Solutions des exercices : Équations et Inéquations du second degré - 2nd

Classe: 
Seconde

Exercice 1 

a) x2+2x=(x+2)21; b) x2+6x=(x+3)29
 
c) x2x=(x12)214; d) x24x=(x2)24
 
e) x2+3x=(x+32)294; f) x212x=(x14)2116

Exercice 2 

a) (x+1)2+2 b) (x2)2+4
 
c) (x12)2814 d) 2[(x+1)292]
 
e) 4[(x+14)21316] f) [(x+14)24916]
 
g) [(x2)24916] h) 3[(x+1)26]

Exercice 3 

a) S={0; 52} b) S={0; 492}
 
c) L'équation équivaut à : (x+5)24(x+5)=0, soit à : 
 
(x+5)[(x+5)4]=0,S={5; 1} 
 
d) L'équation équivaut à : (x+5)(x5)+3(x+5)=0, soit à : 
 
(x+5)[(x5)+3]=0,S={5; 2}
 
e) S={92; 92} 
 
f) L'équation équivaut à : [(x9)7][(x9)+7]=0
 
soit à : (x16)(x2)=0,S={16; 2}
 
g) L'équation équivaut à : [(3x7)2(x+1)][(3x7)+2(x+1)]=0,
 
soit à : (x9)(5x6)=0,S={9; 65}

Exercice 4 

a) S={6} b) S={32}
 
c) S={1; 72} d) S={3; 2}
 
e) S={1; 43} f) S={13; 3}
 
g) S={8; 2} h) S=
 
i) S={1; 4} j) S={15; 7}
 
k) S={175; 2} l) S={32; 1}
 
m) S={5; 1} n) S={1; 3}
 
o) S={9412; 9+412} p) S={2; 1}
 
q) S={22; 2} r) S={3}
 
s) S={12; 12} t) S={52} 
 
u) Δ=1; S={22; 12} 
 
v) Après développement du premier membre, l'équation se réduit à : 
 
3x2+10x+3=0,S={13; 3}

Exercice 5 

1) On a Δ=b24ac=(2b)24ac=4(b2ac)=4Δ. Donc Δ et Δ ont même signe, de sorte que :
 
  si Δ<0, alors Δ<0 et (E) n'a pas de solution réelle.
 
  si Δ=0, alors Δ=0 et (E) a une solution double x0=b2a=2b2a=ba
 
  si Δ>0, alors Δ>0 et (E) a deux solutions : x=bΔ2a=2b4Δ2a=2b2Δ2a=bΔa et  x=b+Δ2a=2b+4Δ2a=2b+2Δ2a=b+Δa
 
2) a) Δ=1, S={7; 5} b) Δ=1, S=
 
c) Δ=2, S={52; 5+2} d) Δ=0, S={32}
 
e) Δ=25, S={35; 3+5} f) Δ=79, S={2279; 2+279}

Exercice 6 

1) L'équation est du second degré si et seulement si le coefficient de x2, c'est-à-dire (m1), est non nul. Donc E=R{1}.
 
2) a) Δ=12m6. L'équation n'a pas de solution si et seulement si Δ<0, c'est-à-dire si et seulement si : m<12
 
b) L'équation a une solution double si et seulement si Δ=0  m=12.
 
c) L'équation a deux solutions distinctes si et seulement si Δ>0  m>12.
S={m3m2m1; m+3m2m1}
 
3) Nous présentons les résultats sous la forme d'un tableau. On a les ensembles de solutions suivants dans les cas où mE (deux solutions) :
 
a) S={m+1; m} b) S={1; 2m+3}
 
c) S={1; 23mm} d) S={1mm+1; 1+mm+1}
 
e) S={2m+1m; 1m}
 
EquationEΔΔ>0Δ=0Δ<0(2 solutions)(1 solution)(pas desolution)a)R1Pour tout mJamaisJamaisb)R(m+2)2m2m=2Jamaisc)R{0}(2m1)2m12m=12Jamaisd)m1m(m+1)2m>0m=0 oum<0m=1e)m0m4m0m=0Jamais

Exercice 7 

1) Pour les équations avec valeurs absolues, il convient de faire un tableau :
 
a) x0+x22|x|3x2+2x3|x22x3Equationx2+2x3=0|x22x3=0Solutions1  et  3|1  et  3
On conclut que : S={3; 3}
 
b) x5/4+|4x5|4x+5|4x5Equationx23x15=4x+5|x23x15=4x5 x2+x20=0| x27x10=0Solutions4  et  5|7892  et  7+892
On conclut que : S={5; 7+892}
 
c) x5/4+|x1|x+1|x1|x+1|x4|x+4Equation2x(x+1)x4=0|2x(x1)+x+4=0 2x2+x4=0| 2x2x+4=0Solutionsaucune|aucune
On conclut que : S=.
 
