Solution des exercices : Les parallélogrammes - 5e
Classe:
Cinquième
Exercice 1
1) Construisons un triangle ABC tel que :
AB=3cm; AC=4cmetBC=5.5cm
2) a) Construisons le point D pour que le quadrilatère ABCD soit un parallélogramme.
Pour cela, on commence par tracer la droite (d) parallèle à la droite (AB) et passant par le point C.
Ensuite, on trace la droite (d′) parallèle à la droite (BC) et passant par le point A.
Enfin, on place le point D qui est le point de rencontre des deux droites (d) et (d′).
b) Construisons le point E pour que le quadrilatère ABEC soit un parallélogramme.
Pour construire le point E, on peut utiliser le compas. On mesure l'écartement du segment [AB] ensuite, en se plaçant sur C avec le même écartement, on trace un arc de cercle.
De la même manière, on mesure l'écartement du segment [AC] ensuite, en se plaçant sur B avec le même écartement, on trace un arc de cercle.
Enfin, les deux arcs de cercle se coupent au point E.
c) Construisons le point F pour que le quadrilatère AFBC soit un parallélogramme.
Pour cela, on place le point O milieu de la diagonale [AB]. Ensuite, on place le point F qui est le symétrique de C par rapport à O.
Exercice 2
1) Construisons un triangle ABC tel que :
AB=5cm; mesˆA=30∘etmesˆB=50∘
2) a) Plaçons le point I milieu du segment [BC].
b) Plaçons le point K symétrique de A par rapport au point I.
3) ABKC est un parallélogramme.
Justification
On a : K symétrique de A par rapport au point I, cela signifie que le point I est milieu du segment [AK].
Ainsi, les diagonales [BC] et [AK] du quadrilatère ABKC ont même milieu I.
Or, si un quadrilatère a ses diagonales de même milieu, alors c'est un parallélogramme.
Par suite, ABKC est un parallélogramme.
4) Calculons : mes^BKC; mes^ABK et mes^CBK.
− Calcul de mes^BKC
On a : dans le parallélogramme ABKC, les angles ^BKC et ^CAB sont opposés.
Or, dans un parallélogramme, deux angles opposés ont même mesure.
Donc, mes^BKC=mes^CAB=30∘
D'où, mes^BKC=30∘
− Calcul de mes^ABK
On a : dans le parallélogramme ABKC, les angles ^CAB et ^ABK sont consécutifs.
Comme dans un parallélogramme, deux angles consécutifs sont supplémentaires alors,
mes^CAB+mes^ABK=180∘
Par suite, mes^ABK=180∘−mes^CAB
Or, mes^CAB=30∘
Donc, en remplaçant, on obtient :
mes^ABK=180∘−30∘=150∘
D'où, mes^ABK=150∘
− Calcul de mes^CBK
On a : les angles ^ABC et ^CBK sont adjacents.
Donc, mes^ABC+mes^CBK=mes^ABK
Par suite, mes^CBK=mes^ABK−mes^ABC
Or, mes^ABK=150∘ et mes^ABC=50∘
Donc en remplaçant, on obtient :
mes^CBK=150∘−50∘=100∘
Ainsi, mes^CBK=100∘
Exercice 3
1) Soit MNP un triangle tel que :
MN=4cm; NP=6cm et MP=5cm
2) Traçons la droite (d) passant par P et parallèle à (MN).
3) Traçons la droite (d′) passant par M et parallèle à (PN).
4) a) Soit E le point d'intersection de (d) et (d′).
b) MNPE est un parallélogramme.
Justifions
En effet, la droite (d) passant par P et E est parallèle à (MN).
Donc, (PE) est parallèle à (MN)
De la même manière, on a : (d′) passant par M et E est parallèle à (PN).
Ce qui signifie que (ME) parallèle à (PN)
Alors, on obtient :
(PE)∥(MN) et (ME)∥(PN)
Ainsi, le quadrilatère MNPQ a ses côtés parallèles deux à deux.
