Les nombres complexes - T S

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Terminale
 

I. Définition et notations 

On appelle ensemble des nombres complexes l'ensemble noté C qui :
 
contient R;RC
 
muni de l'addition et de la multiplication possède les mêmes propriétés que R (commutativité, associativité, élément neutre, élément symétrique ou opposé, distributivité, etc...)
 
contient un élément noté i vérifiant i2=1
 
   tout élément zC s'écrit, de façon algébrique, z=a+ib, a et bR
 
a est appelé la partie réelle de z notée e(z)=a
 
b est appelé la partie imaginaire de z notée m(z)=b
 
  z=a+ib est réel si, et seulement si, b=0(m(z)=0)
 
  z=a+ib est imaginaire pur si, et seulement si, a=0(e(z)=0)
 
  z=a+ib=0  si, et seulement si, {a=0b=0  {e(z)=0m(z)=0
 
   Soient z et z deux nombres complexes tels que z=a+ib et z=a+ib alors z=z si, et seulement si, {a=ab=b  {e(z)=e(z)m(z)=m(z)

Remarque 

Les identités remarquables de R restent aussi valables dans C
 
(a+ib)2=a2b2+2iab
 
(aib)2=a2+b22iab

II. Conjugué d'un nombre complexe

II.1 Définition

a, bR , on appelle conjugué du nombre complexe z=a+ib, le nombre complexe noté ¯z=aib

Exemple 

z1=23i,¯z1=2+3i,z2=4i,¯z2=4i
 
z3=7,¯z3=7,z4=i,¯z4=i

II.2 Propriétés

  z est réel si, et seulement si, ¯z=z
 
  z  est imaginaire pur si, et seulement si, ¯z=z
 
  e(z)=z+¯z2
 
  m(z)=z¯z2i
 
  ¯z+z=¯z+¯z
 
  ¯zz=¯zׯz
 
  ¯(1z)=1¯z
 
  ¯(zz)=¯z¯z
 
  pZ, ¯zp=¯zp

III. Représentation graphique d'un nombre complexe

Soit (O; e1, e2) un repère orthonormé direct.
 
   Tout nombre complexe z=a+ib, a et bR peut être représenté dans le plan par un point M(ab) ou par un vecteur u(ab).
 
On dira que M est le point image de z et on note M(z) ou que z est l'affixe de M et on note zM.
 
On dit aussi que u est le vecteur image de z et on note u(z) ou que z est l'affixe de u et on note zu.
 
   Soient A(a1a2) et B(b1b2) deux points du plan, alors :
 
zA=a1+ia2, zB=b1+ib2 et 
 
zAB=b1a1+i(b2a2)=(b1+ib2)(a1+ia2)=zBzA
 
Donc zAB=zBzA
   Soient A(zA), B(zB) et C(zC) trois points du plan. Si G est barycentre de (A, α); (B, β) et (C, γ) alors l'affixe de G est αzA+βzB+γzCα+β+γ
  z est réel si, et seulement si, M(z)(xOx)
 
  z est imaginaire pur si, et seulement si, M(z)(yOy)
 
  M(z) et N(¯z) sont symétriques par rapport à (Ox)
 
  M(z) et M(z) sont symétriques par rapport à O

 

 

Exercice d'application

Le plan est muni d'un repère orthonormé direct (O; u, v) et soit z=x+iy un nombre complexe.
 
1) Déterminer l'ensemble des points M(z) du plan tels que z2 soit :
 
a) réel
 
b) imaginaire pur
 
2) Soient A(11) et B(02) deux points du plan et M d'affixe z.
 
On pose Z=z1+iz2i
 
a) Exprimer e(Z) et m(Z) en fonction de x et y
 
b) Déterminer l'ensemble des points M(Z) tels que :
 
  Z soit réel
 
  Z soit imaginaire pur

Résolution 

1) On a z2=x2y2+2ixy
 
a)
 
z2  est réel 2xy=0x=0ouy=0
 
Donc l'ensemble des points M(z) du plan tels que z2 soit réel est la réunion des axes du repère.
 
b)
 
z2  est imaginaire pur x2y2=0(xy)(x+y)=0x=youx=y
 
Donc l'ensemble des points M(z) du plan tels que z2 soit imaginaire pur est la réunion des bissectrices du repère.

