Limites et Continuité - 1er S

Classe: 
Première

I Limites 

I.1 Limites à l'infinie

I.1.1 Limites infinies à l'infinie

Considérons la fonction f définie par f(x)=x2 ; son ensemble de définition est Df=R.
 
Examinons le tableau suivant : x10181091041001010110102104106f(x)103610181081041021011021041081012
Nous constatons que lorsque x prend des valeurs de plus en plus grandes, les valeurs de f(x) deviennent de plus en plus grandes. On dira que f(x) tend vers + quand x tend vers +.
 
De même lorsque x prend des valeurs de plus en plus grandes en valeurs absolues mais en étant négatives, f(x) prend des valeurs de plus en plus grandes. On dira que f(x) tend vers + quand x tend vers .

Définitions intuitives 

Soit f une fonction définie sur un domaine Df.
 
  Lorsque x tend vers +, si les f(x) tendent vers + alors on dira que la limite de f(x) quand x tend vers + est égale à + et on note : lim
 
\centerdot\ \ Lorsque x tend vers -\infty, si les f(x) tendent vers +\infty alors on dira que la limite de f(x) quand x tend vers -\infty est égale à +\infty et on note : \lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=+\infty
 
\centerdot\ \ Lorsque x tend vers +\infty, si les f(x) tendent vers -\infty alors on dira que la limite de f(x) quand x tend vers +\infty est égale à -\infty et on note : \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=-\infty
 
\centerdot\ \ Lorsque x tend vers -\infty, si les f(x) tendent vers -\infty alors on dira que la limite de f(x) quand x tend vers -\infty est égale à -\infty et on note : \lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=-\infty

I.1.2 Limites finies à l'infinie

Considérons la fonction f définie sur D_{f}=\mathbb{R}^{*} par f(x)=\dfrac{1}{x^{3}}.
 
Soit le tableau de valeurs suivant : \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x&-10^{4}&-10^{2}&-10&10&10^{2}&10^{4}&10^{6} \\ \hline f(x)&-10^{-12}&-0.000001&-0.001&0.001&0.000001&10^{-12}&10^{-18} \\ \hline\end{array} En examinant ce tableau, nous constatons que lorsque x prend des valeurs de plus en plus grandes, les valeurs de f(x) restent très proches de 0. On dira que f(x) tend vers 0 quand x tend vers +\infty.
 
De même, lorsque x prend des valeurs de plus en plus grandes en valeurs absolues, tout en étant négatives, les valeurs de f(x) deviennent de plus en plus proches de la valeur 0. On dira que f(x) tend vers 0 quand x tend vers -\infty.

Définitions intuitives 

Soit f une fonction définie sur un domaine D_{f} et \ell\in\mathbb{R}.
 
\centerdot\ \ Lorsque x tend vers +\infty, si les f(x) tendent vers un réel \ell alors on dira que la limite de f(x) quand x tend vers +\infty est égale à \ell et on note : \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=\ell
 
\centerdot\ \ Lorsque x tend vers -\infty, si les f(x) tendent vers un réel \ell alors on dira que la limite de f(x) quand x tend vers -\infty est égale à \ell et on note : \lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=\ell

Remarque 

La limite lorsqu'elle existe, elle est unique.

I.2 Limites en un point x_{0}

Activité

Soit f une fonction dont la courbe représentative C_{f} est illustrée sur la figure ci-dessous.

 

 
 
En examinant ce graphique nous pouvons constater que les valeurs de f(x) tendent vers L lorsque x tend vers x_{0} de part et d'autre.
 
Cet fait peut être exprimer en disant que f(x) a pour limite \ell lorsque x tend vers x_{0} et on note : \lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=\ell

I.2.1 Limite à gauche - limite à droite de x_{0}

Définitions

Soit f une fonction d'ensemble de définition D_{f} et x_{0} un réel. 
 
