puis on fait un tableau de signes des trinômes du numérateur et du dénominateur pour trouver :
S=]−∞ ; 1[∪]75 ; 5[∪]9 ; +∞[
b) L'équation est définie si et seulement si
x2−x−6≠0,
c'est-à-dire si et seulement si x≠−2 et x≠3.
Après transposition et réduction au même dénominateur, elle équivaut à :
2(x2−6)(x+2)(x−3)>0.
Puis on fait un tableau de signes des trinômes du numérateur et du dénominateur pour trouver :
S=]−∞ ; −√6[∪]−2 ; √6[∪]3 ;+∞[
c) L'équation est définie si et seulement si 2x2−x−1≠0,
c'est-à-dire si et seulement si x≠1 et x≠−12.
Après transposition et réduction au même dénominateur, elle équivaut à :
−(x2+4x−6)2x2−x−1>0.
Puis on fait un tableau de signes des trinômes du numérateur et du dénominateur pour trouver :
S=]−2−√10 ; −12[∪]1 ; −2+√10[
d) L’équation est définie si et seulement si x≠3 et x≠−2.
Après transposition et réduction au même dénominateur, elle équivaut à :
5(2−x)(7x+11)4(x+2)(x−3)≥0
Puis on fait un tableau de signes des trinômes du numérateur et du dénominateur pour trouver :
S=]−2 ; −117]∪[2 ; 3[
e) L'équation est définie si et seulement si x≠1 et x≠3.
Après transposition et réduction au même dénominateur, elle équivaut à :
x2−4x+9(x−1)(x−3)≤0
Puis on fait un tableau de signes des trinômes du numérateur et du dénominateur pour trouver :
S=]1 ; 3[
f) L’équation est définie si et seulement si x≠0, x≠32 et x≠76.
Après transposition et réduction au même dénominateur, elle équivaut à :
6x2−15x+10(x−1)(2x−3)(6x−7)≤0.
Puis on fait un tableau de signes des trinômes du numérateur et du dénominateur pour trouver :
S=]−∞ ; 1[∪]76 ; 32[ et x≠76.
g) Le tableau de signes de l'expression G=(x−1)(3x2+x−10)1−2x est :
G=(x−1)(3x2+x−10)1−2x est :
x−∞−212153+∞x−1−|−|−|+|+3x2+x−10+|−|−|−|+Numérateur−|+|+|−|+1−2x+|+|−|−|−G−|+|−|+|−
S=[−2 ; 12[∪[1 ; 53]
Exercice 16
2x2+7x+3=(x+3)(2x+1)
Désignons par (1) l'inéquation x2+x−20<0 et par (2) l'inéquation 2x2+7x+3≥0
x−∞−4−3−125+∞(1) est vérifiéenon|oui|oui|oui|non(2) est vérifiéeoui|oui|non|oui|oui
Les réels solutions sont ceux pour lesquels (1) et (2) sont simultanément vérifiées.
On en déduit que :
S=]−4 ; −3]∪[−12 ; 5[
b) Le système proposé est équivalent à :
{x2−72x+32>0(1)x+11x−4≤0(2)
(1) a pour ensemble de solutions
SI=]−∞ ; 12[∪[3 ; +∞[.
(2) a pour ensemble de solutions
SII=[−11 ; 4[.
(Faire un tableau de signes).
S=SI∩SII.
On trouve, après avoir fait un tableau analogue au a) que :
S=]−11 ; 12[∪[3 ; 4[.
c) Le système proposé est équivalent, en prenant les racines carrées des 3 membres à :
√2<|2x−3|<52, soit à (√2<2x−3<52)
ou bien (−52<2x−3<−√2)
S=]3−√22 ; 114[∪]3+√22 ; 114[
d) L'inéquation proposée est équivalente au système :
{1x+1<1(x−1)(x−3)(1)1(x−1)(x−3)<1x+3(2)
L'inéquation (1) est équivalente, après réduction au même dénominateur, à :
x2−5x+2(x+1)(x−1)(x−3)<0.
