Solution des exercices : Géométrie dans l'espace - 3e
Classe:
Troisième
Exercice 1
a) Soit c le côté du carré de base.
D'après la formule donnant le volume d'une pyramide, on a :
V=13c2×SH, soit en remplaçant :
847=13c2×21.
On en déduit que :
3×847=c2×21,
soit : c2=3×84721, ou encore c2=121, et par suite :
c=11cm.
b) Dans le triangle ABC, rectangle en B, on a d'après le théorème de Pythagore, AB2+BC2=AC2,
d'où : AC2=c2+c2=2c2.
Il s'ensuit que AC=√2c=11√2.
c) Dans le triangle SHC, rectangle en H, on a d'après le théorème de Pythagore, SH2+HC2=SC2,
d'où : SC2=212+(11√22)2=501.5.
Par suite, SC=√501.5≅22.394cm.
Comme la pyramide est régulière, il est clair que SA, SB, SD ont la même longueur que SC.
Exercice 2
1) L'aire de de base étant celle d'un carré, on AB2=50, soit AB=√50=√25×2=5√2cm.
Dans le triangle ABC, rectangle en B, on a d'après le théorème de Pythagore, AB2+BC2=AC2,
d'où : AC2=2AB2=2×50=100.
Il s'ensuit que AC=√100=10cm.
2) Dans le triangle SHA, rectangle en H, on a d'après le théorème de Pythagore, SH2+HA2=SC2,
d'où : 132=SH2+52,
Par suite, SH=√132−52=√144=12cm.
Le volume de SABCD est alors :
V=13×50×12=50×4=200cm3.
Exercice 3
1) Le volume V1 de la pyramide SABCD est donné par :
V1=13× aire de base× hauteur,
soit : V1=13×(AB×BC)×SH=13×6×18×24=864cm3.
2) k=SH′SH=SH−HH′SH=24−824=1624=23.
3) On sait que, dans le cas d'une réduction, le volume obtenu est multiplié par le cube du coefficient de réduction, donc :
V2=k3×V1=(23)3×864=256cm3.
V3=V1−V2=864−256=608cm3.
Exercice 4
1) a) Le coefficient de réduction est :
k=80240=13.
On a par hypothèse (voir figure ci-dessous):
OO′=30cm et SO′=13SO, d'où OO′=23SO.
On en déduit que : SO=32OO′,
soit : SO=32×30902=45cm.
Par suite, la hauteur de la pyramide réduite est :
SO′=13×45cm=15cm.
b) Le volume du récipient est celui du tronc de pyramide.
Or le volume de la pyramide initiale SABCD est :
13× Aire (ABCD)× hauteur=13×2402×45=864000cm3 et celui de la pyramide réduite est égal au volume précédent multiplié par le cube du coefficient de réduction,
soit : (13)3=127.
Le volume du récipient est, par conséquent :
864000−127×864000=2627×864000=832000cm3.
2) a) Calculons tout d'abord l'apothème de la pyramide initiale SABCD.
Soit I le milieu de [BC].
Le triangle SOI est rectangle en O, d'après une propriété classique (voir figure ci-dessous).
Le théorème de Pythagore appliqué à ce triangle donne :
SO2+OI2=SI2, avec SO=45cm
(précédemment calculé) et OI=12AB.
Or, puisque AB=240 (côté du carré de base), par hypothèse, on a OI=120 et par conséquent :
SI2=452+1202=16425cm2=25×9×73cm2,
d'où : SI=15√73cm.
La hauteur [II′] d'un trapèze tel que BB′C′C est alors
II′=23×SI=23×15√73=10√73cm
II′=23×SI=23×15√73=10√73cm
L'aire d'un tel trapèze est alors, d'après la formule :
Aire du trapèze=(Grande Base+Petite Base)×Hauteur2
Aire (BB′C′C)=(240+80)×10√732=1600√73cm2.
L'aire latérale de ce récipient est, par conséquent :
4×1600√73cm2=6400√73cm2.
Exercice 5
SABCD est une pyramide régulière dont la base est le carré ABCD de côté 5cm et de centre I. La hauteur [SI] de la pyramide a pour longueur SI=3cm.
1) Calculons le volume de la pyramide.
Soit V le volume de ce pyramide alors, on a :
V=AB×h3
avec AB aire de base et h hauteur du pyramide.
Or, la base est carrée donc, AB=AB2
Par suite,
V=AB×h3=AB2×SI3=52×33=25×33=25
D'où, V=25cm3
2) Soit M le milieu de l'arête [BC].
Démontrons que la longueur IM=2.5cm
On sait que la base carrée ABCD a pour centre le point I. Donc, I est le milieu des deux diagonales [AC] et [BD].
De plus M est milieu de [BC].
Soit alors, le triangle ABC ci-dessous
I milieu de [AC] et M milieu de [BC]
Or, d'après le théorème de la droite des milieux, dans un triangle le segment qui joint les milieux des deux côtés quelconques a pour longueur la moitié de la longueur du troisième côté.
Donc,
IM=AB2=52=2.5
Ainsi, IM=2.5cm
3) On admet que le triangle SIM est rectangle en I.
Considérons la figure ci-dessous
a) Calculons tan^MSI
On sait que : tan^MSI=côté opposé à l'angle ^MSIcôté adjacent à l'angle ^MSI
Par suite,
tan^MSI=IMSI=2.53=0.83
D'où, tan^MSI=0.83
b) En déduisons la mesure de l'angle ^MSI à un degré prés
Avec une calculatrice scientifique, on utilise la touche tan−1 pour trouver la mesure de cet angle.
On obtient alors : tan−1(0.83)=39.69∘
On arrondit à 1∘ près.
D'où, mes^MSI=40∘
Exercice 6
SABCD est une pyramide de hauteur [OS]. Son volume est de 240cm3 et sa hauteur [OS] mesure 15cm
1) A partir de la formule donnant le volume de la pyramide, calculons l'aire de la base (ABCD).
Soit V(ABCD) le volume de ce pyramide et A(ABCD) l'aire de la base (ABCD).
Alors, on a :
V(ABCD)=A(ABCD)×OS3
Ce qui entraine : A(ABCD)=3×V(ABCD)OS
Donc, en remplaçant V et OS par leur valeur, on obtient :
A(ABCD)=3×V(ABCD)OS=3×24015=72015=48
D'où, A(ABCD)=48cm2
Ainsi, l'aire de la base (ABCD) est égale à 48cm2.
2) O′ est le point du segment [SO] tel que O′S=12OS.
Le plan passant par O′ et parallèle à la base (ABCD) coupe les droites (SA) en A′, (SB) en B′, (SC) en C′ et (SD) en D′.
Calculons le volume de la pyramide (SA′B′C′D′).
En effet, la pyramide (SA′B′C′D′) est une réduction de la pyramide (SABCD).
Comme O′S=12OS alors, le coefficient de réduction est égal à 12.
Or, on sait que, dans le cas d'une réduction, le volume de la pyramide (SA′B′C′D′) est obtenu en multipliant le volume de la pyramide (SABCD) par le cube du coefficient de réduction.
Donc, on a :
V(SA′B′C′D′)=(12)3×V(SABCD)=18×240=2408=30
Ainsi, V(SA′B′C′D′)=30cm3
3) On donne OA=5cm. Calculons au degré près la mesure de l'angle ^OSA.
Pour cela, considérons le triangle OSA rectangle en O.
Alors, en calculant la tangente de l'angle ^OSA, on obtient :
tan^OSA=côté opposé à l'angle ^OSAcôté adjacent à l'angle ^OSA=OAOS=515=0.33
D'où, tan^OSA=0.33
Ainsi, avec une calculatrice scientifique, on utilise la touche tan−1 pour trouver la mesure de l'angle ^OSA.
On obtient alors : tan−1(0.33)=18.26∘
En arrondissant à 1∘ près, on trouve : mes^OSA=18∘
Exercice 7
Figure ci-dessous représente le patron de la partie latérale d'un cône de révolution.
1) Montrons que le rayon de sa base est 4cm et que sa hauteur h mesure 2√5cm
En effet, on sait que la longueur de l'arc de cercle délimitant la partie latérale de ce cône de révolution est égale au périmètre du cercle de base de ce même cône.
Or,
− la longueur de cet arc est égale à :
6×α
où, α est l'angle au centre du secteur de disque fournissant le développement de la surface latérale de ce cône.
− le périmètre du cercle de base de ce même cône est égal à :
2πr
où, r est le rayon de la base.