\centerdot\ \ La limite éventuelle de la restriction de f à D_{f}\cap]-\infty\;;\ x_{0}[ est appelée limite de f à gauche au point x_{0} ou encore la limite de f lorsque x tend vers x_{0} en étant inférieur à x_{0}, et on note : \lim_{\substack{x \to x_{0} \\ x<x_{0}}}f(x)\quad\text{ou plus simplement}\quad\lim_{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)
 
\centerdot\ \ La limite éventuelle de la restriction de f à D_{f}\cap]x_{0}\;;\ +\infty[ est appelée limite de f à droite au point x_{0} ou encore la limite de f lorsque x tend vers x_{0} en étant supérieur à x_{0}, et on note : \lim_{\substack{x \to x_{0} \\ x>x_{0}}}f(x)\quad\text{ou plus simplement}\quad\lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)

Théorème 

On dit que f admet une limite fini \ell en x_{0} si et seulement si \lim_{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)=\ell

I.2.2 Limites infinies en x_{0}

Soit la fonction f définie par f(x)=\dfrac{1}{x}\;;\quad D_{f}=\mathbb{R}^{*}.
 
Examinons le tableau suivant : \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x&-0.1&-0.01&-10^{-4}&-10^{-8}&\cdots&0&\cdots&10^{-6}&10^{-3}&0.01&0.1 \\ \hline f(x)&-10&-100&-10^{4}&-10^{8}&\cdots&\times&\cdots&10^{6}&10^{3}&100&10 \\ \hline\end{array}
Nous constatons que lorsque x prend des valeurs de plus en plus proches de 0 en étant supérieures à 0, les valeurs de f(x) deviennent de plus en plus grandes. On dira que f(x) tend vers +\infty quand x tend vers 0^{+}. On note : \lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)=+\infty
 
De même lorsque x prend des valeurs de plus en plus proches de 0 en étant inférieures à 0\;,\ f(x) prend des valeurs de plus en plus grandes en valeurs absolues mais en étant négatives. On dira que f(x) tend vers -\infty quand x tend vers 0^{-}. On note : \lim\limits_{x\rightarrow 0^{-}}f(x)=-\infty

Définitions intuitives  

Soit f une fonction définie sur un domaine D_{f} et x_{0} appartenant à l'intérieur de ce domaine :
 
\centerdot\ \ Lorsque x tend vers x_{0}, si les f(x) tendent vers +\infty alors on dira que la limite de f(x) quand x tend vers x_{0} est égale à +\infty et on note : \lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=+\infty
 
\centerdot\ \ Lorsque x tend vers x_{0}, si les f(x) tendent vers -\infty alors on dira que la limite de f(x) quand x tend vers x_{0} est égale à -\infty et on note : \lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=-\infty

I.2.3 Limites finies en x_{0}

Soit f la fonction définie par f(x)=\dfrac{x^{2}-4}{x-2}. On a D_{f}=\mathbb{R}\setminus\{2\}.
 
Considérons le tableau suivant : \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x&1.8&1.9&1.99&1.999&2.00001&2.0001&2.001&2.01&2.1 \\ \hline f(x)&3.8&3.9&3.99&3.999&4.00001&4.0001&4.001&4.01&4.1 \\ \hline\end{array}
Nous constatons que lorsque x prend des valeurs de plus en plus proches de 2 en restant dans D_{f}, les valeurs de f(x) semblent s'approcher de la valeur 4. On exprime ce fait en disant que f(x) tend vers 4 quand x tend vers 2. On note : \lim\limits_{x\rightarrow 2}f(x)=4

Définition

Soit f une fonction définie sur un domaine D\;,\ x_{0} appartenant à l'intérieur de ce domaine et \ell un réel. Lorsque x prend des valeurs proches de x_{0}, si les valeurs de f(x) deviennent de plus en plus proches du réel \ell alors on dira que f(x) a pour limite \ell lorsque x tend vers x_{0} et on note : \lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=\ell

Travaux pratiques 

Déterminer la limite des fonctions suivantes au point x_{0}=1
 
a) f(x)=\left\lbrace\begin{array}{rcl} 2x+1&\text{si}&x<1 \\ 3x^{2}-x-1&\text{si}&x>1\end{array}\right.
 
b) g(x)=\left\lbrace\begin{array}{rcl} x^{2}-1&\text{si}&x<1 \\ \\ \dfrac{3x}{x^{2}+1}&\text{si}&x>1\end{array}\right.
 
c) h(x)=\left\lbrace\begin{array}{rcl} \dfrac{2x}{x-1}&\text{si}&x>1 \\ \\ \dfrac{-x^{2}}{(x-1)^{2}}&\text{si}&x<1\end{array}\right.

