Limites et Continuité - 1er S

Classe: 
Première

I Limites 

I.1 Limites à l'infinie

I.1.1 Limites infinies à l'infinie

Considérons la fonction f définie par f(x)=x2 ; son ensemble de définition est Df=R.
 
Examinons le tableau suivant : x10181091041001010110102104106f(x)103610181081041021011021041081012
Nous constatons que lorsque x prend des valeurs de plus en plus grandes, les valeurs de f(x) deviennent de plus en plus grandes. On dira que f(x) tend vers + quand x tend vers +.
 
De même lorsque x prend des valeurs de plus en plus grandes en valeurs absolues mais en étant négatives, f(x) prend des valeurs de plus en plus grandes. On dira que f(x) tend vers + quand x tend vers .

Définitions intuitives 

Soit f une fonction définie sur un domaine Df.
 
  Lorsque x tend vers +, si les f(x) tendent vers + alors on dira que la limite de f(x) quand x tend vers + est égale à + et on note : limx+f(x)=+
 
  Lorsque x tend vers , si les f(x) tendent vers + alors on dira que la limite de f(x) quand x tend vers est égale à + et on note : limxf(x)=+
 
  Lorsque x tend vers +, si les f(x) tendent vers alors on dira que la limite de f(x) quand x tend vers + est égale à et on note : limx+f(x)=
 
  Lorsque x tend vers , si les f(x) tendent vers alors on dira que la limite de f(x) quand x tend vers est égale à et on note : limxf(x)=

I.1.2 Limites finies à l'infinie

Considérons la fonction f définie sur Df=R par f(x)=1x3.
 
Soit le tableau de valeurs suivant : x1041021010102104106f(x)10120.0000010.0010.0010.00000110121018 En examinant ce tableau, nous constatons que lorsque x prend des valeurs de plus en plus grandes, les valeurs de f(x) restent très proches de 0. On dira que f(x) tend vers 0 quand x tend vers +.
 
De même, lorsque x prend des valeurs de plus en plus grandes en valeurs absolues, tout en étant négatives, les valeurs de f(x) deviennent de plus en plus proches de la valeur 0. On dira que f(x) tend vers 0 quand x tend vers .

Définitions intuitives 

Soit f une fonction définie sur un domaine Df et R.
 
  Lorsque x tend vers +, si les f(x) tendent vers un réel alors on dira que la limite de f(x) quand x tend vers + est égale à et on note : limx+f(x)=
 
  Lorsque x tend vers , si les f(x) tendent vers un réel alors on dira que la limite de f(x) quand x tend vers est égale à et on note : limxf(x)=

Remarque 

La limite lorsqu'elle existe, elle est unique.

I.2 Limites en un point x0

Activité

Soit f une fonction dont la courbe représentative Cf est illustrée sur la figure ci-dessous.

 

 
 
En examinant ce graphique nous pouvons constater que les valeurs de f(x) tendent vers L lorsque x tend vers x0 de part et d'autre.
 
Cet fait peut être exprimer en disant que f(x) a pour limite lorsque x tend vers x0 et on note : limxx0f(x)=

I.2.1 Limite à gauche - limite à droite de x0

Définitions

Soit f une fonction d'ensemble de définition Df et x0 un réel. 
 
  La limite éventuelle de la restriction de f à Df]; x0[ est appelée limite de f à gauche au point x0 ou encore la limite de f lorsque x tend vers x0 en étant inférieur à x0, et on note : limxx0x<x0f(x)ou plus simplementlimxx0f(x)
 
  La limite éventuelle de la restriction de f à Df]x0; +[ est appelée limite de f à droite au point x0 ou encore la limite de f lorsque x tend vers x0 en étant supérieur à x0, et on note : limxx0x>x0f(x)ou plus simplementlimxx+0f(x)

Théorème 

On dit que f admet une limite fini en x0 si et seulement si limxx0f(x)=limxx+0f(x)=

I.2.2 Limites infinies en x0

Soit la fonction f définie par f(x)=1x;Df=R.
 
Examinons le tableau suivant : x0.10.0110410801061030.010.1f(x)10100104108×10610310010
Nous constatons que lorsque x prend des valeurs de plus en plus proches de 0 en étant supérieures à 0, les valeurs de f(x) deviennent de plus en plus grandes. On dira que f(x) tend vers + quand x tend vers 0+. On note : limx0+f(x)=+
 
De même lorsque x prend des valeurs de plus en plus proches de 0 en étant inférieures à 0, f(x) prend des valeurs de plus en plus grandes en valeurs absolues mais en étant négatives. On dira que f(x) tend vers quand x tend vers 0. On note : limx0f(x)=

Définitions intuitives  

Soit f une fonction définie sur un domaine Df et x0 appartenant à l'intérieur de ce domaine :
 
   Lorsque x tend vers x0, si les f(x) tendent vers + alors on dira que la limite de f(x) quand x tend vers x0 est égale à + et on note : limxx0f(x)=+
 
   Lorsque x tend vers x0, si les f(x) tendent vers alors on dira que la limite de f(x) quand x tend vers x0 est égale à et on note : limxx0f(x)=

I.2.3 Limites finies en x0

Soit f la fonction définie par f(x)=x24x2. On a Df=R{2}.
 
