Exercices : Trigonométrie 3e

Classe: 
Troisième

Exercice 1

Soit RSU un triangle rectangle en U tel que RS=3  et SU=2
 
1) Calculer RU
 
2) Calculer  cosˆR, sinˆR, cosˆS, sinˆS et tanˆS 

Exercice 2

1) ABC est  un triangle rectangle en A tel que ^ABC=56o et BC=4.2cm. Calculer AB et  AC
 
2) Construire un triangle OIE rectangle en O tel que ^OEI=72o et OE=2cm. Calculer l'arrondi au dixième près de OI et vérifier sur la figure.

Exercice 3

Les questions sont indépendantes. On demande de faire la figure à main levée
 
1) ABC est un triangle rectangle en C tel que : CB=4cm et AC=3cm.
 
Calculer :  sinˆB, cosˆB et tanˆB. En déduire mesˆB à 0.1 près.
 
2) Dans le triangle HBC rectangle en H, mesˆB=60o et HB=4cm. Calculer les distances BC et HC.
 
3) ABC est un triangle rectangle en B tel que : mesˆA=30o et CB=5cm. Calculer AC et AB.
 
4) STV est un triangle rectangle en T tel que : tanˆS=43 et TV=6cm. Calculer ST et SV.
 
5) Dans le triangle ABC rectangle en B, on a : sinˆA=53. Calculer cosˆA et tanˆA.
 
6) Soit ˆA et ˆB deux angles aigus tels que : cosˆA=316 et sinˆB=6272. Montrer que ˆA et ˆB sont deux angles complémentaires.

Exercice 4

ABC est un triangle rectangle en B tel que AC=10cm et BC=5cm.  I est un point de [AB] tel que AI=5cm. La perpendiculaire à (AB) passant par I coupe [AC] en J.
 
1) En utilisant le sinus de ^BAC, montrer que IJAJ=BCAC, puis calculer IJ.
 
2) Calculer sin^BAC et en déduire sa mesure en degrés.

Exercice 5 

(C) est un cercle de centre O et de rayon r.  [BC] est un diamètre du cercle et A un point de (C) tel que AB=r.
 
1) Montrer que le triangle ABC est  rectangle en A.
 
2) Calculer AC en fonction de r.
 
3) Calculer sin de ^ABC.

Exercice 6

Soit un cercle (C)  de centre O et de rayon r.  [AB] est un diamètre de ce cercle et I milieu de [OA]. La perpendiculaire à la droite (AB) passant par I coupe le cercle en deux points D et E.
 
1) Démontrer que ABD est un triangle rectangle puis montrer que AD=r.
 
2) Calculer cos^DAB. En déduire sin^DBO.
 
3) Démontrer que AI2AD2+DB2AB2=1 

Exercice 7

Soit ABC un triangle isocèle de sommet A tel que ˆB=30o et BC=6cm. On appelle I milieu de [BC]
 
1) Calculer AB et AI
 
2) Calculer l'aire S du triangle ABC puis donner son encadrement à 0.1cm2 près sachant que 1.732<3<1.733

Exercice 8 

KLM est un triangle KL=4cm; LM=43; KM=8cm.
 
1) Montrer que KLM est un triangle rectangle.
 
2) Faire une figure.
 
3) Calculer LH et KH ,  H étant le projeté orthogonal de L sur (KM).
 
4) Soit I le projeté orthogonal de H sur (ML). Calculer IH.

Exercice 9

1) On donne une valeur trigonométrique déduis-en les autres : cosx=14, sinx=, tanx=
 
2) Construire un triangle COS tel que ^OCS=75o et ^CSO=55o
 
Placer deux points E et F sur la droite (CO) tels que S soit le projeté orthogonal de F sur (OS) et EF=8cm
 
Placer le point R projeté orthogonal  de E sur (OS)
 
On appelle I et J les projetés orthogonaux respectifs de E et F sur (CS)
 
Calculer les arrondis au dixième de IJ et RS. Vérifier sur le dessin les résultats trouvés.

Exercice 10 

1) OAB est un triangle, OA=10; OB=310  et  AB=10cm. Quelle est la nature de OAB ?
 
2) Calculer le cosinus de l'angle ^OBA. En déduire  sin^OBA ?
 
3) Sachant que 3.162<10<3.163 donner la valeur approchée par défaut à l'ordre 4 de cos^OBA. En déduire la valeur approchée à 1 degré près de ^OBA.
 
On donne : cos17o0.9543, cos18o0.9511, cos19o0.9455 et cos20o0.9397

Exercice 11

Soit un demi-cercle de centre O et de diamètre [AB] tel que AB=6cm. Tracer la droite (D) perpendiculaire à (AB) passant par B. Marquer un point C sur le demi-cercle tel que l'angle ^CAB=30o. La demi droite [AC) coupe la droite (D) en E.
 
1) Quelle est la nature des triangles ABC  et AEB ? Justifier les réponses.
 
2) Calculer AC, BC, AE et EB.
 
3) Sur l'arc BC , marquer le point M tel que les points O, M et E soit alignés.
 
a) Calculer le cosinus de l'angle ^MOB.
 
b) Donner sa valeur approchée par défaut à 103 près sachant que 4.582214.583
 
c) Déduire la mesure de l'angle ^EOB à un degré près par défaut.

Exercice 12 

1) Tracer un demi-cercle (C) de centre O et de diamètre [AB] tel que AB=2r. Soit M un point du demi-cercle (C) plus proche de B que de A. Quelle est la nature du triangle AMB ? Justifier.
 
