Vous êtes ici

Exercices : Trigonométrie 3e

Classe:

Troisième

Exercice 1

Soit $RSU$ un triangle rectangle en $U$ tel que $RS=3$ et $SU=2$

1) Calculer $RU$

2) Calculer $\cos\widehat{R}\;,\ \sin\widehat{R}\;,\ \cos\widehat{S}\;,\ \sin\widehat{S}$ et $\tan\widehat{S}$

Exercice 2

1) $ABC$ est un triangle rectangle en $A$ tel que $\widehat{ABC}=56^{o}$ et $BC=4.2\;cm$. Calculer $AB$ et $AC$

2) Construire un triangle $OIE$ rectangle en $O$ tel que $\widehat{OEI}=72^{o}$ et $OE=2\;cm.$ Calculer l'arrondi au dixième près de $OI$ et vérifier sur la figure.

Exercice 3

Les questions sont indépendantes. On demande de faire la figure à main levée

1) $ABC$ est un triangle rectangle en $C$ tel que : $CB=4\;cm$ et $AC=3\;cm.$

Calculer : $\sin\widehat{B}\;,\ \cos\widehat{B}$ et $\tan\widehat{B}$. En déduire $mes\widehat{B}$ à 0.1 près.

2) Dans le triangle $HBC$ rectangle en $H$, $mes\widehat{B}=60^{o}$ et $HB=4\;cm$. Calculer les distances $BC$ et $HC.$

3) $ABC$ est un triangle rectangle en $B$ tel que : $mes\widehat{A}=30^{o}$ et $CB=5\;cm$. Calculer $AC$ et $AB.$

4) $STV$ est un triangle rectangle en $T$ tel que : $\tan\widehat{S}=\dfrac{4}{3}$ et $TV=\sqrt{6}\;cm$. Calculer $ST$ et $SV.$

5) Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$, on a : $\sin\widehat{A}=\dfrac{\sqrt{5}}{3}$. Calculer $\cos\widehat{A}$ et $\tan\widehat{A}.$

6) Soit $\widehat{A}$ et $\widehat{B}$ deux angles aigus tels que : $\cos\widehat{A}=\dfrac{\sqrt{3}-1}{6}$ et $\sin\widehat{B}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{72}}$. Montrer que $\widehat{A}$ et $\widehat{B}$ sont deux angles complémentaires.

Exercice 4

$ABC$ est un triangle rectangle en $B$ tel que $AC=10\;cm$ et $BC=5\;cm$. $\ I$ est un point de $[AB]$ tel que $AI=5\;cm$. La perpendiculaire à $(AB)$ passant par $I$ coupe $[AC]$ en $J.$

1) En utilisant le sinus de $\widehat{BAC}$, montrer que $\dfrac{IJ}{AJ}=\dfrac{BC}{AC}$, puis calculer $IJ.$

2) Calculer $\sin\widehat{BAC}$ et en déduire sa mesure en degrés.

Exercice 5

$(C)$ est un cercle de centre $O$ et de rayon $r$. $\ [BC]$ est un diamètre du cercle et $A$ un point de $(C)$ tel que $AB=r.$

1) Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $A.$

2) Calculer $AC$ en fonction de $r.$

3) Calculer $\sin$ de $\widehat{ABC}.$

Exercice 6

Soit un cercle $(C)$ de centre $O$ et de rayon $r$. $\ [AB]$ est un diamètre de ce cercle et $I$ milieu de $[OA]$. La perpendiculaire à la droite $(AB)$ passant par $I$ coupe le cercle en deux points $D$ et $E.$

1) Démontrer que $ABD$ est un triangle rectangle puis montrer que $AD=r.$

2) Calculer $\cos\widehat{DAB}$. En déduire $\sin\widehat{DBO}.$

3) Démontrer que $\dfrac{AI^{2}}{AD^{2}}+\dfrac{DB^{2}}{AB^{2}}=1$

Exercice 7

Soit $ABC$ un triangle isocèle de sommet $A$ tel que $\widehat{B}= 30^{o}$ et $BC=6\;cm$. On appelle $I$ milieu de $[BC]$

1) Calculer $AB$ et $AI$

2) Calculer l'aire $S$ du triangle $ABC$ puis donner son encadrement à $0.1\;cm^{2}$ près sachant que $1.732<\sqrt{3}<1.733$

Exercice 8

$KLM$ est un triangle $KL=4\;cm\;;\ LM=4\sqrt{3}\;;\ KM=8\;cm.$

1) Montrer que $KLM$ est un triangle rectangle.