On peut alors écrire :
2πr=6×α
avec : α=360∘−120∘=240∘ et π=180∘
Alors, en remplaçant α et π par leur valeur, on trouve :
2πr=6×α⇔2×180∘×r=6×240∘⇔360∘×r=1440∘⇔r=1440∘360∘⇔r=4
Ainsi, r=4cm
Par ailleurs, on sait que le triangle SOA est rectangle en O et on a :
SO=h hauteur de ce cône
OA=r rayon de sa base
SA sa génératrice
Alors, en appliquant le théorème de Pythagore, on obtient :
SO2+OA2=SA2
Ce qui donne : h2+r2=SA2
En remplaçant r et SA par leur valeur, on trouve :
h2+r2=SA2⇔h2+42=62⇔h2+16=36⇔h2=36−16⇔h2=20⇔h=√20⇔h=√4×5⇔h=2√5
D'où, h=2√5cm
2) Calculons le volume de ce cône.
Soit Vcône le volume de ce cône alors, on a :
Vcône=Aire de la base×hauteur3
où, l'aire de la base est : π×r2=π×16
En choisissant π≃3.14, on trouve :
Vcône=Aire de la base×hauteur3=π×16×2√53=3.14×16×2√53=74.89
Ainsi, Vcône=74.89cm3
3) On coupe ce cône par un plan parallèle à sa base à 23 de la hauteur à partir de la base. Calculons le volume du tronc.
On a :
Vtronc=Vcône−Vcône réduit
Déterminons alors le volume du cône réduit.
En effet, comme le cône est coupé par un plan parallèle à sa base à 23 de la hauteur à partir de la base alors, le cône réduit a pour hauteur :
SO′=SO−23SO=13SO
Par suite, le coefficient de réduction est égal à 13.
Or, on sait que, dans le cas d'une réduction, le volume du cône réduit est obtenu en multipliant le volume du cône initial par le cube du coefficient de réduction.
Ainsi, on a :
Vcône réduit=(13)3×Vcône=127×74.89=74.8927=2.77
Donc, Vcône réduit=2.77cm3
En remplaçant Vcône et Vcône réduit par leur valeur, dans l'expression de Vtronc, on obtient :
Vtronc=Vcône−Vcône réduit=74.89−2.77=72.12
D'où, le volume du tronc est égal à 72.12cm3
Exercice 8
Le chapeau d'un berger a la forme d'un cône de révolution de sommet S (voir figure ci-dessous) : IH=10cm, SH=10cm.
H est le centre du disque de base.
1) Calculons le volume de ce cône.
Soit Vcône le volume de ce cône alors, on a :
Vcône=Aire de la base×hauteur3
où, l'aire de la base est donnée par π×IH2=π×100 et la hauteur est égale à SH=10cm.
En choisissant π≃3.14, on trouve :
Vcône=Aire de la base×hauteur3=π×100×103=3.14×100×103=31403=1046.66
Ainsi, Vcône=1046.66cm3
2) Le berger recouvre son chapeau extérieurement d'un papier de décoration vendu par feuille carrée de 10cm de côté et à 1000F la feuille. Calculons la dépense minimale.
Pour cela, nous calculons d'abord l'aire latérale de ce cône et la surface d'une feuille.
On a :
Aire latérale=π×IH×SI
Comme le triangle SHI est rectangle en H alors, d'après le théorème de Pythagore, on a :
SI2=IH2+SH2
Ce qui donne : SI=√IH2+SH2
En remplaçant IH et SH par leur valeur, on trouve :
SI=√IH2+SH2=√102+102=√100+100=√200=10√2
Donc, SI=10√2cm
Par suite, en prenant π≃3.14, on a :
Aire latérale=π×IH×SI=3.14×10×10√2=444
Donc, Aire latérale=444cm2
Par ailleurs, comme chaque feuille a une forme carrée de 10cm de côté alors, sa surface est donnée par :
Surface d'une feuille=10×10=100cm2
Ensuite, calculons le nombre minimum de feuilles nécessaires pour recouvrir le chapeau.
On a :
Nombre de feuilles=Aire latéraleSurface d'une feuille=444100=4.44
Donc, le berger a besoin de 5 feuilles de papier de décoration pour recouvrir son chapeau.
Enfin, comme chaque feuille coûte 1000F alors, la dépense minimale est donnée par :
Dépense minimale=5×1000=5000F
Exercice 9
On se propose de calculer le volume d'un seau qui a la forme d'un tronc de cône de révolution.
On donne OS=2√13 et OA=2a.
a étant un nombre réel positif, et O′ milieu de [OS].
1) Calculons O′A′ en fonction de a.
En effet, en observant la figure, on remarque que le plan de la base du cône réduit est parallèle au plan de la base du cône initial.
Par suite, (O′A′) est parallèle à (OA).
D'où, les triangles SO′A′ et SOA sont en position de Thalès.
Donc, en appliquant le théorème de Thalès, on a :
O′A′OA=O′SOS
Ce qui entraine :
O′A′=O′SOS×OA
Comme O′ est milieu de [OS] alors,
O′S=OS2=2√132=√13
Dans l'expression de O′A′, en remplaçant O′S, OS et OA par leur valeur, on trouve :
O′A′=O′SOS×OA=√132√13×2a=2a2=a
Ainsi, O′A′=a
Autre méthode
En effet, les triangles SO′A′ et SOA sont en position de Thalès et que le triangle SO′A′ constitue une réduction du triangle SOA.
Or, O′ est milieu de [OS] donc, O′S=12OS.
Ce qui signifie que le coefficient de réduction est égal à 12.
Par conséquent, d'après une conséquence du théorème de Thalès, on a :
O′A′=12OA
En remplaçant OA par sa valeur, on trouve :
O′A′=12OA=12×2a=2a2=a
D'où, O′A′=a
2) On prend a=√3 pour la suite et pour unité le décimètre.
a) Calculons le volume du cône initial.
Soit Vcône initial le volume de ce cône initial alors, on a :
Vcône initial=Aire de la base×hauteur3
où, l'aire de la base est donnée par π×OA2 et la hauteur est égale à OS.
Alors, en choisissant π≃3.14, on trouve :
Vcône initial=π×OA2×OS3=3.14×(√3)2×2√133=3.14×3×2√133=3.14×2√13=22.64
Ainsi, Vcône initial=22.64dm3
b) Calculons le volume du cône réduit et en déduisons celui du seau.
En effet, comme O′ est milieu de [OS] alors, O′S=12OS.
Ce qui signifie que le coefficient de réduction est égal à 12.
Or, on sait que, dans le cas d'une réduction, le volume du cône réduit est obtenu en multipliant le volume du cône initial par le cube du coefficient de réduction.
Soit Vcône réduit le volume du cône réduit alors, on a :
Vcône réduit=(12)3×Vcône initial=18×22.64=22.648=2.83
Donc, Vcône réduit=2.83dm3
En déduisons le volume seau.
En effet, on sait que le seau est obtenu en enlevant le cône réduit du cône initial.
Ainsi, le volume Vseau du seau est donné par :
Vseau=Vcône initial−Vcône réduit
Alors, en remplaçant Vcône initial et Vcône réduit par leur valeur, on obtient :
Vseau=Vcône initial−Vcône réduit=22.64−2.83=19.81
D'où, Vseau=19.81dm3
Exercice 10
C est un cône de sommet S et de base un disque D de rayon 5cm. Le volume de ce cône est de 80cm3. Le disque D′ de rayon 3cm est une section du cône C par un plan parallèle à la base. C′ est le cône de sommet S et de base le disque D′. On se propose de calculer le volume de C′.
a) D′ est une réduction de D ; à l'aide des rayons de D et de D′, calculons l'échelle de cette réduction.
En effet, comme D′ est une réduction de D alors, l'échelle de réduction k appelée aussi coefficient de réduction des distances est donnée par :
k=r′r
où, r est le rayon de D et r′ celui de D′.
En remplaçant r et r′ par leur valeur, on trouve :
k=r′r=35=0.6
D'où, k=0.6
b) Donnons la formule qui permet de calculer le volume de C′ à partir du volume de C.
En effet, on sait que, dans le cas d'une réduction, le volume du cône réduit est obtenu en multipliant le volume du cône initial par le cube du coefficient de réduction.
Soit VC le volume du cône initial et VC' le volume du cône réduit alors, on a :
VC'=k3×VC
Calculons le volume de C′.
Dans la formule ci-dessus, remplaçons k et VC par leur valeur.
On obtient alors :
VC'=k3×VC=(0.6)3×80=0.216×80=17.28
Donc, VC'=17.28dm3
Exercice 11
Soit SABCD une pyramide régulière à base carrée. Sa hauteur mesure 6cm ; le côté de sa base mesure 4cm.
O est le centre de la base.