Par conséquent, c'est un parallélogramme
5) Déterminons la longueur des segments [ME] et [PE]
Comme MNPE est un parallélogramme alors, deux côtés opposés ont même longueur. Donc,
ME=NP et PE=MN
Or, NP=6cm et MN=4cm
Par conséquent, la longueur des segments [ME] et [PE] est :
ME=6cm et PE=4cm
Exercice 4
ABCD est un parallélogramme de centre O.
1) Comparons les angles de sommet O.
^AOD et ^BOC sont deux angles opposés par le sommet O donc, ils ont la même mesure.
Ainsi,
mes^AOD=mes^BOC
^AOB et ^COD sont deux angles opposés par le sommet O donc, ils sont de même mesure.
Donc,
mes^AOB=mes^COD
2) Comparons les angles de sommets A et C.
On sait que : dans un parallélogramme, deux angles opposés ont même mesure.
Donc, comme ABCD est un parallélogramme alors, les angles de sommets A et C ont même mesure.
D'où,
mes^BAD=mes^BCD
3) Les angles de sommets A et B sont supplémentaires.
En effet, les angles de sommets A et B sont consécutifs.
Or, on sait que : dans un parallélogramme, deux angles consécutifs sont supplémentaires
D'où, les angles de sommets A et B sont supplémentaires.
mes^BAD+mes^ABC=180∘
Exercice 5
1) Soit ABC un triangle tel que :
AB=4cm; AC=5cm et BC=5.5cm
2) Plaçons les points I et J milieux respectifs des segments [AB] et [AC].
3) Construisons les points D et E tel que :
Le point D est le symétrique de B par rapport à J.
Le point E est le symétrique de C par rapport à I.
4) Les quadrilatères ABCD et ACBE sont des parallélogrammes.
Justifions les réponses.
On a :
J milieu [AC] et D symétrique de B par rapport à J alors, J est aussi milieu de [DB].
Or, on sait que : si un quadrilatère a ses diagonales de même milieu, alors c'est un parallélogramme.
Par conséquent, le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
De la même manière, on a :
I milieu [AB] et E symétrique de C par rapport à I donc, I est aussi milieu de [CE].
Ainsi, le quadrilatère ACBE a ses diagonales [AB] et [CE] de même milieu I.
Par conséquent, c'est un parallélogramme.
Exercice 6
1) Traçons un triangle ABC.
2) Traçons les hauteurs issues des sommets B et C ; ces hauteurs se coupent au point I.
3) Construisons la droite perpendiculaire à (AC) passant par C et la droite perpendiculaire à (AB) passant par B ; ces perpendiculaires se coupent au point O.
4) CIBO est un parallélogramme.
Justifions.
On a : (IC) hauteur issue de C donc, (IC) est perpendiculaire à (AB).
On a aussi : (OB) perpendiculaire à (AB).
Or, on sait que : si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors, ces deux droites sont parallèles.
Donc, (IC) et (OB) sont parallèles.
De la même manière, on a : (IB) hauteur issue de B donc, (IB) est perpendiculaire à (AC).
On a aussi : (OC) perpendiculaire à (AC).
Or, deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles.
Donc, (IB) et (OC) sont parallèles.
On constate alors que le quadrilatère CIBO a ses côtés parallèles deux à deux.
Par conséquent, c'est un parallélogramme.
Exercice 7
Soit ABC un triangle ; M est le milieu de [BC].
1) Construisons le point D symétrique de B par rapport au point A.
2) Construisons le point N symétrique de M par rapport au point A.
3) Montrons que le quadrilatère BMDN est un parallélogramme.
On a :
D symétrique de B par rapport au point A alors, A est le milieu de [BD]
N symétrique de M par rapport au point A alors, A est le milieu de [MN]
Ainsi, le quadrilatère BMDN a ses diagonales [BD] et [MN] de même milieu A.
Par conséquent, c'est un parallélogramme.
