Les nombres complexes - T S
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Terminale
I. Définition et notations
On appelle ensemble des nombres complexes l'ensemble noté C qui :
− contient R;R⊂C
− muni de l'addition et de la multiplication possède les mêmes propriétés que R (commutativité, associativité, élément neutre, élément symétrique ou opposé, distributivité, etc...)
− contient un élément noté i vérifiant i2=−1
⋅ tout élément z∈C s'écrit, de façon algébrique, z=a+ib, a et b∈R
a est appelé la partie réelle de z notée ℜe(z)=a
b est appelé la partie imaginaire de z notée ℑm(z)=b
⋅ z=a+ib est réel si, et seulement si, b=0(ℑm(z)=0)
⋅ z=a+ib est imaginaire pur si, et seulement si, a=0(ℜe(z)=0)
⋅ z=a+ib=0 si, et seulement si, {a=0b=0 ⇔ {ℜe(z)=0ℑm(z)=0
⋅ Soient z et z′ deux nombres complexes tels que z=a+ib et z′=a′+ib′ alors z=z′ si, et seulement si, {a=a′b=b′ ⇔ {ℜe(z)=ℜe(z′)ℑm(z)=ℑm(z′)
Remarque
Les identités remarquables de R restent aussi valables dans C
(a+ib)2=a2−b2+2iab
(a−ib)2=a2+b2−2iab
II. Conjugué d'un nombre complexe
II.1 Définition
a, b∈R , on appelle conjugué du nombre complexe z=a+ib, le nombre complexe noté ¯z=a−ib
Exemple
z1=2−3i,¯z1=2+3i,z2=−4i,¯z2=4i
z3=−7,¯z3=−7,z4=i,¯z4=−i
II.2 Propriétés
⋅ z est réel si, et seulement si, ¯z=z
⋅ z est imaginaire pur si, et seulement si, ¯z=−z
⋅ ℜe(z)=z+¯z2
⋅ ℑm(z)=z−¯z2i
⋅ ¯z+z′=¯z+¯z′
⋅ ¯zz′=¯zׯz′
⋅ ¯(1z)=1¯z
⋅ ¯(zz′)=¯z¯z′
⋅ p∈Z, ¯zp=¯zp
III. Représentation graphique d'un nombre complexe
Soit (O; →e1, →e2) un repère orthonormé direct.
⋅ Tout nombre complexe z=a+ib, a et b∈R peut être représenté dans le plan par un point M(ab) ou par un vecteur →u(ab).
On dira que M est le point image de z et on note M(z) ou que z est l'affixe de M et on note zM.
On dit aussi que →u est le vecteur image de z et on note →u(z) ou que z est l'affixe de →u et on note z→u.
⋅ Soient A(a1a2) et B(b1b2) deux points du plan, alors :
zA=a1+ia2, zB=b1+ib2 et
z→AB=b1−a1+i(b2−a2)=(b1+ib2)−(a1+ia2)=zB−zA
Donc z→AB=zB−zA
⋅ Soient A(zA), B(zB) et C(zC) trois points du plan. Si G est barycentre de (A, α); (B, β) et (C, γ) alors l'affixe de G est αzA+βzB+γzCα+β+γ
⋅ z est réel si, et seulement si, M(z)∈(x′Ox)
⋅ z est imaginaire pur si, et seulement si, M(z)∈(y′Oy)
⋅ M(z) et N(¯z) sont symétriques par rapport à (Ox)
⋅ M(z) et M′(−z) sont symétriques par rapport à O
Exercice d'application
Le plan est muni d'un repère orthonormé direct (O; →u, →v) et soit z=x+iy un nombre complexe.
1) Déterminer l'ensemble des points M(z) du plan tels que z2 soit :
a) réel
b) imaginaire pur
2) Soient A(1−1) et B(02) deux points du plan et M d'affixe z.
On pose Z=z−1+iz−2i
a) Exprimer ℜe(Z) et ℑm(Z) en fonction de x et y
b) Déterminer l'ensemble des points M(Z) tels que :
− Z soit réel
− Z soit imaginaire pur
Résolution
1) On a z2=x2−y2+2ixy
a)
z2 est réel ⇔2xy=0⇔x=0ouy=0
Donc l'ensemble des points M(z) du plan tels que z2 soit réel est la réunion des axes du repère.
b)
z2 est imaginaire pur ⇔x2−y2=0⇔(x−y)(x+y)=0⇔x=youx=−y
Donc l'ensemble des points M(z) du plan tels que z2 soit imaginaire pur est la réunion des bissectrices du repère.