2) Soit a et b les mesures respectives en degrés des angles ^BAM et ^BOM et C le pied de la hauteur du triangle AMB issue de M.
 
a) Donner deux expressions différentes de cosa.
 
b) En déduire que : AC=AMcosa, AM2=AB×AC
 
c) On sait que AC=AO+OC : Exprimer OC en fonction de cosb. En déduire que AC=r(1+cosb)
 
d) Déduire des questions précédentes que cos2a=1+cosb2.

Exercice 13 

x et a sont des angles aigus
 
1) Sachant que cosx=53, calculer sinx et tanx.
 
2) Soit l'expression F(a)=(1cosa)(1+cosa)(1+tan2a)
 
a) Démontrer que F(a)=tan2a
 
b) Calculer F(30o)
 
3) Soit un triangle quelconque ABC ;  H le pied de la hauteur issue de A.
 
Démontrer que : sinˆBAC=sinˆCAB.

Exercice 14

1) Sachant que sin15=624, vérifier que cos15=6+24 puis, donner la valeur exacte de  tan15.
 
2) x]0; 90[
 
a) Établir les égalités suivantes :
 
1+tan2x=1cos2x
 
12sin2x=2cos2x1
 
(cosx+sinx)(cosxsinx)=2cos2x1
 
1+1tan2x=1sin2x
 
b) Simplifier 1cosx×1+cosx  et  1+tan2x (Utiliser les résultats de la question a))

Exercice 15

1) a) Construire un cercle (C) de centre I et de rayon 4cm. A et B sont diamétralement opposés.
 
Placer un point M sur (C) tel que : AM=4cm.
 
b) Quelle est la nature du triangle AMI
 
c) En déduire la mesure de l'angle ^BIM.
 
2) K est le point d'intersection de la perpendiculaire à (AB) passant par I et la droite (AM).
 
a) Justifier que AMB est un triangle rectangle.
 
b) En remarquant que cos^BAM=cos^KAI.
 
Calculer AK et KI.
 
3) Le point H est le projeté de M sur (AB).
 
a) Calculer cosˆB de 2 manières différentes.
 
b) Exprimer BH en fonction de cosˆB puis démontrer que : BH=BM2AB
 
4) Placer le point E sur le segment [AM] tel que : AE=3cm. La parallèle à (IM) passant par E coupe [AI] en F. 
 
Quelle est la nature du triangle AEF ?

Exercice 16

On considère un cercle (C) de centre O et de rayon r. Soit [AB] un diamètre de ce cercle ; (Δ) la tangente en B à (C). Une droite (L) passant par A recoupe (C) en C et recoupe (Δ) en E. On désigne par α la mesure de ^BAC.
 
1) Exprimer en fonction de r et α : CA; CB; EA; EB.
 
2) Calculer : CA; CB; EA; EB pour r=2cm et α=30.

Exercice 17

Soit un segment [OA], OA=4cm.
 
M est un point appartenant au cercle C(O, 3cm) tel que :
 
^AOM=30, R un point du plan tel que OARM est un parallélogramme.
 
Calcule l'aire de OARM.
 
(Tu peux projeter orthogonalement M sur [AO]).

Exercice 18

(C) est un cercle de diamètre [AB], de rayon r, (BX) est tangente à (C) en B.
 
Une droite passant par A coupe (C) en M et la tangente (BX) en T, avec ^BAT=a.
 
Exprime AM, MB, BT, AT à l'aide de a et r.

Exercice 19

Construis le triangle ABC rectangle en A tel que AB=8cm et AC=6cm.
 
1) Calcule BC, cos^ABC, sin^ABC puis tan^ABC.
 
2) Place le point M sur le segment [AB] tel que :
 
AM=13AB.
 
3) La parallèle à (BC) passant par M coupe (AC) en N.
 
Calcule AN.
 
4) Soient O et P les symétriques respectifs des points M et N, par rapport à A.
 
Montre que (MN) est parallèle à (OP).

Exercice 20

ABC est un triangle rectangle en B.
 
H est le pied de la hauteur issue de B.
 
On note α la mesure de B̂CA.
 
On donne : 
 
sin(α)=53; BH=52 et AC=5.
 
1) a) Sachant que cos2(α)+sin2(α)=1, calcule cos(α).
 
b) Déduis-en HC et AB.
 
2) Une droite (Δ) parallèle à (BC) et passant par H coupe [AB] en E.
 
a) Compare les mesures des angles ^EHA et ^BCA.
 
b) Déduis-en que ABBC=EAEH

Exercice 21

1) Soit un triangle ABC rectangle en A tel que AB=8cm et AC=4cm.
 
Calcule BC.
 
2) Soit H le projeté orthogonal de A sur [BC].
 
On donne AB2=BH×BC et AC2=CH×BC
 
a) Calcule BH, CH puis AH.
 
b) La parallèle à (AH) passant par C coupe (AB) en E.
 
Calcule AE puis déduis-en EC.
 
c) Calcule sinˆE.

Exercice 22

On donne la figure ci-dessous où HG=6cm, ^EGH=45, sin^HFG=35, (GH) est la hauteur du triangle EFG issue de G  et  (HG) parallèle à (ER).


 
1) Détermine cos^HGF.
 
2) En utilisant les relations trigonométriques dans le triangle rectangle, calcule les longueurs FG et FH.
 
3) Justifie que le triangle EGH est rectangle et isocèle en H puis déduis-en EH.
 
4) Calcule la longueur RE.

Exercice de Synthèse

Soit ABC un triangle rectangle en B et AC l'hypoténuse, sinˆA est égal :
 
a) ACBC     b) ABAC     c) BCAC
 

Correction des exercices

 
Ordre: 
12

Commentaires

intéressant

VRAIMENT C'est important et c'est interessant aussi;sil vou plait la coorection des exercices sur trigonométriques si possible. Je veux le reste de la correction merci beaucoup

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Merci vous l'aurez bientôt inchaalah

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