Son ensemble de solutions est
S1=]−∞ ; −1[∪]5−√172 ; 1[∪]3 ; 5+√172[.
L'inéquation (2) est équivalente, après réduction au même dénominateur, à :
−x(x−5)(x−1)(x+1)(x−3)<0.
Son ensemble de solutions est
S2=]−3 ; 0[∪]1 ; 3[∪]5 ; +∞[.
Faisons un tableau de signes pour voir là ou les deux inéquations sont simultanément vérifiées.
x−∞−3−105−√172135+√1725+∞(1) est vérifiéeoui|oui|non|non|oui|non|oui|non|non(2) est vérifiéenon|oui|oui|non|non|oui|non|non|oui
On conclut de cette étude que
S=S1∩S2=]−3 ; −1]
e) On fait un tableau pour voir là ou les trois inéquations sont simultanément vérifiées.
2x2+5x−3>0⇔x∈]−∞ ; −3[∪]12 ; +∞[ ;
−x2−3x+4≥0⇔x∈[−1 ; 4]
x2−2x+1>0⇔x≠1
x−∞−3−11214+∞(1) est vérifiéeoui|non|non|oui|oui|oui(2) est vérifiéenon|non|oui|oui|oui|non
S=]12 ; 1[∪[1 ; 4]
Exercice 17
b) On peut donc, si x est une solution de (E), diviser les deux membres par x2 (puisque x≠0), ce qui donne (E′).
2) a) X2=(x+1x)2=x2+2×x×1x+(1x)2=x2+2+1x2=x2+1x2+2,
d’où X2−2=x2+1x2.
b) (E′) est équivalente à : (x2+1x2)+10(x+1x)+26=0,
soit à : (X2−2)+10X+26=0 ou finalement à : X2+10X+24=0.
3) (E″) a pour solutions X1=−4 et X2=−6.
Les solutions de (E) sont donc les réels x tels que :
x+1x=−4(1)oux+1x=−6(2).
L’équation (1) équivaut, après réduction au même dénominateur, à :
x2+4x+1=0, qui a pour solutions
x1=−2−√3etx′1=−2−√3.
L'équation (2) équivaut, après réduction au même dénominateur, à :
x2+6x+1=0, qui a pour solutions
x2=−3−2√2etx′2=−3+2√2.
L'ensemble des solutions de (E) est donc :
S={−2−√3 ; −2+√3 ; −3+2√2 ; −3−2√2}
4) L’équation réduite correspondante est : 2X2−9X+4=0.
Elle a pour racines 12 et 4.
En posant à nouveau X=x+1x′, on trouve :
S=2−√3 ; 2+√3.
Exercice 18
L'autre est (n+1).
On a donc l'équation : n2+(n+1)2=2813soit2n2+2n−2812=0
dont la résolution conduit à n=−36 (impossible, car n est un entier naturel) ou n=37.
Les entiers sont donc 37 et 38.
2) Soient ℓ et L les dimensions de ce rectangle.
Les données se traduisent par : 2(ℓ+L)=140 et ℓ2+L2=502 (utiliser le théorème de Pythagore), soit par le système
{ℓ+L=70ℓ2+L2=2500
Posons
S=ℓ+LetP=ℓ⋅L.
On a alors S=70 et S2−2P=2500, soit S=70 et P=1200.
ℓ et L, s'ils existent, sont solutions de l'équation X2−70X+1200=0.
On trouve : L=40 et ℓ=30.
3) Soit x la longueur de ce champ.
L'aire est exprimée par A=x(100−x) et nous voulons rendre cette expression (qui est un trinôme incomplet) maximale.
Écrivons - la sous forme canonique.
A=−x2+100x=−(x2−100x)=−(x−50)2+2500.