Considérons le tableau suivant : x1.81.91.991.9992.000012.00012.0012.012.1f(x)3.83.93.993.9994.000014.00014.0014.014.1
Nous constatons que lorsque x prend des valeurs de plus en plus proches de 2 en restant dans Df, les valeurs de f(x) semblent s'approcher de la valeur 4. On exprime ce fait en disant que f(x) tend vers 4 quand x tend vers 2. On note : limx2f(x)=4

Définition

Soit f une fonction définie sur un domaine D, x0 appartenant à l'intérieur de ce domaine et un réel. Lorsque x prend des valeurs proches de x0, si les valeurs de f(x) deviennent de plus en plus proches du réel alors on dira que f(x) a pour limite lorsque x tend vers x0 et on note : limxx0f(x)=

Travaux pratiques 

Déterminer la limite des fonctions suivantes au point x0=1
 
a) f(x)={2x+1six<13x2x1six>1
 
b) g(x)={x21six<13xx2+1six>1
 
c) h(x)={2xx1six>1x2(x1)2six<1

Résolution

a) limx1f(x)=limx12x+1=2×1+1=3
 
limx1+f(x)=limx1+3x2x1=3×(1)211=1
 
b) limx1g(x)=limx1x21=11=0
 
limx1+g(x)=limx1+3xx2+1=3×112+1=32
 
c)  limx1+h(x)=limx1+2xx1 or lorsque x tend vers 1+, (x1) tend vers 0+.
 
Donc, limx1+2xx1=2(x1)0+=+.
 
D'où, limx1+h(x)=+
 
limx1h(x)=limx1x2(x1)2 or lorsque x tend vers 1, (x1) tend vers 0 et donc (x1)2 va tendre vers 0+.
 
Ainsi, limx1x2(x1)2=1(x1)20+=.
 
D'où, limx1h(x)=

I.3 Opération sur les limites 

Soient f et g deux fonctions de limites finies ou non. Les limites de f+g, f×g et de fg sont récapitulées dans les tableaux ci-dessous.
 
N.B : Dans les cas où on ne peut conclure, on dira qu'on est en face d'une indétermination ou simplement une "forme indéterminée" notée (F.I)

I.3.1 Limites d'une somme de deux fonctions

limf++limg++lim(f+g)+++F.I

Exemple 

a) limx+(x+11x3)=+ car en posant f(x)=x+1  et  g(x)=1x3 on a limx+f(x)=+  et  limx+g(x)=0.
 
Donc, limx+(f(x)+g(x))=+ 
 
b) limx0(x+11x3)=+ car  limx0(x+1)=1  et  limx01x3=+
 
c) limx+(x3x2), (F.I) car  limx+x3=+  et  limx+x2= 

I.3.2 Limites d'un produit

limf>0<0>0<0++0limg+++lim(f×g)×++++F.I

Exemple 

a) limx+(x2+2x3)=limx+x2(1+2x3x2)=+
 
car  limx+x2=+  et  limx+(1+2x1x2)=1 du fait que limx+(2x1x2)=0
 
b) limx0(x2+1)(x3+2x+1)=1 car  limx0(x2+1)=1  et  limx0(x3+2x+1)=1
 
c) limx1+(x21)1x1, (F.I) car  limx1+(x21)=0  et  limx1+1x1=+

I.3.3 Limites d'un quotient 

limf++limg0<0>0<0>0lim(fg)F.I0++
 
limf>0>0<0<00limg0+00+00lim(fg)++F.I

Exemple 

a) limx+3x2=0+ car  limx+3=3  et  limx+(x2)=+
 
b) limx0x1x3=+ car  limx0(x1)=1  et  limx0x3=0
 
c) limx+x1x, (F.I) car  limx+(x1)=+  et  limx+x=+

I.4 Méthodes de calcul des limites - levée d'une forme indéterminée

Pour calculer des limites ou pour lever une indétermination on peut procéder selon les méthodes suivantes :

Méthode 1 : utiliser l'un des théorème suivants 

Théorème 1

La limite en ± d'un polynôme est la limite en ± de son monôme de plus haut degré.

Théorème 2

La limite en ± d'une fraction rationnelle est la limite en ± du quotient de monôme de plus haut degré.

