Solution des exercices : Les parallélogrammes - 5e

Classe: 
Cinquième
 

Exercice 1

1) Construisons un triangle ABCABC tel que :
AB=3cm; AC=4cmetBC=5.5cmAB=3cm; AC=4cmetBC=5.5cm
2) a) Construisons le point DD pour que le quadrilatère  ABCDABCD soit un parallélogramme.
 
Pour cela, on commence par tracer la droite (d)(d) parallèle à la droite (AB)(AB) et passant par le point C.C.
 
Ensuite, on trace la droite (d) parallèle à la droite (BC) et passant par le point A.
 
Enfin, on place le point D qui est le point de rencontre des deux droites (d)  et  (d). 
 
b) Construisons le point E pour que le quadrilatère ABEC soit un parallélogramme.
 
Pour construire le point E, on peut utiliser le compas. On mesure l'écartement du segment [AB] ensuite, en se plaçant sur C avec le même écartement, on trace un arc de cercle.
 
De la même manière, on mesure l'écartement du segment [AC] ensuite, en se plaçant sur B avec le même écartement, on trace un arc de cercle.
 
Enfin, les deux arcs de cercle se coupent au point E.
 
c) Construisons le point F pour que le quadrilatère AFBC soit un parallélogramme.
 
Pour cela, on place le point O milieu de la diagonale [AB]. Ensuite, on place le point F qui est le symétrique de C par rapport à O.

 
 

Exercice 2

1) Construisons un triangle ABC tel que :
AB=5cm; mesˆA=30etmesˆB=50
2) a) Plaçons le point I milieu du segment [BC].
 
b) Plaçons le point K symétrique de A par rapport au point  I.
 
3) ABKC est un parallélogramme.
 
Justification
 
On a : K symétrique de A par rapport au point  I, cela signifie que le point I est milieu du segment [AK].
 
Ainsi, les diagonales [BC]  et  [AK] du quadrilatère ABKC ont même milieu I.
 
Or, si un quadrilatère a ses diagonales de même milieu, alors c'est un parallélogramme.
 
Par suite, ABKC est un parallélogramme.
 
4) Calculons : mes^BKC; mes^ABK  et  mes^CBK.
 
  Calcul de mes^BKC
 
On a : dans le parallélogramme ABKC, les angles ^BKC  et  ^CAB sont opposés.
 
Or, dans un parallélogramme, deux angles opposés ont même mesure.
 
Donc, mes^BKC=mes^CAB=30
 
D'où, mes^BKC=30
 
  Calcul de mes^ABK
 
On a : dans le parallélogramme ABKC, les angles ^CAB  et  ^ABK sont consécutifs.
 
Comme dans un parallélogramme, deux angles consécutifs sont supplémentaires alors,
 
mes^CAB+mes^ABK=180
 
Par suite, mes^ABK=180mes^CAB
 
Or, mes^CAB=30
 
Donc, en remplaçant, on obtient :
 
mes^ABK=18030=150
 
D'où, mes^ABK=150
 
  Calcul de mes^CBK
 
On a : les angles ^ABC  et  ^CBK sont adjacents.
 
Donc, mes^ABC+mes^CBK=mes^ABK
 
Par suite, mes^CBK=mes^ABKmes^ABC
 
Or, mes^ABK=150  et  mes^ABC=50
 
Donc en remplaçant, on obtient :
 
mes^CBK=15050=100
 
Ainsi, mes^CBK=100

 
 

Exercice 3

1) Soit MNP un triangle tel que :
MN=4cm; NP=6cm  et  MP=5cm
2) Traçons la droite (d) passant par P et parallèle à (MN).
 
3) Traçons la droite (d) passant par M et parallèle à (PN).
 
4) a) Soit E le point d'intersection de (d)  et  (d). 
 
b) MNPE est un parallélogramme.
 
Justifions
 
En effet, la droite (d) passant par P  et  E est parallèle à (MN).
 
Donc, (PE) est parallèle à (MN)
 
De la même manière, on a : (d) passant par M  et  E est parallèle à (PN).
 
Ce qui signifie que (ME) parallèle à (PN)
 
Alors, on obtient :
(PE)(MN)  et  (ME)(PN)
Ainsi, le quadrilatère MNPQ a ses côtés parallèles deux à deux.
 
