Solution des exercices : Géométrie dans l'espace - 3e

$SABCD$ est une pyramide de hauteur $[OS].$ Son volume est de $240\;cm^{3}$ et sa hauteur $[OS]$ mesure $15\;cm$

1) A partir de la formule donnant le volume de la pyramide, calculons l'aire de la base $(ABCD).$

 

Soit $V_{(ABCD)}$ le volume de ce pyramide et $\mathcal{A}_{(ABCD)}$ l'aire de la base $(ABCD).$

 

Alors, on a :

$$V_{(ABCD)}={\displaystyle \frac{{\mathcal{A}}_{(ABCD)}\times OS}{3}}$$

Ce qui entraine : $\mathcal{A}_{(ABCD)}=\dfrac{3\times V_{(ABCD)}}{OS}$

 

Donc, en remplaçant $\mathcal{V}\ $ et $\ OS$ par leur valeur, on obtient :

 

$$$\begin{array}{rcl}{\mathcal{A}}_{(ABCD)}& =& {\displaystyle \frac{3\times V_{(ABCD)}}{OS}}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{3\times 240}{15}}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{720}{15}}\\ \\ & =& 48\end{array}$$$

 

D'où, $\boxed{\mathcal{A}_{(ABCD)}=48\;cm^{2}}$

 

Ainsi, l'aire de la base $(ABCD)$ est égale à $48\;cm^{2}.$

 

2) $O'$ est le point du segment $[SO]$ tel que $O'S=\dfrac{1}{2}OS.$

 

Le plan passant par $O'$ et parallèle à la base $(ABCD)$ coupe les droites $(SA)$ en $A'\;,\ (SB)$ en $B'\;,\ (SC)$ en $C'\ $ et $\ (SD)$ en $D'.$

 

Calculons le volume de la pyramide $(SA'B'C'D').$

 

En effet, la pyramide $(SA'B'C'D')$ est une réduction de la pyramide $(SABCD).$

 

Comme $O'S=\dfrac{1}{2}OS$ alors, le coefficient de réduction est égal à $\dfrac{1}{2}.$

 

Or, on sait que, dans le cas d'une réduction, le volume de la pyramide $(SA'B'C'D')$ est obtenu en multipliant le volume de la pyramide $(SABCD)$ par le cube du coefficient de réduction.

 

Donc, on a :

 

$$$\begin{array}{rcl}{V}_{(S{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })}& =& {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^3\times V_{(SABCD)}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{1}{8}}\times 240\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{240}{8}}\\ \\ & =& 30\end{array}$$$

 

Ainsi, $\boxed{V_{(SA'B'C'D')}=30\;cm^{3}}$

 

3) On donne $OA=5\;cm.$ Calculons au degré près la mesure de l'angle $\widehat{OSA}.$

 

Pour cela, considérons le triangle $OSA$ rectangle en $O.$

 

Alors, en calculant la tangente de l'angle $\widehat{OSA}$, on obtient :

 

$$$\begin{array}{rcl}\tan \widehat{OSA}& =& {\displaystyle \frac{\text{côté opposé à l'angle }\widehat{OSA}}{\text{côté adjacent à l'angle }\widehat{OSA}}}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{OA}{OS}}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{5}{15}}\\ \\ & =& 0.33\end{array}$$$

 

D'où, $\boxed{\tan\widehat{OSA}=0.33}$

 

Ainsi, avec une calculatrice scientifique, on utilise la touche $\tan^{-1}$ pour trouver la mesure de l'angle $\widehat{OSA}.$

 

On obtient alors : $\tan^{-1}(0.33)=18.26^{\circ}$

 

En arrondissant à $1^{\circ}$ près, on trouve : $\boxed{mes\,\widehat{OSA}=18^{\circ}}$

Figure ci-dessous représente le patron de la partie latérale d'un cône de révolution.

