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Les nombres complexes - T S

Classe:

Terminale

I. Définition et notations

On appelle ensemble des nombres complexes l'ensemble noté

$\mathbb{C}$ qui :

$-$ contient

$\mathbb{R}\;;\quad \mathbb{R}\subset\mathbb{C}$

$-$ muni de l'addition et de la multiplication possède les mêmes propriétés que

$\mathbb{R}$ (commutativité, associativité, élément neutre, élément symétrique ou opposé, distributivité, etc...)

$-$ contient un élément noté

$\mathrm{i}$ vérifiant

$\mathrm{i}^{2}=-1$

$\centerdot\ \$ tout élément

$z\in\mathbb{C}$ s'écrit, de façon algébrique,

$z=a+\mathrm{i}b\;,\ a\text{ et }b\in\mathbb{R}$

$a$ est appelé la partie réelle de

$z$ notée

$\Re e(z)=a$

$b$ est appelé la partie imaginaire de

$z$ notée

$\Im m(z)=b$

$\centerdot\ \ z=a+\mathrm{i}b$ est réel si, et seulement si,

$b=0\quad(\Im m(z)=0)$

$\centerdot\ \ z=a+\mathrm{i}b$ est imaginaire pur si, et seulement si,

$a=0\quad(\Re e(z)=0)$

$\centerdot\ \ z=a+\mathrm{i}b=0\$ si, et seulement si,

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} a&=&0 \\ b&=&0\end{array}\right.\ \Leftrightarrow\ \left\lbrace\begin{array}{rcl} \Re e(z)&=&0 \\ \Im m(z)&=&0\end{array}\right.$

$\centerdot\ \$ Soient

$z$ et

$z'$ deux nombres complexes tels que

$z=a+\mathrm{i}b$ et

$z'=a'+\mathrm{i}b'$ alors

$z=z'$ si, et seulement si,

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} a&=&a' \\ b&=&b'\end{array}\right.\ \Leftrightarrow\ \left\lbrace\begin{array}{rcl} \Re e(z)&=&\Re e(z') \\ \Im m(z)&=&\Im m(z')\end{array}\right.$

Remarque

Les identités remarquables de

$\mathbb{R}$ restent aussi valables dans

$\mathbb{C}$

$(a+\mathrm{i}b)^{2}=a^{2}-b^{2}+2\mathrm{i}ab$

$(a-\mathrm{i}b)^{2}=a^{2}+b^{2}-2\mathrm{i}ab$

II. Conjugué d'un nombre complexe

II.1 Définition

$a\;,\ b\in\mathbb{R}$ , on appelle conjugué du nombre complexe

$z=a+\mathrm{i}b$ , le nombre complexe noté

$\overline{z}=a-\mathrm{i}b$

Exemple

$z_{1}=2-3\mathrm{i}\;,\quad \overline{z}_{1}=2+3\mathrm{i}\;,\quad z_{2}=-4\mathrm{i}\;,\quad \overline{z}_{2}=4\mathrm{i}$

$z_{3}=-7\;,\quad \overline{z}_{3}=-7\;,\quad z_{4}=\mathrm{i}\;,\quad \overline{z}_{4}=-\mathrm{i}$

II.2 Propriétés

$\centerdot\ \ z$ est réel si, et seulement si,

$\overline{z}=z$

$\centerdot\ \ z$ est imaginaire pur si, et seulement si,

$\overline{z}=-z$

$\centerdot\ \ \Re e(z)=\dfrac{z+\overline{z}}{2}$

$\centerdot\ \ \Im m(z)=\dfrac{z-\overline{z}}{2\mathrm{i}}$

$\centerdot\ \ \overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{z}'$

$\centerdot\ \ \overline{zz'}=\overline{z}\times\overline{z}'$

$\centerdot\ \ \overline{\left(\dfrac{1}{z}\right)}=\dfrac{1}{\overline{z}}$

$\centerdot\ \ \overline{\left(\dfrac{z}{z'}\right)}=\dfrac{\overline{z}}{\overline{z'}}$

$\centerdot\ \ p\in\mathbb{Z}\;,\ \overline{z^{p}}=\overline{z}^{p}$

III. Représentation graphique d'un nombre complexe

Soit

$(O\;;\ \vec{e}_{1}\;,\ \vec{e}_{2})$ un repère orthonormé direct.

$\centerdot\ \$ Tout nombre complexe

$z=a+\mathrm{i}b\;,\ a\text{ et }b\in\mathbb{R}$ peut être représenté dans le plan par un point

$M\begin{pmatrix} a \\ b\end{pmatrix}$ ou par un vecteur

$\vec{u}\begin{pmatrix} a \\ b\end{pmatrix}.$

On dira que

$M$ est le point image de

$z$ et on note

$M(z)$ ou que

$z$ est l'affixe de

$M$ et on note

$z_{M}.$

On dit aussi que

$\vec{u}$ est le vecteur image de

$z$ et on note

$\vec{u}(z)$ ou que

$z$ est l'affixe de

$\vec{u}$ et on note

$z_{\vec{u}}.$

$\centerdot\ \$ Soient

$A\begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2}\end{pmatrix}$ et

$B\begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2}\end{pmatrix}$ deux points du plan, alors :

$z_{A}=a_{1}+\mathrm{i}a_{2}\;,\ z_{B}=b_{1}+\mathrm{i}b_{2}$ et

$\begin{array}{rcl} z_{\overrightarrow{AB}}&=&b_{1}-a_{1}+\mathrm{i}(b_{2}-a_{2}) \\ \\ &=&(b_{1}+\mathrm{i}b_{2})-(a_{1}+\mathrm{i}a_{2}) \\ \\ &=&z_{B}-z_{A} \end{array}$

Donc

$z_{\overrightarrow{AB}}=z_{B}-z_{A}$

$\centerdot\ \$ Soient

$A(z_{A})\;,\ B(z_{B})$ et

$C(z_{C})$ trois points du plan. Si

$G$ est barycentre de

$(A\;,\ \alpha)\;;\ (B\;,\ \beta)$ et

$(C\;,\ \gamma)$ alors l'affixe de

$G$ est

$\dfrac{\alpha z_{A}+\beta z_{B}+\gamma z_{C}}{\alpha+\beta+\gamma}$

$\centerdot\ \ z$ est réel si, et seulement si,

$M(z)\in(x'Ox)$

$\centerdot\ \ z$ est imaginaire pur si, et seulement si,

$M(z)\in(y'Oy)$

$\centerdot\ \ M(z)\text{ et }N(\overline{z})$ sont symétriques par rapport à

$(Ox)$

$\centerdot\ \ M(z)\text{ et }M'(-z)$ sont symétriques par rapport à

$O$

Exercice d'application

Le plan est muni d'un repère orthonormé direct

$(O\;;\ \vec{u}\;,\ \vec{v})$ et soit

$z=x+\mathrm{i}y$ un nombre complexe.