2) Pour les équations fractionnaires, il faut d'abord chercher le domaine de définition de l'équation.
 
a) L'équation est définie si et seulement si x+20 et x2x60 c'est-à-dire x2 et x3. 
 
Elle équivaut, après réduction au même dénominateur, à : x23x5(x2)(x3)=52xx3 ou encore, après une nouvelle réduction au même dénominateur : x24x15(x+2)(x3)=0 Le trinôme 3x24x15 a pour racines 53 et 3. Or 3 ne peut pas convenir car n'appartenant pas au domaine de définition de l'équation. 
 
On en conclut que : S={53}
 
b) L'équation est définie si et seulement si x1 et x0.
 
D=R{0; 1}. 
 
Pour xD, elle équivaut, après réduction au même dénominateur, à : 5x3x(x1)=3x21x2x soit à : 3x25x+2x2x=0 Le trinôme 3x25x+2 a pour racines 23 et 1. Or 1 ne peut pas convenir d'après les conditions posées au début. 
 
On en conclut que : S={23}
 
c) L'équation est définie si et seulement si x3 et x0.
 
D=R{0; 3}. 
 
Pour xD, elle équivaut, après réduction au même dénominateur, à : x2+x3x2(x3)=9x2(x3) soit à : x2+x12x2(x3)=0 Le trinôme x2+x12 a pour racines 3 et -4.  
 
On en conclut que : S={4} car 3D
 
d) L'équation est définie si et seulement si x1, x2, 3 et x2611.
 
D=R{1; 2; 3; 2611}. 
 
Pour xD, elle équivaut, après réduction au même dénominateur, à : 3x212x+11(x1)(x2)(x3)=3311x26 soit à : 12x2+70x88(x1)(x2)(x3)(11x26)=0 Le trinôme 12x2+70x88 a pour racines 4 et 116.  
 
On en conclut que : S={4; 116} 
 
3) a) On pose X=x2. L'équation devient X211X+18=0.
 
Son discriminant est Δ=1124×18=49. Ses racines sont 2 et 9.
 
Donc, on a X=x2=9 ou bien X=x2=2., S={2; 2; 3; 3}
 
b) S={63; 63} c) S=  d) S={2; 2} 
 
e) S={77; 77; 22; 22} f) S={33; 33}
 
g) On pose X=2x+1x3. L'équation devient X2+2X3=0. Ses racines sont 1  et  3.
 
Donc, on a : X=2x+1x3=1  ou bien  2x+1x3=3
 
2x+1=x3  ou bien  2x+1=3(x3)2xx=31  ou bien  2x+1=3x+9x=4  ou bien  2x+3x=91x=4  ou bien  5x=8x=4  ou bien  x=85
 
Ainsi,
S={4; 85}
h) On pose X=x. L'équation devient X25X6=0. Ses racines sont 6 et -1.
 
Donc, on a X=x=6 car un carré n'est jamais négatif. S={36}

Exercice 8 

Les nombres x et y, s'ils existent, sont les solutions de l'équation du second degré : X2SX+P=0 On a les résultats suivants :
 
a) x=15  et  y=11  ou bien  x=11  et  y=15 
 
b) x=y=23
 
c) x=12  et  y=1+2  ou bien  x=1+2  et  y=12 
 
d) x et y n'existent pas
 
e) x=27  et  y=35  ou bien  x=35  et  y=27
 
f) x=59  et  y=49  ou bien  x=49  et  y=59
 
g) x=101  et  y=99  ou bien  x=99  et  y=101

Exercice 9 

En désignant par S la somme des racines (x+x) et par P leur produit (xx), on a :
 
 E1=x2+x2x2x2=(x+x)22xx(xx)2=S22PP2
 
 E2=x3+x3(xx)3=(x+x)(x2xx+x2)(xx)3 d'après une formule d'identité remarquable relative à la somme de 2 cubes. Soit, d'après le calcul précédent :
 
E2=S(S22PP)P3=S(S23P)P3
 
 E3=(x2+x2)+4(x+x)+6(x+1)(x+1)=S22P+4S+6P+S+1
 
 E4=x3+x39(x2+x2)+27(x+x)54, soit d'après les calculs précédents : 
 
E4=S(S23P)9(S22P)+27S54=S39S23PS+18P+27S54.