Par conséquent, c'est un parallélogramme
 
5) Déterminons la longueur des segments [ME]  et  [PE]
 
Comme MNPE est un parallélogramme alors, deux côtés opposés ont même longueur. Donc,
ME=NP  et  PE=MN
Or, NP=6cm  et  MN=4cm
 
Par conséquent, la longueur des segments [ME]  et  [PE] est :
ME=6cm  et  PE=4cm
 

Exercice 4

ABCD est un parallélogramme de centre O.
 
1) Comparons les angles de sommet O.
 
^AOD  et  ^BOC sont deux angles opposés par le sommet O donc, ils ont la même mesure.
 
Ainsi,
mes^AOD=mes^BOC
^AOB  et  ^COD sont deux angles opposés par le sommet O donc, ils sont de même mesure.
 
Donc,
mes^AOB=mes^COD
2) Comparons les angles de sommets A  et  C.
 
On sait que : dans un parallélogramme, deux angles opposés ont même mesure.
 
Donc, comme ABCD est un parallélogramme alors, les angles de sommets A  et  C ont même mesure.
 
D'où,
mes^BAD=mes^BCD
3) Les angles de sommets A  et  B sont supplémentaires.
 
En effet, les angles de sommets A  et  B sont consécutifs.
 
Or, on sait que : dans un parallélogramme, deux angles consécutifs sont supplémentaires
 
D'où, les angles de sommets A  et  B sont supplémentaires.
mes^BAD+mes^ABC=180
 

Exercice 5

1) Soit ABC un triangle tel que :
AB=4cm; AC=5cm  et  BC=5.5cm
2) Plaçons les points I  et  J milieux respectifs des segments [AB]  et  [AC].
 
3) Construisons les points D  et  E  tel que :
 
Le point D est le symétrique de B par rapport à J.
 
Le point E est le symétrique de C par rapport à I.
 
4) Les quadrilatères ABCD   et  ACBE sont des parallélogrammes.
 
Justifions les réponses. 
 
On a :
 
J milieu [AC]  et  D symétrique de B par rapport à J alors, J est aussi milieu de [DB].
 
Or, on sait que : si un quadrilatère a ses diagonales de même milieu, alors c'est un parallélogramme.
 
Par conséquent, le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
 
De la même manière, on a :
 
I milieu [AB]  et  E symétrique de C par rapport à I donc, I est aussi milieu de [CE].
 
Ainsi, le quadrilatère ACBE a ses diagonales [AB]  et  [CE] de même milieu I.
 
Par conséquent, c'est un parallélogramme.
 
 

Exercice 6

1) Traçons un triangle ABC.
 
2) Traçons les hauteurs issues des sommets B et C ; ces hauteurs se coupent au point I.
 
3) Construisons la droite perpendiculaire à (AC) passant par C et la droite perpendiculaire à (AB) passant par B ; ces perpendiculaires se coupent au point O.
 
4) CIBO est un parallélogramme.
 
Justifions.
 
On a : (IC) hauteur issue de C donc, (IC) est perpendiculaire à (AB).
 
On a aussi : (OB) perpendiculaire à (AB).
 
Or, on sait que : si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors, ces deux droites sont parallèles.
 
Donc, (IC)  et  (OB) sont parallèles.
 
De la même manière, on a : (IB) hauteur issue de B donc, (IB) est perpendiculaire à (AC).
 
On a aussi : (OC) perpendiculaire à (AC).
 
Or, deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles.
 
Donc, (IB)  et  (OC) sont parallèles.
 
On constate alors que le quadrilatère CIBO a ses côtés parallèles deux à deux.
 
Par conséquent, c'est un parallélogramme.
 
 

Exercice 7

Soit ABC un triangle ; M est le milieu de [BC].
 
1) Construisons le point D symétrique de B par rapport au point A.
 
2) Construisons le point N symétrique de M par rapport au point  A.
 
3) Montrons que le quadrilatère BMDN est un  parallélogramme.
 
On a :
 
D symétrique de B par rapport au point A alors, A est le milieu de [BD]
 
N symétrique de M par rapport au point  A alors, A est le milieu de [MN]
 
Ainsi, le quadrilatère BMDN a ses diagonales [BD]  et  [MN] de même milieu A.
 