1) Déterminer l'ensemble des points

$M(z)$ du plan tels que

$z^{2}$ soit :

a) réel

b) imaginaire pur

2) Soient

$A\begin{pmatrix} 1\\ -1\end{pmatrix}$ et

$B\begin{pmatrix} 0\\ 2\end{pmatrix}$ deux points du plan et

$M$ d'affixe

$z.$

On pose

$Z=\dfrac{z-1+\mathrm{i}}{z-2\mathrm{i}}$

a) Exprimer

$\Re e(Z)$ et

$\Im m(Z)$ en fonction de

$x$ et

$y$

b) Déterminer l'ensemble des points

$M(Z)$ tels que :

$-\ \ Z$ soit réel

$-\ \ Z$ soit imaginaire pur

Résolution

1) On a

$z^{2}=x^{2}-y^{2}+2\mathrm{i}xy$

$\begin{array}{rcl} z^{2}\ \text{ est réel }&\Leftrightarrow&2xy=0 \\ \\ &\Leftrightarrow&x=0\quad\text{ou}\quad y=0\end{array}$

Donc l'ensemble des points

$M(z)$ du plan tels que

$z^{2}$ soit réel est la réunion des axes du repère.

$\begin{array}{rcl} z^{2}\ \text{ est imaginaire pur }&\Leftrightarrow&x^{2}-y^{2}=0 \\ \\ &\Leftrightarrow&(x-y)(x+y)=0\\ \\ &\Leftrightarrow&x=y\quad\text{ou}\quad x=-y\end{array}$

Donc l'ensemble des points

$M(z)$ du plan tels que

$z^{2}$ soit imaginaire pur est la réunion des bissectrices du repère.

$\begin{array}{rcl} Z=\dfrac{z-1+\mathrm{i}}{z-2\mathrm{i}}&=&\dfrac{x+\mathrm{i}y-1+\mathrm{i}}{x+\mathrm{i}y-2\mathrm{i}}\\ \\ &=&\dfrac{(x-1)+\mathrm{i}(y+1)}{x+\mathrm{i}(y-2)}\\ \\ &=&\dfrac{[(x-1)+\mathrm{i}(y+1)][x-\mathrm{i}(y-2)]}{[x+\mathrm{i}(y-2)][x-\mathrm{i}(y-2)]}\\ \\ &=&\dfrac{x(x-1)+(y+1)(y-2)+\mathrm{i}[-(x-1)(y-2)+x(y+1)]}{x^{2}+(y-2)^{2}}\\ \\ &=&\dfrac{x^{2}+y^{2}-x-y-2+\mathrm{i}(3x+y-2)}{x^{2}+(y-2)^{2}}\\ \\ &=&\dfrac{x^{2}+y^{2}-x-y-2}{x^{2}+(y-2)^{2}}+\mathrm{i}\dfrac{3x+y-2}{x^{2}+(y-2)^{2}}\end{array}$

Donc $\ \Re e(Z)=\dfrac{x^{2}+y^{2}-x-y-2}{x^{2}+(y-2)^{2}}\$ et $\ \Im m(Z)=\dfrac{3x+y-2}{x^{2}+(y-2)^{2}}$

$\begin{array}{rcl} Z\ \text{ réel }&\Leftrightarrow&\Im m(Z)=0\\ \\ &\Leftrightarrow&\dfrac{3x+y-2}{x^{2}+(y-2)^{2}}=0\\ \\ &\Leftrightarrow&\left\lbrace\begin{array}{rcl}3x+y-2&=&0 \\ x^{2}+(y-2)^{2}&\neq&0\ \Rightarrow\ x\neq 0\quad\text{et}\quad y\neq 2 \end{array}\right.\end{array}$

Donc l'ensemble des points

$M(Z)$ tels que

$Z$ soit réel est la droite

$\Delta$ d'équation

$3x+y-2=0$ privée du point

$B(2\mathrm{i}).$

$\begin{array}{rcl} Z\ \text{ imaginaire pur }&\Leftrightarrow&\Re e(Z)=0\\ \\ &\Leftrightarrow&\dfrac{x^{2}+y^{2}-x-y-2}{x^{2}+(y-2)^{2}}=0\\ \\ &\Leftrightarrow&\left\lbrace\begin{array}{rcl}x^{2}+y^{2}-x-y-2&=&0 \\ x^{2}+(y-2)^{2}&\neq&0\ \Rightarrow\ x\neq 0\quad\text{et}\quad y\neq 2 \end{array}\right.\\ \\ &\Leftrightarrow&\left\lbrace\begin{array}{rcl}\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\left(y-\dfrac{1}{2}\right)^{2}-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}-2&=&0 \\ \\ x\neq 0&\text{et}&y\neq 2 \end{array}\right.\\ \\ &\Leftrightarrow&\left\lbrace\begin{array}{rcl}\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\left(y-\dfrac{1}{2}\right)^{2}&=&\dfrac{5}{2} \\ \\ x\neq 0&\text{et}&y\neq 2 \end{array}\right.\\ \\ &\Leftrightarrow&\left\lbrace\begin{array}{rcl}\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\left(y-\dfrac{1}{2}\right)^{2}&=&\left(\dfrac{\sqrt{10}}{2}\right)^{2} \\ \\ x\neq 0&\text{et}&y\neq 2 \end{array}\right.\end{array}$

Donc l'ensemble des points

$M(Z)$ tels que

$Z$ soit imaginaire pur est le cercle

$\mathcal{C}\left(I\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} \\ \\ \dfrac{1}{2}\end{pmatrix}\;;\ \dfrac{\sqrt{10}}{2}\right)$ privé du point

$B(2\mathrm{i}).$

IV. Module d'un nombre complexe

IV.1 Définition

On appelle module d'un nombre complexe

$z=a+\mathrm{i}b$ le réel positif noté

$|z|=\sqrt{z\overline{z}}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$

$\centerdot\ \$ Si

$M\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix}$ est d'affixe

$z$ alors,

$||\overrightarrow{OM}||=OM=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=|z|$

$\centerdot\ \$ Si

$A\begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2}\end{pmatrix}$ et

$B\begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2}\end{pmatrix}$ deux points du plan alors,

$||\overrightarrow{AB}||=\sqrt{(b_{1}-a_{1})^{2}+(b_{2}-a_{2})^{2}}=|z_{\overrightarrow{AB}}|=|z_{B}-z_{A}|$

IV.2 Propriétés

$\centerdot\ \ a\in\mathbb{R}\;,\ z=a$ , alors

$|z|=|a|$

$\centerdot\ \ |\mathrm{i}b|=|b|$

$\centerdot\ \ |z|=|\overline{z}|$

$\centerdot\ \ \lambda\in\mathbb{R}\;,\ |\lambda z|=|\lambda||z|$

$\centerdot\ \ |zz'|=|z|\times|z'|$

$\centerdot\ \ z'\neq 0\;,\ \left|\dfrac{z}{z'}\right|=\dfrac{|z|}{|z'|}$

$\centerdot\ \ p\in\mathbb{Z}\;,\ |z^{p}|=|z|^{p}$

$\centerdot\ \ |z+z'|\leq|z|+|z'|$ (inégalité triangulaire)