Exercice 10 

a) Si m=1, l'équation est du premier degré et s'écrit : 2x4=0. Elle a une solution positive x=2.
 
Si m1, l'équation est du second degré, et les quantités Δ (discriminant), P (produit des racines, si elles existent) et S (somme des racines, si elles existent) ont pour valeurs respectives : Δ=2m+3, P=m3m+1, S=2mm+1. L'étude simultanée du signe de ces 3 expressions dans un tableau donne les résultats suivants : m3/2103+Δ|+||+|+|+P|+||||+S|+|||+|+
 
On a alors la discussion suivante : 
 
   Si m<32 : l'équation n'a pas de solution. 
 
   Si 32<m<1 : l'équation a 2 racines positives. 
 
   Si 1<m<0 : l'équation a 2 racines de signes contraires. 
 
   Si 0<m<3 : l'équation a 2 racines de signes contraires. 
 
   Si m>3 : l'équation a 2 racines positives.
 
Cas particuliers : 
 
   Si m=32, l'équation a une racine double (car Δ s'annule) qui est positive. 
 
   Si m=0, l'équation a 2 racines opposées (car S s'annule). 
 
   Si m=3, l'équation a une racine nulle et une racine positive (car P s'annule tandis que S reste positif).
 
b) Si m=3, l'équation n'a aucune solution. (On obtient 1=0 !) Si m3, l'équation est du second degré, et les quantités Δ (discriminant), P (produit des racines, si elles existent) et S (somme des racines, si elles existent) ont pour valeurs respectives : Δ=m+3, P=m2m3, S=2. L'étude simultanée du signe de ces 3 expressions dans un tableau donne les résultats suivants : m23+Δ+|+|P+||S+|+|
On a alors la discussion suivante : 
 
   Si m<2 : l'équation a 2 racines positives. 
 
   Si 2<m<3 : l'équation a 2 racines de signes contraires. 
 
   Si m>3 : l'équation n'a pas de solution.
 
Cas particulier : 
 
   Si m=2, l'équation a une racine nulle et une racine positive (car P s'annule tandis que S reste positif).
 
c) Si m=6, l'équation est du premier degré et s'écrit : 15x+10=0. Elle a une solution négative x=23.
 
Si m6, l'équation est du second degré, et les quantités Δ (discriminant), P (produit des racines, si elles existent) et S (somme des racines, si elles existent) ont pour valeurs respectives :
 
Δ=20m+105, P=m+4m6, S=2m+3m6.

L'étude simultanée du signe de ces 3 expressions dans un tableau donne les résultats suivants :

m21/443/26+Δ|+|+|+|+P|+|||+S|||+|
 
On a alors la discussion suivante : 
 
   Si m<214 : l'équation n'a pas de solution. 
 
   Si 214<m<4 : l'équation a 2 racines négatives. 
 
   Si 4<m<32 : l'équation a 2 racines de signes contraires. 
 
   Si 32<m<6 : l'équation a 2 racines de signes contraires. 
 
   Si m>6 : l'équation a 2 racines négatives.
 
Cas particuliers : 
 
   Si m=214, l'équation a une racine double (car Δ s'annule) qui est négative. 
 
   Si m=4, l'équation a une racine nulle et une racine négative (car P s'annule tandis que S reste négatif). 
 
   Si m=32, l'équation a 2 racines opposées (car S s'annule). 
 
d) Si m=2, l'équation est du premier degré et s'écrit : 1=0, donc elle n'admet aucune solution.
 
Si m=2, l'équation est du premier degré et s'écrit : 8x+1=0. Elle a une solution négative.
 