4) a) Montrons que : ND=MC puis (ND)//(MC).
On a : BMDN un parallélogramme.
Or, on sait que : dans un parallélogramme, deux côtés opposés ont même longueur.
Donc, ND=BM
Comme M est milieu de [BC] alors, BM=MC
Ainsi, on a : ND=BM et BM=MC
Ce qui entraine alors : ND=MC
Par ailleurs, dans le parallélogramme BMDN, on a : (ND) parallèle à (MB).
Comme, B; M et C sont alignés alors, (MB) et (MC) sont confondues.
D'où, (ND) parallèle à (MC).
b) En déduisons que le quadrilatère CDNM est un parallélogramme.
En effet, on sait que : si un quadrilatère a deux côtés parallèles de même longueur alors, c'est un parallélogramme.
Or, d'après le résultat de 4)a), on a : ND=MC et (ND) parallèle à (MC).
Ce qui signifie que le quadrilatère CDNM a deux côtés parallèles de même longueur.
Par conséquent, c'est un parallélogramme.
Exercice 8
ABC est un triangle ; I et J sont des milieux respectifs des segments [BC] et [AC].
1) Construisons le point A′ symétrique de A par rapport au point I.
2) Construisons le point B′ symétrique de B par rapport au point J.
3) Montrons que les quadrilatères ABA′C et ABCB′ sont des parallélogrammes.
On a : A′ symétrique de A par rapport au point I. Ce qui signifie que I est le milieu de [AA′].
Or, I est aussi milieu de [BC].
Ainsi, le quadrilatère ABA′C a ses diagonales [AA′] et [BC] de même milieu I.
Par conséquent, c'est un parallélogramme.
De la même manière, on a : B′ symétrique de B par rapport au point J alors, J est le milieu de [BB′].
On a aussi : J milieu de [AC].
Ainsi, on remarque que le quadrilatère ABA′C a ses diagonales [BB′] et [AC] de même milieu J.
Par conséquent, c'est un parallélogramme.
4) En déduisons que C est le milieu du segment [A′B′].
En effet, ABA′C et ABCB′ sont des parallélogrammes.
Or, on sait que : dans un parallélogramme, deux côtés opposés ont même longueur.
Donc :
dans le parallélogramme ABA′C, on a : AB=A′C
dans le parallélogramme ABCB′, on a :AB=CB′
On peut alors écrire : AB=A′C et AB=CB′
Ce qui entraine : A′C=CB′
Ce qui signifie que C est le milieu de [A′B′].
Exercice 12
Dans chacun des cas ci-dessous, construisons le parallélogramme ABCD tel que :
1) AB=4cm; ^BAC=48∘ et ^ADC=102∘.
Pour cela, on trace d'abord le segment AB] de longueur 4cm puis, on construit l'angle ^BAx de mesure 48∘.
Comme dans un parallélogramme deux angles opposés ont même mesure alors, on a : ^ABC=^ADC=102∘
On construit alors, l'angle ^ABy de mesure 102∘
Le côté [Ax) de l'angle ^BAx et le côté [By) de l'angle ^ABy se coupent au point C.
Comme dans un parallélogramme, deux côtés parallèles ont même longueur alors, on trace le segment [CD] parallèlement à (AB), dans le sens [BA) et de longueur 4cm.
Pour finir, on trace le segment [AD] joignant les points A et D.
2) AC=5cm; CD=8cm et BC=7.5cm
Pour cela, on trace d'abord la diagonale [AC] de longueur 5cm.
Comme dans un parallélogramme, deux côtés opposés ont même longueur alors, on a : AB=CD=8cm.
Donc, avec le compas on se place sur A et on trace un arc de cercle de rayon 8cm puis, on se place sur C et on trace un arc de cercle de rayon 7.5cm
Les deux arcs de cercle se coupent alors au point B.
On trace ensuite, la parallèle à (AB) passant par C et la parallèle à (CD) passant par A.
Ces deux parallèles se coupent au point D.