$\centerdot\ \ |z_{M}-z_{A}|=AM$

Exercice d'application

Soient

$A\begin{pmatrix} 1\\ -1\end{pmatrix}$ et

$B\begin{pmatrix} 0\\ 2\end{pmatrix}$ deux points du plan et

$M$ d'affixe

$z=x+\mathrm{i}y.$

1) Déterminer l'ensemble des points

$M(z)$ tels que

$|Z|=1$ où

$Z=\dfrac{z-1+\mathrm{i}}{z-2\mathrm{i}}$

2) Déterminer l'ensemble des points

$M(z)$ tels que

$|Z|=2$

3) Déterminer l'ensemble des points

$M(z)$ tels que

$(z-1+\mathrm{i})(\overline{z}-1-\mathrm{i})=16$

Résolution

$\begin{array}{rcl} |Z|=1&\Rightarrow&\left|\dfrac{z-1+\mathrm{i}}{z-2\mathrm{i}}\right|=1\\ \\ &\Rightarrow&\dfrac{|z-1+\mathrm{i}|}{|z-2\mathrm{i}|}=1\\ \\ &\Rightarrow&|z-1+\mathrm{i}|=|z-2\mathrm{i}|\quad\text{or }M(z)\;,\ A(1-\mathrm{i})\ \text{ et }\ B(2\mathrm{i})\\ \\ &\Rightarrow&|z_{M}-z_{A}|=|z_{M}-z_{B}|\\ \\ &\Rightarrow&AM=BM\end{array}$

Donc l'ensemble des points

$M(z)$ tels que

$|Z|=1$ est la médiatrice de

$[AB].$

2) Soit

$I$ barycentre de

$(A\;,\ 1)\;;\ (B\;,\ -2)$ et

$J$ barycentre de

$(A\;,\ 1)\;;\ (B\;,\ 2)$ alors,

$\begin{array}{rcl} |Z|=2&\Rightarrow&\left|\dfrac{z-1+\mathrm{i}}{z-2\mathrm{i}}\right|=2\\ \\ &\Rightarrow&MA=2MB\\ \\ &\Rightarrow& MA^{2}=4MB^{2}\\ \\ &\Rightarrow&MA^{2}-4MB^{2}=0\\ \\ &\Rightarrow&(\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB})\cdot(\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB})=0 \\ \\ &\Rightarrow&-\overrightarrow{MI}\cdot(3\overrightarrow{MJ})=0\\ \\ &\Rightarrow& -3\overrightarrow{MI}\cdot\overrightarrow{MJ}=0\\ \\ &\Rightarrow&\overrightarrow{MI}\cdot\overrightarrow{MJ}=0 \end{array}$

Donc l'ensemble des points

$M(z)$ tels que

$|Z|=2$ est le cercle de diamètre

$[IJ].$

$\begin{array}{rcl} (z-1+\mathrm{i})(\overline{z}-1-\mathrm{i})=16&\Leftrightarrow&z\overline{z}-z-\mathrm{i}z-\overline{z}+1+\mathrm{i}+\mathrm{i}\overline{z}-\mathrm{i}+1=16\\ \\ &\Leftrightarrow&z\overline{z}-(z+\overline{z})-\mathrm{i}(z-\overline{z})+2=16\\ \\ &\Leftrightarrow&|z|^{2}-2\Re e(z)-\mathrm{i}2\mathrm{i}\Im m(z)+2=16\\ \\ &\Leftrightarrow&x^{2}+y^{2}-2x+2y+2=16\\ \\ &\Leftrightarrow&(x-1)^{2}+(y+1)^{2}-1-1+2=16\\ \\ &\Leftrightarrow&(x-1)^{2}+(y+1)^{2}=(4)^{2}\end{array}$

Donc l'ensemble des points

$M(z)$ tels que

$(z-1+\mathrm{i})(\overline{z}-1-\mathrm{i})=16$ est le cercle

$\mathcal{C}(A\;,\ 4).$

V. Argument et forme trigonométrique d'un nombre complexe non nul

V.1 Définition

Soit

$(O\;;\ \vec{e}_{1}\;,\ \vec{e}_{2})$ un repère orthonormé direct et

$(\mathcal{C})$ le cercle de centre

$O$ et de rayon 1.

Soit

$M\begin{pmatrix} a \\ b\end{pmatrix}$ un point du plan d'affixe

$z=a+\mathrm{i}b$

1er cas :

$|z|=1$ alors

$OM=1\ \Rightarrow\ M\in\mathcal{C}(O\;,\ 1)$ .

Donc

$\exists\;\theta\in\mathbb{R}\;;\ (\vec{e}_{1}\;,\ \overrightarrow{OM})=\theta\;(2\pi).$

Soit

$M\begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta\end{pmatrix}$ . Alors,

$z=\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta$ est appelé forme trigonométrique du complexe

$z$ et

$\theta=(\vec{e}_{1}\;,\ \overrightarrow{OM})$ est l'argument de

$z$ noté

$arg\;z=\theta\;(2\pi)$

2em cas :

$|z|\neq 1$ alors on pose

$Z=\dfrac{z}{|z|}\ \Rightarrow\ |Z|=1$ .

Alors, d'après le 1er cas

$\begin{array}{rcl} \exists\;\theta\in\mathbb{R}\;;\ Z=\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta&\Rightarrow&\dfrac{z}{|z|}=\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta\\ \\ &\Rightarrow&z=|z|(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta)\end{array}$

Donc

$z=|z|(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta)$ est la forme trigonométrique et

$\theta$ est un argument de

$z.$

En résumé, si

$|z|=r$ et

$arg\;z=\theta\;(2\pi)$ alors

$z=r(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta)$ est la forme trigonométrique de

$z.$

Exercice d'application

Déterminer les formes trigonométriques et arguments de :

$z_{1}=\mathrm{i}\;,\quad z_{2}=-\mathrm{i}\;,\quad z_{3}=-1\;,\quad z_{4}=\dfrac{1}{2}-\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$z_{5}=2-2\mathrm{i}\;,\quad z_{6}=\dfrac{\sqrt{6}-\mathrm{i}\sqrt{2}}{2}\;,\quad z_{7}=1+\cos\theta-\mathrm{i}\sin\theta$

Résolution

$z_{1}=\mathrm{i}=\cos\dfrac{\pi}{2}+\mathrm{i}\sin\dfrac{\pi}{2}\$ donc

$\ arg\;z_{1}=\dfrac{\pi}{2}\;(2\pi)$

$z_{2}=-\mathrm{i}=\cos\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)+\mathrm{i}\sin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)\$ donc

$\ arg\;z_{2}=-\dfrac{\pi}{2}\;(2\pi)$

$z_{3}=-1=\cos\pi+\mathrm{i}\sin\pi\$ donc

$\ arg\;z_{3}=\pi\;(2\pi)$

$\begin{array}{rcl} z_{4}&=&\dfrac{1}{2}-\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ \\ &=&\cos\dfrac{\pi}{3}-\mathrm{i}\sin\dfrac{\pi}{3}\\ \\ &=&\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)+\mathrm{i}\sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\end{array}$

donc

$arg\;z_{4}=-\dfrac{\pi}{3}\;(2\pi)$

$|z_{5}|=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\$

donc on a :

$\begin{array}{rcl} z_{5}&=&2-2\mathrm{i}\\ \\ &=&2\sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\mathrm{i}\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\\ \\ &=&2\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\\ \\ &=&2\sqrt{2}\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)+\mathrm{i}\sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\right)\end{array}$

donc

$arg\;z_{5}=-\dfrac{\pi}{4}\;(2\pi)$

$|z_{6}|=\sqrt{\dfrac{6+2}{4}}=\sqrt{2}$

donc on a :