2) Faire une figure.

3) Calculer $LH$ et $KH$ , $\ H$ étant le projeté orthogonal de $L$ sur $(KM).$

4) Soit $I$ le projeté orthogonal de $H$ sur $(ML)$. Calculer $IH.$

Exercice 9

1) On donne une valeur trigonométrique déduis-en les autres : $\cos x=\dfrac{1}{4}\;,\ \sin x=\ldots\;,\ \tan x=\ldots$

2) Construire un triangle $COS$ tel que $\widehat{OCS}=75^{o}$ et $\widehat{CSO}=55^{o}$

Placer deux points $E$ et $F$ sur la droite $(CO)$ tels que $S$ soit le projeté orthogonal de $F$ sur $(OS)$ et $EF=8\;cm$

Placer le point $R$ projeté orthogonal de $E$ sur $(OS)$

On appelle $I$ et $J$ les projetés orthogonaux respectifs de $E$ et $F$ sur $(CS)$

Calculer les arrondis au dixième de $IJ$ et $RS$. Vérifier sur le dessin les résultats trouvés.

Exercice 10

1) $OAB$ est un triangle, $OA=\sqrt{10}\;;\ OB=3\sqrt{10}$ et $AB=10\;cm$. Quelle est la nature de $OAB$ ?

2) Calculer le cosinus de l'angle $\widehat{OBA}$. En déduire $\sin\widehat{OBA}$ ?

3) Sachant que $3.162<\sqrt{10}<3.163$ donner la valeur approchée par défaut à l'ordre 4 de $\cos\widehat{OBA}$. En déduire la valeur approchée à 1 degré près de $\widehat{OBA}.$

On donne : $\cos 17^{o}\approx 0.9543\;,\ \cos 18^{o}\approx 0.9511\;,\ \cos 19^{o}\approx 0.9455$ et $\cos 20^{o}\approx 0.9397$

Exercice 11

Soit un demi-cercle de centre $O$ et de diamètre $[AB]$ tel que $AB=6\;cm$. Tracer la droite $(D)$ perpendiculaire à $(AB)$ passant par $B$. Marquer un point $C$ sur le demi-cercle tel que l'angle $\widehat{CAB}=30^{o}$. La demi droite $[AC)$ coupe la droite $(D)$ en $E.$

1) Quelle est la nature des triangles $ABC$ et $AEB$ ? Justifier les réponses.

2) Calculer $AC\;,\ BC\;,\ AE$ et $EB.$

3) Sur l'arc $\overset{\displaystyle\frown}{BC}$ , marquer le point $M$ tel que les points $O\;,\ M$ et $E$ soit alignés.

a) Calculer le cosinus de l'angle $\widehat{MOB}$.

b) Donner sa valeur approchée par défaut à $10^{-3}$ près sachant que $4.582\leq \sqrt{21}\leq 4.583$

c) Déduire la mesure de l'angle $\widehat{EOB}$ à un degré près par défaut.

Exercice 12

1) Tracer un demi-cercle $(C)$ de centre $O$ et de diamètre $[AB]$ tel que $AB=2r$. Soit $M$ un point du demi-cercle $(C)$ plus proche de $B$ que de $A$. Quelle est la nature du triangle $AMB$ ? Justifier.