2)

Z=z1+iz2i=x+iy1+ix+iy2i=(x1)+i(y+1)x+i(y2)=[(x1)+i(y+1)][xi(y2)][x+i(y2)][xi(y2)]=x(x1)+(y+1)(y2)+i[(x1)(y2)+x(y+1)]x2+(y2)2=x2+y2xy2+i(3x+y2)x2+(y2)2=x2+y2xy2x2+(y2)2+i3x+y2x2+(y2)2

Donc  e(Z)=x2+y2xy2x2+(y2)2  et  m(Z)=3x+y2x2+(y2)2

 
b)
 
Z  réel m(Z)=03x+y2x2+(y2)2=0{3x+y2=0x2+(y2)20  x0ety2
 
Donc l'ensemble des points M(Z) tels que Z soit réel est la droite Δ d'équation 3x+y2=0 privée du point B(2i). 
 
Z  imaginaire pur e(Z)=0x2+y2xy2x2+(y2)2=0{x2+y2xy2=0x2+(y2)20  x0ety2{(x12)2+(y12)214142=0x0ety2{(x12)2+(y12)2=52x0ety2{(x12)2+(y12)2=(102)2x0ety2
 
Donc l'ensemble des points M(Z) tels que Z soit imaginaire pur est le cercle C(I(1212); 102) privé du point B(2i). 

 

 

IV. Module d'un nombre complexe

IV.1 Définition

On appelle module d'un nombre complexe z=a+ib le réel positif noté |z|=z¯z=a2+b2
   Si M(xy) est d'affixe z alors, ||OM||=OM=x2+y2=|z|
   Si A(a1a2) et B(b1b2) deux points du plan alors, ||AB||=(b1a1)2+(b2a2)2=|zAB|=|zBzA|

IV.2 Propriétés 

  aR, z=a, alors |z|=|a|
 
  |ib|=|b|
 
  |z|=|¯z|
 
  λR, |λz|=|λ||z|
 
  |zz|=|z|×|z|
 
  z0, |zz|=|z||z|
 
  pZ, |zp|=|z|p
 
  |z+z||z|+|z| (inégalité triangulaire)
 
  |zMzA|=AM

Exercice d'application

Soient A(11) et B(02) deux points du plan et M d'affixe z=x+iy.
 
1) Déterminer l'ensemble des points M(z) tels que |Z|=1Z=z1+iz2i
 
2) Déterminer l'ensemble des points M(z) tels que |Z|=2
 
3) Déterminer l'ensemble des points M(z) tels que (z1+i)(¯z1i)=16

Résolution 

1)
 
|Z|=1|z1+iz2i|=1|z1+i||z2i|=1|z1+i|=|z2i|or M(z), A(1i)  et  B(2i)|zMzA|=|zMzB|AM=BM
 
Donc l'ensemble des points M(z) tels que |Z|=1 est la médiatrice de [AB].
 
2) Soit I barycentre de (A, 1); (B, 2) et J barycentre de (A, 1); (B, 2) alors, 
 
|Z|=2|z1+iz2i|=2MA=2MBMA2=4MB2MA24MB2=0(MA2MB)(MA+2MB)=0MI(3MJ)=03MIMJ=0MIMJ=0
 
Donc l'ensemble des points M(z) tels que |Z|=2 est le cercle de diamètre [IJ].
 
3)
 
(z1+i)(¯z1i)=16z¯zziz¯z+1+i+i¯zi+1=16z¯z(z+¯z)i(z¯z)+2=16|z|22e(z)i2im(z)+2=16x2+y22x+2y+2=16(x1)2+(y+1)211+2=16(x1)2+(y+1)2=(4)2
 
Donc l'ensemble des points M(z) tels que (z1+i)(¯z1i)=16 est le cercle C(A, 4).