$\begin{array}{rcl} z_{6}&=&\dfrac{\sqrt{6}-\mathrm{i}\sqrt{2}}{2}\\ \\ &=&\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\mathrm{i}\dfrac{1}{2}\right)\\ \\ &=&\sqrt{2}\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)+\mathrm{i}\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\right) \end{array}$

donc

$arg\;z_{6}=-\dfrac{\pi}{6}\;(2\pi)$

$\begin{array}{rcl} z_{7}&=&1+\cos\theta-\mathrm{i}\sin\theta\\ \\ &=&2\cos^{2}\dfrac{\theta}{2}-\mathrm{i}2\sin\dfrac{\theta}{2}\cos\dfrac{\theta}{2}\\ \\ &=&2\cos\dfrac{\theta}{2}\left(\cos\dfrac{\theta}{2}-\mathrm{i}\sin\dfrac{\theta}{2}\right)\end{array}$

On a donc

$|z_{7}|=\left|2\cos\dfrac{\theta}{2}\right|$

$-\$ Si

$0\leq\theta\leq\pi\ \Rightarrow\ 0\leq\dfrac{\theta}{2}\leq\dfrac{\pi}{2}\$ alors

$\ \cos\dfrac{\theta}{2}>0$

donc

$|z_{7}|=2\cos\dfrac{\theta}{2}\ \Rightarrow\ z_{7}=2\cos\dfrac{\theta}{2}\left(\cos\left(-\dfrac{\theta}{2}\right)+\mathrm{i}\sin\left(-\dfrac{\theta}{2}\right)\right)$ ainsi,

$arg\;z_{7}=-\dfrac{\theta}{2}\;(2\pi)$

$-\$ Si par contre

$\pi\leq\theta\leq 2\pi\ \Rightarrow\ \dfrac{\pi}{2}\leq\dfrac{\theta}{2}\leq\pi\$ , alors

$\ \cos\dfrac{\theta}{2}<0$

donc,

$\begin{array}{rcl} |z_{7}|=-2\cos\dfrac{\theta}{2}\ \Rightarrow\ z_{7}&=&-2\cos\dfrac{\theta}{2}\left(-\cos\dfrac{\theta}{2}+\mathrm{i}\sin\dfrac{\theta}{2}\right)\\ \\ &=&-2\cos\dfrac{\theta}{2}\left(\cos\left(\pi-\dfrac{\theta}{2}\right)+\mathrm{i}\sin\left(\pi-\dfrac{\theta}{2}\right)\right)\end{array}$

ainsi,

$arg\;z_{7}=\left(\pi-\dfrac{\theta}{2}\right)\;(2\pi)$

V.2 Propriétés

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct

$(O\;;\ \vec{e}_{1}\;,\ \vec{e}_{2}).$ Soient deux nombres complexes

$z$ et

$z'$ tels que

$|z|=r\;,\ |z'|=r'$ et

$arg\;z=\theta\;,\ arg\;z'=\theta'.$ On a :

$\centerdot\ \ z=z'\ \Leftrightarrow\ \left\lbrace\begin{array}{rcl} r&=&r' \\ \theta&=&\theta'\;(2\pi)\end{array}\right.$

$\centerdot\ \ arg\;zz'=\theta+\theta'=arg\;z+arg\;z'\;(2\pi)$

$\centerdot\ \ arg\;\dfrac{1}{z}=-\theta=-arg\;z\;(2\pi)$

$\centerdot\ \ arg\left(\dfrac{z}{z'}\right)=\theta-\theta'=arg\;z-arg\;z'\;(2\pi)$

$\centerdot\ \ arg\;(-z)=\theta+\pi=(arg\;z+\pi)\;(2\pi)$

$\centerdot\ \ arg\;\overline{z}=-\theta=-arg\;z\;(2\pi)$

$\centerdot\ \ p\in\mathbb{Z}\;,\ arg\;z^{p}=p\theta=p\;arg\;z\;(2\pi)$

$\centerdot\ \ M(z)\;,\ arg\;z=(\vec{e}_{1}\;,\ \overrightarrow{OM})$

$\centerdot\ \ arg\;(z_{M}-z_{A})=(\vec{e}_{1}\;,\ \overrightarrow{AM})$

$\centerdot\ \ z$ réel si, et seulement si,

$arg\;z=0\;(\pi)$

$\centerdot\ \ z$ réel positif si, et seulement si,

$arg\;z=0\;(2\pi)$

$\centerdot\ \ z$ réel négatif si, et seulement si,

$arg\;z=\pi\;(2\pi)$

$\centerdot\ \ z$ imaginaire pur si, et seulement si,

$arg\;z=\dfrac{\pi}{2}\;(\pi)$

$\centerdot\ \ z$ imaginaire pur avec partie imaginaire positive si, et seulement si,

$arg\;z=\dfrac{\pi}{2}\;(2\pi)$

$\centerdot\ \ z$ imaginaire pur avec partie imaginaire négative si, et seulement si,

$arg\;z=-\dfrac{\pi}{2}\;(2\pi)$

$\centerdot\ \ arg\;\left(\dfrac{z_{M}-z_{B}}{z_{M}-z_{A}}\right)=(\overrightarrow{MA}\;,\ \overrightarrow{MB})\;(2\pi)$

Remarque

Soient

$A(a)\;,\ B(b)\;,\ C(c)$ et

$D(d)$ quatre points du plan complexe alors

$A\;,\ B\;,\ C$ et

$D$ sont cocycliques si, et seulement si,

$\dfrac{(b-d)(a-c)}{(a-d)(b-c)}$ est réel.

Exercice d'application

Soient

$A(2-\mathrm{i})$ et

$B(1)$ deux points du plan,

$M$ d'affixe

$z.$

Déterminer l'ensemble des points

$M(z)$ tels que

$Z=\dfrac{z-2+\mathrm{i}}{z-1}$ soit :

a) réel

b) imaginaire pur

Résolution

On a

$Z=\dfrac{z-2+\mathrm{i}}{z-1}=\dfrac{z-z_{A}}{z-z_{B}}$

$\begin{array}{rcl} Z\ \text{ réel }&\Leftrightarrow&arg\;Z=0\;(\pi)\\ \\ &\Leftrightarrow&(\overrightarrow{MA}\;,\ \overrightarrow{MB})=0\;(\pi)\end{array}$

Donc l'ensemble des points

$M(z)$ tels que

$Z$ soit réel est la droite

$(AB)$ privée des points

$A$ et

$B.$

$\begin{array}{rcl} Z\ \text{ imaginaire pur }&\Leftrightarrow&arg\;Z=\dfrac{\pi}{2}\;(\pi)\\ \\ &\Leftrightarrow&(\overrightarrow{MA}\;,\ \overrightarrow{MB})=\dfrac{\pi}{2}\;(\pi)\end{array}$

Donc l'ensemble des points

$M(z)$ tels que

$Z$ soit imaginaire pur est le cercle de diamètre

$[AB]$ privé des points

$A$ et

$B.$

$\centerdot\ \$ Formule de Moivre

$p\in\mathbb{Z}\;,\quad(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta)^{p}=\cos p\theta+\mathrm{i}\sin p\theta$