2) Soit $a$ et $b$ les mesures respectives en degrés des angles $\widehat{BAM}$ et $\widehat{BOM}$ et $C$ le pied de la hauteur du triangle $AMB$ issue de $M.$

a) Donner deux expressions différentes de $\cos a$.

b) En déduire que : $AC=AM\cos a\;,\ AM^{2}=AB\times AC$

c) On sait que $AC=AO+OC$ : Exprimer $OC$ en fonction de $\cos b$. En déduire que $AC=r(1+\cos b)$

d) Déduire des questions précédentes que $\cos^{2}a=\dfrac{1+\cos b}{2}.$

Exercice 13

$x$ et $a$ sont des angles aigus

1) Sachant que $\cos x=\dfrac{\sqrt{5}}{3}$, calculer $\sin x$ et $\tan x.$

2) Soit l'expression $F(a)=(1-\cos a)(1+\cos a)(1+\tan^{2}a)$

a) Démontrer que $F(a)=\tan^{2}a$

b) Calculer $F(30^{o})$

3) Soit un triangle quelconque $ABC$ ; $\ H$ le pied de la hauteur issue de $A.$

Démontrer que : $\dfrac{\sin\widehat{B}}{AC}=\dfrac{\sin\widehat{C}}{AB}.$

Exercice 14

1) Sachant que $\sin 15^{\circ}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$, vérifier que $\cos 15^{\circ}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ puis, donner la valeur exacte de $\ tan 15^{\circ}.$

2) $x\in\;]0^{\circ}\;;\ 90^{\circ}[$

a) Établir les égalités suivantes :

$1+\tan^{2}x=\dfrac{1}{\cos^{2}x}$

$1-2\sin^{2}x=2\cos^{2}x-1$

$(\cos x+\sin x)(\cos x-\sin x)=2\cos^{2}x-1$

$1+\dfrac{1}{\tan^{2}x}=\dfrac{1}{\sin^{2}x}$

b) Simplifier $\sqrt{1-\cos x}\times\sqrt{1+\cos x}\ $ et $\ \sqrt{1+\tan^{2}x}$ (Utiliser les résultats de la question a))

Exercice 15

1) a) Construire un cercle $(\mathcal{C})$ de centre $I$ et de rayon $4\;cm.\ A$ et $B$ sont diamétralement opposés.

Placer un point $M$ sur $(\mathcal{C})$ tel que : $AM=4\;cm.$

b) Quelle est la nature du triangle $AMI$ ?

c) En déduire la mesure de l'angle $\widehat{BIM}.$

2) $K$ est le point d'intersection de la perpendiculaire à $(AB)$ passant par $I$ et la droite $(AM).$

a) Justifier que $AMB$ est un triangle rectangle.

b) En remarquant que $\cos\widehat{BAM}=\cos\widehat{KAI}.$

Calculer $AK$ et $KI.$

3) Le point $H$ est le projeté de $M$ sur $(AB).$

a) Calculer $\cos\widehat{B}$ de 2 manières différentes.

b) Exprimer $BH$ en fonction de $\cos\widehat{B}$ puis démontrer que : $BH=\dfrac{BM^{2}}{AB}$

4) Placer le point $E$ sur le segment $[AM]$ tel que : $AE=3\;cm.$ La parallèle à $(IM)$ passant par $E$ coupe $[AI]$ en $F.$

Quelle est la nature du triangle $AEF$ ?

Exercice 16

On considère un cercle $(\mathcal{C})$ de centre $O$ et de rayon $r.$ Soit $[AB]$ un diamètre de ce cercle ; $(\Delta)$ la tangente en $B$ à $(\mathcal{C}).$ Une droite $(L)$ passant par $A$ recoupe $(\mathcal{C})$ en $C$ et recoupe $(\Delta)$ en $E.$ On désigne par $\alpha$ la mesure de $\widehat{BAC}.$

1) Exprimer en fonction de $r$ et $\alpha$ : $CA\;;\ CB\;;\ EA\;;\ EB.$

2) Calculer : $CA\;;\ CB\;;\ EA\;;\ EB$ pour $r=2\;cm$ et $\alpha=30^{\circ}.$

Exercice 17

Soit un segment $[OA]$, $OA=4\;cm.$

$M$ est un point appartenant au cercle $\mathcal{C}(O\;,\ 3\;cm)$ tel que :

$\widehat{AOM}=30^{\circ}$, $R$ un point du plan tel que $OARM$ est un parallélogramme.