2)
Z=z−1+iz−2i=x+iy−1+ix+iy−2i=(x−1)+i(y+1)x+i(y−2)=[(x−1)+i(y+1)][x−i(y−2)][x+i(y−2)][x−i(y−2)]=x(x−1)+(y+1)(y−2)+i[−(x−1)(y−2)+x(y+1)]x2+(y−2)2=x2+y2−x−y−2+i(3x+y−2)x2+(y−2)2=x2+y2−x−y−2x2+(y−2)2+i3x+y−2x2+(y−2)2
Donc ℜe(Z)=x2+y2−x−y−2x2+(y−2)2 et ℑm(Z)=3x+y−2x2+(y−2)2
b)
Z réel ⇔ℑm(Z)=0⇔3x+y−2x2+(y−2)2=0⇔{3x+y−2=0x2+(y−2)2≠0 ⇒ x≠0ety≠2
Donc l'ensemble des points M(Z) tels que Z soit réel est la droite Δ d'équation 3x+y−2=0 privée du point B(2i).
Z imaginaire pur ⇔ℜe(Z)=0⇔x2+y2−x−y−2x2+(y−2)2=0⇔{x2+y2−x−y−2=0x2+(y−2)2≠0 ⇒ x≠0ety≠2⇔{(x−12)2+(y−12)2−14−14−2=0x≠0ety≠2⇔{(x−12)2+(y−12)2=52x≠0ety≠2⇔{(x−12)2+(y−12)2=(√102)2x≠0ety≠2
Donc l'ensemble des points M(Z) tels que Z soit imaginaire pur est le cercle C(I(1212); √102) privé du point B(2i).
IV. Module d'un nombre complexe
IV.1 Définition
On appelle module d'un nombre complexe z=a+ib le réel positif noté |z|=√z¯z=√a2+b2
⋅ Si M(xy) est d'affixe z alors, ||→OM||=OM=√x2+y2=|z|
⋅ Si A(a1a2) et B(b1b2) deux points du plan alors, ||→AB||=√(b1−a1)2+(b2−a2)2=|z→AB|=|zB−zA|
IV.2 Propriétés
⋅ a∈R, z=a, alors |z|=|a|
⋅ |ib|=|b|
⋅ |z|=|¯z|
⋅ λ∈R, |λz|=|λ||z|
⋅ |zz′|=|z|×|z′|
⋅ z′≠0, |zz′|=|z||z′|
⋅ p∈Z, |zp|=|z|p
⋅ |z+z′|≤|z|+|z′| (inégalité triangulaire)
⋅ |zM−zA|=AM
Exercice d'application
Soient A(1−1) et B(02) deux points du plan et M d'affixe z=x+iy.
1) Déterminer l'ensemble des points M(z) tels que |Z|=1 où Z=z−1+iz−2i
2) Déterminer l'ensemble des points M(z) tels que |Z|=2
3) Déterminer l'ensemble des points M(z) tels que (z−1+i)(¯z−1−i)=16
Résolution
1)
|Z|=1⇒|z−1+iz−2i|=1⇒|z−1+i||z−2i|=1⇒|z−1+i|=|z−2i|or M(z), A(1−i) et B(2i)⇒|zM−zA|=|zM−zB|⇒AM=BM
Donc l'ensemble des points M(z) tels que |Z|=1 est la médiatrice de [AB].
2) Soit I barycentre de (A, 1); (B, −2) et J barycentre de (A, 1); (B, 2) alors,
|Z|=2⇒|z−1+iz−2i|=2⇒MA=2MB⇒MA2=4MB2⇒MA2−4MB2=0⇒(→MA−2→MB)⋅(→MA+2→MB)=0⇒−→MI⋅(3→MJ)=0⇒−3→MI⋅→MJ=0⇒→MI⋅→MJ=0
Donc l'ensemble des points M(z) tels que |Z|=2 est le cercle de diamètre [IJ].
3)
(z−1+i)(¯z−1−i)=16⇔z¯z−z−iz−¯z+1+i+i¯z−i+1=16⇔z¯z−(z+¯z)−i(z−¯z)+2=16⇔|z|2−2ℜe(z)−i2iℑm(z)+2=16⇔x2+y2−2x+2y+2=16⇔(x−1)2+(y+1)2−1−1+2=16⇔(x−1)2+(y+1)2=(4)2
Donc l'ensemble des points M(z) tels que (z−1+i)(¯z−1−i)=16 est le cercle C(A, 4).