3) AB=6.5cm; BC=7.5cm et ^ADC=122∘.
Pour cela, on trace d'abord le côté [AB] de longueur 6.5cm
Comme dans un parallélogramme deux angles opposés ont même mesure alors, on a : ^ABC=^ADC=122∘
On construit alors, l'angle ^ABx de mesure 122∘
Sur le côté [Bx) on place le point C tel que BC=7.5cm
Comme dans un parallélogramme, deux côtés parallèles sont de même longueur alors, on trace le segment [CD] parallèlement à (AB), dans le sens [BA) et de longueur 6.5cm
Pour finir, on trace le côté [AD] en joignant les points A et D.
Exercice 13
RSUT est un parallélogramme.
Justifions que :
1) TU=RS,
On a : RSUT est un parallélogramme.
Or, on sait que : dans un parallélogramme deux côtés opposés ont même longueur.
Donc, TU=RS
2) 2×RI=RU où I est le point d'intersection de [RU] et [ST].
Comme RSUT est un parallélogramme alors, ses diagonales [RU] et [ST] ont même milieu I.
Donc, I est milieu de [RU].
Ce qui signifie que : RI=RU2
D'où, 2×RI=RU
3) ^TUS=^TRS.
On a : RSUT un parallélogramme.
Or, dans un parallélogramme deux angles opposés ont même mesure.
Par conséquent, ^TUS=^TRS
Dans notre exemple, on trouve : ^TUS=^TRS=69.43∘
Exercice 15
Construisons un losange MATH tel que MA=5cm et ^ATH=54∘.
En effet, on sait que : dans un losange, les côtés ont même longueur et les diagonales sont perpendiculaires.
Donc, pour construire le losange MATH, on trace d'abord le triangle TAH isocèle en T tel que : TA=TH=5cm et ^ATH=54∘.
Puis, on place le point M symétrique de T par rapport à (AH).
On trace ensuite les côtés [AM] et [MH].
Exercice 16
On considère la figure ci-dessous où ABCD et BEFC sont des parallélogrammes.
1) Donnons, en justifiant, deux droites parallèles à la droite (BC).
(AD) et (EF) sont deux droites parallèles à la droite (BC).
On a : ABCD est parallélogramme donc, (AD) est parallèle à (BC).
On a aussi : BEFC est parallélogramme alors, (EF) est parallèle à (BC).
D'où, (AD) et (EF) sont deux droites parallèles à la droite (BC).
2) Démontrons que AEFD est un parallélogramme.
En effet, on sait que : si un quadrilatère a deux côtés parallèles de même longueur alors, c'est un parallélogramme.
Donc, pour cette question, on va juste montrer que (AD) et (EF) sont parallèles et AD=EF.
D'après le résultat de 1), on a : (AD) et (EF) parallèles à (BC).
Or, on sait que : si deux droites sont parallèles à une même droite alors, ces deux droites sont parallèles.
Donc, (AD) et (EF) sont parallèles.
Aussi, on a : ABCD et AEFD sont des parallélogrammes.
Or, on sait que : dans un parallélogramme, deux côtés opposés ont même longueur.
Donc :
dans le parallélogramme ABCD, on a : AD=BC
dans le parallélogramme AEFD, on a :BC=EF
On peut alors écrire : AD=BC et BC=EF
Ce qui entraine : AD=EF
Nous obtenons alors : AD=EF et (AD) et (EF) sont parallèles.
Par conséquent, AEFD est un parallélogramme.
3) Démontrons que les segments [AF] et [ED] se coupent en leur milieu.
En effet, [AF] et [ED] sont les diagonales du parallélogramme AEFD.
Or, on sait que : dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu.
Par conséquent, les segments [AF] et [ED] se coupent en leur milieu I.
Exercice 17
Dans la figure ci-dessous, le quadrilatère dessiné est un parallélogramme.
Donnons les longueurs ou les angles demandés. Justifions en citant les propriétés utilisées.