Exemple 

a) limx+x22x+1=limx+x2(12x+1x2)=limx+x2 car  limx+(12x+1x2)=1

donc limx+x22x+1=limx+x2=+

 
b) limx+x32x2+1x24x+3=limx+x3x2=limx+x=+

Méthode 2 : factoriser par (xx0)

Si, pour une fonction rationnelle, x0 annule aussi bien le numérateur que le dénominateur, alors pour chercher la limite de cette fonction en x0 on factorise par (xx0) au numérateur comme au dénominateur et on simplifie.

Exemple 

limx2x24x26x+8=limx2(x2)(x+2)(x2)(x4)=limx2(x+2)(x4)=limx242=2
 
donc limx2x24x26x+8=2

Méthode 3 : multiplier par l'expression conjuguée

Pour calculer la limite d'une fraction irrationnelle en un point x0 annulant le numérateur et le dénominateur, on multiplie par l'expression conjuguée et on simplifie.

Exemple 

limx22x+53x2=limx2(2x+53)(2x+5+3)(x2)(2x+5+3)=limx22x+59(x2)(2x+5+3)=limx22x4(x2)(2x+5+3)=limx22(x2)(x2)(2x+5+3)=limx222x+5+3=limx224+5+3=limx226=13
 
donc limx22x+53x2=13

Méthode 4 : utiliser les théorèmes de comparaison

Soit f, g : IR et soit x0I ou x0=±

Théorème 1

Si au voisinage de x0 on a f(x)g(x) alors on a :
si limf(x)=+alorslimg(x)=+si limg(x)=alorslimf(x)=

Exemple 

Soit la fonction f définie sur R+ par f(x)=xx+4
 
1) Montrer que x[0; +[, f(x)3x
 
2) en déduire limx+f(x)

Résolution

1)
 
f(x)3x=xx+43x=x4x+4=(x2)20
 
Donc, f(x)3x0  f(x)3x
 
2) On a : limx+3x=+  et  f(x)3x donc,  limx+f(x)=+

Théorème 2 : (Théorème des gendarmes)

Si au voisinage de x0 on a g(x)f(x)h(x) et que limxx0g(x)=limxx0h(x)= (finie ou infinie) alors limxx0f(x)=

Exemple

Calculer limx0+x2cos1x
 
Nous avons ; 1cos1x1, x  x2x2cos1xx2
 
Or,  limx0+x2=0limx0+x2=0} donc,  limx0+x2cos1x=0

Corollaire du théorème des gendarmes

Si au voisinage de x0 on a : |f(x)|g(x) et que limxx0g(x)=0 alors,  limxx0f(x)=

Méthode 5 : utiliser le théorème de composée de fonctions

Théorème 

Soit deux fonctions f  et  g telles que : f : IR, g : JR
 
I  et  J sont deux intervalles de R tels que f(I)J et soit x0, ,  finis ou infinis, on a :
 
Si limxx0f(x)= et si limxg(x)= alors,  limxx0gf(x)= 

Exemple 

a) Soit h(x)=4x+5x2, calculer limx+h(x)
 
Posons f(x)=4x+5x2, g(x)=x et h(x)=gf(x)
 
alors, gf(x)=g[f(x)]=f(x)=4x+5x2
 
On a : limx+4x+5x2=limx+4x4=4
 
donc,
 
limx+4x+5x2=limx4g(x)=limx4x=limx44=2
 
donc, limx+4x+5x2=2
 
b) On donne h(x)=x+9x2, calculer limx2+h(x)
 
Soit f(x)=x+9x2, g(x)=x et h(x)=gf(x)
 
On a : limx2+x+9x2=limx2+110+=+
 
donc,
 
limx2+x+9x2=limx+g(x)=limx+x=+
 
D'où, limx2+x+9x2=+

I.5 Notion d'asymptotes

Soit f une fonction de courbe représentative (Cf).

I.5.1 Asymptote horizontale

Si limxf(x)= ou  limx+f(x)= alors on dira que (Cf) admet une asymptote horizontale Δ d'équation y=

 

 
 
(Cf) s'approche de plus en plus de la droite Δ d'équation y= lorsque x devient infini.

I.5.2 Asymptote verticale

Si limxx0f(x)= ou (+) ou  limxx+0f(x)= ou (+) alors on dit que (Cf) admet une asymptote verticale Δ d'équation x=x0

   limxx+0f(x)=

 

 

   limxx0f(x)=

 

 
 
 

Exemple 

Soit f(x)=x+1x1, on a Df=R{1}=]; 1[]1; +[
 
limxf(x)=limx+f(x)=1, donc la droite Δ d'équation y=1 est asymptote horizontale à (Cf)
 
limx1f(x)=limx1x+1x1=limx120=
 
limx1+f(x)=limx1+x+1x1=limx1+20+=+ donc la droite Δ d'équation x=1 est asymptote verticale à (Cf)

illustration graphique 


 

 
 

I.5.3 Asymptote oblique

S'il existe une fonction affine xax+b; (a0) telle que limx[f(x)(ax+b)]=0, on dit que (Cf) admet une asymptote oblique d'équation y=ax+b

 
 

 
 

Exemple 

Soit f la fonction définie par f(x)=2x2+3x1x1
 
Df=R{1}=]; 1[]1; +[  et  xDf, f(x)=2x+5+4x1
 
Montrons que la droite d'équation y=2x+5 est asymptote oblique à (Cf).
 