V. Argument et forme trigonométrique d'un nombre complexe non nul
V.1 Définition
Soit (O; →e1, →e2) un repère orthonormé direct et (C) le cercle de centre O et de rayon 1.
Soit M(ab) un point du plan d'affixe z=a+ib
1er cas :
Si |z|=1 alors OM=1 ⇒ M∈C(O, 1).
Donc ∃θ∈R; (→e1, →OM)=θ(2π).
Soit M(cosθsinθ). Alors, z=cosθ+isinθ est appelé forme trigonométrique du complexe z et θ=(→e1, →OM) est l'argument de z noté argz=θ(2π)
2em cas :
Si |z|≠1 alors on pose Z=z|z| ⇒ |Z|=1.
Alors, d'après le 1er cas
∃θ∈R; Z=cosθ+isinθ⇒z|z|=cosθ+isinθ⇒z=|z|(cosθ+isinθ)
Donc z=|z|(cosθ+isinθ) est la forme trigonométrique et θ est un argument de z.
En résumé, si |z|=r et argz=θ(2π) alors z=r(cosθ+isinθ) est la forme trigonométrique de z.
Exercice d'application
Déterminer les formes trigonométriques et arguments de :
z1=i,z2=−i,z3=−1,z4=12−i√32
z5=2−2i,z6=√6−i√22,z7=1+cosθ−isinθ
Résolution
z1=i=cosπ2+isinπ2 donc argz1=π2(2π)
z2=−i=cos(−π2)+isin(−π2) donc argz2=−π2(2π)
z3=−1=cosπ+isinπ donc argz3=π(2π)
z4=12−i√32=cosπ3−isinπ3=cos(−π3)+isin(−π3)
donc argz4=−π3(2π)
|z5|=√4+4=√8=2√2
donc on a :
z5=2−2i=2√2(1√2−i1√2)=2√2(√22−i√22)=2√2(cos(−π4)+isin(−π4))
donc argz5=−π4(2π)
|z6|=√6+24=√2
donc on a :
z6=√6−i√22=√2(√32−i12)=√2(cos(−π6)+isin(−π6))
donc argz6=−π6(2π)
z7=1+cosθ−isinθ=2cos2θ2−i2sinθ2cosθ2=2cosθ2(cosθ2−isinθ2)
On a donc |z7|=|2cosθ2|
− Si 0≤θ≤π ⇒ 0≤θ2≤π2 alors cosθ2>0
donc |z7|=2cosθ2 ⇒ z7=2cosθ2(cos(−θ2)+isin(−θ2)) ainsi, argz7=−θ2(2π)
− Si par contre π≤θ≤2π ⇒ π2≤θ2≤π , alors cosθ2<0
donc,
|z7|=−2cosθ2 ⇒ z7=−2cosθ2(−cosθ2+isinθ2)=−2cosθ2(cos(π−θ2)+isin(π−θ2))
ainsi, argz7=(π−θ2)(2π)
V.2 Propriétés
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct (O; →e1, →e2). Soient deux nombres complexes z et z′ tels que |z|=r, |z′|=r′ et
argz=θ, argz′=θ′. On a :
⋅ z=z′ ⇔ {r=r′θ=θ′(2π)
⋅ argzz′=θ+θ′=argz+argz′(2π)
⋅ arg1z=−θ=−argz(2π)
⋅ arg(zz′)=θ−θ′=argz−argz′(2π)
⋅ arg(−z)=θ+π=(argz+π)(2π)
⋅ arg¯z=−θ=−argz(2π)
⋅ p∈Z, argzp=pθ=pargz(2π)
⋅ M(z), argz=(→e1, →OM)
⋅ arg(zM−zA)=(→e1, →AM)
⋅ z réel si, et seulement si, argz=0(π)
⋅ z réel positif si, et seulement si, argz=0(2π)
⋅ z réel négatif si, et seulement si, argz=π(2π)
⋅ z imaginaire pur si, et seulement si, argz=π2(π)
⋅ z imaginaire pur avec partie imaginaire positive si, et seulement si,
argz=π2(2π)
⋅ z imaginaire pur avec partie imaginaire négative si, et seulement si,
argz=−π2(2π)
⋅ arg(zM−zBzM−zA)=(→MA, →MB)(2π)
Remarque
Soient A(a), B(b), C(c) et D(d) quatre points du plan complexe alors A, B, C et D sont cocycliques si, et seulement si, (b−d)(a−c)(a−d)(b−c) est réel.