Par conséquent, c'est un parallélogramme. 
 
4)  a) Montrons que : ND=MC puis (ND)//(MC).
 
On a : BMDN un  parallélogramme.
 
Or, on sait que : dans un parallélogramme, deux côtés opposés ont même longueur.
 
Donc, ND=BM
 
Comme M est milieu de [BC] alors, BM=MC
 
Ainsi, on a : ND=BM  et  BM=MC
 
Ce qui entraine alors : ND=MC
 
Par ailleurs, dans le parallélogramme BMDN, on a : (ND) parallèle à (MB).
 
Comme, B; M  et  C sont alignés alors, (MB)  et  (MC) sont confondues.
 
D'où, (ND) parallèle à (MC).
 
b) En déduisons que le quadrilatère CDNM est un  parallélogramme.  
 
En effet, on sait que : si un quadrilatère a deux côtés parallèles de même longueur alors, c'est un parallélogramme.
 
Or, d'après le résultat de 4)a), on a : ND=MC  et  (ND) parallèle à (MC).
 
Ce qui signifie que le quadrilatère CDNM a deux côtés parallèles de même longueur.
 
Par conséquent, c'est un parallélogramme.
 
 

Exercice 8

ABC est un triangle ; I  et  J sont des milieux respectifs des segments [BC]  et  [AC].
 
1) Construisons le point A symétrique de A par rapport au point  I.
 
2) Construisons le point B symétrique de B par rapport au point  J.
 
3) Montrons que les quadrilatères ABAC  et  ABCB sont des parallélogrammes.
 
On a : A symétrique de A par rapport au point I. Ce qui signifie que I est le milieu de [AA].
 
Or, I est aussi milieu de [BC].
 
Ainsi, le quadrilatère ABAC a ses diagonales [AA]  et  [BC] de même milieu I.
 
Par conséquent, c'est un parallélogramme. 
 
De la même manière, on a : B symétrique de B par rapport au point J alors, J est le milieu de [BB].
 
On a aussi : J milieu de [AC].
 
Ainsi, on remarque que le quadrilatère ABAC a ses diagonales [BB]  et  [AC] de même milieu J.
 
Par conséquent, c'est un parallélogramme. 
 
4) En déduisons que C est le milieu du segment [AB].
 
En effet, ABAC  et  ABCB sont des parallélogrammes.
 
Or, on sait que : dans un parallélogramme, deux côtés opposés ont même longueur.
 
Donc :
 
dans le parallélogramme ABAC, on a : AB=AC
 
dans le parallélogramme ABCB, on a :AB=CB
 
On peut alors écrire : AB=AC  et  AB=CB
 
Ce qui entraine : AC=CB
 
Ce qui signifie que C est le milieu de [AB].
 
 

Exercice 12

Dans chacun des cas ci-dessous, construisons le parallélogramme ABCD tel que :
 
1) AB=4cm; ^BAC=48  et  ^ADC=102.
 
Pour cela, on trace d'abord le segment AB] de longueur 4cm puis, on construit l'angle ^BAx de mesure 48.
 
Comme dans un parallélogramme deux angles opposés ont même mesure alors, on a : ^ABC=^ADC=102
 
On construit alors, l'angle ^ABy de mesure 102
 
Le côté [Ax) de l'angle ^BAx et le côté [By) de l'angle ^ABy se coupent au point C.
 
Comme dans un parallélogramme, deux côtés parallèles ont même longueur alors, on trace le segment [CD] parallèlement à (AB), dans le sens [BA) et de longueur 4cm.
 
Pour finir, on trace le segment [AD] joignant les points A  et  D.
 
 
2) AC=5cm; CD=8cm  et  BC=7.5cm
 
Pour cela, on trace d'abord la diagonale [AC] de longueur 5cm.
 
Comme dans un parallélogramme, deux côtés opposés ont même longueur alors, on a : AB=CD=8cm.
 
Donc, avec le compas on se place sur A et on trace un arc de cercle de rayon 8cm puis, on se place sur C et on trace un arc de cercle de rayon 7.5cm
 
Les deux arcs de cercle se coupent alors au point B.
 
On trace ensuite, la parallèle à (AB) passant par C et la parallèle à (CD) passant par A.
 