Calcule l'aire de $OARM.$

(Tu peux projeter orthogonalement $M$ sur $[AO]).$

Exercice 18

$(\mathcal{C})$ est un cercle de diamètre $[AB]$, de rayon $r$, $(BX)$ est tangente à $(\mathcal{C})$ en $B.$

Une droite passant par $A$ coupe $(\mathcal{C})$ en $M$ et la tangente $(BX)$ en $T$, avec $\widehat{BAT}=a^{\circ}.$

Exprime $AM$, $MB$, $BT$, $AT$ à l'aide de $a$ et $r.$

Exercice 19

Construis le triangle $ABC$ rectangle en $A$ tel que $AB=8\;cm$ et $AC=6\;cm.$

1) Calcule $BC$, $\cos\widehat{ABC}$, $\sin\widehat{ABC}$ puis $\tan\widehat{ABC}.$

2) Place le point $M$ sur le segment $[AB]$ tel que :

$AM=\dfrac{1}{3}AB.$

3) La parallèle à $(BC)$ passant par $M$ coupe $(AC)$ en $N.$

Calcule $AN.$

4) Soient $O$ et $P$ les symétriques respectifs des points $M$ et $N$, par rapport à $A.$

Montre que $(MN)$ est parallèle à $(OP).$

Exercice 20

$ABC$ est un triangle rectangle en $B.$

$H$ est le pied de la hauteur issue de $B.$

On note $\alpha$ la mesure de $B̂CA.$

On donne :

$\sin(\alpha)=\dfrac{\sqrt{5}}{3}\;;\ BH=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ et $AC=\sqrt{5}.$

1) a) Sachant que $\cos^{2}(\alpha)+\sin^{2}(\alpha)=1$, calcule $\cos(\alpha).$

b) Déduis-en $HC$ et $AB.$

2) Une droite $(\Delta)$ parallèle à $(BC)$ et passant par $H$ coupe $[AB]$ en $E.$

a) Compare les mesures des angles $\widehat{EHA}$ et $\widehat{BCA}.$

b) Déduis-en que $$\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{EA}{EH}$$

Exercice 21

1) Soit un triangle $ABC$ rectangle en $A$ tel que $AB=8\;cm$ et $AC=4\;cm.$

Calcule $BC.$

2) Soit $H$ le projeté orthogonal de $A$ sur $[BC].$

On donne $AB^{2}=BH\times BC$ et $AC^{2}=CH\times BC$

a) Calcule $BH$, $CH$ puis $AH.$

b) La parallèle à $(AH)$ passant par $C$ coupe $(AB)$ en $E.$

Calcule $AE$ puis déduis-en $EC.$

c) Calcule $\sin\widehat{E}.$

Exercice 22

On donne la figure ci-dessous où $HG=6\;cm$, $\widehat{EGH}=45^{\circ}$, $\sin\widehat{HFG}=\dfrac{3}{5}$, $(GH)$ est la hauteur du triangle $EFG$ issue de $G\ $ et $\ (HG)$ parallèle à $(ER).$

1) Détermine $\cos\widehat{HGF}.$

2) En utilisant les relations trigonométriques dans le triangle rectangle, calcule les longueurs $FG$ et $FH.$

3) Justifie que le triangle $EGH$ est rectangle et isocèle en $H$ puis déduis-en $EH.$

4) Calcule la longueur $RE.$

Exercice de Synthèse

Soit $ABC$ un triangle rectangle en $B$ et $AC$ l'hypoténuse, $\sin\widehat{A}$ est égal :

a) $\dfrac{AC}{BC}$ b) $\dfrac{AB}{AC}$ c) $\dfrac{BC}{AC}$

$\begin{array}{c}\blacktriangleright\,\boxed{\text{Correction des exercices}}\end{array}$

Ordre:

Commentaires

WADE (non vérifié)

sam, 11/10/2018 - 20:14

Permalien

intéressant

répondre

CHERIF BA (non vérifié)

lun, 12/02/2019 - 18:02

Permalien