Application : Expression de $\cos nx$ et $\sin nx$ en fonction de $\cos x$ ou $\sin x$

On a

$(\cos x+\mathrm{i}\sin x)^{n}=\cos nx+\mathrm{i}\sin nx$ alors,

$\cos nx=\Re e(\cos x+\mathrm{i}\sin x)^{n}\quad\text{et}\quad\sin nx=\Im m(\cos x+\mathrm{i}\sin x)^{n}$

Exercice d'application

Exprimer

$\cos 4x$ et

$\sin 4x$ en fonction de

$\cos x$ et

$\sin x$

On a :

$\begin{array}{rcl} (\cos x+\mathrm{i}\sin x)^{4}&=&\cos^{4}x+4\cos^{3}x\mathrm{i}\sin x-6\cos^{2}x\sin^{2}x-4\cos x\mathrm{i}\sin^{3}x+\sin^{4}x\\ \\ &=&\sin^{4}x+\cos^{4}x-6\cos^{2}x\sin^{2}x+\mathrm{i}(4\cos^{3}x\sin x-4\cos x\sin^{3}x)\end{array}$

or,

$(\cos x+\mathrm{i}\sin x)^{4}=\cos 4x+\mathrm{i}\sin 4x$ donc,

$\cos 4x=\sin^{4}x+\cos^{4}x-6\cos^{2}x\sin^{2}x\quad\text{et}\quad\sin 4x=4\cos^{3}x\sin x-4\cos x\sin^{3}x$

VI. Forme exponentielle d'un nombre complexe non nul

VI.1 Définition

Soit

$z$ un nombre complexe tel que

$|z|=r$ et

$arg\;z=\theta.$

On pose

$\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}=\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta.$ On a

$z=r(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta)=r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}.$

L'écriture

$z=r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ est appelée forme exponentielle du nombre complexe

$z.$

Exemple

$1=\mathrm{e}^{\mathrm{i}2k\pi}\;;\ k\in\mathbb{Z}\;,\quad -1=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi}\;,\quad \mathrm{i}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\tfrac{\pi}{2}}\;,\quad -\mathrm{i}=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\tfrac{\pi}{2}}$

$\mathrm{j}=-\dfrac{1}{2}+\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\tfrac{2\pi}{3}}\;,\quad \overline{\mathrm{j}}=-\dfrac{1}{2}-\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\tfrac{4\pi}{3}}$

VI.2 Propriétés

$\centerdot\ \ \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\right)^{p}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}p\theta}\;;\ p\in\mathbb{Z}$

$\centerdot\ \ \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\times\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta'}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\theta+\theta')}$

$\centerdot\ \ \dfrac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}}{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta'}}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\theta-\theta')}$

$\centerdot\ \$ Formule d'Euler

On pose

$\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}=\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta$ et

$\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}=\cos\theta-\mathrm{i}\sin\theta$ , alors on a les formules suivantes appelées formules d'Euler

$\cos\theta=\dfrac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}}{2}\quad\text{et}\quad\sin\theta=\dfrac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}}{2\mathrm{i}}$

Application : Linéarisation

Expression de $\cos^{n}x$ et $\sin^{n}x$ en fonction de $\cos px$ et $\sin px\;,\ p\in\mathbb{N}^{*}$

Exemple

Linéariser

$\cos^{5}x$ et

$\sin^{5}x$

Résolution

$\begin{array}{rcl} \cos^{5}x&=&\left(\dfrac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}}{2}\right)^{5}\\ \\ &=&\left(\dfrac{1}{2}\right)^{5}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}5x}+5\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}4x}+10\mathrm{e}^{\mathrm{i}2x}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}3x}+10\mathrm{e}^{\mathrm{i}3x}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}2x}+5\mathrm{e}^{\mathrm{i}4x}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}5x}\right)\\ \\ &=&\left(\dfrac{1}{2}\right)^{5}\left((\mathrm{e}^{\mathrm{i}5x}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}5x})+5(\mathrm{e}^{\mathrm{i}3x}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}3x})+10(\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}x})\right)\\ \\ &=&\left(\dfrac{1}{2}\right)^{5}\left(2\cos 5x+10\cos 3x+20\cos x\right)\\ \\ &=&\dfrac{1}{32}\left(2\cos 5x+10\cos 3x+20\cos x\right)\\ \\ &=&\dfrac{1}{16}\left(\cos 5x+5\cos 3x+10\cos x\right)\end{array}$

Donc

$\cos^{5}x=\dfrac{1}{16}\left(\cos 5x+5\cos 3x+10\cos x\right)$

$\begin{array}{rcl} \sin^{5}x&=&\left(\dfrac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}}{2\mathrm{i}}\right)^{5}\\ \\ &=&\left(\dfrac{1}{2\mathrm{i}}\right)^{5}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}5x}+5\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}4x}-10\mathrm{e}^{\mathrm{i}2x}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}3x}+10\mathrm{e}^{\mathrm{i}3x}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}2x}-5\mathrm{e}^{\mathrm{i}4x}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}5x}\right)\\ \\ &=&\left(\dfrac{1}{2\mathrm{i}}\right)^{5}\left((\mathrm{e}^{\mathrm{i}5x}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}5x})-5(\mathrm{e}^{\mathrm{i}3x}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}3x})+10(\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}x})\right)\\ \\ &=&\dfrac{1}{32\mathrm{i}}\left(2\mathrm{i}\sin 5x-10\mathrm{i}\sin 3x+20\mathrm{i}\sin x\right)\\ \\ &=&\dfrac{1}{16}\left(\sin 5x-5\sin 3x+10\sin x\right)\end{array}$

Donc

$\sin^{5}x=\dfrac{1}{16}\left(\sin 5x-5\sin 3x+10\sin x\right)$

VII. Équations dans $\mathbb{C}$

VII.1 Équations de la forme $az^{2}+bz+c=0$ avec $a\neq 0$

Soit l'équation

$az^{2}+bz+c=0\;,\ a\neq 0$ . On a

$\Delta=b^{2}-4ac.$ Alors,

$-\ \$ Si

$\Delta\in\mathbb{R}_{+}^{*}$ l'équation admet deux solutions distinctes

$z_{1}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\quad\text{et}\quad z_{2}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$

$-\ \$ Si

$\Delta=0$ l'équation admet une solution double

$z_{0}=\dfrac{-b-}{2a}$

$-\ \$ Si

$\Delta\in\mathbb{R}_{-}^{*}$ l'équation admet deux solutions distinctes

$z_{1}=\dfrac{-b-\sqrt{|\Delta|}}{2a}\quad\text{et}\quad z_{2}=\dfrac{-b+\sqrt{|\Delta|}}{2a}$