Ces deux parallèles se coupent au point D.
 
 
3) AB=6.5cm; BC=7.5cm  et  ^ADC=122.
 
Pour cela, on trace d'abord le côté [AB] de longueur 6.5cm
 
Comme dans un parallélogramme deux angles opposés ont même mesure alors, on a : ^ABC=^ADC=122
 
On construit alors, l'angle ^ABx de mesure 122
 
Sur le côté [Bx) on place le point C tel que BC=7.5cm
 
Comme dans un parallélogramme, deux côtés parallèles sont de même longueur alors, on trace le segment [CD] parallèlement à (AB), dans le sens [BA) et de longueur 6.5cm
 
Pour finir, on trace le côté [AD] en joignant les points A  et  D.
 
 

Exercice 13

RSUT est un parallélogramme.
 
Justifions que :
 
1) TU=RS,
 
On a : RSUT est un parallélogramme.
 
Or, on sait que : dans un parallélogramme deux côtés opposés ont même longueur.
 
Donc, TU=RS
 
2) 2×RI=RUI est le point d'intersection de [RU]  et  [ST].
 
Comme RSUT est un parallélogramme alors, ses diagonales [RU]  et  [ST] ont même milieu I.
 
Donc, I est milieu de [RU].
 
Ce qui signifie que : RI=RU2
 
D'où, 2×RI=RU
 
3) ^TUS=^TRS.
 
On a : RSUT un parallélogramme.
 
Or, dans un parallélogramme deux angles opposés ont même mesure.
 
Par conséquent, ^TUS=^TRS
 
Dans notre exemple, on trouve : ^TUS=^TRS=69.43
 
 

Exercice 15

Construisons un losange MATH tel que MA=5cm  et  ^ATH=54.
 
En effet, on sait que : dans un losange, les côtés ont même longueur et les diagonales sont perpendiculaires.
 
Donc, pour construire le losange MATH, on trace d'abord le triangle TAH isocèle en T tel que : TA=TH=5cm  et  ^ATH=54. 
 
Puis, on place le point M symétrique de T par rapport à (AH).
 
On trace ensuite les côtés [AM]  et  [MH].
 
 

Exercice 16

On considère la figure ci-dessous où ABCD  et  BEFC sont des parallélogrammes.
 
1) Donnons, en justifiant, deux droites parallèles à la droite (BC).
 
(AD)  et  (EF) sont deux droites parallèles à la droite (BC).
 
On a : ABCD est parallélogramme donc, (AD) est parallèle à (BC).
 
On a aussi : BEFC est parallélogramme alors, (EF) est parallèle à (BC).
 
D'où, (AD)  et  (EF) sont deux droites parallèles à la droite (BC).
 
2) Démontrons que AEFD est un parallélogramme.
 
En effet, on sait que : si un quadrilatère a deux côtés parallèles de même longueur alors, c'est un parallélogramme.
 
Donc, pour cette question, on va juste montrer que (AD)  et  (EF) sont parallèles et AD=EF. 
 
D'après le résultat de 1), on a : (AD)  et  (EF) parallèles à (BC).
 
Or, on sait que : si deux droites sont parallèles à une même droite alors, ces deux droites sont parallèles.
 
Donc, (AD)  et  (EF) sont parallèles.
 
Aussi, on a : ABCD  et  AEFD sont des parallélogrammes.
 
Or, on sait que : dans un parallélogramme, deux côtés opposés ont même longueur.
 
Donc :
 
dans le parallélogramme ABCD, on a : AD=BC
 
dans le parallélogramme AEFD, on a :BC=EF
 
On peut alors écrire : AD=BC  et  BC=EF
 
Ce qui entraine : AD=EF
 
Nous obtenons alors : AD=EF  et  (AD)  et  (EF) sont parallèles.
 
Par conséquent, AEFD est un parallélogramme.
 
3) Démontrons que les segments [AF]  et  [ED] se coupent en leur milieu.
 
En effet, [AF]  et  [ED] sont les diagonales du parallélogramme AEFD.
 
Or, on sait que : dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu.
 
Par conséquent, les segments [AF]  et  [ED] se coupent en leur milieu I.
 