1) Dessinons la pyramide en perspective cavalière
2) Calculons la longueur de ses arêtes latérales.
En effet, SABCD est pyramide régulière de sommet S et de hauteur [SO] avec O centre de la base.
Donc, ses arêtes latérales ont même longueur :
SA=SB=SC=SD
Calculons alors la longueur SD.
En effet, le triangle SOD est rectangle en O donc, d'après le théorème de Pythagore, on a :
SD2=SO2+OD2
Ce qui donne : SD=√SO2+OD2
Par ailleurs, on sait que O est milieu de [BD] donc, OD=BD2.
Or, le triangle BCD est rectangle en C donc, en appliquant le théorème de Pythagore, on trouve :
BD2=BC2+CD2⇒BD=√BC2+CD2⇒BD=√42+42⇒BD=√16+16⇒BD=√32⇒BD=4√2
Par suite, OD=4√22=2√2cm
Ainsi, en remplaçant, SO et OD par leur valeur dans l'expression de SD, on obtient :
SD=√SO2+OD2=√62+(2√2)2=√36+8=√44=√4×11=2√11
D'où, SD=2√11cm
Donc, chaque arête latérale mesure 2√11cm.
3) Dessinons le patron de cette pyramide (échelle 1/2)
4) Calculons l'aire latérale et l'aire totale.
− Calcul de l'aire latérale
En effet, la partie latérale de cette pyramide étant composée de 4 triangles identiques alors, l'aire latérale AL est donnée par :
AL=4×A(SBC)
où, A(SBC) est l'aire du triangle SBC
Calculons alors l'aire de SBC.
Soit [SH] la hauteur issue de S alors, l'aire du triangle SBC est donnée par :
A(SBC)=BC×SH2
Le triangle SHB étant rectangle en H alors, d'après le théorème de Pythagore, on a :
SH2+HB2=SB2
Par suite, SH2=SB2−HB2
Ce qui entraine : SH=√SB2−HB2
Par ailleurs, on sait que SB=SC donc, le triangle SBC est isocèle en S.
Par conséquent, H est milieu de [BC].
D'où, HB=BC2=42=2cm
Ainsi, en remplaçant SB et HB par leur valeur dans l'expression de SH, on trouve :
SH=√SB2−HB2=√(2√11)2−22=√44−4=√40=√4×10=2√10
Donc, SH=2√10cm
Par suite, en remplaçant BC et SH par leur valeur dans l'expression de A(SBC), on trouve :
A(SBC)=BC×SH2=4×2√102=8√102=4√10
Ainsi, A(SBC)=4√10cm2
Par conséquent, l'aire latérale AL est donnée par :
AL=4×A(SBC)=4×4√10=16√10
D'où, AL=16√10cm2
− Calcul de l'aire totale
En effet, l'aire totale AT est égale à la somme de l'aire latérale AL et de l'aire de la base AB.
La base étant carrée de côté 4cm alors,
AB=42=16cm2
Donc, on a :
AT=AL+AB=16√10+16
D'où, AT=(16+16√10)cm2
5) Calculons le volume de cette pyramide.
En effet, on sait que le volume d'une pyramide est donné par :
Vpyramide=Aire de la base×hauteur3
Soit V(SABCD) le volume de la pyramide SABCD alors, on a :
V(SABCD)=AB×SO3=16×63=963=32
D'où, V(SABCD)=32cm3
Exercice 12
ABCD est un tétraèdre tel que : la base ABC est rectangle en A et de hauteur [AD]. On suppose que AB=6cm; AC=8cm et AD=8cm.
1) Dessinons ce tétraèdre en perspective cavalière.
2) Montrons que BCD est un triangle isocèle en B.
Pour cela, il suffit de montrer que BC=BD
On a : ABC triangle rectangle en A alors, d'après le théorème de Pythagore :
BC2=AB2+AC2
Ainsi,
BC=√AB2+AC2=√62+82=√36+64=√100=10
Donc, BC=10cm
Par ailleurs, [AD] est la hauteur du tétraèdre donc, [AD] est perpendiculaire à la base ABC.
Par suite, [AD] est perpendiculaire à [AB] d'où : ABD est triangle rectangle en A.
Ainsi, en appliquant le théorème de Pythagore, on obtient :
BD2=AB2+AD2
Donc,
BD=√AB2+AD2=√62+82=√36+64=√100=10
D'où, BD=10cm
On remarque que BC=BD, ce qui montre que BCD est un triangle isocèle en B.
3) Calculons le volume de ce tétraèdre.
Soit V le volume de ce tétraèdre alors, on a :
V=AB×h3
avec AB aire de base et h hauteur de ce tétraèdre.
Par suite,
V=AB×h3=AB×AC2×AD3=AB×AC×AD3×2=6×8×86=64
D'où, V=64cm3
4) Calculons l'aire totale de ce tétraèdre.
Soit A l'aire totale de ce tétraèdre. On a :
A=AB+AL
avec AB aire de base et AL aire latérale de ce tétraèdre.
Calculons ces différentes aires :
∗ AB=AB×AC2=6×82=482=24
∗ AL=AABD+AACD+ABCD
− AABD=AB×AD2=6×82=482=24
− AACD=AC×AD2=8×82=642=32
− ABCD=DC×BH2
La face latérale BCD est représentée ci-dessous
Pour calculer la hauteur BH de ce triangle, on utilise le théorème de Pythagore :
BD2=BH2+DH2⇒BH2=BD2−DH2⇒BH=√BD2−DH2
Or, BCD est isocèle donc, H est milieu de [DC]. Donc, DH=DC2
Ainsi, BH=√BD2−(DC2)2=√BD2−DC24
De plus, en appliquant le théorème de Pythagore au triangle ADC on obtient :
DC2=AD2+AC2=82+82=128
Donc, DC=√128=8√2cm
Par suite,
BH=√BD2−DC24=√102−(8√2)24=√100−1284=√100−32=√68=2√17
Ainsi, ABCD=DC×BH2=8√2×2√172=8√34
On obtient alors,
A=AB+AL=AB+AABD+AACD+ABCD=24+24+32+8√34=80+8√34
D'où, A=80+8√34=126.65cm2
Exercice 13
L'unité de longueur est le cm. ACBE est un losange tel que : CE=12 et AB=6.
1) Représentons ACBE en dimensions réelles.
2) S est un point n'appartenant pas au plan contenant ce losange tel que : SABC soit un tétraèdre de hauteur [SB] avec SB=8.
a) Calculons SA et SC (on remarquera que (SB)⊥(BA) et (SB)⊥(BC)).
− Calcul de SA
En effet, comme (SB) est perpendiculaire à (BA) alors, le triangle SBA est rectangle en B.
Donc, en appliquant le théorème de Pythagore, on obtient :
SA2=SB2+AB2
Ce qui donne : SA=√SB2+AB2
En remplaçant SB et AB par leur valeur, on trouve :
SA=√SB2+AB2=√82+62=√64+36=√100=10
Ainsi, SA=10cm
− Calcul de SC
Comme (SB) et (BC) sont perpendiculaires alors, le triangle SBC est rectangle en B.
Donc, d'après le théorème de Pythagore, on a :
SC2=SB2+BC2
Ce qui entraine : SC=√SB2+BC2
Déterminons alors BC.
En effet, on sait que ACBE est un losange. Donc, ses diagonales [AB] et [CE] sont perpendiculaires en leur milieu O.
Par suite, le triangle BOC est rectangle en O.
Ainsi, d'après le théorème de Pythagore, on a :
BC2=OB2+CO2
Or, OB=AB2 et CO=CE2
Donc, en remplaçant OB et CO par leur expression, on trouve :
BC2=OB2+CO2=(AB2)2+(CE2)2=(62)2+(122)2=32+62=9+36=45
Ainsi, BC=√45=3√5
Alors, dans l'expression de SC, remplaçons SB et BC par leur valeur.
On trouve :
SC=√SB2+BC2=√82+(√45)2=√64+45=√109
D'où, SC=√109cm
b) Calculons l'aire de ACBE en déduisons l'aire de ABC.
Comme ACBE est un losange alors, son aire A(ACBE) est donnée par :
A(ACBE)=grande diagonale×petite diagonale2
Alors, en calculant, on trouve :
A(ACBE)=CE×AB2=12×62=722=36
D'où, A(ACBE)=36cm2
En déduisons l'aire de ABC.
En effet, on sait que l'aire A(ABC) du triangle ABC est donnée par :
A(ABC)=A(ACBE)2
Ce qui donne :
A(ABC)=362=18
Ainsi, A(ABC)=18cm2
c) Calculons le volume du tétraèdre SABC.