Résolution

a) \lim\limits_{x\rightarrow 1^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow 1^{-}}2x+1=2\times 1+1=3
 
\lim\limits_{x\rightarrow 1^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow 1^{+}}3x^{2}-x-1=3\times(1)^{2}-1-1=1
 
b) \lim\limits_{x\rightarrow 1^{-}}g(x)=\lim\limits_{x\rightarrow 1^{-}}x^{2}-1=1-1=0
 
\lim\limits_{x\rightarrow 1^{+}}g(x)=\lim\limits_{x\rightarrow 1^{+}}\dfrac{3x}{x^{2}+1}=\dfrac{3\times 1}{1^{2}+1}=\dfrac{3}{2}
 
c)  \lim\limits_{x\rightarrow 1^{+}}h(x)=\lim\limits_{x\rightarrow 1^{+}}\dfrac{2x}{x-1} or lorsque x tend vers 1^{+}\;,\ (x-1) tend vers 0^{+}.
 
Donc, \lim\limits_{x\rightarrow 1^{+}}\dfrac{2x}{x-1}=\dfrac{2}{(x-1)\rightarrow 0^{+}}=+\infty.
 
D'où, \lim\limits_{x\rightarrow 1^{+}}h(x)=+\infty
 
\lim\limits_{x\rightarrow 1^{-}}h(x)=\lim\limits_{x\rightarrow 1^{-}}\dfrac{-x^{2}}{(x-1)^{2}} or lorsque x tend vers 1^{-}\;,\ (x-1) tend vers 0^{-} et donc (x-1)^{2} va tendre vers 0^{+}.
 
Ainsi, \lim\limits_{x\rightarrow 1^{-}}\dfrac{-x^{2}}{(x-1)^{2}}=\dfrac{-1}{(x-1)^{2}\rightarrow 0^{+}}=-\infty.
 
D'où, \lim\limits_{x\rightarrow 1^{-}}h(x)=-\infty

I.3 Opération sur les limites 

Soient f et g deux fonctions de limites finies ou non. Les limites de f+g\;,\ f\times g et de \dfrac{f}{g} sont récapitulées dans les tableaux ci-dessous.
 
N.B : Dans les cas où on ne peut conclure, on dira qu'on est en face d'une indétermination ou simplement une "forme indéterminée" notée (F.I)

I.3.1 Limites d'une somme de deux fonctions

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \lim f&\ell&\ell&\ell&+\infty&-\infty&+\infty \\ \hline \lim g&\ell'&+\infty&-\infty&+\infty&-\infty&-\infty \\ \hline \lim (f+g)&\ell+\ell'&+\infty&-\infty&+\infty&-\infty&F.I \\ \hline\end{array}

Exemple 

a) \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\left(x+1-\dfrac{1}{x^{3}}\right)=+\infty car en posant f(x)=x+1\ et \ g(x)=-\dfrac{1}{x^{3}} on a \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty\ et \ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}g(x)=0.
 
Donc, \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}(f(x)+g(x))=+\infty 
 
b) \lim\limits_{x\rightarrow 0^{-}}\left(x+1-\dfrac{1}{x^{3}}\right)=+\infty car \ \lim\limits_{x\rightarrow 0^{-}}(x+1)=1\ et \ \lim\limits_{x\rightarrow 0^{-}}-\dfrac{1}{x^{3}}=+\infty
 
c) \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}(x^{3}-x^{2})\;,\ (F.I) car \ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}x^{3}=+\infty\ et \ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}-x^{2}=-\infty 

I.3.2 Limites d'un produit

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \lim f&\ell&\ell>0&\ell<0&\ell>0&\ell<0&+\infty&-\infty&+\infty&0 \\ \hline \lim g&\ell'&+\infty&+\infty&-\infty&-\infty&+\infty&-\infty&-\infty&\infty \\ \hline \lim (f\times g)&\ell\times\ell'&+\infty&-\infty&-\infty&+\infty&+\infty&+\infty&-\infty&F.I \\ \hline\end{array}