1) Montrons que le rayon de sa base est $4\;cm$ et que sa hauteur $h$ mesure $2\sqrt{5}\;cm$

 

En effet, on sait que la longueur de l'arc de cercle délimitant la partie latérale de ce cône de révolution est égale au périmètre du cercle de base de ce même cône.

 

Or,

 

$-\ $ la longueur de cet arc est égale à :

$$6\times \alpha$$

où, $\alpha$ est l'angle au centre du secteur de disque fournissant le développement de la surface latérale de ce cône.

 

$-\ $ le périmètre du cercle de base de ce même cône est égal à :

$$2\pi r$$

où, $r$ est le rayon de la base.

 

On peut alors écrire :

$$2\pi r=6\times \alpha$$

avec : $\alpha=360^{\circ}-120^{\circ}=240^{\circ}\ $ et $\ \pi=180^{\circ}$

 

Alors, en remplaçant $\alpha\ $ et $\ \pi$ par leur valeur, on trouve :

 

$$$\begin{array}{rcl}2\pi r=6\times \alpha & \iff & 2\times {180}^{\circ }\times r=6\times {240}^{\circ }\\ \\ & \iff & {360}^{\circ }\times r=1{440}^{\circ }\\ \\ & \iff & r={\displaystyle \frac{1{440}^{\circ }}{{360}^{\circ }}}\\ \\ & \iff & r=4\end{array}$$$

 

Ainsi, $\boxed{r=4\;cm}$

 

Par ailleurs, on sait que le triangle $SOA$ est rectangle en $O$ et on a :

 

$SO=h$ hauteur de ce cône

 

$OA=r$ rayon de sa base

 

$SA$ sa génératrice

 

Alors, en appliquant le théorème de Pythagore, on obtient :

$$S{O}^2+O{A}^2=S{A}^2$$

Ce qui donne : $h^{2}+r^{2}=SA^{2}$

 

En remplaçant $r\ $ et $\ SA$ par leur valeur, on trouve :

 

$$$\begin{array}{rcl}{h}^2+r^2=S{A}^2& \iff & h^2+4^2=6^2\\ \\ & \iff & h^2+16=36\\ \\ & \iff & h^2=36-16\\ \\ & \iff & h^2=20\\ \\ & \iff & h=\sqrt{20}\\ \\ & \iff & h=\sqrt{4\times 5}\\ \\ & \iff & h=2\sqrt{5}\end{array}$$$

 

D'où, $\boxed{h=2\sqrt{5}\;cm}$

2) Calculons le volume de ce cône.

 

Soit $V_{\text{cône}}$ le volume de ce cône alors, on a :

$$V_{\text{cône}}={\displaystyle \frac{\text{Aire de la base}\times \text{hauteur}}{3}}$$

où, l'aire de la base est : $\pi\times r^{2}=\pi\times 16$

 

En choisissant $\pi\simeq 3.14$, on trouve :

 

$$$\begin{array}{rcl}{V}_{\text{cône}}& =& {\displaystyle \frac{\text{Aire de la base}\times \text{hauteur}}{3}}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{\pi \times 16\times 2\sqrt{5}}{3}}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{3.14\times 16\times 2\sqrt{5}}{3}}\\ \\ & =& 74.89\end{array}$$$

 

Ainsi, $\boxed{V_{\text{cône}}=74.89\;cm^{3}}$

 

3) On coupe ce cône par un plan parallèle à sa base à $\dfrac{2}{3}$ de la hauteur à partir de la base. Calculons le volume du tronc.

On a :

$$V_{\text{tronc}}=V_{\text{cône}}-V_{\text{cône réduit}}$$

Déterminons alors le volume du cône réduit.

 

En effet, comme le cône est coupé par un plan parallèle à sa base à $\dfrac{2}{3}$ de la hauteur à partir de la base alors, le cône réduit a pour hauteur :

$$S{O}^{\prime }=SO-{\displaystyle \frac{2}{3}}SO={\displaystyle \frac{1}{3}}SO$$ 

Par suite, le coefficient de réduction est égal à $\dfrac{1}{3}.$

 

Or, on sait que, dans le cas d'une réduction, le volume du cône réduit est obtenu en multipliant le volume du cône initial par le cube du coefficient de réduction.