Soit V(SABC) le volume du tétraèdre SABC alors, on a :
V(SABC)=Aire de la base×hauteur3
Ce qui donne :
V(SABC)=A(ABC)×SB3=18×83=1443=48
D'où, V(SABC)=48cm3
Exercice 14
La figure ci-dessous EFGHIJLK est un parallélépipédique rectangle tel que :
EF=8cm; EH=6cm et HK=4cm
1) Calculons le volume du parallélépipède et l'aire totale.
− Calcul du volume du parallélépipède
Soit V(EFGHIJLK) le volume du parallélépipède EFGHIJLK alors, on a :
V(EFGHIJLK)=Aire de la base×hauteur
où, l'aire de la base est égale à l'aire du rectangle HKLG et la hauteur est égale à EH.
Alors, en remarquant que HG=EF, on trouve :
V(EFGHIJLK)=Aire de la base×EH=(HG×HK)×EH=EF×HK×EH=8×4×6=192
D'où, V(EFGHIJLK)=192cm3
− Calcul de l'aire totale du parallélépipède
Soit Atotale l'aire totale de ce parallélépipède alors, on a :
Atotale=A(HKLG)+A(EFJI)+A(KLJI)+A(EFGH)+A(EIKH)+A(FJLG)
Or, on sait que :
A(HKLG)=A(EFJI)
A(KLJI)=A(EFGH)
A(EIKH)=A(FJLG)
Donc, on obtient :
Atotale=2×A(HKLG)+2×A(EFGH)+2×A(EIKH)=2×(HG×HK)+2×(EF×EH)+2×(EH×HK)=2×(8×4)+2×(8×6)+2×(6×4)=2×32+2×48+2×24=64+96+48=208
Ainsi, Atotale=208cm2
2) Calculons EG.
En effet, comme le triangle EGH est rectangle en H alors, d'après le théorème de Pythagore, on a :
EG2=EH2+HG2
Ce qui entraine : EG=√EH2+HG2
Or, HG=EF donc, en remplaçant EH et HG par leur valeur, on trouve :
EG=√EH2+HG2=√62+82=√36+64=√100=10
D'où, EG=10cm
3) Calculons l'aire du triangle EGH.
Le triangle EGH étant rectangle en H alors, l'aire A(EGH) de EGH est donnée par :
A(EGH)=EH×HG2
Alors, en remplaçant EH et HG par leur valeur, on trouve :
A(EGH)=EH×HG2=6×82=482=24
Ainsi, A(EGH)=24cm2
4) Calculons le volume de la pyramide de base EGH de sommet K.
Soit V(KEGH) le volume cette pyramide alors, on a :
V(KEGH)=Aire de la base×hauteur3
où la hauteur est égale à HK
En remplaçant l'aire de la base et la hauteur par leur valeur, on obtient :
V(KEGH)=A(EGH)×HK3=24×43=963=32
Donc, V(KEGH)=32cm3
Exercice 15
La figure ci-dessous est une partie d'un patron de la pyramide régulière SABC.
1) Terminons ce patron.
2) Calculons l'apothème de cette pyramide.
En effet, l'apothème de cette pyramide est représenté par le segment [SG].
Calculons alors la longueur SG.
Le triangle SGC étant rectangle en G alors, en appliquant le théorème de Pythagore, on obtient :
SG2+GC2=SC2
Ce qui donne : SG2=SC2−GC2
Ainsi, SG=√SC2−GC2
Déterminons alors la longueur GC
En effet, comme le triangle SAC est isocèle en S alors, G est milieu de [AC].
Par suite, GC=AC2=32
Ainsi, en remplaçant SC et GC par leur valeur, on trouve :
SG=√SC2−GC2=√52−(32)2=√25−94=√25×4−94=√100−9√4=√912
D'où, SG=√912cm
3) Calculons l'aire latérale et l'aire totale.
− Calcul de l'aire latérale
Soit AL l'aire latérale de cette pyramide.
Comme la partie latérale est constituée de 3 triangles identiques alors, l'aire latérale est donnée par :
AL=3×A(SAC)
où, A(SAC) est l'aire de la face SAC
Ainsi,
AL=3×A(SAC)=AL=3×SG×AC2=3×√912×32=9√914
D'où, AL=94√91cm2
− Calcul de l'aire totale
Soit AT l'aire totale de cette pyramide alors, on a :
AT=Aire de la base+Aire latérale
où, l'aire de la base est égale à l'aire de la face ABC.
Soit [AH] hauteur du triangle ABC alors,
Aire de la base=BC×AH2
Déterminons alors la longueur AH.
Le triangle AHC étant rectangle en H alors, en appliquant le théorème de Pythagore, on obtient :
AH2+HC2=AC2
Ce qui donne : AH2=AC2−HC2
Ainsi, AH=√AC2−HC2
Or, le triangle ABC est équilatéral donc, H est milieu de [BC].
Par suite, HC=BC2=32
Alors, en remplaçant AC et HC par leur valeur, on trouve :
AH=√AC2−HC2=√32−(32)2=√9−94=√9×4−94=√36−9√4=√272=3√32
Donc, AH=3√32cm
D'où, l'aire A(ABC) de la base est :
A(ABC)=BC×AH2=3×3√322=9√322=9√34
Ainsi, A(ABC)=94√3cm2
Par conséquent, l'aire totale de cette pyramide est égale à :
AT=A(ABC)+AL=94√3+94√91=94(√3+√91)
D'où, AT=94(√3+√91)cm2
4) Calculons la hauteur et le volume.
− Calcul de la hauteur de cette pyramide
Soit [SO] la hauteur de la pyramide où O est le centre de gravité du triangle ABC.
Alors, le triangle SOA est rectangle en O.
Ainsi, en appliquant le théorème de Pythagore, on obtient :
SO2+AO2=SA2
Ce qui donne : SO2=SA2−AO2
Par suite, SO=√SA2−AO2
Or, O est le centre de gravité du triangle ABC donc, AO=23AH.
Ainsi, la hauteur SO est donnée par :
SO=√SA2−(23AH)2
En remplaçant SA et AH par leur valeur, on trouve :
SO=√SA2−(23AH)2=√52−(23×3√32)2=√52−(√3)2=√25−3=√22
D'où, SO=√22cm
− Calcul du volume de cette pyramide
Soit V(SABC) le volume de cette pyramide alors, on a :
V(SABC)=Aire de la base×hauteur3
En calculant, on trouve :
V(SABC)=A(ABC)×SO3=9√34×√223=9√6612=3√664
D'où, V(SABC)=34√66cm3
Exercice 16
SAB est un cône de révolution de sommet S de centre O et du diamètre de base le segment [AB] tel que : AB=4cm et SO=8cm.
1) Dessinons ce cône en perspective cavalière.
2) Calculons la génératrice [SA].
En effet, [SO] est la hauteur de ce cône donc, le triangle SOA est rectangle en O.
Ainsi, d'après le théorème de Pythagore, on a :
SA2=SO2+OA2
Ce qui entraine :
SA=√SO2+OA2
Or, O est milieu de [AB].
Donc, OA=AB2=42=2cm
Par suite, la longueur de la génératrice [SA] est donnée par :
SA=√SO2+OA2=√82+22=√64+4=√68=√4×17=2√17
D'où, SA=2√17cm
3) Calculons le volume et l'aire totale du cône.
− Calcul du volume
Soit Vcône le volume de ce cône alors, on a :
V=Aire de la base×hauteur3
où, la hauteur est égale à SO et l'aire de la base AB est donnée par :
AB=π×r2=π×OA2
Alors, en remplaçant la hauteur et l'aire de la base par leur valeur, on trouve :
Vcône=AB×SO3=π×OA2×SO3=3.14×22×83=3.14×4×83=100.483=33.49
D'où, Vcône=33.49cm3
− Calcul de l'aire totale
Soit AT l'aire totale de ce cône alors, on a :
AT=AB+AL
Avec, AB aire de la base et AL aire latérale.
En effet, l'aire latérale AL d'un cône de révolution est donnée par :
AL=π×rayon de la base×génératrice
Donc,
AL=π×OA×SA
Ainsi, en remplaçant l'aire de la base et l'aire latérale par leur expression, on trouve :
AT=AB+AL=π×OA2+π×OA×SA=3.14×22+3.14×2×2√17=12.56+51.78=64.34
D'où, AT=64.34cm2
4) Calculons l'angle d'ouverture du développement de ce cône.