 

 

V. Argument et forme trigonométrique d'un nombre complexe non nul

V.1 Définition 

Soit (O; e1, e2) un repère orthonormé direct et (C) le cercle de centre O et de rayon 1.
 
Soit M(ab) un point du plan d'affixe z=a+ib

1er cas :

Si |z|=1 alors OM=1  MC(O, 1).
 
Donc θR; (e1, OM)=θ(2π).
 
Soit M(cosθsinθ). Alors, z=cosθ+isinθ est appelé forme trigonométrique du complexe z et θ=(e1, OM) est l'argument de z noté argz=θ(2π)

2em cas :

Si |z|1 alors on pose Z=z|z|  |Z|=1.
 
Alors, d'après le 1er cas
 
θR; Z=cosθ+isinθz|z|=cosθ+isinθz=|z|(cosθ+isinθ)
 
Donc z=|z|(cosθ+isinθ) est la forme trigonométrique et θ est un argument de z.
 
En résumé, si |z|=r et argz=θ(2π) alors z=r(cosθ+isinθ) est la forme trigonométrique de z.

 

 

Exercice d'application

Déterminer les formes trigonométriques et arguments de :
 
z1=i,z2=i,z3=1,z4=12i32
 
z5=22i,z6=6i22,z7=1+cosθisinθ

Résolution

z1=i=cosπ2+isinπ2  donc  argz1=π2(2π)
 
z2=i=cos(π2)+isin(π2)  donc  argz2=π2(2π)
 
z3=1=cosπ+isinπ  donc  argz3=π(2π)
 
z4=12i32=cosπ3isinπ3=cos(π3)+isin(π3)
 
donc argz4=π3(2π)
 
|z5|=4+4=8=22 
 
donc on a :
 
z5=22i=22(12i12)=22(22i22)=22(cos(π4)+isin(π4))
 
donc argz5=π4(2π)
 
|z6|=6+24=2
 
donc on a :
 
z6=6i22=2(32i12)=2(cos(π6)+isin(π6))
 
donc argz6=π6(2π)
 
z7=1+cosθisinθ=2cos2θ2i2sinθ2cosθ2=2cosθ2(cosθ2isinθ2)
 
On a donc |z7|=|2cosθ2|
 
  Si 0θπ  0θ2π2  alors  cosθ2>0
 
donc |z7|=2cosθ2  z7=2cosθ2(cos(θ2)+isin(θ2)) ainsi, argz7=θ2(2π)
 
  Si par contre πθ2π  π2θ2π , alors  cosθ2<0
 
donc,
 
|z7|=2cosθ2  z7=2cosθ2(cosθ2+isinθ2)=2cosθ2(cos(πθ2)+isin(πθ2))
 
ainsi, argz7=(πθ2)(2π)

V.2 Propriétés

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct (O; e1, e2). Soient deux nombres complexes z et z tels que |z|=r, |z|=r et 
 
argz=θ, argz=θ. On a :
 
  z=z  {r=rθ=θ(2π)
 
  argzz=θ+θ=argz+argz(2π)
 
  arg1z=θ=argz(2π)
 
  arg(zz)=θθ=argzargz(2π)
 
  arg(z)=θ+π=(argz+π)(2π)
 
  arg¯z=θ=argz(2π)
 
  pZ, argzp=pθ=pargz(2π)

 

 
  M(z), argz=(e1, OM)
 
  arg(zMzA)=(e1, AM)
 
  z réel si, et seulement si, argz=0(π)
 
  z réel positif si, et seulement si, argz=0(2π)
 
  z réel négatif si, et seulement si, argz=π(2π)
 
  z imaginaire pur si, et seulement si, argz=π2(π)
 
  z imaginaire pur avec partie imaginaire positive si, et seulement si, 
 
argz=π2(2π)
 
  z imaginaire pur avec partie imaginaire négative si, et seulement si, 
 
argz=π2(2π)
 
  arg(zMzBzMzA)=(MA, MB)(2π)

Remarque 

Soient A(a), B(b), C(c) et D(d) quatre points du plan complexe alors A, B, C et D sont cocycliques si, et seulement si, (bd)(ac)(ad)(bc) est réel.