Exemple

$\Delta=-4=(2\mathrm{i})^{2}\;,\quad\Delta=-3=(\mathrm{i}\sqrt{3})^{2}$

$-\ \$ Si

$\Delta\in\mathrm{i}\mathbb{R}^{*}$ alors

$\Delta$ est de la forme

$\mathrm{i}b$

Exemple

$\Delta=6\mathrm{i}=3(2\mathrm{i})=[\sqrt{3}(1+\mathrm{i})]^{2}$

$\Delta=-8\mathrm{i}=4(-2\mathrm{i})=[2(1-\mathrm{i})]^{2}$

$-\ \$ Si

$\Delta\in\mathbb{C}$ l'équation admet deux solutions distinctes

$z_{1}$ et

$z_{2}.$

$\Delta=x+\mathrm{i}y$ , donc il existe deux réels

$\alpha$ et

$\beta$ tels que

$\Delta=(\alpha+\mathrm{i}\beta)^{2}.$ On a :

$\begin{array}{rcl} \Delta=(\alpha+\mathrm{i}\beta)^{2}&\Leftrightarrow&x+\mathrm{i}y=\alpha^{2}-\beta^{2}+2\mathrm{i}\alpha\beta\\ \\ &\Leftrightarrow&\left\lbrace\begin{array}{rcl} \alpha^{2}-\beta^{2}&=&x \\ 2\alpha\beta&=&y \\ |\Delta|&=&|(\alpha+\mathrm{i}\beta)^{2}|\end{array}\right.\\ \\ &\Leftrightarrow&\left\lbrace\begin{array}{rcl} \alpha^{2}-\beta^{2}&=&x\qquad\qquad\quad(1) \\ 2\alpha\beta&=&y\qquad\qquad\quad(2) \\ \alpha^{2}+\beta^{2}&=&\sqrt{x^{2}+y^{2}}\ \quad(3)\end{array}\right.\end{array}$

En additionnant les équations (1) et (3) on obtient

$2\alpha^{2}=x+\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ et on tire

$\alpha.$

En remplaçant

$\alpha$ par sa valeur dans l'équation (2) on trouve

$\beta.$ Ainsi, on a :

$z_{1}=\dfrac{-b-(\alpha+\mathrm{i}\beta)}{2a}\quad\text{et}\quad z_{2}=\dfrac{-b+(\alpha+\mathrm{i}\beta)}{2a}$

Exemple

1) On donne

$\Delta=-3+4\mathrm{i}$ , trouver

$\alpha$ et

$\beta$ tels que

$\Delta=(\alpha+\mathrm{i}\beta)^{2}$

2) Résoudre dans

$\mathbb{C}\;,\ z^{2}+(2-\sqrt{3}-\mathrm{i})z+(\sqrt{3}-1)(-1+\mathrm{i})=0$

Résolution

$\begin{array}{rcl} \Delta=-3+4\mathrm{i}=(\alpha+\mathrm{i}\beta)^{2}&\Leftrightarrow&-3+4\mathrm{i}=\alpha^{2}-\beta^{2}+2\mathrm{i}\alpha\beta\\ \\ &\Leftrightarrow&\left\lbrace\begin{array}{rcl} \alpha^{2}-\beta^{2}&=&-3 \\ 2\alpha\beta&=&4 \\ |\Delta|&=&|(\alpha+\mathrm{i}\beta)^{2}|\end{array}\right.\\ \\ &\Leftrightarrow&\left\lbrace\begin{array}{rcl} \alpha^{2}-\beta^{2}&=&-3\quad(1) \\ 2\alpha\beta&=&4\qquad(2) \\ \alpha^{2}+\beta^{2}&=&5\qquad(3)\end{array}\right.\end{array}$

(1)+(3) entraine que

$2\alpha^{2}=-3+5=2$ et donc

$\alpha^{2}=1$ ; c'est-à-dire

$\alpha=1$ ou

$\alpha=-1.$

$-\ \$ Si

$\alpha=1$ , en remplaçant dans (2) on trouve

$\beta=2$ , donc

$\Delta=(1+2\mathrm{i})^{2}$

$-\ \$ Si

$\alpha=-1$ , on trouve

$\beta=-2$ , donc

$\Delta=(-1-2\mathrm{i})^{2}=(1+2\mathrm{i})^{2}$

2) Soit à résoudre l'équation

$\mathbb{C}\;,\ z^{2}+(2-\sqrt{3}-\mathrm{i})z+(\sqrt{3}-1)(-1+\mathrm{i})=0.$

On a :

$\begin{array}{rcl} \Delta&=&(2-\sqrt{3}-\mathrm{i})^{2}-4(\sqrt{3}-1)(-1+\mathrm{i})\\ \\ &=&4+3-1-4\sqrt{3}-4\mathrm{i}+2\sqrt{3}\mathrm{i}+4\sqrt{3}-4\sqrt{3}\mathrm{i}-4+4\mathrm{i}\\ \\&=&2-2\sqrt{3}\mathrm{i}\end{array}$

Posons

$\Delta=(\alpha+\mathrm{i}\beta)^{2}$ alors

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} \alpha^{2}-\beta^{2}&=&2 \\ 2\alpha\beta&=&-2\sqrt{3} \\ \alpha^{2}+\beta^{2}&=&4\end{array}\right.$

Ainsi,

$2\alpha^{2}=4+2=6$ et donc

$\alpha^{2}=3$ ; c'est-à-dire

$\alpha=\sqrt{3}$ ou

$\alpha=-\sqrt{3}.$

$-\ \$ Si

$\alpha=\sqrt{3}$ , on trouve

$\beta=-1$ , donc

$\begin{array}{rcl} z_{1}&=&\dfrac{-2+\sqrt{3}+\mathrm{i}-(\sqrt{3}-\mathrm{i})}{2} \\ &=&-1+\mathrm{i}\end{array}\quad\text{et}\quad \begin{array}{rcl} z_{2}&=&\dfrac{-2+\sqrt{3}+\mathrm{i}+(\sqrt{3}-\mathrm{i})}{2} \\ &=&-1+\sqrt{3}\end{array}$

$-\ \$ Si

$\alpha=-\sqrt{3}$ , on trouve

$\beta=1$ , donc

$\begin{array}{rcl} z_{1}&=&\dfrac{-2+\sqrt{3}+\mathrm{i}-(-\sqrt{3}+\mathrm{i})}{2} \\ &=&-1+\sqrt{3}\end{array}\quad\text{et}\quad\begin{array}{rcl} z_{2}&=&\dfrac{-2+\sqrt{3}+\mathrm{i}+(-\sqrt{3}+\mathrm{i})}{2} \\ &=&-1+\mathrm{i}\end{array}$

D'où

$S_{\mathbb{C}}=\{-1+\mathrm{i}\;;\ -1+\sqrt{3}\}$

VII.2 Équations de la forme $az^{3}+bz^{2}+cz+d=0$ avec $a\neq 0$

Exemple

Soit

$(E)$ l'équation définie par

$(E)\ :\ z^{3}-3z^{2}+(3-\mathrm{i})z-2(1-\mathrm{i})=0.$

1) Montrer que

$(E)$ admet une solution réelle à déterminer.