 

Ainsi, on a :

 

$$$\begin{array}{rcl}{V}_{\text{cône réduit}}& =& {\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^3\times V_{\text{cône}}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{1}{27}}\times 74.89\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{74.89}{27}}\\ \\ & =& 2.77\end{array}$$$

 

Donc, $\boxed{V_{\text{cône réduit}}=2.77\;cm^{3}}$

 

En remplaçant $V_{\text{cône}}\ $ et $\ V_{\text{cône réduit}}$ par leur valeur, dans l'expression de $V_{\text{tronc}}$, on obtient :

 

$$$\begin{array}{rcl}{V}_{\text{tronc}}& =& V_{\text{cône}}-V_{\text{cône réduit}}\\ \\ & =& 74.89-2.77\\ \\ & =& 72.12\end{array}$$$

 

D'où, le volume du tronc est égal à $72.12\;cm^{3}$

Le chapeau d'un berger a la forme d'un cône de révolution de sommet $S$ (voir figure ci-dessous) : $IH=10\;cm\;,\ SH=10\;cm.$

 

$H$ est le centre du disque de base.

1) Calculons le volume de ce cône.

 

Soit $V_{\text{cône}}$ le volume de ce cône alors, on a :

$$V_{\text{cône}}={\displaystyle \frac{\text{Aire de la base}\times \text{hauteur}}{3}}$$

où, l'aire de la base est donnée par $\pi\times IH^{2}=\pi\times 100$ et la hauteur est égale à $SH=10\;cm.$

 

En choisissant $\pi\simeq 3.14$, on trouve :

 

$$$\begin{array}{rcl}{V}_{\text{cône}}& =& {\displaystyle \frac{\text{Aire de la base}\times \text{hauteur}}{3}}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{\pi \times 100\times 10}{3}}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{3.14\times 100\times 10}{3}}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{3140}{3}}\\ \\ & =& 1046.66\end{array}$$$

 

Ainsi, $\boxed{V_{\text{cône}}=1\,046.66\;cm^{3}}$

 

2) Le berger recouvre son chapeau extérieurement d'un papier de décoration vendu par feuille carrée de $10\;cm$ de côté et à $1\,000\;F$ la feuille. Calculons la dépense minimale.

 

Pour cela, nous calculons d'abord l'aire latérale de ce cône et la surface d'une feuille.

 

On a :

$$\text{Aire latérale}=\pi \times IH\times SI$$

Comme le triangle $SHI$ est rectangle en $H$ alors, d'après le théorème de Pythagore, on a :

$$S{I}^2=I{H}^2+S{H}^2$$

Ce qui donne : $SI=\sqrt{IH^{2}+SH^{2}}$

 

En remplaçant $IH\ $ et $\ SH$ par leur valeur, on trouve :

 

$$$\begin{array}{rcl}SI& =& \sqrt{I{H}^2+S{H}^2}\\ \\ & =& \sqrt{{10}^2+{10}^2}\\ \\ & =& \sqrt{100+100}\\ \\ & =& \sqrt{200}\\ \\ & =& 10\sqrt{2}\end{array}$$$

 

Donc, $\boxed{SI=10\sqrt{2}\;cm}$

 

Par suite, en prenant $\pi\simeq 3.14$, on a :

 

$$$\begin{array}{rcl}\text{Aire latérale}& =& \pi \times IH\times SI\\ \\ & =& 3.14\times 10\times 10\sqrt{2}\\ \\ & =& 444\end{array}$$$

 

Donc, $\boxed{\text{Aire latérale}=444\;cm^{2}}$

 

Par ailleurs, comme chaque feuille a une forme carrée de $10\;cm$ de côté alors, sa surface est donnée par :

$$\text{Surface d'une feuille}=10\times 10=100c{m}^2$$

Ensuite, calculons le nombre minimum de feuilles nécessaires pour recouvrir le chapeau.