 

Exercice 17

Dans la figure ci-dessous, le quadrilatère dessiné est un parallélogramme.
 
Donnons les longueurs ou les angles demandés. Justifions en citant les propriétés utilisées.
 
On a :
LM=4cm; MN=3cm; ^LKN=120; ^KLM=60; ^KNM=60
  Dans un parallélogramme, deux côtés opposés ont même longueur.
 
Donc, [LM]  et  [KN] ont même longueur.
 
D'où, LM=4cm
 
On a : MN=3cm
 
De la même manière, [MN]  et  [KL] ont même longueur.
 
Ce qui signifie que MN=3cm
 
  Dans un parallélogramme, deux angles opposés ont même mesure.
 
Donc, ^LKN  et  ^LMN ont même mesure.
 
D'où, ^LKN=120
 
  Dans un parallélogramme, deux angles consécutifs sont supplémentaires.
 
Donc, ^LMN  et  ^KLM sont supplémentaires.
 
Ce qui signifie que : ^KLM+^LMN=180
 
Ce qui entraine alors : ^KLM=180^LMN
 
En remplaçant ^LMN par sa valeur, on obtient :
 
^KLM=180^LMN=^KLM=180120=60
 
Ainsi, ^KLM=60
 
  Dans un parallélogramme, deux angles opposés ont même mesure.
 
Donc, ^KNM  et  ^KLM ont même mesure.
 
D'où, ^KNM=60
 
 

Exercice 19

1) Traçons le triangle EFG tel que :
EF=5cm; ^GEF=70  et  ^EFG=50
La mesure de l'angle ^EGF est égale à 60.
 
En effet, on sait que : dans un triangle, la somme des angles est égale à 180.
 
Donc, en considérant le triangle EFG, on a :
^EGF+^GEF+^EFG=180
Ce qui entraine alors : ^EGF=180(^GEF+^EFG)
 
En remplaçant ^GEF  et  ^EFG par leur valeur, on obtient :
 
^EGF=180(^GEF+^EFG)==180(70+50)=180120=60
 
D'où, ^EGF=60
 
2) Construisons le point H tel que EHGF soit un parallélogramme.
 
La mesure de ^GEH est égale à 60.
 
Justifions.
 
Comme EHGF soit un parallélogramme alors, (EH)  et  (FG) sont parallèles.
 
Par conséquent, ^GEH  et  ^EGF sont deux angles alternes-internes de même mesure.
 
Ce qui signifie que : ^GEH=^EGF
 
D'où, ^GEH=60
 
 

Exercice 20

1) Construisons le parallélogramme ABCD de centre O tel que :
AB=8cm, ^BAC=40  et  ^ABD=30
2) Plaçons le point I milieu de [AB] et le point J milieu de [BC].
 
3) Construisons E symétrique de D par rapport à I et le point F symétrique de D par rapport à J.
 
4) Les quadrilatères AEBD  et  DBFC sont des parallélogrammes.
 
Justifions notre réponse.
 
On a : E symétrique de D par rapport au point I. Ce qui signifie que I est le milieu de [DE].
 
Or, I est aussi milieu de [AB].
 
Ainsi, le quadrilatère AEBD a ses diagonales [AB]  et  [DE] de même milieu I.
 
Par conséquent, c'est un parallélogramme. 
 
De la même manière, on a : F symétrique de D par rapport au point J alors, J est le milieu de [DF].
 
On a aussi : J milieu de [BC].
 
Ainsi, on remarque que le quadrilatère DBFC a ses diagonales [BC]  et  [DF] de même milieu J.
 
Par conséquent, c'est un parallélogramme. 
 
5) Les points A, B  et  F sont alignés.
 
Justifions notre réponse.
 
Comme AEBD est un parallélogramme alors, (AB) est parallèle à (DC).
 
Comme DBFC est un parallélogramme alors, (BF) est parallèle à (DC).
 
Ainsi, on a : (AB)  et  (BF) parallèles à (DC).
 
Or, on sait que : si deux droites sont parallèles à une même droite alors, ces deux droites sont parallèles.
 
Donc, (AB)  et  (BF) sont parallèles.
 
Ce qui signifie que les (AB)  et  (BF) sont confondues.
 
D'où, les points A, B  et  F appartiennent à une même droite.
 