Soit α∘ l'angle d'ouverture du développement de ce cône alors, on a :
α∘=rayon de la base×360∘génératrice
Alors, en remplaçant le rayon de la base et la génératrice par leur valeur, on trouve :
α∘=OA×360∘SA=2×360∘2√17=360∘√17=87.31∘
Ainsi, α∘=87.31∘
5) Représentons le patron de ce cône
Exercice 17
Une balise est formée d'une demi-boule surmontée d'un cône de révolution comme l'indique la figure ci-dessous. On donne AB=10cm et BC=12cm.
1) Calculons la distance AO.
En effet, [AO] est la hauteur du cône donc, le triangle AOB est rectangle en O.
Ainsi, d'après le théorème de Pythagore, on a :
AO2+OB2=AB2
Ce qui entraine : AO2=AB2−OB2
Par suite,
AO=√AB2−OB2
Comme O est milieu de [BC] alors,
OB=BC2=122=6cm
Donc, en remplaçant AB et OB par leur valeur, on obtient :
AO=√AB2−OB2=√102−62=√100−36=√64=8
D'où, AO=8cm
2) Calculons le volume V de la balise.
En effet, pour obtenir le volume V, nous faisons la somme du volume du cône et de celui de la demi-boule.
Pour cela, nous calculons d'abord le volume Vcône du cône et le volume Vdemi-boule de la demi-boule.
On a :
Vcône=Aire de la base×hauteur3
où, la hauteur est égale à AO et l'aire de la base AB est donnée par :
AB=π×r2=π×OB2
Alors, en remplaçant la hauteur et l'aire de la base par leur valeur, on trouve :
Vcône=AB×AO3=π×OB2×AO3=3.14×62×83=3.14×36×83=904.323=301.44
D'où, Vcône=301.44cm3
On a :
Vdemi-boule=Volume total de la boule2
Or, le volume Vboule d'une boule de rayon r est donné par :
Vboule=4×π×r33
Donc, en remplaçant r par OB, on trouve :
Vdemi-boule=Vboule2=4×π×OB332=4×3.14×633×2=4×3.14×2166=2712.966=452.16
D'où, Vdemi-boule=452.16cm3
Le volume V de la balise est donc donné par :
V=Vcône+Vdemi-boule=301.44+452.16=753.6
Ainsi, V=753.6cm3
3) Calculons l'aire latérale Alat de la balise.
En effet, l'aire latérale Alat de la balise est la somme de l'aire latérale du cône et de celle de la demi-boule.
L'aire latérale Alat cône du cône est donnée par :
Alat cône=π×rayon de la base×génératrice
En remplaçant le rayon de la base par OB et la génératrice par AB, on trouve :
Alat cône=π×OB×AB=3.14×6×10=188.4
Donc, Alat cône=188.4cm2
Pour déterminer l'aire latérale Alat demi-boule de la demi-boule, on calcule d'abord l'aire totale de la boule.
En effet, on sait l'aire latérale Alat boule d'une boule de rayon r est donnée par :
Alat boule=4×π×r2
Par suite, l'aire latérale Alat demi-boule de la demi-boule est égale à :
Alat demi-boule=Alat boule2=4×π×r22=2×π×r2
Ainsi, en remplaçant r par OB, on trouve :
Alat demi-boule=2×π×OB2=2×3.14×62=2×3.14×36=226.08
Donc, Alat demi-boule=226.08cm2
Par conséquent, l'aire latérale Alat de la balise est donnée par :
Alat=Alat cône+Alat demi-boule=188.4+226.08=414.48
D'où, Alat=414.48cm2
Exercice 18
Une pyramide de sommet S et de base le trapèze ABCD a pour hauteur SA=8cm. On donne AB=6cm; DC=4cm et AD=3cm. Le trapèze est rectangle de bases [AB] et [DC].
1) Calculons l'aire de ce trapèze.
On sait que l'aire d'un trapèze est donnée par :
Aire du trapèze=(Grande base+Petite base)×Hauteur2
Soit A(ABCD) l'aire du trapèze ABCD alors, on a :
A(ABCD)=(AB+DC)×AD2=(6+4)×32=10×32=302=15
D'où, A(ABCD)=15cm2
2) Faisons une figure de la pyramide.
3) Précisons la nature du triangle SAB.
Comme [SA] est la hauteur de la pyramide alors, les droites (SA) et (AB) sont perpendiculaires.
Par conséquent, le triangle SAB est rectangle en A.
Calculons SB.
Comme SAB est un triangle rectangle en A alors, d'après le théorème de Pythagore, on a :
SB2=SA2+AB2
Ce qui entraine :
SB=√SA2+AB2
Alors, en remplaçant SA et AB par leur valeur, on trouve :
SB=√SA2+AB2=√82+62=√64+36=√100=10
Ainsi, SB=10cm
4) Calculons le sinus de l'angle ^ABS.
En effet, le sinus de l'angle ^ABS est donné par :
sin^ABS=SASB
Alors, en remplaçant SA et SB par leur valeur, on trouve :
sin^ABS=SASB=810=0.8
Donc, sin^ABS=0.8
5) Un plan P sectionne la pyramide (ABCDS) parallèlement à sa base (ABCD) à 1/3 de sa hauteur [SA] à partir de A et coupe respectivement les arêtes [SA]; [SB]; [SC] et [SD] en I, J, K et L.
Complétons la figure et précisons la nature de la section (IJKL).
Comme le plan P sectionne la pyramide (ABCDS) parallèlement à sa base (ABCD) alors, la section (IJKL) est de même nature que la base ABCD de la pyramide.
D'où, IJKL est un trapèze rectangle de bases [IJ] et [LK]
6) Montons que IJAB=23 et en déduisons IJ.
En effet, (IJ) étant parallèle à (AB) alors, les triangles SIJ et SAB sont en position de Thalès.
Donc, en appliquant le théorème de Thalès, on obtient :
IJAB=SISA
Déterminons alors SI
En effet, comme le plan P sectionne la pyramide à 1/3 de sa hauteur [SA] à partir de A alors, cela signifie que :
IA=13SA=83
Donc,
SI=SA−IA=8−83=3×8−83=24−83=163
Ainsi, SI=163
Alors, dans la relation de Thalès, en remplaçant SI et SA par leur valeur, on trouve :
IJAB=SISA=1638=163×8=2×83×8=23
D'où, IJAB=23
En déduisons la valeur de IJ
On a : IJAB=23
Ce qui entraine alors :
IJ=23×AB
En remplaçant AB par sa valeur, on trouve :
IJ=23×AB=2×63=123=4
Ainsi, IJ=4cm
7) Calculons le volume de la pyramide (IJKLS) et celui du tronc (IJKLABCD).
En effet, la pyramide (IJKLS) est une réduction de la pyramide (ABCDS).
Comme IJAB=23 alors, le coefficient de réduction est égal à 23.
Or, on sait que dans le cas d'une réduction, le volume de la pyramide réduite est obtenu en multipliant le volume de la pyramide initiale par le cube du coefficient de réduction.
Soit V(ABCDS) le volume de la pyramide (ABCDS) et V(IJKLS) le volume de la pyramide (IJKLS) alors, on a :
V(IJKLS)=(23)3×V(ABCDS)
Calculons alors le volume de V(ABCDS) de la pyramide (ABCDS).
On a :
V(ABCDS)=Aire de la base×Hauteur3
Ce qui donne :
V(ABCDS)=A(ABCD)×SA3=15×83=1203=40
D'où, V(ABCDS)=40cm3
Ainsi, en remplaçant V(ABCDS) par sa valeur, dans l'expression de V(IJKLS), on trouve :
V(IJKLS)=(23)3×V(ABCDS)=2333×40=8×4027=32027=11.85
Donc, V(IJKLS)=11.85cm3
Calculons le volume du tronc (IJKLABCD).
Soit V(IJKLABCD) le volume du tronc (IJKLABCD) alors, on a :
V(IJKLABCD)=V(ABCDS)−V(IJKLS)=40−11.85=28.15
D'où, V(IJKLABCD)=28.15cm3
Exercice 19
Un entrepreneur des travaux publics doit aménager le long des allées d'une avenue des bancs en béton. Il hésite entre deux modèles :
Le modèle 1 a la forme d'un tronc de cône de révolution dont les bases parallèles ont respectivement 20cm et 10cm de rayons.
Le modèle 2 a la forme d'un tronc de pyramide dont les bases parallèles sont des carrées de cotés respectifs 40cm et 20cm.
Les deux modèles ont une hauteur de 50cm.
1) Représentons chaque modèle.
2) Sachant que le modèle le moins volumineux est le plus économique pour l'entrepreneur ; aidons le à faire le bon choix.
Pour cela, nous calculons, pour chaque modèle, le volume.
− modèle 1
En effet, ce modèle se présente comme un cône de révolution coupé à hauteur de 50cm à partir de la base.