On a : f(x)y=2x+5+4x1(2x+5)=4x1
 
limx[f(x)y]=limx4x1=0 et 
 
limx+[f(x)y]=limx+4x1=0+ donc la droite d'équation y=2x+5 est asymptote oblique à (Cf) au voisinage de et de +.

illustration graphique 


 
 

 
 

Détermination pratique de a et b 

Dans l'équation y=ax+b, pour déterminer les coefficients a  et  b on procède comme suit :
 
calculer : limxf(x)x=a  et  limxf(x)ax=b

Exemple 

f(x)=2x2+3x1x1
 
limxf(x)x=limx2x2+3x1x1x=limx2x2+3x1(x1)×1x=limx2x2+3x1x2x=limx2x2x2=2
 
Donc,  limxf(x)x=2  a=2
 
Ainsi,
limxf(x)2x=limx2x2+3x1x12x=limx2x2+3x12x2+2xx1=limx5x1x1=limx5xx=5
Donc limxf(x)2x=5  b=5, d'où la droite d'équation y=2x+5 est asymptote oblique à (Cf) au voisinage de ±. 

II Continuité 

II.1 Définition 

Soit f : IR et x0I
 
  On dit que f est continue en x0 si, et seulement si, limxx0f(x)=f(x0)
 
  On dit que f est continue à gauche de x0 si, et seulement si, limxx0f(x)=f(x0)
 
  On dit que f est continue à droite de x0 si, et seulement si, limxx+0f(x)=f(x0)

Théorème 1

Soit f : IR  et  x0I
 
On dit que f est continue en x0 si, et seulement si, f est continue à gauche et à droite de x0, c'est-à-dire  {limxx0f(x)=f(x0)limxx+0f(x)=f(x0)

Exemple 

Soit f la fonction définie par f(x)={1+x212xsix>02x1six0
 
Étudier la continuité de f en 0.

Résolution 

limx0+f(x)=limx0+1+x212x=limx0+(1+x21)(1+x2+1)2x(1+x2+1)=limx0+1+x212x(1+x2+1)=limx0+x22x(1+x2+1)=limx0+x2(1+x2+1)=limx0+04=0
 
Or,  f(0)=1=limx0f(x) donc,  limx0f(x)limx0+f(x)
 
ainsi, f n'est pas continue en 0.

Théorème 2

Soient f  et  g deux fonctions continues en un point x0  et  α un réel ; alors les fonctions αf, (f+g) et (f×g) sont continues en x0.
 
Si de plus g(x00 alors les fonctions 1g  et  fg sont aussi continues en x0.

II.2 Fonction continue sur un intervalle

Définition

Une fonction f est continue sur un intervalle I de R si elle est continue en tout point de I.

Théorème 1

Toute fonction polynôme est continue sur R
 
Toute fonction rationnelle est continue sur son domaine de définition.
 
La fonction U est continue sur son domaine de définition.
 
La fonction |U| est continue sur son domaine de définition.

Théorème 2

Soient f  et  g deux fonctions telles que f soit continue sur un intervalle I  et  g continue sur un intervalle J contenant f(I) alors gf est continue sur I.

Prolongement par continuité d'une fonction 

Soit f : RRxx21x1
Df=R{1}, 1Df
 
f n'est pas continue au point 1. limx1f(x)=F.I
 
On a : xR{1}, f(x)=(x1)(x+1)x1=x+1
 
donc, limx1f(x)=limx1x+1=2
 
Soit alors g la fonction définie par {g(x)=x+1si x1g(1)=2
 
limx1g(x)=limx1x+1=2 donc,  limx1g(x)=g(1)
 
ainsi, g est continue au point 1. D'où g est appelé le prolongement par continuité de f au point 1.

 

Auteur: 
Diny Faye & Seyni Ndiaye

Commentaires

C'est vraiment un très bon cours

Cours très intéressants. Merci

Cours très intéressants. Merci

Les cours ne se terminent pas et sa me pose des problemes

Cours tres complet

Bonjour je me nomme baye kebe Je fais la 1er S2 au lycée de Tendouck Je cheche quelqu'un(e) qui m'explique les cours et exercices Car parfois je n'arrive pas à suivre le rytheme des professeurs Voici mon numero 772388565 J'ai vraiment besoin d'aide.

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