Ainsi l'aire est toujours inférieure ou égale à 2500 et elle est maximale lorsqu'elle vaut 2500.
On a alors x=25.
Le rectangle est alors un carré.
4) Soit n le nombre de personnes au départ.
La part de chaque personne devait être 720 000n.
S'il y a 5 personnes des moins, le nombre de personnes participant au partage est alors n−5 et la part de chacun devient : 720 000n−5.
L'hypothèse de l'énoncé est que cette dernière part surpasse la précédente de 2000F , soit 720 000n−5=720 000n+2000, équation qui, après réduction au même dénominateur, transposition des termes dans le second membre et factorisation, s'écrit :
2000(n+40)(n−45)n(5−n)=0 et a donc pour solutions n=−40 ou n=45.
Il est clair que seule la valeur n=45 convient pour notre problème, car n doit être un entier naturel.
On en conclut que : 45 personnes ont participé au partage.
5) Soit v la vitesse moyenne à l'aller, exprimée en km/h.
La vitesse moyenne au retour est évidemment v−5 et il suffit de déterminer v pour répondre à la question posée.
Or, on a la formule générale : vitesse moyenne=Distance parcourueTemps
d’où Temps=Distance parcouruevitesse.
Par conséquent les temps mis pour effectuer les trajets à l'aller et au retour sont respectivement 75v et 75v−5.
L'hypothèse est que le temps total de l'aller et du retour est 5.5h.
On doit donc avoir : 75v+75v−5=5.5 équation dont la résolution, après réduction au même dénominateur et factorisation, se traduit par : (v−30)(25−11v)v(v−5)=0.
Cette dernière équation a pour solutions v=30 et v=2511, mais il est clair que seul v=30 convient, car v doit être supérieur ou égal à 5 (pour que la vitesse au retour soit positive).
En résumé, les vitesses à l'aller et au retour sont respectivement 30km/h et 25km/h.
6) Déterminons d'abord les longueurs AB et AC en fonction de a.
Le triangle étant rectangle en A, on a d'après le théorème de PYTHAGORE, AB2+AC2=BC2.
Ceci, joint à l'hypothèse AB+AC=5a4 et au fait que BC=a montrent que ces longueurs sont solutions du système :
{x2+y2=a2x+y=5a4
Pour résoudre ce système, on remarque, d'après l'identité (x+y)2=x2+y2+2xy, et que en remplaçant x2+y2 par cette expression dans le système, et en tenant compte de la seconde équation, on voit qu'il est équivalent à :
{x+y=5a4xy=12[(5a4)2−a2]=9a232
On a là un système somme-produit, et pour le résoudre, on pose l'équation du second degré :
X2−SX+P=0, soit : X2−5a4x+9a232=0.
La résolution de cette équation est aisée et mène aux solutions :
X1=5−√78a et X2=5+√78a.
On a donc
En remplaçant x2+y2 par cette expression dans le système, et en tenant compte de la seconde
AB=5−√78a et AC=5+√78a
OU BIEN AB=5+√78a et AC=5−√78a.
Commentaires
Khady Tabar (non vérifié)
ven, 04/10/2020 - 19:52
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Merci vous j'ai beaucoup
Anonyme (non vérifié)
mer, 05/06/2020 - 14:19
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Se
Ablaye diouf (non vérifié)
mar, 03/23/2021 - 15:15
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Je voudrais la correction sur
DEMBELE Soumeila (non vérifié)
lun, 03/29/2021 - 19:08
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Pour maitriser la
Anonyme (non vérifié)
mar, 04/19/2022 - 15:12
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Correction exercice 20 svp
Ndeya (non vérifié)
lun, 05/09/2022 - 23:17
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Je voulais la correction de
Lamine Diouf (non vérifié)
ven, 09/06/2024 - 09:46
Permalien
Maths
Coumba (non vérifié)
ven, 04/26/2024 - 08:52
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D'être gendarme et finir mes études et ensuite avoir le BAC
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