En calculant le coefficient de réduction k de ce cône, on trouve :
k=1020=12
Soit Vcône initial le volume du cône initial, Vcône réduit le volume du cône réduit et Vtronc de cône le volume du tronc cône alors, on a :
Vtronc de cône=Vcône initial−Vcône réduit
Or, le volume du cône réduit est donné par :
Vcône réduit=k3×Vcône initial=(12)3×Vcône initial=18×Vcône initial
Donc, Vcône réduit=18×Vcône initial
Calculons alors le volume du cône initial.
On a :
Vcône initial=Aire de la base×Hauteur3
L'aire de la base est égale à : π×202=π×400
Soit h la hauteur du cône et h′ la hauteur du cône réduit.
Comme la hauteur du tronc de cône est égale à 50cm alors, on a :
h=h′+50
Or, k=12 donc, h′=12h
Ainsi, en remplaçant h′ par 12h on trouve :
h=h′+50⇔h=12h+50⇔h−12h=50⇔22h−12h=50⇔h2=50⇔h=50×2⇔h=100
D'où, h=100cm
Alors, en remplaçant l'aire de la base et la hauteur h par leur valeur, on trouve :
Vcône initial=3.14×400×1003=π×400003=1256003=41866.66
Donc, Vcône initial=41866.66cm3
En remplaçant, on obtient le volume du cône réduit.
Vcône réduit=18×Vcône initial=41866.668=5233.33
Ainsi, Vcône réduit=5233.33cm3
Le volume du tronc cône est alors égal à :
Vtronc de cône=Vcône initial−Vcône réduit=41866.66−5233.33=36633.33
D'où, Vtronc de cône=36633.33cm3
− modèle 2
Ce modèle se présente comme une pyramide coupée à hauteur de 50cm à partir de sa base.
Le coefficient de réduction k de cette pyramide est donné par :
k=2040=12
Soit Vpyramide initiale le volume de la pyramide initiale, Vpyramide réduite le volume de la pyramide réduite et Vtronc de pyramide le volume du tronc de pyramide alors, on a :
Vtronc de pyramide=Vpyramide initiale−Vpyramide réduite
Or, dans le cas d'une réduction, le volume de la pyramide réduite est donné par :
Vpyramide réduite=k3×Vpyramide initiale=(12)3×Vpyramide initiale=18×Vpyramide initiale
Donc, Vpyramide réduite=18×Vpyramide initiale
Calculons alors le volume de la pyramide initiale.
On a :
Vpyramide initiale=Aire de la base×Hauteur3
Comme la base est carrée de côté 40cm alors, l'aire de la base est égale à : 402=1600.
Pour la hauteur, en adoptant la même démarche que pour le modèle 1, on trouve : Hauteur=100cm.
Alors, en remplaçant l'aire de la base et la hauteur par leur valeur, on trouve :
Vpyramide initiale=1600×1003=1600003=53333.33
Donc, Vpyramide initiale=53333.33cm3
En remplaçant, on obtient le volume de la pyramide réduite.
Vpyramide réduite=18×Vpyramide initiale=53333.338=6666.66
Ainsi, Vpyramide réduite=6666.66cm3
Le volume du tronc de pyramide est alors égal à :
Vtronc de pyramide=Vpyramide initiale−Vpyramide réduite=53333.33−6666.66=46666.67
D'où, Vtronc de pyramide=46666.67cm3
En comparant le volume du tronc de cône et celui du tronc de pyramide, on constate que :
Vtronc de cône<Vtronc de pyramide
Ce qui signifie que le tronc de cône est moins volumineux que le tronc de pyramide.
Par conséquent, le modèle 1 est le plus économique pour l'entrepreneur.
Exercice 20
Un réservoir est constitué d'un cylindre de rayon de base r et de hauteur h et d'un cône de révolution de même rayon de base et de hauteur h′=3h2. (Voir la figure ci-dessous)
1) Montrons que le volume de cylindre est le double de celui du cône.
Soit Vcylindre le volume du cylindre et Vcône celui du cône.
On a : Vcylindre=AB×h
avec AB aire de base et h hauteur du cylindre.
Soit alors :
Vcylindre=r×r×π×h=πr2h
Donc, Vcylindre=πr2h
On a : Vcône=AB×h′3
avec AB=πr2 aire de base et h′=3h2 hauteur de ce cône.
Par suite,
Vcône=AB×h′3=πr2×3h23=πr2×3h23=3πr2h3×2=πr2h2
Ainsi, Vcône=πr2h2
Comme Vcylindre=πr2h alors, on a : Vcône=Vcylindre2
D'où, Vcylindre=2Vcône
2) Dans la suite on donne r=4cm. On donne π≅227
a) Calculons la hauteur h′ du cône pour que le volume du réservoir soit de 528cm3.
Soit V le volume du réservoir alors, on a :
V=Vcylindre+Vcône=2Vcône+Vcône=3Vcône=3πr2h2=3×227×16×h2=3×22×16×h2×7=528×h7
Donc, V=528×h7
Comme V=528cm3 alors, on a :
528×h7=528⇒528×h=7×528⇒h=7×528528⇒h=7
Donc, h=7cm
Par suite, en remplaçant dans l'expression de h′, on trouve :
h′=3h2=3×72=212=10.5
D'où, h′=10.5cm
b) Pour créer une ouverture du réservoir on coupe le cône à mi-hauteur parallèlement au plan de sa base. On obtient un réservoir ayant la forme indiquée par la figure ci-dessous :
Calculons le volume restant du réservoir.
On a : Vrestant=V−Venlevé
Soit Venlevé le volume de la partie enlevée ou du couvercle.
Comme le cône a été coupé à mi-hauteur parallèlement au plan de sa base alors, le coefficient de réduction est : k=12
Or, on sait que, dans le cas d'une réduction, le volume du cône réduit est obtenu en multipliant le volume du cône initial par le cube du coefficient de réduction, donc :
Venlevé=k3×Vcône=(12)3×πr2h2=18×227×42×72=18×22×16×772=18×22×162=22×168×2=22
Ainsi, Venlevé=22cm3
Par suite,
Vrestant=V−Venlevé=528−22=506
D'où, Vrestant=506cm3
Exercice 21
On considère une pyramide de sommet E et de base un carré ABCD et de hauteur [EA].
On donne : EA=AB=5cm.
1) Calculons la longueur AC et en déduisons la longueur CE.
Comme ABCD est un carré alors, le triangle ABC est rectangle en B.
Donc, en utilisant le théorème de Pythagore, on a :
AC2=AB2+BC2
Or, BC=AB donc, AC2=AB2+AB2=2×AB2
Ce qui entraine :
AC=√2×AB2
Alors, en remplaçant AB par sa valeur, on trouve :
AC=√2×AB2=√2×52=5√2
D'où, AC=5√2cm
En déduisons la longueur CE.
En effet, comme la pyramide de sommet E et de base ABCD a pour hauteur [EA] alors, (EA) et (AC) sont perpendiculaires.
Par suite, le triangle ACE est rectangle en A.
Donc, d'après le théorème de Pythagore, on a :
CE2=EA2+AC2
Ce qui entraine :
CE=√EA2+AC2
Alors, en remplaçant EA et AC par leur valeur, on trouve :
CE=√EA2+AC2=√52+(5√2)2=√25+50=√75=√25×3=5√3
Ainsi, CE=5√3cm
2) Démontrons que le triangle EBC est rectangle en B.
Pour cela, calculons d'abord le carré de la longueur de chaque côté du triangle EBC.
On a :
BC2=52=25
CE2=(5√3)2=25×3=75
Par ailleurs, ABE étant rectangle en A alors, d'après le théorème de Pythagore, on a :
BE2=EA2+AB2=52+52=25+25=50
Alors,
BC2+BE2=25+50=75
On remarque donc que : BC2+BE2=CE2.
Par conséquent, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, EBC est un triangle rectangle en B.
3) On coupe cette pyramide par un plan P1 parallèle à sa base à 13 à partir de la base. Calculons le volume du tronc de pyramide obtenu.
Soit V(EABCD) l volume de la pyramide SABCD et V(EABCDA′B′C′D′) le volume du tronc de pyramide alors, on a :
V(EABCDA′B′C′D′)=(1−k3)×V(EABCD)
où, k est le coefficient de réduction.
Calculons alors k et le volume V(EABCD) de la pyramide initiale.