Exercice d'application
Soient A(2−i) et B(1) deux points du plan, M d'affixe z.
Déterminer l'ensemble des points M(z) tels que Z=z−2+iz−1 soit :
a) réel
b) imaginaire pur
Résolution
On a Z=z−2+iz−1=z−zAz−zB
a)
Z réel ⇔argZ=0(π)⇔(→MA, →MB)=0(π)
Donc l'ensemble des points M(z) tels que Z soit réel est la droite (AB) privée des points A et B.
b)
Z imaginaire pur ⇔argZ=π2(π)⇔(→MA, →MB)=π2(π)
Donc l'ensemble des points M(z) tels que Z soit imaginaire pur est le cercle de diamètre [AB] privé des points A et B.
⋅ Formule de Moivre p∈Z,(cosθ+isinθ)p=cospθ+isinpθ
Application : Expression de cosnx et sinnx en fonction de cosx ou sinx
On a (cosx+isinx)n=cosnx+isinnx alors, cosnx=ℜe(cosx+isinx)netsinnx=ℑm(cosx+isinx)n
Exercice d'application
Exprimer cos4x et sin4x en fonction de cosx et sinx
On a :
(cosx+isinx)4=cos4x+4cos3xisinx−6cos2xsin2x−4cosxisin3x+sin4x=sin4x+cos4x−6cos2xsin2x+i(4cos3xsinx−4cosxsin3x)
or, (cosx+isinx)4=cos4x+isin4x donc,
cos4x=sin4x+cos4x−6cos2xsin2xetsin4x=4cos3xsinx−4cosxsin3x
VI. Forme exponentielle d'un nombre complexe non nul
VI.1 Définition
Soit z un nombre complexe tel que |z|=r et argz=θ.
On pose eiθ=cosθ+isinθ. On a z=r(cosθ+isinθ)=reiθ.
L'écriture z=reiθ est appelée forme exponentielle du nombre complexe z.
Exemple
1=ei2kπ; k∈Z,−1=e−iπ,i=eiπ2,−i=e−iπ2
j=−12+i√32=ei2π3,¯j=−12−i√32=ei4π3
VI.2 Propriétés
⋅ (eiθ)p=eipθ; p∈Z
⋅ eiθ×eiθ′=ei(θ+θ′)
⋅ eiθeiθ′=ei(θ−θ′)
⋅ Formule d'Euler
On pose eiθ=cosθ+isinθ et e−iθ=cosθ−isinθ, alors on a les formules suivantes appelées formules d'Euler cosθ=eiθ+e−iθ2etsinθ=eiθ−e−iθ2i
Application : Linéarisation
Expression de cosnx et sinnx en fonction de cospx et sinpx, p∈N∗
Exemple
Linéariser cos5x et sin5x
Résolution
cos5x=(eix+e−ix2)5=(12)5(ei5x+5eixe−i4x+10ei2xe−i3x+10ei3xe−i2x+5ei4xe−ix+e−i5x)=(12)5((ei5x+e−i5x)+5(ei3x+e−i3x)+10(eix+e−ix))=(12)5(2cos5x+10cos3x+20cosx)=132(2cos5x+10cos3x+20cosx)=116(cos5x+5cos3x+10cosx)
Donc cos5x=116(cos5x+5cos3x+10cosx)
sin5x=(eix−e−ix2i)5=(12i)5(ei5x+5eixe−i4x−10ei2xe−i3x+10ei3xe−i2x−5ei4xe−ix−e−i5x)=(12i)5((ei5x−e−i5x)−5(ei3x−e−i3x)+10(eix−e−ix))=132i(2isin5x−10isin3x+20isinx)=116(sin5x−5sin3x+10sinx)
Donc sin5x=116(sin5x−5sin3x+10sinx)
VII. Équations dans C
VII.1 Équations de la forme az2+bz+c=0 avec a≠0
Soit l'équation az2+bz+c=0, a≠0. On a Δ=b2−4ac. Alors,
− Si Δ∈R∗+ l'équation admet deux solutions distinctes z1=−b−√Δ2aetz2=−b+√Δ2a
− Si Δ=0 l'équation admet une solution double z0=−b−2a
− Si Δ∈R∗− l'équation admet deux solutions distinctes z1=−b−√|Δ|2aetz2=−b+√|Δ|2a
Exemple
Δ=−4=(2i)2,Δ=−3=(i√3)2
− Si Δ∈iR∗ alors Δ est de la forme ib
Exemple
Δ=6i=3(2i)=[√3(1+i)]2
Δ=−8i=4(−2i)=[2(1−i)]2
− Si Δ∈C l'équation admet deux solutions distinctes z1 et z2.