Exercice d'application

Soient A(2i) et B(1) deux points du plan, M d'affixe z.
 
Déterminer l'ensemble des points M(z) tels que Z=z2+iz1 soit :
 
a) réel 
 
b) imaginaire pur

Résolution 

On a Z=z2+iz1=zzAzzB
 
a)
 
Z  réel argZ=0(π)(MA, MB)=0(π)
 
Donc l'ensemble des points M(z) tels que Z soit réel est la droite (AB) privée des points A et B.
 
b)
 
Z  imaginaire pur argZ=π2(π)(MA, MB)=π2(π)
 
Donc l'ensemble des points M(z) tels que Z soit imaginaire pur est le cercle de diamètre [AB] privé des points A et B.
 
   Formule de Moivre pZ,(cosθ+isinθ)p=cospθ+isinpθ

Application : Expression de cosnx et sinnx en fonction de cosx ou sinx

On a (cosx+isinx)n=cosnx+isinnx alors, cosnx=e(cosx+isinx)netsinnx=m(cosx+isinx)n

Exercice d'application

Exprimer cos4x et sin4x en fonction de cosx et sinx
 
On a :
 
(cosx+isinx)4=cos4x+4cos3xisinx6cos2xsin2x4cosxisin3x+sin4x=sin4x+cos4x6cos2xsin2x+i(4cos3xsinx4cosxsin3x)
 
or, (cosx+isinx)4=cos4x+isin4x donc, 
 
cos4x=sin4x+cos4x6cos2xsin2xetsin4x=4cos3xsinx4cosxsin3x

VI. Forme exponentielle d'un nombre complexe non nul

VI.1 Définition 

Soit z un nombre complexe tel que |z|=r et argz=θ.
 
On pose eiθ=cosθ+isinθ. On a z=r(cosθ+isinθ)=reiθ.
 
L'écriture z=reiθ est appelée forme exponentielle du nombre complexe z. 

Exemple

1=ei2kπ; kZ,1=eiπ,i=eiπ2,i=eiπ2
 
j=12+i32=ei2π3,¯j=12i32=ei4π3

VI.2 Propriétés

  (eiθ)p=eipθ; pZ
 
  eiθ×eiθ=ei(θ+θ)
 
  eiθeiθ=ei(θθ)
 
   Formule d'Euler
 
On pose eiθ=cosθ+isinθ et eiθ=cosθisinθ, alors on a les formules suivantes appelées formules d'Euler cosθ=eiθ+eiθ2etsinθ=eiθeiθ2i

Application : Linéarisation 

Expression de cosnx et sinnx en fonction de cospx et sinpx, pN

Exemple 

Linéariser cos5x et sin5x

Résolution

cos5x=(eix+eix2)5=(12)5(ei5x+5eixei4x+10ei2xei3x+10ei3xei2x+5ei4xeix+ei5x)=(12)5((ei5x+ei5x)+5(ei3x+ei3x)+10(eix+eix))=(12)5(2cos5x+10cos3x+20cosx)=132(2cos5x+10cos3x+20cosx)=116(cos5x+5cos3x+10cosx)
 
Donc cos5x=116(cos5x+5cos3x+10cosx)
 
sin5x=(eixeix2i)5=(12i)5(ei5x+5eixei4x10ei2xei3x+10ei3xei2x5ei4xeixei5x)=(12i)5((ei5xei5x)5(ei3xei3x)+10(eixeix))=132i(2isin5x10isin3x+20isinx)=116(sin5x5sin3x+10sinx)
 
Donc sin5x=116(sin5x5sin3x+10sinx)

VII. Équations dans C

VII.1 Équations de la forme az2+bz+c=0 avec a0

Soit l'équation az2+bz+c=0, a0. On a Δ=b24ac. Alors, 
 
   Si ΔR+ l'équation admet deux solutions distinctes z1=bΔ2aetz2=b+Δ2a
 
   Si Δ=0 l'équation admet une solution double z0=b2a
 
   Si ΔR l'équation admet deux solutions distinctes z1=b|Δ|2aetz2=b+|Δ|2a

Exemple 

Δ=4=(2i)2,Δ=3=(i3)2
 
   Si ΔiR alors Δ est de la forme ib

Exemple 

Δ=6i=3(2i)=[3(1+i)]2
 
Δ=8i=4(2i)=[2(1i)]2
 
   Si ΔC l'équation admet deux solutions distinctes z1 et z2.
 