En effet, comme la pyramide a été coupée par un plan P1 parallèle à sa base à 13 à partir de la base alors, cela signifie que :
AA′=13EA
Par suite, la hauteur EA′ de la pyramide réduite EA′B′C′D′ est donnée par :
EA′=EA−AA′=EA−13EA=(1−13)EA=(33−13)EA=23EA
Donc, EA′=23EA
Par conséquent, le coefficient de réduction k est donné par :
k=EA′EA=23
Par ailleurs, le volume V(EABCD) de la pyramide initiale est donné par :
V(EABCD)=Aire de la base×Hauteur3=AB2×EA3=52×53=1253=41.66
Donc, V(EABCD)=41.66cm3
Ainsi, dans l'expression de V(ABCDA′B′C′D′), en remplaçant k et V(EABCD) par leur valeur, on trouve :
V(EABCDA′B′C′D′)=(1−k3)×V(EABCD)=(1−(23)3)×41.66=(1−2333)×41.66=(1−827)×41.66=(2727−827)×41.66=1927×41.66=791.5427=29.31
D'où, V(ABCDA′B′C′D′)=29.31cm3
4) Soit C1 le cercle circonscrit à la base ABCD de la pyramide EABCD.
Déterminons son centre et son rayon.
Comme ABCD est un carré alors, le centre de C1 est le point O centre de ABCD.
Le rayon r de C1 est donné par :
r=OC
Or, O est milieu de [AC] donc,
OC=AC2=5√22
D'où, r=5√22
5) On considère le cône de révolution de base C1, de sommet F et de hauteur [FO] telle que FO=5cm. Calculons l'aire latérale de ce cône.
Soit AL l'aire latérale de ce cône alors, on a :
AL=π×r×FA
Calculons alors la longueur FA.
En effet, le triangle FOA étant rectangle en O alors, d'après le théorème de Pythagore, on a :
FA2=FO2+OA2
Ce qui entraine :
FA=√FO2+OA2
Or, OA=OC donc, en remplaçant FO et OA par leur valeur, on trouve :
FA=√FO2+OA2=√52+(5√22)2=√25+504=√4×25+504=√150√4=5√62
Donc, FA=5√62cm
Ainsi, dans l'expression de AL, en remplaçant r et FA par leur valeur, on trouve :
AL=π×r×FA=3.14×5√22×5√62=3.14×25√124=3.14×25×2√34=157√34=67.98
D'où, AL=67.98cm2
6) On coupe ce cône par un plan P2 parallèle à sa base à 25 à partir du sommet. Calculons le volume du tronc de cône obtenu.
Soit Vcône initial le volume du cône initial et Vtronc de cône le volume du tronc de cône obtenu alors, on a :
Vtronc de cône=(1−k3)×Vcône initial
où, k est le coefficient de réduction.
Calculons alors k et le volume Vcône initial du cône initial.
En effet, le cône a été coupé par un plan P2 parallèle à sa base à 25 à partir du sommet.
Cela se traduit alors par :
FO′=25FO
Or, [FO′] est la hauteur du cône réduit.
Par conséquent, le coefficient de réduction k est donné par :
k=FO′FO=25=0.4
Par ailleurs, le volume Vcône initial du cône initial de hauteur [FO] est donné par :
Vcône initial=Aire de la base×Hauteur3
où, l'aire de la base est égale à π×r2
Alors, on a :
Vcône initial=π×r2×FO3=3.14×(5√22)2×53=3.14×504×53=3.14×50×54×3=78512=65.41
Donc, Vcône initial=65.41cm3
Ainsi, dans l'expression de Vtronc de cône, en remplaçant k et Vcône initial par leur valeur, on obtient :
Vtronc de cône=(1−k3)×Vcône initial=(1−(0.4)3)×65.41=(1−0.064)×65.41=0.936×65.41=61.22
D'où, Vtronc de cône=61.22cm3
Exercice 22
Répondons par vraie ou fausse en justifiant la réponse
1) Un cône de révolution dont la hauteur mesure 10cm et dont le rayon de base mesure 6cm a un volume de 360πcm3.(Fausse)
En effet, on sait que le volume Vcône de ce cône est donné par :
Vcône=Aire de la base×hauteur3
où, l'aire de la base est égale à π×62=π×36
Donc, en remplaçant, on trouve :
Vcône=π×36×103=360π3=120π
D'où, Vcône=120πcm3
2) Si on double l'arête d'un cube son volume est multiplié par 2.(Fausse)
En effet, en doublant l'arête, on agrandit le cube avec un coefficient d'agrandissement égal à 2.
Ainsi, le volume agrandi est obtenu en multipliant le volume initial par le cube du coefficient d'agrandissement, c'est-à-dire ; par 23=8.
Donc, si on double l'arête d'un cube son volume est multiplié par 8.
Exercice 23
Recopions puis répondons par vrai ou faux :
1) Un tétraèdre est une pyramide qui a quatre faces.(vrai)
2) La hauteur d'une pyramide est la droite qui relie son sommet au centre de sa base.(faux)
3) Une génératrice d'un cône de révolution est un segment qui relie le sommet du cône à un point du cercle de base.(vrai)
4) Si une pyramide a sept faces, alors sa base est un hexagone.(vrai)
5) La hauteur d'une pyramide passe toujours par le centre de la base.(faux)
6) Le patron d'un cône de révolution est constitué de 2 disques pleins.(faux)
7) Dans un cône de révolution, la longueur d'une génératrice est le périmètre du disque de base.(faux)
Exercice 24
Reproduisons la figure puis relions chaque phrase de la colonne A à un nom de figure de la colonne B.
Colonne AColonne BLa section d'une pyramide à base carréecarrépar un plan parallèle à la base est unLa section d'un tétraèdre régulier par untriangleplan parallèle à la base est unéquilatéralLa section d'une pyramide à basehexagonale par un plan parallèle à lahexagonebase est un
Exercice 25
1) ABCD est une pyramide dont la base est un triangle rectangle et isocèle en C tel que : AB=2.5cm et BC=3cm.
Construisons le patron de cette pyramide.
2) Construisons le patron d'un cône de révolution de rayon de base 3cm et de génératrice 5cm.
Pour cela, nous calculons d'abord l'angle d'ouverture du développement de ce cône.
Soit α∘ l'angle d'ouverture du développement de ce cône alors, on a :
α∘=rayon de la base×360∘génératrice
Alors, en remplaçant le rayon de la base et la génératrice par leur valeur, on trouve :
α∘=3×360∘5=1080∘5=216∘
Ainsi, α∘=216∘
Représentons ensuite le patron de ce cône de révolution.
Exercice 27
La figure ci-dessous représente un tronc de cône dont les bases ont pour aires 12cm2 et 100cm2.
La distance OO′ des centres de bases est égale à 6cm.
1) Calculons la hauteur puis le volume du cône.
Pour cela, nous calculons d'abord le coefficient de réduction de ce cône.
En effet, ce tronc de cône est associé à un cône de révolution d'aire de base 100cm2.
L'aire de la base du cône réduit est égale à 12cm2.
Soit k le coefficient de réduction.
On sait que dans le cas d'une réduction, l'aire de la base du cône réduit est obtenue en multipliant l'aire de la base du cône initial par le carré du coefficient de réduction.
Cela se traduit par :
12=k2×100
Ce qui entraine :
k2=12100
Ainsi,
k=√12100=√12√100=2√310=√35
Donc, k=√35
− Calcul de la hauteur de ce cône
Soit h la hauteur du cône initial et h′ la hauteur du cône réduit.
Comme la hauteur OO′ du tronc de cône est égale à 6cm alors, on a :
h=h′+6
Or, k=√35 donc, h′=√35h
Ainsi, en remplaçant h′ par √35h, on trouve :
h=h′+6⇔h=√35h+6⇔h−√35h=6⇔55h−√35h=6⇔5−√35h=6⇔(5−√3)h=6×5⇔h=305−√3
En rendant rationnel le dénominateur, on obtient :
h=305−√3=30(5+√3)(5−√3)(5+√3)=30(5+√3)52−(√3)2=30(5+√3)25−3=30(5+√3)22=75+15√311
D'où, h=75+15√311≃9.18cm
− Calcul du volume de ce cône
Soit Vcône initial le volume du cône initial alors, on a :
Vcône initial=Aire de la base×Hauteur3
Ainsi, en remplaçant l'aire de la base par 100cm2 et la hauteur par 9.18cm, on trouve :
Vcône initial=100×9.183=9183=306
Donc, Vcône initial=306cm3
2) Calculons le volume du tronc de cône.
Soit Vcône initial le volume du cône initial et Vtronc de cône le volume du tronc de cône alors, on a :
Vtronc de cône=(1−k3)×Vcône initial
où, k est le coefficient de réduction.