Exemple 

a) \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}(x^{2}+2x-3)=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}x^{2}\left(1+\dfrac{2}{x}-\dfrac{3}{x^{2}}\right)=+\infty
 
car \ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}x^{2}=+\infty\ et \ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\left(1+\dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{x^{2}}\right)=1 du fait que \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{x^{2}}\right)=0
 
b) \lim\limits_{x\rightarrow 0}(x^{2}+1)(x^{3}+2x+1)=1 car \ \lim\limits_{x\rightarrow 0}(x^{2}+1)=1\ et \ \lim\limits_{x\rightarrow 0}(x^{3}+2x+1)=1
 
c) \lim\limits_{x\rightarrow 1^{+}}(x^{2}-1)\sqrt{\dfrac{1}{x-1}}\;,\ (F.I) car \ \lim\limits_{x\rightarrow 1^{+}}(x^{2}-1)=0\ et \ \lim\limits_{x\rightarrow 1^{+}}\sqrt{\dfrac{1}{x-1}}=+\infty

I.3.3 Limites d'un quotient 

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \lim f&\infty&\ell&\ell&+\infty&+\infty&-\infty&-\infty \\ \hline \lim g&\infty&\ell'\neq 0&\infty&\ell'<0&\ell'>0&\ell'<0&\ell'>0 \\ \hline \lim\left(\dfrac{f}{g}\right)&F.I&\dfrac{\ell}{\ell'}&0&-\infty&+\infty&+\infty&-\infty \\ \hline\end{array}
 
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline \lim f&\ell>0&\ell>0&\ell<0&\ell<0&0 \\ \hline \lim g&0^{+}&0^{-}&0^{+}&0^{-}&0 \\ \hline \lim\left(\dfrac{f}{g}\right)&+\infty&-\infty&-\infty&+\infty& F.I \\ \hline\end{array}

Exemple 

a) \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{3}{x-2}=0^{+} car \ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}3=3\ et \ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}(x-2)=+\infty
 
b) \lim\limits_{x\rightarrow 0^{-}}\dfrac{x-1}{x^{3}}=+\infty car \ \lim\limits_{x\rightarrow 0^{-}}(x-1)=-1\ et \ \lim\limits_{x\rightarrow 0^{-}}x^{3}=0^{-}
 
c) \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{x-1}{x}\;,\ (F.I) car \ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}(x-1)=+\infty\ et \ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}x=+\infty

I.4 Méthodes de calcul des limites - levée d'une forme indéterminée

Pour calculer des limites ou pour lever une indétermination on peut procéder selon les méthodes suivantes :

Méthode 1 : utiliser l'un des théorème suivants 

Théorème 1

La limite en \pm\infty d'un polynôme est la limite en \pm\infty de son monôme de plus haut degré.

Théorème 2

La limite en \pm\infty d'une fraction rationnelle est la limite en \pm\infty du quotient de monôme de plus haut degré.

Exemple 

a) \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}x^{2}-2x+1=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}x^{2}\left(1-\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}\right)=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}x^{2} car \ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\left(1-\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}\right)=1

donc \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}x^{2}-2x+1=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}x^{2}=+\infty

 
b) \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{x^{3}-2x^{2}+1}{x^{2}-4x+3}=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{x^{3}}{x^{2}}=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}x=+\infty

Méthode 2 : factoriser par (x-x_{0})

Si, pour une fonction rationnelle, x_{0} annule aussi bien le numérateur que le dénominateur, alors pour chercher la limite de cette fonction en x_{0} on factorise par (x-x_{0}) au numérateur comme au dénominateur et on simplifie.