 

On a :

 

$$$\begin{array}{rcl}\text{Nombre de feuilles}& =& {\displaystyle \frac{\text{Aire latérale}}{\text{Surface d'une feuille}}}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{444}{100}}\\ \\ & =& 4.44\end{array}$$$

 

Donc, le berger a besoin de $5$ feuilles de papier de décoration pour recouvrir son chapeau.

 

Enfin, comme chaque feuille coûte $1\,000\;F$ alors, la dépense minimale est donnée par :

$$\text{Dépense minimale}=5\times 1000=5000F$$

On se propose de calculer le volume d'un seau qui a la forme d'un tronc de cône de révolution.

 

On donne $OS=2\sqrt{13}\ $ et $\ OA=2a.$

 

$a$ étant un nombre réel positif, et $O'$ milieu de $[OS].$

1) Calculons $O'A'$ en fonction de $a.$

 

En effet, en observant la figure, on remarque que le plan de la base du cône réduit est parallèle au plan de la base du cône initial.

 

Par suite, $(O'A')$ est parallèle à $(OA).$

 

D'où, les triangles $SO'A'\ $ et $\ SOA$ sont en position de Thalès.

 

Donc, en appliquant le théorème de Thalès, on a :

$${\displaystyle \frac{O^{\prime }{A}^{\prime }}{OA}}={\displaystyle \frac{O^{\prime }S}{OS}}$$

Ce qui entraine :

$$O^{\prime }{A}^{\prime }={\displaystyle \frac{O^{\prime }S}{OS}}\times OA$$

Comme $O'$ est milieu de $[OS]$ alors,

$$O^{\prime }S={\displaystyle \frac{OS}{2}}={\displaystyle \frac{2\sqrt{13}}{2}}=\sqrt{13}$$

Dans l'expression de $O'A'$, en remplaçant $O'S\;,\ OS\ $ et $\ OA$ par leur valeur, on trouve :

 

$$$\begin{array}{rcl}{O}^{\prime }{A}^{\prime }& =& {\displaystyle \frac{O^{\prime }S}{OS}}\times OA\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{\sqrt{13}}{2\sqrt{13}}}\times 2a\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{2a}{2}}\\ \\ & =& a\end{array}$$$

 

Ainsi, $\boxed{O'A'=a}$

 

Autre méthode

 

En effet, les triangles $SO'A'\ $ et $\ SOA$ sont en position de Thalès et que le triangle $SO'A'$ constitue une réduction du triangle $SOA.$

 

Or, $O'$ est milieu de $[OS]$ donc, $O'S=\dfrac{1}{2}OS.$

 

Ce qui signifie que le coefficient de réduction est égal à $\dfrac{1}{2}.$

 

Par conséquent, d'après une conséquence du théorème de Thalès, on a :

$$O^{\prime }{A}^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{2}}OA$$

En remplaçant $OA$ par sa valeur, on trouve :

 

$$$\begin{array}{rcl}{O}^{\prime }{A}^{\prime }& =& {\displaystyle \frac{1}{2}}OA\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{1}{2}}\times 2a\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{2a}{2}}\\ \\ & =& a\end{array}$$$

 

D'où, $\boxed{O'A'=a}$

 

2) On prend $a=\sqrt{3}$ pour la suite et pour unité le décimètre.

 

a) Calculons le volume du cône initial.