Si m2 et m2, l'équation est du second degré, et les quantités Δ (discriminant), P (produit des racines, si elles existent) et S (somme des racines, si elles existent) ont pour valeurs respectives :
 
Δ=84m, P=1m24, S=1m+2. L'étude simultanée du signe de ces 3 expressions dans un tableau donne les résultats suivants :
m22+Δ+||+||P+||||S||+||
On a alors la discussion suivante : 
 
   Si m<2 : l'équation a 2 racines négatives 
 
   Si 2<m<2 : l'équation a 2 racines de signes contraires. 
 
   Si m>2 : l'équation n'a pas de solution.

Exercice 11

1) Une équation du second degré ax2+bx+c=0 a 2 solutions de signes contraires si et seulement si :
{a0ETP<0

a) a=1, donc a0.

P<0m3<0m]3 ; +[

b) On doit avoir m5 et 72m5<0, soit m] ; 52[.

c) On doit avoir m5 et 4m+1m5<0 m]14 ; 5[.

2) Une équation du second degré ax2+bx+c=0 a 2 solutions positives si et seulement si :
{a0Δ>0P>0S>0

a) On obtient le système :
{m34m+13>0m+1m3>012mm3>0

La résolution de ce système d'inéquations simultanées conduit à une impossibilité.

On en conclut qu'il n'existe pas de valeur de m pour laquelle l'équation admette 2 solutions positives.

b) On obtient le système :

{m19m+40>0m+4m1>0m6m3>0

La résolution de ce système d'inéquations simultanées conduit à m]409 ; 4[]1 ; 3[

3) Une équation du second degré ax2+bx+c=0 a 2 solutions négatives si et seulement si :

{a0Δ>0P>0S>0

a) On obtient le système :

{m34m+13>0m+1m3>012mm3<0

La résolution de ce système d'inéquations simultanées conduit à m]134 ; 1[]3 ; +[
{m14m+40>0m+4m1>0m6m3<0

La résolution de ce système d'inéquations simultanées conduit à m]3 ; +[

Exercice 12

a) Si m=3, l'équation est du premier degré et s'écrit : 6x8=0.

Elle a une solution négative x=43.

Si m3, l'équation est du second degré, et les quantités Δ (discriminant), P (produit des racines, si elles existent) et S (somme des racines, si elles existent) ont pour valeurs respectives : Δ=2m+15, P=m5m+3, S=2mm+3.

L'étude simultanée du signe de ces 3 expressions dans un tableau donne les résultats suivants :
m152305+Δ|+||+|+|+P|+||||+S|||+||

On a alors la discussion suivante :

 Si m<152 : l'équation n'a pas de solution.

 Si 152<m<3 : l'équation a 2 racines négatives.

 Si 3<m<5 : l'équation a 2 racines de signes contraires.

 Si m>5 : l'équation a 2 racines négatives.

Cas particuliers :

 Si m=152, l'équation a une racine double (car Δ s'annule) qui est négative.

 Si m=0, l'équation a 2 racines opposées (car S s'annule).

 Si m=5, l'équation a une racine nulle et une racine négative (car P s'annule tandis que S reste négatif).

2) D'abord, Δ doit être positif, donc on doit avoir m>152.

La condition donnée est équivalente à :

2xx2(x+x)=5, soit à :

{m>1522P2S=5{m>1526m10=5m+15m=25

3) On élimine m entre P et S.

  P=m5m+3mP+3P=m5m(P1)=3P5.

On vérifie aisément que P1, d'où : m=3P5P1

  S=2mm+3mS+3S=2mm(S+2)=3S.

On vérifie aisément que P1, d'où : m=3SS+2

L'égalité des 2 expressions de m donne :

3P5P1=3SS+23PS6P5S10=3PS+3S

Soit :

6P8S10=03P+4S+5=03xx+4(x+x)5

4) L'équation est X2(X+X)X+XX=0X2+2mm+3X+m5m+3=0, ce qui peut encore s'écrire :

(m+3)X2+2mX+m5=0

Exercice 13

Soit l'équation : x22(m+1)x+m2+2=0.

1) L'équation a des racines (distinctes ou confondues) si et seulement si :

Δ0(m+1)2(m2+2)02m10m12.

2) Soit x et x les racines.

On a les 3 égalités :
{x+x=2(m+1)x=2xxx=m2+2

Les 2 premières donnent :

x=4(m+1)3 et x=2(m+1)3.