Exemple 

\begin{array}{rcl} \lim\limits_{x\rightarrow 2}\dfrac{x^{2}-4}{x^{2}-6x+8}&=&\lim\limits_{x\rightarrow 2}\dfrac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x-4)}\\ \\ &=&\lim\limits_{x\rightarrow 2}\dfrac{(x+2)}{(x-4)}\\ \\ &=&\lim\limits_{x\rightarrow 2}\dfrac{4}{-2}\\ \\&=&-2\end{array}
 
donc \lim_{x\rightarrow 2}\dfrac{x^{2}-4}{x^{2}-6x+8}=-2

Méthode 3 : multiplier par l'expression conjuguée

Pour calculer la limite d'une fraction irrationnelle en un point x_{0} annulant le numérateur et le dénominateur, on multiplie par l'expression conjuguée et on simplifie.

Exemple 

\begin{array}{rcl} \lim\limits_{x\rightarrow 2}\dfrac{\sqrt{2x+5}-3}{x-2}&=&\lim\limits_{x\rightarrow 2}\dfrac{(\sqrt{2x+5}-3)(\sqrt{2x+5}+3)}{(x-2)(\sqrt{2x+5}+3)}\\ \\ &=&\lim\limits_{x\rightarrow 2}\dfrac{2x+5-9}{(x-2)(\sqrt{2x+5}+3)}\\ \\ &=&\lim\limits_{x\rightarrow 2}\dfrac{2x-4}{(x-2)(\sqrt{2x+5}+3)}\\ \\ &=&\lim\limits_{x\rightarrow 2}\dfrac{2(x-2)}{(x-2)(\sqrt{2x+5}+3)}\\ \\ &=&\lim\limits_{x\rightarrow 2}\dfrac{2}{\sqrt{2x+5}+3}\\ \\ &=&\lim\limits_{x\rightarrow 2}\dfrac{2}{\sqrt{4+5}+3}\\ \\ &=&\lim\limits_{x\rightarrow 2}\dfrac{2}{6}\\ \\&=&\dfrac{1}{3} \end{array}
 
donc \lim_{x\rightarrow 2}\dfrac{\sqrt{2x+5}-3}{x-2}=\dfrac{1}{3}

Méthode 4 : utiliser les théorèmes de comparaison

Soit f\;,\ g\ :\ I\longrightarrow \mathbb{R} et soit x_{0}\in I ou x_{0}=\pm\infty

Théorème 1

Si au voisinage de x_{0} on a f(x)\leq g(x) alors on a :
\begin{array}{rcl} \text{si }\lim f(x)=+\infty&\text{alors}&\lim g(x)=+\infty\\ \\ \text{si }\lim g(x)=-\infty&\text{alors}&\lim f(x)=-\infty\end{array}

Exemple 

Soit la fonction f définie sur \mathbb{R}^{+} par f(x)=x-\sqrt{x}+4
 
1) Montrer que \forall\;x\in\;[0\;;\ +\infty[\;,\ f(x)\geq 3\sqrt{x}
 
2) en déduire \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)

Résolution

1)
 
\begin{array}{rcl} f(x)-3\sqrt{x}&=&x-\sqrt{x}+4-3\sqrt{x}\\ \\ &=&x-4\sqrt{x}+4\\ \\ &=&(\sqrt{x}-2)^{2}\geq 0\end{array}
 
Donc, f(x)-3\sqrt{x}\geq 0\ \Rightarrow\ f(x)\geq 3\sqrt{x}
 
2) On a : \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}3\sqrt{x}=+\infty\ et \ f(x)\geq 3\sqrt{x} donc, \ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty

Théorème 2 : (Théorème des gendarmes)

Si au voisinage de x_{0} on a g(x)\leq f(x)\leq h(x) et que \lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}g(x)=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}h(x)=\ell (finie ou infinie) alors \lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=\ell

Exemple

Calculer \lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}x^{2}\cos\dfrac{1}{x}
 
Nous avons ; -1\leq\cos\dfrac{1}{x}\leq 1\;,\ \forall\;x\ \Rightarrow\ -x^{2}\leq x^{2}\cos\dfrac{1}{x}\leq x^{2}
 
Or, \ \left.\begin{array}{lcl}\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}-x^{2}&=&0 \\ \lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}x^{2}&=&0\end{array}\right\rbrace donc, \ \lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}x^{2}\cos\dfrac{1}{x}=0

Corollaire du théorème des gendarmes

Si au voisinage de x_{0} on a : |f(x)-\ell|\leq g(x) et que \lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}g(x)=0 alors, \ \lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=\ell