 

Soit $V_{\text{cône initial}}$ le volume de ce cône initial alors, on a :

$$V_{\text{cône initial}}={\displaystyle \frac{\text{Aire de la base}\times \text{hauteur}}{3}}$$

où, l'aire de la base est donnée par $\pi\times OA^{2}$ et la hauteur est égale à $OS.$

 

Alors, en choisissant $\pi\simeq 3.14$, on trouve :

 

$$$\begin{array}{rcl}{V}_{\text{cône initial}}& =& {\displaystyle \frac{\pi \times O{A}^2\times OS}{3}}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{3.14\times (\sqrt{3}{)}^2\times 2\sqrt{13}}{3}}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{3.14\times 3\times 2\sqrt{13}}{3}}\\ \\ & =& 3.14\times 2\sqrt{13}\\ \\ & =& 22.64\end{array}$$$

 

Ainsi, $\boxed{V_{\text{cône initial}}=22.64\;dm^{3}}$

 

b) Calculons le volume du cône réduit et en déduisons celui du seau.

 

En effet, comme $O'$ est milieu de $[OS]$ alors, $O'S=\dfrac{1}{2}OS.$

 

Ce qui signifie que le coefficient de réduction est égal à $\dfrac{1}{2}.$

 

Or, on sait que, dans le cas d'une réduction, le volume du cône réduit est obtenu en multipliant le volume du cône initial par le cube du coefficient de réduction.

 

Soit $V_{\text{cône réduit}}$ le volume du cône réduit alors, on a :

 

$$$\begin{array}{rcl}{V}_{\text{cône réduit}}& =& {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^3\times V_{\text{cône initial}}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{1}{8}}\times 22.64\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{22.64}{8}}\\ \\ & =& 2.83\end{array}$$$

 

Donc, $\boxed{V_{\text{cône réduit}}=2.83\;dm^{3}}$

 

En déduisons le volume seau.

 

En effet, on sait que le seau est obtenu en enlevant le cône réduit du cône initial.

 

Ainsi, le volume $V_{\text{seau}}$ du seau est donné par :

$$V_{\text{seau}}=V_{\text{cône initial}}-V_{\text{cône réduit}}$$

Alors, en remplaçant $V_{\text{cône initial}}\ $ et $\ V_{\text{cône réduit}}$ par leur valeur, on obtient :

 

$$$\begin{array}{rcl}{V}_{\text{seau}}& =& V_{\text{cône initial}}-V_{\text{cône réduit}}\\ \\ & =& 22.64-2.83\\ \\ & =& 19.81\end{array}$$$

 

D'où, $\boxed{V_{\text{seau}}=19.81\;dm^{3}}$

Exercice 10

Exercice  11

L'unité de longueur est le $cm.\ ACBE$ est un losange tel que : $CE=12\ $ et $\ AB=6.$

 

1) Représentons $ACBE$ en dimensions réelles.

2) $S$ est un point n'appartenant pas au plan contenant ce losange tel que : $SABC$ soit un tétraèdre de hauteur $[SB]$ avec $SB=8.$

 

a) Calculons $SA\ $ et $\ SC$ (on remarquera que $(SB)\perp(BA)\ $ et $\ (SB)\perp(BC)).$

 

$-\ $ Calcul de $SA$

 

En effet, comme $(SB)$ est perpendiculaire à $(BA)$ alors, le triangle $SBA$ est rectangle en $B.$

 

Donc, en appliquant le théorème de Pythagore, on obtient :

$$S{A}^2=S{B}^2+A{B}^2$$

Ce qui donne : $SA=\sqrt{SB^{2}+AB^{2}}$

 

En remplaçant $SB\ $ et $\ AB$ par leur valeur, on trouve :

 

$$$\begin{array}{rcl}SA& =& \sqrt{S{B}^2+A{B}^2}\\ \\ & =& \sqrt{8^2+6^2}\\ \\ & =& \sqrt{64+36}\\ \\ & =& \sqrt{100}\\ \\ & =& 10\end{array}$$$

 

Ainsi, $\boxed{SA=10\;cm}$

 

$-\ $ Calcul de $SC$

 

Comme $(SB)\ $ et $\ (BC)$ sont perpendiculaires alors, le triangle $SBC$ est rectangle en $B.$

 