On reporte ensuite ces valeurs dans la troisième pour déterminer m.

On obtient l'équation suivante :
8(m+1)29=m2+2m=836 ou m=8+36.
 
(On vérifie que chacune de ces valeurs est supérieure ou égale à 12).

Exercice 14

1) A est un trinôme dont les racines sont 32 et 4.

Son tableau de signes est :
x432+A=(2x3)(x+4)+||+

De même pour B, C, D, E, F et G, on obtient les tableaux suivants :
x17+B=(x+1)(7x)|+|

x110+C=x211x+||+

x232+D=3x2+4x|+|

x+E=3x2+x2

x+F=2x2x+1+

x23+G=9x2+12x|

2) On étudie simultanément les signes du numérateur et du dénominateur dans un tableau.

On obtient les résultats suivants :
x132+3x1|+|+2x+|+|H|+|
x71235+3x2+4x21+|||+|+2x2+9x+5||+|+|I|+||+|
x31235+5x+3+|+|+|2x2+5x3+||+|+J+||+|
x21372+3x2+5x2+||+|+6x223x+7+|+||+K+|||+

Exercice 15

Inéquations du second degré

1) inéquations du second degré

a) S=23

b) S=] ; 12[]12 ; +[

c) S=] ; 1][14 ; +[

d) S=

e) L’équation équivaut, après transposition à :

5x22x+2>0.

S=[1115 ; 1+115]

f) S=R

2) inéquations dont la résolution se ramène à celle d’ inéquations du second degré

L’équation équivaut, après factorisation par (2x3) à : (2x3)(x2+x4)0.

a) S=[32 ; +[

b) S=]2 ; 23[]23 ; 32[

(Faire un tableau de signes)

c) S=[5 ; 532][12 ; 5+32]

d) Après factorisation, l’équation devient :

(x2+2x)(x2+8x+4)<0.

S=] ; 4315[]4+315 ; 525[]5+5 ; +[

e) Après factorisation, l’équation devient :

(x210x+5)(5x2+8x3)0.

S=] ; 423[]2 ; 4+25[]0 ; +[

3) cas où l'inconnue apparaît au dénominateur
 
a) L'équation est définie si et seulement si

x1 et x5.

Après réduction au même dénominateur, elle équivaut à :  

5x2+52x632(x1)(x5)<0.

Puis on fait un tableau de signes des trinômes du numérateur et du dénominateur pour trouver :

S=] ; 1[]75 ; 5[]9 ; +[

b) L'équation est définie si et seulement si

x2x60,

c'est-à-dire si et seulement si x2 et x3.

Après transposition et réduction au même dénominateur, elle équivaut à :

2(x26)(x+2)(x3)>0.

Puis on fait un tableau de signes des trinômes du numérateur et du dénominateur pour trouver :

S=] ; 6[]2 ; 6[]3 ;+[
 
c) L'équation est définie si et seulement si 2x2x10,

c'est-à-dire si et seulement si x1 et x12.

Après transposition et réduction au même dénominateur, elle équivaut à :

(x2+4x6)2x2x1>0.

Puis on fait un tableau de signes des trinômes du numérateur et du dénominateur pour trouver :  

S=]210 ; 12[]1 ; 2+10[  
 
d) L’équation est définie si et seulement si x3 et x2.

Après transposition et réduction au même dénominateur, elle équivaut à :

5(2x)(7x+11)4(x+2)(x3)0
 
Puis on fait un tableau de signes des trinômes du numérateur et du dénominateur pour trouver :  

S=]2 ; 117][2 ; 3[

e) L'équation est définie si et seulement si x1 et x3.

Après transposition et réduction au même dénominateur, elle équivaut à :

x24x+9(x1)(x3)0

Puis on fait un tableau de signes des trinômes du numérateur et du dénominateur pour trouver :  

S=]1 ; 3[
 
f) L’équation est définie si et seulement si x0, x32 et x76.  

Après transposition et réduction au même dénominateur, elle équivaut à :

6x215x+10(x1)(2x3)(6x7)0.