Méthode 5 : utiliser le théorème de composée de fonctions

Théorème 

Soit deux fonctions f\ et \ g telles que : f\ :\ I\longrightarrow\mathbb{R}\;,\ g\ :\ J\longrightarrow\mathbb{R}
 
I\ et \ J sont deux intervalles de \mathbb{R} tels que f(I)\subset J et soit x_{0}\;,\ \ell\;,\ \ell' finis ou infinis, on a :
 
Si \lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=\ell et si \lim\limits_{x\rightarrow \ell}g(x)=\ell' alors, \ \lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}g\circ f(x)=\ell' 

Exemple 

a) Soit h(x)=\sqrt{\dfrac{4x+5}{x-2}}, calculer \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}h(x)
 
Posons f(x)=\dfrac{4x+5}{x-2}\;,\ g(x)=\sqrt{x} et h(x)=g\circ f(x)
 
alors, g\circ f(x)=g[f(x)]=\sqrt{f(x)}=\sqrt{\dfrac{4x+5}{x-2}}
 
On a : \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{4x+5}{x-2}=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{4x}{4}=4
 
donc,
 
\begin{array}{rcl} \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\sqrt{\dfrac{4x+5}{x-2}}&=&\lim\limits_{x\rightarrow 4}g(x)\\\\&=&\lim\limits_{x\rightarrow 4}\sqrt{x}\\ \\&=&\lim\limits_{x\rightarrow 4}\sqrt{4}\\ \\&=&2\end{array}
 
donc, \lim_{x\rightarrow +\infty}\sqrt{\dfrac{4x+5}{x-2}}=2
 
b) On donne h(x)=\sqrt{\dfrac{x+9}{x-2}}, calculer \lim\limits_{x\rightarrow 2^{+}}h(x)
 
Soit f(x)=\dfrac{x+9}{x-2}\;,\ g(x)=\sqrt{x} et h(x)=g\circ f(x)
 
On a : \lim\limits_{x\rightarrow 2^{+}}\dfrac{x+9}{x-2}=\lim\limits_{x\rightarrow 2^{+}}\dfrac{11}{0^{+}}=+\infty
 
donc,
 
\begin{array}{rcl} \lim\limits_{x\rightarrow 2^{+}}\sqrt{\dfrac{x+9}{x-2}}&=&\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}g(x)\\ \\ &=&\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\sqrt{x}\\ \\ &=&+\infty\end{array}
 
D'où, \lim_{x\rightarrow 2^{+}}\sqrt{\dfrac{x+9}{x-2}}=+\infty

I.5 Notion d'asymptotes

Soit f une fonction de courbe représentative (C_{f}).

I.5.1 Asymptote horizontale

Si \lim\limits_{x\rightarrow -\infty}f(x)=\ell ou \ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x)=\ell alors on dira que (C_{f}) admet une asymptote horizontale \Delta d'équation y=\ell

 

 
 
(C_{f}) s'approche de plus en plus de la droite \Delta d'équation y=\ell lorsque x devient infini.

I.5.2 Asymptote verticale

Si \lim\limits_{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)=-\infty\text{ ou }(+\infty) ou \ \lim\limits_{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)=-\infty\text{ ou }(+\infty) alors on dit que (C_{f}) admet une asymptote verticale \Delta' d'équation x=x_{0}

 \centerdot\ \ \lim\limits_{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)=-\infty

 

 

 \centerdot\ \ \lim\limits_{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)=-\infty

 

 
 
 

Exemple 

Soit f(x)=\dfrac{x+1}{x-1}, on a D_{f}=\mathbb{R}\setminus\{1\}=]-\infty\;;\ 1[\cup]1\;;\ +\infty[
 
\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x)=1, donc la droite \Delta d'équation y=1 est asymptote horizontale à (C_{f})
 
\lim\limits_{x\rightarrow 1^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow 1^{-}}\dfrac{x+1}{x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow 1^{-}}\dfrac{2}{0^{-}}=-\infty
 