Donc, d'après le théorème de Pythagore, on a :

$$S{C}^2=S{B}^2+B{C}^2$$

Ce qui entraine : $SC=\sqrt{SB^{2}+BC^{2}}$

 

Déterminons alors $BC.$

 

En effet, on sait que $ACBE$ est un losange. Donc, ses diagonales $[AB]\ $ et $\ [CE]$ sont perpendiculaires en leur milieu $O.$

 

Par suite, le triangle $BOC$ est rectangle en $O.$

 

Ainsi, d'après le théorème de Pythagore, on a :

$$B{C}^2=O{B}^2+C{O}^2$$

Or, $OB=\dfrac{AB}{2}\ $ et $\ CO=\dfrac{CE}{2}$

 

Donc, en remplaçant $OB\ $ et $\ CO$ par leur expression, on trouve :

 

$$$\begin{array}{rcl}B{C}^2& =& O{B}^2+C{O}^2\\ \\ & =& {\left({\displaystyle \frac{AB}{2}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{CE}{2}}\right)}^2\\ \\ & =& {\left({\displaystyle \frac{6}{2}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{12}{2}}\right)}^2\\ \\ & =& 3^2+6^2\\ \\ & =& 9+36\\ \\ & =& 45\end{array}$$$

 

Ainsi, $\boxed{BC=\sqrt{45}=3\sqrt{5}}$

 

Alors, dans l'expression de $SC$, remplaçons $SB\ $ et $\ BC$ par leur valeur.

 

On trouve :

 

$$$\begin{array}{rcl}SC& =& \sqrt{S{B}^2+B{C}^2}\\ \\ & =& \sqrt{8^2+(\sqrt{45}{)}^2}\\ \\ & =& \sqrt{64+45}\\ \\ & =& \sqrt{109}\end{array}$$$

 

D'où, $\boxed{SC=\sqrt{109}\;cm}$

 

b) Calculons l'aire de $ACBE$ en déduisons l'aire de $ABC.$

 

Comme $ACBE$ est un losange alors, son aire $\mathcal{A}_{(ACBE)}$ est donnée par :

$${\mathcal{A}}_{(ACBE)}={\displaystyle \frac{\text{grande diagonale}\times \text{petite diagonale}}{2}}$$

Alors, en calculant, on trouve :

 

$$$\begin{array}{rcl}{\mathcal{A}}_{(ACBE)}& =& {\displaystyle \frac{CE\times AB}{2}}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{12\times 6}{2}}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{72}{2}}\\ \\ & =& 36\end{array}$$$

 

D'où, $\boxed{\mathcal{A}_{(ACBE)}=36\;cm^{2}}$

 

En déduisons l'aire de $ABC.$

 

En effet, on sait que l'aire $\mathcal{A}_{(ABC)}$ du triangle $ABC$ est donnée par :

$${\mathcal{A}}_{(ABC)}={\displaystyle \frac{{\mathcal{A}}_{(ACBE)}}{2}}$$

Ce qui donne :

 

$$$\begin{array}{rcl}{\mathcal{A}}_{(ABC)}& =& {\displaystyle \frac{36}{2}}\\ \\ & =& 18\end{array}$$$

 

Ainsi, $\boxed{\mathcal{A}_{(ABC)}=18\;cm^{2}}$

 

c) Calculons le volume du tétraèdre $SABC.$

 

Soit $V_{(SABC)}$ le volume du tétraèdre $SABC$ alors, on a :

$$V_{(SABC)}={\displaystyle \frac{\text{Aire de la base}\times \text{hauteur}}{3}}$$

Ce qui donne :

 

$$$\begin{array}{rcl}{V}_{(SABC)}& =& {\displaystyle \frac{{\mathcal{A}}_{(ABC)}\times SB}{3}}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{18\times 8}{3}}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{144}{3}}\\ \\ & =& 48\end{array}$$$

 

D'où, $\boxed{V_{(SABC)}=48\;cm^{3}}$

Exercice  14

Exercice  15

Exercice  16

Exercice  17

Exercice  18