Δ=x+iy, donc il existe deux réels α et β tels que Δ=(α+iβ)2. On a :
 
Δ=(α+iβ)2x+iy=α2β2+2iαβ{α2β2=x2αβ=y|Δ|=|(α+iβ)2|{α2β2=x(1)2αβ=y(2)α2+β2=x2+y2 (3)
 
En additionnant les équations (1) et (3) on obtient 2α2=x+x2+y2 et on tire α.
 
En remplaçant α par sa valeur dans l'équation (2) on trouve β. Ainsi, on a : z1=b(α+iβ)2aetz2=b+(α+iβ)2a

Exemple 

1) On donne Δ=3+4i, trouver α et β tels que Δ=(α+iβ)2
 
2) Résoudre dans C, z2+(23i)z+(31)(1+i)=0

Résolution 

1)
 
Δ=3+4i=(α+iβ)23+4i=α2β2+2iαβ{α2β2=32αβ=4|Δ|=|(α+iβ)2|{α2β2=3(1)2αβ=4(2)α2+β2=5(3)
 
(1)+(3) entraine que 2α2=3+5=2 et donc α2=1 ; c'est-à-dire α=1 ou α=1.
 
   Si α=1, en remplaçant dans (2) on trouve β=2, donc Δ=(1+2i)2
 
   Si α=1, on trouve β=2, donc Δ=(12i)2=(1+2i)2
 
2) Soit à résoudre l'équation C, z2+(23i)z+(31)(1+i)=0.
 
On a :
 
Δ=(23i)24(31)(1+i)=4+31434i+23i+4343i4+4i=223i
 
Posons Δ=(α+iβ)2 alors {α2β2=22αβ=23α2+β2=4
 
Ainsi, 2α2=4+2=6 et donc α2=3 ; c'est-à-dire α=3 ou α=3.
 
   Si α=3, on trouve β=1, donc 
 
z1=2+3+i(3i)2=1+ietz2=2+3+i+(3i)2=1+3
 
   Si α=3, on trouve β=1, donc 
 
z1=2+3+i(3+i)2=1+3etz2=2+3+i+(3+i)2=1+i
 
D'où SC={1+i; 1+3}

VII.2 Équations de la forme az3+bz2+cz+d=0 avec a0

Exemple 

Soit (E) l'équation définie par (E) : z33z2+(3i)z2(1i)=0.
 
1) Montrer que (E) admet une solution réelle à déterminer.
 
2) Résoudre (E)

Résolution 

1) Soit z=a la solution réelle de (E)
 
donc,
 
a33a2+(3i)a2(1i)=0a33a2+3aai2+2i=0a33a2+3a2+i(2a)=0{a33a2+3a2=02a=0{a33a2+3a2=0(1)a=2(2)
 
a=2 vérifie aussi l'équation (1), donc 2 est la solution réelle cherchée.
 
2) L'équation (E) devient (z2)(az2+bz+c)=0. En procédant par exemple par la méthode de Hörner, on détermine les coefficients a, b et c.
 
On a : (z2)(z2z+1i)=0  z=2ouz2z+1i=0
 
Soit l'équation z2z+1i=0 alors,
 
Δ=14+4i=3+4i=(1+2i)2
 
Donc z1=112i2=i  et  z1=1+1+2i2=1+i
 
D'où SC={2; i; 1+i}

VII.3 Racine nième de l'unité 

Soit à déterminer z tel que zn=1.
 