Δ=x+iy, donc il existe deux réels α et β tels que Δ=(α+iβ)2. On a :
Δ=(α+iβ)2⇔x+iy=α2−β2+2iαβ⇔{α2−β2=x2αβ=y|Δ|=|(α+iβ)2|⇔{α2−β2=x(1)2αβ=y(2)α2+β2=√x2+y2 (3)
En additionnant les équations (1) et (3) on obtient 2α2=x+√x2+y2 et on tire α.
En remplaçant α par sa valeur dans l'équation (2) on trouve β. Ainsi, on a : z1=−b−(α+iβ)2aetz2=−b+(α+iβ)2a
Exemple
1) On donne Δ=−3+4i, trouver α et β tels que Δ=(α+iβ)2
2) Résoudre dans C, z2+(2−√3−i)z+(√3−1)(−1+i)=0
Résolution
1)
Δ=−3+4i=(α+iβ)2⇔−3+4i=α2−β2+2iαβ⇔{α2−β2=−32αβ=4|Δ|=|(α+iβ)2|⇔{α2−β2=−3(1)2αβ=4(2)α2+β2=5(3)
(1)+(3) entraine que 2α2=−3+5=2 et donc α2=1 ; c'est-à-dire α=1 ou α=−1.
− Si α=1, en remplaçant dans (2) on trouve β=2, donc Δ=(1+2i)2
− Si α=−1, on trouve β=−2, donc Δ=(−1−2i)2=(1+2i)2
2) Soit à résoudre l'équation C, z2+(2−√3−i)z+(√3−1)(−1+i)=0.
On a :
Δ=(2−√3−i)2−4(√3−1)(−1+i)=4+3−1−4√3−4i+2√3i+4√3−4√3i−4+4i=2−2√3i
Posons Δ=(α+iβ)2 alors {α2−β2=22αβ=−2√3α2+β2=4
Ainsi, 2α2=4+2=6 et donc α2=3 ; c'est-à-dire α=√3 ou α=−√3.
− Si α=√3, on trouve β=−1, donc
z1=−2+√3+i−(√3−i)2=−1+ietz2=−2+√3+i+(√3−i)2=−1+√3
− Si α=−√3, on trouve β=1, donc
z1=−2+√3+i−(−√3+i)2=−1+√3etz2=−2+√3+i+(−√3+i)2=−1+i
D'où SC={−1+i; −1+√3}
VII.2 Équations de la forme az3+bz2+cz+d=0 avec a≠0
Exemple
Soit (E) l'équation définie par (E) : z3−3z2+(3−i)z−2(1−i)=0.
1) Montrer que (E) admet une solution réelle à déterminer.
2) Résoudre (E)
Résolution
1) Soit z=a la solution réelle de (E)
donc,
a3−3a2+(3−i)a−2(1−i)=0⇒a3−3a2+3a−ai−2+2i=0⇒a3−3a2+3a−2+i(2−a)=0⇒{a3−3a2+3a−2=02−a=0⇒{a3−3a2+3a−2=0(1)a=2(2)
a=2 vérifie aussi l'équation (1), donc 2 est la solution réelle cherchée.
2) L'équation (E) devient (z−2)(az2+bz+c)=0. En procédant par exemple par la méthode de Hörner, on détermine les coefficients a, b et c.
On a : (z−2)(z2−z+1−i)=0 ⇔ z=2ouz2−z+1−i=0
Soit l'équation z2−z+1−i=0 alors,
Δ=1−4+4i=−3+4i=(1+2i)2
Donc z1=1−1−2i2=−i et z1=1+1+2i2=1+i
D'où SC={2; −i; 1+i}
VII.3 Racine nième de l'unité
Soit à déterminer z tel que zn=1.
On a :
zn=1⇔{|z|n=1argzn=arg1(2π)⇔{|z|=1nargz=0(2π)⇔{|z|=1argz=2kπn
Donc les solutions de l'équation zn=1 sont de la forme zk=ei2kπn, k∈{0, 1, ……, (n−1)}
Exemple
Déterminer les racines cubiques de l'unité
Soit z3=1, alors {|z|=1argz=2kπ3
Les solutions de l'équation sont de la forme zk=ei2kπn, k∈{0, 1, 2}.