Puis on fait un tableau de signes des trinômes du numérateur et du dénominateur pour trouver :  

S=] ; 1[]76 ; 32[ et x76.  

g) Le tableau de signes de l'expression G=(x1)(3x2+x10)12x est :  

G=(x1)(3x2+x10)12x est :  
 
x212153+x1|||+|+3x2+x10+||||+Numérateur|+|+||+12x+|+|||G|+||+|

S=[2 ; 12[[1 ; 53]

Exercice 16

a) x2+x20=(x+4)(x5) ;

2x2+7x+3=(x+3)(2x+1)

Désignons par (1) l'inéquation x2+x20<0 et par (2) l'inéquation 2x2+7x+30
x43125+(1) est vérifiéenon|oui|oui|oui|non(2) est vérifiéeoui|oui|non|oui|oui

Les réels solutions sont ceux pour lesquels (1) et (2) sont simultanément vérifiées.

On en déduit que :

S=]4 ; 3][12 ; 5[

b) Le système proposé est équivalent à :

{x272x+32>0(1)x+11x40(2)

(1) a pour ensemble de solutions

SI=] ; 12[[3 ; +[.

(2) a pour ensemble de solutions

SII=[11 ; 4[.

(Faire un tableau de signes).

S=SISII.

On trouve, après avoir fait un tableau analogue au a) que :

S=]11 ; 12[[3 ; 4[.

c) Le système proposé est équivalent, en prenant les racines carrées des 3 membres à :

2<|2x3|<52, soit à (2<2x3<52)

ou bien (52<2x3<2)

S=]322 ; 114[]3+22 ; 114[

d) L'inéquation proposée est équivalente au système :
{1x+1<1(x1)(x3)(1)1(x1)(x3)<1x+3(2)

L'inéquation (1) est équivalente, après réduction au même dénominateur, à :

x25x+2(x+1)(x1)(x3)<0.

Son ensemble de solutions est  

S1=] ; 1[]5172 ; 1[]3 ; 5+172[.

L'inéquation (2) est équivalente, après réduction au même dénominateur, à :

x(x5)(x1)(x+1)(x3)<0.

Son ensemble de solutions est  

S2=]3 ; 0[]1 ; 3[]5 ; +[.

Faisons un tableau de signes pour voir là ou les deux inéquations sont simultanément vérifiées.

x3105172135+1725+(1) est vérifiéeoui|oui|non|non|oui|non|oui|non|non(2) est vérifiéenon|oui|oui|non|non|oui|non|non|oui

On conclut de cette étude que

S=S1S2=]3 ; 1]

e) On fait un tableau pour voir là ou les trois inéquations sont simultanément vérifiées.

2x2+5x3>0x] ; 3[]12 ; +[

x23x+40x[1 ; 4]

x22x+1>0x1
x311214+(1) est vérifiéeoui|non|non|oui|oui|oui(2) est vérifiéenon|non|oui|oui|oui|non

S=]12 ; 1[[1 ; 4]

Exercice 17

1) a) En remplaçant x par 0, on aurait, si 0 était solution de (E)04+10×03+26×02+10×0+1=0,  soit 1=0, ce qui est impossible.
 
b) On peut donc, si x est une solution de (E), diviser les deux membres par x2 (puisque x0), ce qui donne (E).

2) a) X2=(x+1x)2=x2+2×x×1x+(1x)2=x2+2+1x2=x2+1x2+2,

d’où X22=x2+1x2.

b) (E) est équivalente à : (x2+1x2)+10(x+1x)+26=0,

soit à : (X22)+10X+26=0 ou finalement à : X2+10X+24=0.
 
3) (E) a pour solutions X1=4 et X2=6.

Les solutions de (E) sont donc les réels x tels que :  
x+1x=4(1)oux+1x=6(2).

L’équation (1) équivaut, après réduction au même dénominateur, à :

x2+4x+1=0, qui a pour solutions

x1=23etx1=23.

L'équation (2) équivaut, après réduction au même dénominateur, à :

x2+6x+1=0, qui a pour solutions

x2=322etx2=3+22.

L'ensemble des solutions de (E) est donc :
S={23 ; 2+3 ; 3+22 ; 322}
 
4) L’équation réduite correspondante est : 2X29X+4=0.

Elle a pour racines 12 et 4.
 
En posant à nouveau X=x+1x, on trouve :

S=23 ; 2+3.

Exercice 18

1) Soit n le plus petit des deux entiers.