Par conséquent, ces points sont alignés.
 
 

Exercice 21

Soit ABCD est un parallélogramme de centre O.
 
1) Les angles ^AOB  et  ^DOC ont la même mesure.
 
En effet, ^AOB  et  ^DOC sont deux angles opposés par le sommet O.
 
Par conséquent, ils ont la même mesure.
 
D'où, ^AOB=^DOC
 
2) Les angles ^BAD  et  ^DCB sont de même mesure.
 
En effet, dans un parallélogramme, deux angles opposés ont même mesure.
 
Or, dans le parallélogramme ABCD, ^BAD  et  ^DCB sont deux angles opposés.
 
Par conséquent, ils sont de même mesure.
 
D'où, ^BAD=^DCB
 
 

Exercice 22

ABCD est un quadrilatère tel que :
 
AD=2cm, AB=5.2cm, DB=4.8cm, BC=1.4cm  et  DC=5cm.
 
Alors, ABCD n'est pas un parallélogramme.
 
Justifions notre réponse.
 
En effet, on sait que : dans un parallélogramme, deux côtés opposés ont même longueur.
 
Or, nous constatons que dans le quadrilatère ABCD, les côtés opposés [AB]  et  [DC] ont des longueurs différentes.
 
De même, les côtés opposés [AD]  et  [BC] ont des longueurs différentes.
 
Par conséquent, le quadrilatère ABCD n'est pas un parallélogramme.
 
 

Exercice 23

1) Soit ABDC un parallélogramme tel que AB=6cm, BD=8cm  et  (AB) perpendiculaire à (BD). Le cercle circonscrit au triangle ABD a pour rayon 5cm.
 
Calculons BC.
 
Dans le parallélogramme ABDC, on a : (AB) perpendiculaire à (BD).
 
Donc, ^ABD est un angle droit.
 
Or, on sait que : si un parallélogramme a un angle droit alors, c'est un rectangle.
 
Donc, ABDC est un rectangle.
 
Par conséquent, ses diagonales [AD]  et  [BC] ont la même longueur.
 
Ce qui signifie que :
BC=AD
Calculons alors la longueur AD.
 
Comme le triangle ABD est rectangle en B alors, [AD] représente son hypoténuse.
 
Ainsi, le centre O du cercle circonscrit à ce triangle est le milieu de [AD].
 
Par conséquent, [AD] est un diamètre de ce cercle.
 
Comme le rayon de ce cercle est égal à 5cm alors, AD=2×5=10cm
 
D'où, BC=10cm
 
2) Calculons le périmètre et l'aire de ABDC.
 
  Calcul du périmètre
 
Comme ABDC est un rectangle de longueur L=8cm et de largeur =6cm alors, son périmètre P est donné par :
 
P=2×(L+)=2×(8+6)=2×14=28
 
D'où, P=28cm
 
  Calcul de l'aire
 
Comme ABDC est un rectangle de longueur L=8cm et de largeur =6cm alors, son aire A est donnée par :
 
A=L×=8×6=48
 
D'où, A=48cm2
 
 

Auteur: 
Diny Faye

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construis un quadrilatere abcd tel que (ac)et(bd)aient le meme milieu i quels sont les symetriques des droites (ab)et(ad) par rapport au point i quelsle est la position relative des (ab)et(bc) compare les mesures de ab et cd puis ad et bc quelle est la nature du quadrilatere abcd

construis un quadrilatere abcd tel que (ac)et(bd)aient le meme milieu i quels sont les symetriques des droites (ab)et(ad) par rapport au point i quelsle est la position relative des (ab)et(bc) compare les mesures de ab et cd puis ad et bc quelle est la nature du quadrilatere abcd

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La correction de exercice 34et 5

La correction de exercice 34et 5

La démonstration n'est pas complète et on ne peut démontrer actuellement que ABF sont alignés à ce stade de connaissance. La démonstration de la correction certes démontre que [AB] et [BF] sont //, mais la démonstration que [BF] doit dans l'alignement de [AB] n'est pas faite. Je pense que l'on pourrait passer par le fait que J est milieu de [BC] et que [DJ]=[OF], mais je n'arrive pas à mettre en forme la démonstration car je ne connais pas la propriété Merci pour cette page d'exercices en tous cas!!

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