Donc on a z0=1, z1=ei2π3 et z2=ei4π3
On constate que z1=j,z2=¯j,j2=¯j et 1+j+j2=0
Remarque
Les points images M0, M1,……, Mk des solutions zk sont des sommets d'un polygone régulier à n cotés.
En particulier, pour l'exemple, les solutions sont les sommets d'un triangle équilatérale.
VII.4 Racine nième d'un nombre complexe non nul et différent de 1
Soit à résoudre l'équation zn=b, b∈C∗∖{1}
1er cas
Si a est solution particulière alors an=b donc,
zn=an⇒znan=1⇒(za)n=1
On pose Z=za,
On a :
Zn=1⇔Zk=ei2kπn⇔zka=ei2kπn⇔zk=aei2kπn, k∈{0, 1, ……, (n−1)}
Donc si a est solution particulière de zn=b, alors les solutions de l'équation zn=b s'obtiennent en multipliant a par les racines nième de l'unité.
2em cas
cas général :
zn=b ⇔ {|z|n=|b|argzn=argb(2π)
Soit b=reiθ, donc |b|=r et argb=θ. On a :
{|z|n=|b|argzn=argb(2π)⇔{|z|n=rargzn=θ(2π)⇔{|z|=n√rnargz=θ(2π)⇔{|z|=n√rargz=θn+2kπn
Donc les solutions de l'équation zn=b sont de la forme zk=n√rei(θn+2kπn), k∈{0, 1, ……, (n−1)}
Remarque
Les points images M0, M1,……, Mk des solutions zk sont des sommets d'un polygone régulier à n cotés sur le cercle C(O, n√|b|).
Exemple
Résoudre dans C l'équation z3=i
On a i=eiπ2, donc |i|=1 et argi=π2.
Ainsi, les solutions de z5=i sont de la forme zk=ei(π10+2kπ5), k∈{0, 1, 2, 3, 4}
VIII. Transformations du plan et complexes
VIII.1 Définition
Soit f une transformation du plan qui à tout point M d'affixe z associe le point M′ d'affixe z′. L'écriture de z′ en fonction de z est appelée écriture complexe de la transformation f.
VIII.2 Transformations usuelles
Le plan est muni d'un repère orthonormé direct (O; →e1, →e2) et soit b et ω deux nombres complexes, k et θ deux réels non nuls.
Translation
La translation de vecteur →u(b) a pour écriture complexe z′=z+b
En particulier, z′=z est l'écriture caractéristique de l'identité du plan.
Rotation
La rotation d'angle θ et de centre Ω d'affixe ω a pour expression complexe
z′−ω=eiθ(z−ω)ou bienz′=eiθz+b
Homothétie
L'homothétie de rapport k et de centre Ω d'affixe ω a pour écriture complexe z′−ω=k(z−ω)ou bienz′=kz+b
Symétries
La symétrie d'axe réel ou réflexion d'axe (Ox) a pour écriture complexe z′=¯z
La symétrie d'axe imaginaire ou réflexion d'axe (Oy) a pour écriture complexe z′=−¯z
La symétrie d'axe Δ d'équation y=x a pour écriture complexe z′=i¯z
La symétrie centrale de centre O a pour écriture complexe z′=−z
Exemple
Parmi les écritures complexes suivantes, reconnaître les transformations et donner pour chacune d'elles les éléments caractéristiques.
1) z′=z+3−2i
2) z′=(−√22+i√22)z
Résolution
1) Comme le coefficient de z est 1, alors la transformation associée est une translation de vecteur →u d'affixe 3−2i.
2) Le coefficient de z est un complexe de forme exponentielle ei3π4, donc la transformation est une rotation d'angle 3π4 et de centre le point O, d'affixe 0.
Auteur:
Diny Faye & Seyni Ndiaye
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sam, 07/27/2019 - 14:25
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Anonyme (non vérifié)
dim, 03/29/2020 - 19:34
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Vous avez fait un tres bon
Anonyme (non vérifié)
ven, 01/29/2021 - 00:54
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J'ai vraiment aimé
Sire (non vérifié)
ven, 01/29/2021 - 17:58
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Je suis contente de ces cours
Anonyme (non vérifié)
ven, 02/05/2021 - 15:37
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Bien. Le cours est excellent.
Massamba DIOUF (non vérifié)
sam, 02/13/2021 - 21:55
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Vraiment c'est très gentil
YOUSSOUF Traoré (non vérifié)
mar, 11/09/2021 - 14:43
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Cette leçon est très
YOUSSOUF Traoré (non vérifié)
mar, 11/09/2021 - 14:45
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Cette leçon est très
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