On a :
 
zn=1{|z|n=1argzn=arg1(2π){|z|=1nargz=0(2π){|z|=1argz=2kπn
 
Donc les solutions de l'équation zn=1 sont de la forme zk=ei2kπn, k{0, 1, , (n1)}

Exemple 

Déterminer les racines cubiques de l'unité
 
Soit z3=1, alors {|z|=1argz=2kπ3 
 
Les solutions de l'équation sont de la forme zk=ei2kπn, k{0, 1, 2}. 
 
Donc on a z0=1, z1=ei2π3 et z2=ei4π3
 
On constate que z1=j,z2=¯j,j2=¯j et 1+j+j2=0 

Remarque 

Les points images M0, M1,, Mk des solutions zk sont des sommets d'un polygone régulier à n cotés.
 
En particulier, pour l'exemple, les solutions sont les sommets d'un triangle équilatérale.

 

 

VII.4 Racine nième d'un nombre complexe non nul et différent de 1 

Soit à résoudre l'équation zn=b, bC{1}

1er cas 

Si a est solution particulière alors an=b donc,
 
zn=anznan=1(za)n=1
 
On pose Z=za,
 
On a :
 
Zn=1Zk=ei2kπnzka=ei2kπnzk=aei2kπn, k{0, 1, , (n1)}
 
Donc si a est solution particulière de zn=b, alors les solutions de l'équation zn=b s'obtiennent en multipliant a par les racines nième de l'unité.

2em cas

cas général :

zn=b  {|z|n=|b|argzn=argb(2π)
 
Soit b=reiθ, donc |b|=r et argb=θ. On a :
 
{|z|n=|b|argzn=argb(2π){|z|n=rargzn=θ(2π){|z|=nrnargz=θ(2π){|z|=nrargz=θn+2kπn
 
Donc les solutions de l'équation zn=b sont de la forme zk=nrei(θn+2kπn), k{0, 1, , (n1)}

Remarque 

Les points images M0, M1,, Mk des solutions zk sont des sommets d'un polygone régulier à n cotés sur le cercle C(O, n|b|).

Exemple 

Résoudre dans C l'équation z3=i
 
On a i=eiπ2, donc |i|=1 et argi=π2.
 
Ainsi, les solutions de z5=i sont de la forme zk=ei(π10+2kπ5), k{0, 1, 2, 3, 4}

 

 

VIII. Transformations du plan et complexes 

VIII.1 Définition

Soit f une transformation du plan qui à tout point M d'affixe z associe le point M d'affixe z. L'écriture de z en fonction de z est appelée écriture complexe de la transformation f.

VIII.2 Transformations usuelles

Le plan est muni d'un repère orthonormé direct (O; e1, e2) et soit b et ω deux nombres complexes, k et θ deux réels non nuls.

Translation 

La translation de vecteur u(b) a pour écriture complexe z=z+b 
En particulier, z=z est l'écriture caractéristique de l'identité du plan.

Rotation 

La rotation d'angle θ et de centre Ω d'affixe ω a pour expression complexe
zω=eiθ(zω)ou bienz=eiθz+b

Homothétie

L'homothétie de rapport k et de centre Ω d'affixe ω a pour écriture complexe zω=k(zω)ou bienz=kz+b

Symétries 

La symétrie d'axe réel ou réflexion d'axe (Ox) a pour écriture complexe z=¯z
 
La symétrie d'axe imaginaire ou réflexion d'axe (Oy) a pour écriture complexe z=¯z
 
La symétrie d'axe Δ d'équation y=x a pour écriture complexe z=i¯z
 
La symétrie centrale de centre O a pour écriture complexe z=z

Exemple 

Parmi les écritures complexes suivantes, reconnaître les transformations et donner pour chacune d'elles les éléments caractéristiques.
 
1) z=z+32i
 
2) z=(22+i22)z

Résolution 

1) Comme le coefficient de z est 1, alors la transformation associée est une translation de vecteur u d'affixe 32i.
 
2) Le coefficient de z est un complexe de forme exponentielle ei3π4, donc la transformation est une rotation d'angle 3π4 et de centre le point O, d'affixe 0.

 

Auteur: 
Diny Faye & Seyni Ndiaye

Commentaires

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