L'autre est (n+1).

On a donc l'équation :  n2+(n+1)2=2813soit2n2+2n2812=0

dont la résolution conduit à n=36 (impossible, car n est un entier naturel) ou n=37.

Les entiers sont donc 37 et 38.  
 
2) Soient et L les dimensions de ce rectangle.

Les données se traduisent par :  2(+L)=140 et 2+L2=502 (utiliser le théorème de Pythagore), soit par le système  
{+L=702+L2=2500

Posons

S=+LetP=L.

On a alors S=70 et S22P=2500, soit S=70 et P=1200.  

et L, s'ils existent, sont solutions de l'équation X270X+1200=0.

On trouve : L=40 et =30.
 
3) Soit x la longueur de ce champ.

L'aire est exprimée par A=x(100x) et nous voulons rendre cette expression (qui est un trinôme incomplet) maximale.

Écrivons - la sous forme canonique.

A=x2+100x=(x2100x)=(x50)2+2500.

Ainsi l'aire est toujours inférieure ou égale à 2500  et elle est maximale lorsqu'elle vaut 2500.

On a alors x=25.

Le rectangle est alors un carré.     

4) Soit n le nombre de personnes au départ.

La part de chaque personne devait être 720 000n.  

S'il y a 5 personnes des moins, le nombre de personnes participant au partage est alors n5 et  la part de chacun devient : 720 000n5.

L'hypothèse de l'énoncé est que cette dernière part surpasse la précédente de 2000F , soit 720 000n5=720 000n+2000, équation qui, après réduction au même dénominateur, transposition des termes dans le second membre et factorisation, s'écrit :

2000(n+40)(n45)n(5n)=0 et a donc pour solutions n=40 ou n=45.

Il est clair que seule la valeur n=45 convient pour notre problème, car n doit être un entier naturel.

On en conclut que : 45 personnes ont participé au partage.
 
5) Soit v la vitesse moyenne à l'aller, exprimée en km/h.

La vitesse moyenne au retour est évidemment v5 et il suffit de déterminer v pour répondre à la question posée.

Or, on a la formule générale : vitesse moyenne=Distance parcourueTemps

d’où Temps=Distance parcouruevitesse.

Par conséquent les temps mis pour effectuer les trajets à l'aller et au retour sont respectivement 75v et 75v5.

L'hypothèse est que le temps total de l'aller et du retour est 5.5h.

On doit donc avoir : 75v+75v5=5.5 équation dont la résolution, après réduction au même dénominateur et factorisation, se traduit par :  (v30)(2511v)v(v5)=0.

Cette dernière équation a pour solutions v=30 et v=2511, mais il est clair que seul v=30 convient, car v doit être supérieur ou égal à 5 (pour que la vitesse au retour soit positive).

En résumé, les vitesses à l'aller et au retour sont respectivement 30km/h et 25km/h.
 
6) Déterminons d'abord les longueurs AB et AC en fonction de a.

Le triangle étant rectangle en A, on a d'après le théorème de PYTHAGORE, AB2+AC2=BC2.

Ceci, joint à l'hypothèse AB+AC=5a4 et au fait que  BC=a montrent que ces longueurs sont solutions du système :

{x2+y2=a2x+y=5a4

Pour résoudre ce système, on remarque, d'après l'identité (x+y)2=x2+y2+2xy,  et que en remplaçant x2+y2 par cette expression dans le système, et en tenant compte de la seconde équation, on voit qu'il est équivalent à :
{x+y=5a4xy=12[(5a4)2a2]=9a232

On a là un système somme-produit, et pour le résoudre, on pose l'équation du second degré :

X2SX+P=0, soit : X25a4x+9a232=0.

La résolution de cette équation est aisée et mène aux solutions :

X1=578a et X2=5+78a.  

On a donc  
 
En remplaçant x2+y2 par cette expression dans le système, et en tenant compte de la seconde

AB=578a et AC=5+78a      

OU BIEN  AB=5+78a et AC=578a.

Auteur: 
Mouhamadou Ka

Commentaires

Merci vous j'ai beaucoup appris

Je voudrais la correction sur mon email svp

Pour maitriser la mathématiques

Correction exercice 20 svp

Je voulais la correction de tout les exercices

En travaillant beaucoup et d'être satisfaite de moi

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