On a :
LM=4cm; MN=3cm; ^LKN=120∘; ^KLM=60∘; ^KNM=60∘
− Dans un parallélogramme, deux côtés opposés ont même longueur.
Donc, [LM] et [KN] ont même longueur.
D'où, LM=4cm
On a : MN=3cm
De la même manière, [MN] et [KL] ont même longueur.
Ce qui signifie que MN=3cm
− Dans un parallélogramme, deux angles opposés ont même mesure.
Donc, ^LKN et ^LMN ont même mesure.
D'où, ^LKN=120∘
− Dans un parallélogramme, deux angles consécutifs sont supplémentaires.
Donc, ^LMN et ^KLM sont supplémentaires.
Ce qui signifie que : ^KLM+^LMN=180∘
Ce qui entraine alors : ^KLM=180∘−^LMN
En remplaçant ^LMN par sa valeur, on obtient :
^KLM=180∘−^LMN=^KLM=180∘−120∘=60∘
Ainsi, ^KLM=60∘
− Dans un parallélogramme, deux angles opposés ont même mesure.
Donc, ^KNM et ^KLM ont même mesure.
D'où, ^KNM=60∘
Exercice 19
1) Traçons le triangle EFG tel que :
EF=5cm; ^GEF=70∘ et ^EFG=50∘
La mesure de l'angle ^EGF est égale à 60∘.
En effet, on sait que : dans un triangle, la somme des angles est égale à 180∘.
Donc, en considérant le triangle EFG, on a :
^EGF+^GEF+^EFG=180∘
Ce qui entraine alors : ^EGF=180∘−(^GEF+^EFG)
En remplaçant ^GEF et ^EFG par leur valeur, on obtient :
^EGF=180∘−(^GEF+^EFG)==180∘−(70∘+50∘)=180∘−120∘=60∘
D'où, ^EGF=60∘
2) Construisons le point H tel que EHGF soit un parallélogramme.
La mesure de ^GEH est égale à 60∘.
Justifions.
Comme EHGF soit un parallélogramme alors, (EH) et (FG) sont parallèles.
Par conséquent, ^GEH et ^EGF sont deux angles alternes-internes de même mesure.
Ce qui signifie que : ^GEH=^EGF
D'où, ^GEH=60∘
Exercice 20
1) Construisons le parallélogramme ABCD de centre O tel que :
AB=8cm, ^BAC=40∘ et ^ABD=30∘
2) Plaçons le point I milieu de [AB] et le point J milieu de [BC].
3) Construisons E symétrique de D par rapport à I et le point F symétrique de D par rapport à J.
4) Les quadrilatères AEBD et DBFC sont des parallélogrammes.
Justifions notre réponse.
On a : E symétrique de D par rapport au point I. Ce qui signifie que I est le milieu de [DE].
Or, I est aussi milieu de [AB].
Ainsi, le quadrilatère AEBD a ses diagonales [AB] et [DE] de même milieu I.
Par conséquent, c'est un parallélogramme.
De la même manière, on a : F symétrique de D par rapport au point J alors, J est le milieu de [DF].
On a aussi : J milieu de [BC].
Ainsi, on remarque que le quadrilatère DBFC a ses diagonales [BC] et [DF] de même milieu J.
Par conséquent, c'est un parallélogramme.
5) Les points A, B et F sont alignés.
Justifions notre réponse.
Comme AEBD est un parallélogramme alors, (AB) est parallèle à (DC).
Comme DBFC est un parallélogramme alors, (BF) est parallèle à (DC).
Ainsi, on a : (AB) et (BF) parallèles à (DC).
Or, on sait que : si deux droites sont parallèles à une même droite alors, ces deux droites sont parallèles.
Donc, (AB) et (BF) sont parallèles.
Ce qui signifie que les (AB) et (BF) sont confondues.
D'où, les points A, B et F appartiennent à une même droite.
Par conséquent, ces points sont alignés.
Exercice 21
Soit ABCD est un parallélogramme de centre O.