\lim\limits_{x\rightarrow 1^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow 1^{+}}\dfrac{x+1}{x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow 1^{+}}\dfrac{2}{0^{+}}=+\infty donc la droite \Delta' d'équation x=1 est asymptote verticale à (C_{f})

illustration graphique 


 

 
 

I.5.3 Asymptote oblique

S'il existe une fonction affine x\mapsto ax+b\;;\ (a\neq 0) telle que \lim\limits_{x\rightarrow \infty}[f(x)-(ax+b)]=0, on dit que (C_{f}) admet une asymptote oblique d'équation y=ax+b

 
 

 
 

Exemple 

Soit f la fonction définie par f(x)=\dfrac{2x^{2}+3x-1}{x-1}
 
D_{f}=\mathbb{R}\setminus\{1\}=]-\infty\;;\ 1[\cup]1\;;\ +\infty[\ et \ \forall\;x\in D_{f}\;,\ f(x)=2x+5+\dfrac{4}{x-1}
 
Montrons que la droite d'équation y=2x+5 est asymptote oblique à (C_{f}).
 
On a : f(x)-y=2x+5+\dfrac{4}{x-1}-(2x+5)=\dfrac{4}{x-1}
 
\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}[f(x)-y]=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\dfrac{4}{x-1}=0^{-} et 
 
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}[f(x)-y]=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{4}{x-1}=0^{+} donc la droite d'équation y=2x+5 est asymptote oblique à (C_{f}) au voisinage de -\infty et de +\infty.

illustration graphique 


 
 

 
 

Détermination pratique de a et b 

Dans l'équation y=ax+b, pour déterminer les coefficients a\ et \ b on procède comme suit :
 
calculer : \lim\limits_{x\rightarrow \infty}\dfrac{f(x)}{x}=a\ et \ \lim\limits_{x\rightarrow \infty}f(x)-ax=b

Exemple 

f(x)=\dfrac{2x^{2}+3x-1}{x-1}
 
\begin{array}{rcl} \lim_{x\rightarrow \infty}\dfrac{f(x)}{x}&=&\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\dfrac{\dfrac{2x^{2}+3x-1}{x-1}}{x}\\ \\&=&\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\dfrac{2x^{2}+3x-1}{(x-1)}\times\dfrac{1}{x}\\ \\&=&\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\dfrac{2x^{2}+3x-1}{x^{2}-x}\\ \\&=&\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\dfrac{2x^{2}}{x^{2}}\\ \\ &=&2\end{array}
 
Donc,  \lim\limits_{x\rightarrow \infty}\dfrac{f(x)}{x}=2\ \Rightarrow\ a=2
 
Ainsi,
\begin{array}{rcl} \lim\limits_{x\rightarrow \infty}f(x)-2x&=&\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\dfrac{2x^{2}+3x-1}{x-1}-2x\\ \\ &=&\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\dfrac{2x^{2}+3x-1-2x^{2}+2x}{x-1}\\ \\ &=&\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\dfrac{5x-1}{x-1}\\ \\ &=&\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\dfrac{5x}{x}\\ \\ &=&5\end{array}
Donc \lim\limits_{x\rightarrow \infty}f(x)-2x=5\ \Rightarrow\ b=5, d'où la droite d'équation y=2x+5 est asymptote oblique à (C_{f}) au voisinage de \pm\infty. 

II Continuité 

II.1 Définition 

Soit f\ :\ I\longrightarrow\mathbb{R} et x_{0}\in I
 
\centerdot\ \ On dit que f est continue en x_{0} si, et seulement si, \lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})
 
\centerdot\ \ On dit que f est continue à gauche de x_{0} si, et seulement si, \lim_{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)=f(x_{0})
 
\centerdot\ \ On dit que f est continue à droite de x_{0} si, et seulement si, \lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)=f(x_{0})

Théorème 1

Soit f\ :\ I\longrightarrow\mathbb{R}\ et \ x_{0}\in I
 
On dit que f est continue en x_{0} si, et seulement si, f est continue à gauche et à droite de x_{0}, c'est-à-dire  \left\lbrace\begin{array}{lcl}\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)&=&f(x_{0}) \\ \lim\limits_{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)&=&f(x_{0})\end{array}\right.