2) Résoudre

$(E)$

Résolution

1) Soit

$z=a$ la solution réelle de

$(E)$

donc,

$\begin{array}{rcl} a^{3}-3a^{2}+(3-\mathrm{i})a-2(1-\mathrm{i})=0&\Rightarrow&a^{3}-3a^{2}+3a-a\mathrm{i}-2+2\mathrm{i}=0\\ \\ &\Rightarrow&a^{3}-3a^{2}+3a-2+\mathrm{i}(2-a)=0\\ \\ &\Rightarrow&\left\lbrace\begin{array}{rcl} a^{3}-3a^{2}+3a-2&=&0 \\ 2-a&=&0\end{array}\right.\\ \\ &\Rightarrow&\left\lbrace\begin{array}{rcl} a^{3}-3a^{2}+3a-2&=&0\quad(1) \\ a&=&2\quad(2)\end{array}\right.\end{array}$

$a=2$ vérifie aussi l'équation (1), donc 2 est la solution réelle cherchée.

2) L'équation

$(E)$ devient

$(z-2)(az^{2}+bz+c)=0$ . En procédant par exemple par la méthode de Hörner, on détermine les coefficients

$a\;,\ b$ et

$c.$

On a :

$(z-2)(z^{2}-z+1-\mathrm{i})=0\ \Leftrightarrow\ z=2\quad\text{ou}\quad z^{2}-z+1-\mathrm{i}=0$

Soit l'équation

$z^{2}-z+1-\mathrm{i}=0$ alors,

$\begin{array}{rcl} \Delta&=&1-4+4\mathrm{i}\\ \\ &=&-3+4\mathrm{i}\\ \\ &=&(1+2\mathrm{i})^{2} \end{array}$

Donc

$z_{1}=\dfrac{1-1-2\mathrm{i}}{2}=-\mathrm{i}\ \text{ et }\ z_{1}=\dfrac{1+1+2\mathrm{i}}{2}=1+\mathrm{i}$

D'où

$S_{\mathbb{C}}=\{2\;;\ -\mathrm{i}\;;\ 1+\mathrm{i}\}$

VII.3 Racine $n^{\text{ième}}$ de l'unité

Soit à déterminer

$z$ tel que

$z^{n}=1$ .

On a :

$\begin{array}{rcl} z^{n}=1&\Leftrightarrow&\left\lbrace\begin{array}{rcl} |z|^{n}&=&1 \\ arg\;z^{n}&=&arg\;1\;(2\pi)\end{array}\right.\\ \\ &\Leftrightarrow&\left\lbrace\begin{array}{rcl} |z|&=&1 \\ n\;arg\;z&=&0\;(2\pi)\end{array}\right.\\ \\ &\Leftrightarrow&\left\lbrace\begin{array}{rcl} |z|&=&1 \\ arg\;z&=&\dfrac{2k\pi}{n}\end{array}\right.\end{array}$

Donc les solutions de l'équation

$z^{n}=1$ sont de la forme

$z_{k}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\tfrac{2k\pi}{n}}\;,\ k\in\{0\;,\ 1\;,\ \ldots\ldots\;,\ (n-1)\}$

Exemple

Déterminer les racines cubiques de l'unité

Soit

$z^{3}=1$ , alors

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} |z|&=&1 \\ arg\;z&=&\dfrac{2k\pi}{3}\end{array}\right.$

Les solutions de l'équation sont de la forme

$z_{k}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\tfrac{2k\pi}{n}}\;,\ k\in\{0\;,\ 1\;,\ 2\}.$

Donc on a

$z_{0}=1\;,\ z_{1}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\tfrac{2\pi}{3}}$ et

$z_{2}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\tfrac{4\pi}{3}}$

On constate que

$z_{1}=\mathrm{j}\;,\quad z_{2}=\overline{\mathrm{j}}\;,\quad \mathrm{j}^{2}=\overline{\mathrm{j}}$ et

$1+\mathrm{j}+\mathrm{j}^{2}=0$

Remarque

Les points images

$M_{0}\;,\ M_{1}\;,\ldots\ldots\;,\ M_{k}$ des solutions

$z_{k}$ sont des sommets d'un polygone régulier à

$n$ cotés.

En particulier, pour l'exemple, les solutions sont les sommets d'un triangle équilatérale.

VII.4 Racine $n^{\text{ième}}$ d'un nombre complexe non nul et différent de 1

Soit à résoudre l'équation

$z^{n}=b\;,\ b\in\mathbb{C}^{*}\setminus\{1\}$

1er cas

$a$ est solution particulière alors

$a^{n}=b$ donc,

$\begin{array}{rcl} z^{n}=a^{n}&\Rightarrow&\dfrac{z^{n}}{a^{n}}=1\\ \\ &\Rightarrow&\left(\dfrac{z}{a}\right)^{n}=1\end{array}$

On pose

$Z=\dfrac{z}{a}$ ,

On a :

$\begin{array}{rcl} Z^{n}=1&\Leftrightarrow&Z_{k}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\tfrac{2k\pi}{n}}\\ \\ &\Leftrightarrow&\dfrac{z_{k}}{a}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\tfrac{2k\pi}{n}}\\ \\ &\Leftrightarrow&z_{k}=a\mathrm{e}^{\mathrm{i}\tfrac{2k\pi}{n}}\;,\ k\in\{0\;,\ 1\;,\ \ldots\ldots\;,\ (n-1)\}\end{array}$

Donc si

$a$ est solution particulière de

$z^{n}=b$ , alors les solutions de l'équation

$z^{n}=b$ s'obtiennent en multipliant

$a$ par les racines

$n^{\text{ième}}$ de l'unité.

2em cas

cas général :

$z^{n}=b\ \Leftrightarrow\ \left\lbrace\begin{array}{rcl} |z|^{n}&=&|b| \\ arg\;z^{n}&=&arg\;b\;(2\pi)\end{array}\right.$

Soit

$b=r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ , donc

$|b|=r$ et

$arg\;b=\theta.$ On a :

$\begin{array}{rcl} \left\lbrace\begin{array}{rcl} |z|^{n}&=&|b| \\ arg\;z^{n}&=&arg\;b\;(2\pi)\end{array}\right.&\Leftrightarrow&\left\lbrace\begin{array}{rcl} |z|^{n}&=&r \\ arg\;z^{n}&=&\theta\;(2\pi)\end{array}\right.\\ \\ &\Leftrightarrow&\left\lbrace\begin{array}{rcl} |z|&=&\sqrt[n]{r} \\ n\;arg\;z&=&\theta\;(2\pi)\end{array}\right.\\ \\ &\Leftrightarrow&\left\lbrace\begin{array}{rcl} |z|&=&\sqrt[n]{r} \\ \\ arg\;z&=&\dfrac{\theta}{n}+\dfrac{2k\pi}{n}\end{array}\right.\end{array}$

Donc les solutions de l'équation

$z^{n}=b$ sont de la forme

$z_{k}=\sqrt[n]{r}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\tfrac{\theta}{n}+\tfrac{2k\pi}{n}\right)}\;,\ k\in\{0\;,\ 1\;,\ \ldots\ldots\;,\ (n-1)\}$

Remarque

Les points images

$M_{0}\;,\ M_{1}\;,\ldots\ldots\;,\ M_{k}$ des solutions

$z_{k}$ sont des sommets d'un polygone régulier à

$n$ cotés sur le cercle

$\mathcal{C}(O\;,\ \sqrt[n]{|b|}).$

Exemple

Résoudre dans

$\mathbb{C}$ l'équation

$z^{3}=\mathrm{i}$

On a

$\mathrm{i}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\tfrac{\pi}{2}}$ , donc

$|\mathrm{i}|=1$ et

$arg\;\mathrm{i}=\dfrac{\pi}{2}.$

Ainsi, les solutions de

$z^{5}=\mathrm{i}$ sont de la forme

$z_{k}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\tfrac{\pi}{10}+\tfrac{2k\pi}{5}\right)}\;,\ k\in\{0\;,\ 1\;,\ 2\;,\ 3\;,\ 4\}$

VIII. Transformations du plan et complexes

VIII.1 Définition

Soit

$f$ une transformation du plan qui à tout point

$M$ d'affixe

$z$ associe le point

$M'$ d'affixe

$z'.$ L'écriture de

$z'$ en fonction de

$z$ est appelée écriture complexe de la transformation

$f.$

VIII.2 Transformations usuelles

Le plan est muni d'un repère orthonormé direct

$(O\;;\ \vec{e}_{1}\;,\ \vec{e}_{2})$ et soit

$b$ et

$\omega$ deux nombres complexes,

$k$ et

$\theta$ deux réels non nuls.