1) Les angles ^AOB et ^DOC ont la même mesure.
En effet, ^AOB et ^DOC sont deux angles opposés par le sommet O.
Par conséquent, ils ont la même mesure.
D'où, ^AOB=^DOC
2) Les angles ^BAD et ^DCB sont de même mesure.
En effet, dans un parallélogramme, deux angles opposés ont même mesure.
Or, dans le parallélogramme ABCD, ^BAD et ^DCB sont deux angles opposés.
Par conséquent, ils sont de même mesure.
D'où, ^BAD=^DCB
Exercice 22
ABCD est un quadrilatère tel que :
AD=2cm, AB=5.2cm, DB=4.8cm, BC=1.4cm et DC=5cm.
Alors, ABCD n'est pas un parallélogramme.
Justifions notre réponse.
En effet, on sait que : dans un parallélogramme, deux côtés opposés ont même longueur.
Or, nous constatons que dans le quadrilatère ABCD, les côtés opposés [AB] et [DC] ont des longueurs différentes.
De même, les côtés opposés [AD] et [BC] ont des longueurs différentes.
Par conséquent, le quadrilatère ABCD n'est pas un parallélogramme.
Exercice 23
1) Soit ABDC un parallélogramme tel que AB=6cm, BD=8cm et (AB) perpendiculaire à (BD). Le cercle circonscrit au triangle ABD a pour rayon 5cm.
Calculons BC.
Dans le parallélogramme ABDC, on a : (AB) perpendiculaire à (BD).
Donc, ^ABD est un angle droit.
Or, on sait que : si un parallélogramme a un angle droit alors, c'est un rectangle.
Donc, ABDC est un rectangle.
Par conséquent, ses diagonales [AD] et [BC] ont la même longueur.
Ce qui signifie que :
BC=AD
Calculons alors la longueur AD.
Comme le triangle ABD est rectangle en B alors, [AD] représente son hypoténuse.
Ainsi, le centre O du cercle circonscrit à ce triangle est le milieu de [AD].
Par conséquent, [AD] est un diamètre de ce cercle.
Comme le rayon de ce cercle est égal à 5cm alors, AD=2×5=10cm
D'où, BC=10cm
2) Calculons le périmètre et l'aire de ABDC.
− Calcul du périmètre
Comme ABDC est un rectangle de longueur L=8cm et de largeur ℓ=6cm alors, son périmètre P est donné par :
P=2×(L+ℓ)=2×(8+6)=2×14=28
D'où, P=28cm
− Calcul de l'aire
Comme ABDC est un rectangle de longueur L=8cm et de largeur ℓ=6cm alors, son aire A est donnée par :
A=L×ℓ=8×6=48
D'où, A=48cm2
Auteur:
Diny Faye
Commentaires
Anonyme (non vérifié)
jeu, 04/22/2021 - 00:56
Permalien
construis un quadrilatere
Anonyme (non vérifié)
jeu, 04/22/2021 - 00:56
Permalien
construis un quadrilatere
Anonyme (non vérifié)
jeu, 04/22/2021 - 00:56
Permalien
construis un quadrilatere
Anonyme (non vérifié)
jeu, 04/22/2021 - 00:56
Permalien
construis un quadrilatere
Anonyme (non vérifié)
jeu, 04/22/2021 - 00:56
Permalien
construis un quadrilatere
Anonyme (non vérifié)
jeu, 04/22/2021 - 00:56
Permalien
construis un quadrilatere
mariama gaye (non vérifié)
jeu, 04/22/2021 - 00:57
Permalien
construis un quadrilatere
Koumé (non vérifié)
jeu, 03/17/2022 - 04:19
Permalien
La correction de exercice
Koumé (non vérifié)
jeu, 03/17/2022 - 04:19
Permalien
La correction de exercice
JRF (non vérifié)
lun, 05/29/2023 - 09:33
Permalien
Exercice 20 point N°5
Ajouter un commentaire