Exemple 

Soit f la fonction définie par f(x)=\left\lbrace\begin{array}{lcl}\dfrac{\sqrt{1+x^{2}}-1}{2x}&\text{si}&x>0 \\ \\ 2x-1&\text{si}&x\leq 0\end{array}\right.
 
Étudier la continuité de f en 0.

Résolution 

\begin{array}{rcl} \lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)&=&\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}\dfrac{\sqrt{1+x^{2}}-1}{2x}\\ \\ &=&\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}\dfrac{(\sqrt{1+x^{2}}-1)(\sqrt{1+x^{2}}+1)}{2x(\sqrt{1+x^{2}}+1)}\\ \\ &=&\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}\dfrac{1+x^{2}-1}{2x(\sqrt{1+x^{2}}+1)}\\ \\ &=&\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}\dfrac{x^{2}}{2x(\sqrt{1+x^{2}}+1)}\nonumber \\ &=&\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}\dfrac{x}{2(\sqrt{1+x^{2}}+1)}\\ \\ &=&\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}\dfrac{0}{4}=0\end{array}
 
Or, \ f(0)=-1=\lim\limits_{x\rightarrow 0^{-}}f(x) donc, \ \lim\limits_{x\rightarrow 0^{-}}f(x)\neq\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)
 
ainsi, f n'est pas continue en 0.

Théorème 2

Soient f\ et \ g deux fonctions continues en un point x_{0}\ et \ \alpha un réel ; alors les fonctions \alpha f\;,\ (f+g) et (f\times g) sont continues en x_{0}.
 
Si de plus g(x_{0}\neq 0 alors les fonctions \dfrac{1}{g}\ et \ \dfrac{f}{g} sont aussi continues en x_{0}.

II.2 Fonction continue sur un intervalle

Définition

Une fonction f est continue sur un intervalle I de \mathbb{R} si elle est continue en tout point de I.

Théorème 1

Toute fonction polynôme est continue sur \mathbb{R}
 
Toute fonction rationnelle est continue sur son domaine de définition.
 
La fonction \sqrt{U} est continue sur son domaine de définition.
 
La fonction |U| est continue sur son domaine de définition.

Théorème 2

Soient f\ et \ g deux fonctions telles que f soit continue sur un intervalle I\ et \ g continue sur un intervalle J contenant f(I) alors g\circ f est continue sur I.

Prolongement par continuité d'une fonction 

Soit \begin{eqnarray} f\ :\ \mathbb{R}&\longrightarrow&\mathbb{R}\nonumber \\ x&\longrightarrow&\dfrac{x^{2}-1}{x-1}\nonumber \end{eqnarray}
D_{f}=\mathbb{R}\setminus\{1\}\;,\ 1\notin D_{f}
 
f n'est pas continue au point 1. \lim\limits_{x\rightarrow 1}f(x)=F.I
 
On a : \forall\;x\in\mathbb{R}\setminus\{1\}\;,\ f(x)=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1
 
donc, \lim\limits_{x\rightarrow 1}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow 1}x+1=2
 
Soit alors g la fonction définie par \left\lbrace\begin{array}{rcl} g(x)&=&x+1\quad\text{si }x\neq 1 \\ g(1)&=&2 \end{array}\right.
 
\lim\limits_{x\rightarrow 1}g(x)=\lim\limits_{x\rightarrow 1}x+1=2 donc, \ \lim\limits_{x\rightarrow 1}g(x)=g(1)
 
ainsi, g est continue au point 1. D'où g est appelé le prolongement par continuité de f au point 1.

 

Auteur: 
Diny Faye & Seyni Ndiaye

Commentaires

C'est vraiment un très bon cours

Cours très intéressants. Merci

Cours très intéressants. Merci

Les cours ne se terminent pas et sa me pose des problemes

Cours tres complet

Bonjour je me nomme baye kebe Je fais la 1er S2 au lycée de Tendouck Je cheche quelqu'un(e) qui m'explique les cours et exercices Car parfois je n'arrive pas à suivre le rytheme des professeurs Voici mon numero 772388565 J'ai vraiment besoin d'aide.

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