Translation

La translation de vecteur

$\vec{u}(b)$ a pour écriture complexe

$z'=z+b$

En particulier,

$z'=z$ est l'écriture caractéristique de l'identité du plan.

Rotation

La rotation d'angle

$\theta$ et de centre

$\Omega$ d'affixe

$\omega$ a pour expression complexe

$z'-\omega=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}(z-\omega)\quad\text{ou bien}\quad z'=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}z+b$

Homothétie

L'homothétie de rapport

$k$ et de centre

$\Omega$ d'affixe

$\omega$ a pour écriture complexe

$z'-\omega=k(z-\omega)\quad\text{ou bien}\quad z'=kz+b$

Symétries

La symétrie d'axe réel ou réflexion d'axe

$(Ox)$ a pour écriture complexe

$z'=\overline{z}$

La symétrie d'axe imaginaire ou réflexion d'axe

$(Oy)$ a pour écriture complexe

$z'=-\overline{z}$

La symétrie d'axe

$\Delta$ d'équation

$y=x$ a pour écriture complexe

$z'=\mathrm{i}\overline{z}$

La symétrie centrale de centre

$O$ a pour écriture complexe

$z'=-z$

Exemple

Parmi les écritures complexes suivantes, reconnaître les transformations et donner pour chacune d'elles les éléments caractéristiques.

$z'=z+3-2\mathrm{i}$

$z'=\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)z$

Résolution

1) Comme le coefficient de

$z$ est 1, alors la transformation associée est une translation de vecteur

$\vec{u}$ d'affixe

$3-2\mathrm{i}.$

2) Le coefficient de

$z$ est un complexe de forme exponentielle

$\mathrm{e}^{\mathrm{i}\tfrac{3\pi}{4}}$ , donc la transformation est une rotation d'angle

$\dfrac{3\pi}{4}$ et de centre le point

$O$ , d'affixe 0.

Auteur:

Diny Faye & Seyni Ndiaye

Commentaires

Kader (non vérifié)

dim, 06/16/2019 - 04:57

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Félicitations

Félicitations pour tout le travail abattu, j'aimerais avoir vos cours en version pdf, je vais améliorer mon cours et ma pédagogie. Merci

répondre

Anonyme (non vérifié)

sam, 07/27/2019 - 14:25

Permalien

Recevoir des cours en format PDF

Merci beaucoup pour tout le travail abattu, j'aimerais avoir vos cours en format PDF, pour pouvoir améliorer mon cours et ma pédagogie. Merci

répondre

Anonyme (non vérifié)

dim, 03/29/2020 - 19:34

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Vous avez fait un tres bon

Vous avez fait un tres bon travail merci infiniment

répondre

Anonyme (non vérifié)

ven, 01/29/2021 - 00:54

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J'ai vraiment aimé

répondre

Sire (non vérifié)

ven, 01/29/2021 - 17:58

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Je suis contente de ces cours

répondre

Anonyme (non vérifié)

ven, 02/05/2021 - 15:37

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Bien. Le cours est excellent.

Bien. Le cours est excellent. Mais je ne parviens pas à voir le fichier pdf

répondre

Massamba DIOUF (non vérifié)

sam, 02/13/2021 - 21:55

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Vraiment c'est très gentil

répondre

YOUSSOUF Traoré (non vérifié)

mar, 11/09/2021 - 14:43

Permalien

Cette leçon est très

Cette leçon est très intéressante

répondre

YOUSSOUF Traoré (non vérifié)

mar, 11/09/2021 - 14:45

Permalien

Cette leçon est très

Cette leçon est très intéressante

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Les nombres complexes - T S

Formulaire de recherche

I. Définition et notations

Remarque

II. Conjugué d'un nombre complexe

II.1 Définition

Exemple

II.2 Propriétés

III. Représentation graphique d'un nombre complexe

Exercice d'application

Résolution

IV. Module d'un nombre complexe

IV.1 Définition

IV.2 Propriétés

Exercice d'application

Résolution

V. Argument et forme trigonométrique d'un nombre complexe non nul

V.1 Définition

1er cas :

2em cas :

Exercice d'application

Résolution

V.2 Propriétés

Remarque

Exercice d'application

Résolution

Application : Expression de cosnx\cos nx et sinnx\sin nx en fonction de cosx\cos x ou sinx\sin x

Exercice d'application

VI. Forme exponentielle d'un nombre complexe non nul

VI.1 Définition

Exemple

VI.2 Propriétés

Application : Linéarisation

Expression de cosnx\cos^{n}x et sinnx\sin^{n}x en fonction de cospx\cos px et sinpx, p∈N∗\sin px\;,\ p\in\mathbb{N}^{*}

Exemple

Résolution

VII. Équations dans \mathbb{C}\mathbb{C}

VII.1 Équations de la forme az^{2}+bz+c=0az^{2}+bz+c=0 avec a\neq 0a\neq 0

Exemple

Exemple

Exemple

Résolution

VII.2 Équations de la forme az^{3}+bz^{2}+cz+d=0az^{3}+bz^{2}+cz+d=0 avec a\neq 0a\neq 0

Exemple

Résolution

VII.3 Racine n^{\text{ième}}n^{\text{ième}} de l'unité

Exemple

Remarque

VII.4 Racine n^{\text{ième}}n^{\text{ième}} d'un nombre complexe non nul et différent de 1

1er cas

2em cas

cas général :

Remarque

Exemple

VIII. Transformations du plan et complexes

VIII.1 Définition

VIII.2 Transformations usuelles

Translation

Rotation

Homothétie

Symétries

Exemple

Résolution

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Application : Expression de $\cos nx$ et $\sin nx$ en fonction de $\cos x$ ou $\sin x$

Expression de $\cos^{n}x$ et $\sin^{n}x$ en fonction de $\cos px$ et $\sin px\;,\ p\in\mathbb{N}^{*}$

VII. Équations dans $\mathbb{C}$

VII.1 Équations de la forme $az^{2}+bz+c=0$ avec $a\neq 0$

VII.2 Équations de la forme $az^{3}+bz^{2}+cz+d=0$ avec $a\neq 0$

VII.3 Racine $n^{\text{ième}}$ de l'unité

VII.4 Racine $n^{\text{ième}}$ d'un nombre complexe non nul et différent de 1