Ainsi, en remplaçant k et Vcône initial par leur valeur, on obtient :
Vtronc de cône=(1−(√35)3)×306=(1−3√3125)×306=(125−3√3125)×306=0.958×306=293.14
D'où, Vtronc de cône=293.14cm3
Exercice 28
Le solide A′B′C′D′ABCD est une caisse qui a la forme du tronc d'une pyramide régulière SABCD à base carrée qui peut contenir 2024cm3 de mil.
On donne :
SA′=10cm, SO=28cm, AC=20cm et AB=15cm.
1) [SA] représente une arête latérale pour la pyramide SABCD.
2) Calculons sa longueur.
En effet, SABCD étant une pyramide régulière et O centre de la base ABCD alors, [SO] est la hauteur de cette pyramide.
Par suite, (SO) est perpendiculaire à (AO).
D'où, le triangle SAO est rectangle en O.
Ainsi, en appliquant le théorème de Pythagore, on obtient :
SA2=SO2+OA2
Ce qui entraine :
SA=√SO2+OA2
Or, O est milieu de [AC] donc,
OA=AC2=202=10cm
Ainsi, en remplaçant, SO et OA par leur valeur, on trouve :
SA=√SO2+OA2=√282+102=√784+100=√884=29.73
D'où, SA=29.73cm
3) Calculons le volume de la pyramide SABCD.
Soit V(SABCD) le volume de la pyramide SABCD de hauteur [SO] alors, on a :
V(SABCD)=Aire de la base×Hauteur3
où, l'aire de la base est égale à AB2
Alors, en remplaçant l'aire de la base et la hauteur par leur valeur, on trouve :
V(SABCD)=AB2×SO3=152×283=225×283=63003=2100
D'où, V(SABCD)=2100cm3
Autre méthode
Soit V(SABCD) le volume de la pyramide initiale, V(SA′B′C′D′) le volume de la pyramide réduite et V(ABCDA′B′C′D′) le volume du tronc de pyramide ou de la caisse alors, on a :
V(ABCDA′B′C′D′)=V(SABCD)−V(SA′B′C′D′)
Or, le volume de la pyramide réduite est donné par :
V(SA′B′C′D′)=k3×V(SABCD)
où, k est le coefficient de réduction de la pyramide.
Alors, on a :
V(ABCDA′B′C′D′)=V(SABCD)−k3×V(SABCD)=(1−k3)×V(SABCD)
Donc, V(ABCDA′B′C′D′)=(1−k3)×V(SABCD)
Ce qui entraine :
V(SABCD)=V(ABCDA′B′C′D′)(1−k3)
Calculons alors le coefficient de réduction k.
On a : SA′=10cm et SA=29.73cm alors, le coefficient k est donné par :
k=1029.732=0.33
Or, le volume de la caisse est égal à 2024cm3.
Donc, en remplaçant le volume du tronc de pyramide par le volume de la caisse et le coefficient k par sa valeur, on trouve :
V(SABCD)=V(ABCDA′B′C′D′)(1−k3)=2024(1−(0.33)3)=20240.964=2099.58
D'où, V(SABCD)≃2100cm3
Exercice 29
Cette médaille ci-dessous est tirée d'un patron d'une pyramide à base hexagonale.
On y voit 6 faces qui sont des triangles équilatéraux superposables.
La hauteur de chaque triangle est de 4√3cm.
1) Calculons l'arête de base de la pyramide.
En effet, les arêtes de base de cette pyramide ont même longueur.
Considérons le triangle SEH rectangle en H.
Alors, d'après le théorème de Pythagore, on a :
SE2=SH2+EH2
Or, H est milieu de [ED] donc, EH=ED2
Par suite, en remplaçant EH par son expression et SH par 4√3, on obtient :
SE2=(4√3)2+(ED2)2
Comme le triangle ESD est équilatéral alors, on a : SE=ED
Donc,
ED2=48+ED24
ED2=48+ED24⇔ED2−ED24=48⇔4ED2−ED24=48⇔3ED24=48⇔3ED2=48×4⇔ED2=1923⇔ED2=64⇔ED=√64⇔ED=8
D'où, ED=8cm
Ainsi, chaque arête de base de cette pyramide est de longueur 8cm.
2) Calculons l'aire de base de la pyramide.
En observant la figure ci-dessus, nous remarquons que la base de cette pyramide est constituée de 6 triangles identiques aux faces.
Soit AB l'aire de la base de cette pyramide.
Alors, on a :
AB=6×Aire du triangle ESD
Or, l'aire A(ESD) du triangle ESD est donnée par :
A(ESD)=ED×SH2=8×4√32=16√3
Donc, A(ESD)=16√3≃27.71cm2
Ainsi, en remplaçant l'aire du triangle ESD par sa valeur, on trouve :
AB=6×A(ESD)=6×16√3=96√3
D'où, AB=96√3≃166.27cm2
3) Sachant que la hauteur SO de la pyramide vaut 6cm, calculons le volume et l'aire latérale de la pyramide.
En effet, le volume V de cette pyramide est donné par :
V=Aire de la base×Hauteur3
Alors, en remplaçant l'aire de la base et la hauteur par leur valeur, on trouve :
V=AB×SO3=96√3×63=576√33=192√3
D'où, V=192√3≃332.55cm3
Comme la partie latérale est formée de 6 faces identiques alors, l'aire latérale AL est donnée par :
AL=6×Aire du triangle ESD
Or, d'après le résultat de la question 2), l'aire du triangle ESD est égale à 16√3.
Donc, on a :
AL=6×A(ESD)=6×16√3=96√3
D'où, AL=96√3≃166.27cm2
Exercice 30
Fatou mange de la glace ayant la forme d'un cône de révolution.
Au bout d'un moment, la hauteur de sa glace diminue de moitié.
Les figures ci-dessous schématisent la situation.
On donne : SA=15cm et OA=2cm.
On admet que les droites (OA) et (O′A′) sont parallèles.
1) Dessinons le triangle SAO à l'échelle 12
Calculons O′A′.
En effet, comme les droites (OA) et (O′A′) sont parallèles alors, les triangles SAO et SA′O′ sont en position de Thalès.
Donc, en appliquant le théorème de Thalès, on a :
O′A′OA=SO′SO
Or, on sait que la hauteur de la glace a diminué de moitié.
Ce qui signifie que : SO′=SO2
Ainsi, dans la relation de Thalès, en remplaçant SO′ par SO2 et OA par sa valeur, on obtient :
O′A′OA=SO′SO⇔O′A′2=SO2SO⇔O′A′2=SO2×SO⇔O′A′2=12⇔O′A′=22⇔O′A′=1
D'où, O′A′=1cm
2) Calculons le volume de la glace que Fatou a mangé.
En effet, la partie de la glace que Fatou a mangé a la forme d'un cône réduit de hauteur SO′ et de rayon de base O′A′.
Le coefficient de réduction k de ce cône est donc donné par :
k=O′A′OA=12
Soit Vinitial le volume du cône initial et Vréduit le volume du cône réduit.
Comme dans le cas d'une réduction, le volume du cône réduit est obtenu en multipliant le volume du cône initial par le cube du coefficient de réduction alors, on a :
Vréduit=k3×Vinitial=(12)3×Vinitial=18×Vinitial
Donc, Vréduit=18×Vinitial
Calculons alors le volume du cône initial.
On a :
Vinitial=Aire de la base×Hauteur3
− Calcul de l'aire de la base
On a :
Aire de la base=π×OA2=3.14×22=3.14×4=12.56
Donc, Aire de la base=12.56cm2
− Calcul de la hauteur SO
En effet, le triangle SAO étant rectangle en O alors, d'après le théorème de Pythagore, on a :
SO2+OA2=SA2
Ce qui donne : SO2=SA2−OA2
Par suite,
SO=√SA2−OA2
En remplaçant SA et OA par leur valeur, on trouve :
SO=√SA2−OA2=√152−22=√225−4=√221
Donc, SO=√221≃14.86cm
Le volume du cône initial est alors donné par :
Vinitial=Aire de la base×Hauteur3=12.56×14.863=186.64163=62.21
D'où, Vinitial=62.21cm3
Par conséquent, le volume réduit est égal à :
Vréduit=18×Vinitial=18×62.21=62.218=7.77
Ainsi, Vréduit=7.77cm3
Fatou a donc mangé 7.77cm3 de cette glace.
Déterminons la fraction du volume initial qui lui reste à manger.
Soit Vreste le volume qui lui reste à manger.
Comme la partie restante a la forme d'un tronc de cône alors, on a :
Vreste=(1−k3)×Vinitial
où, k est le coefficient de réduction du cône.
En remplaçant k par sa valeur ; 12, on trouve :
Vreste=(1−k3)×Vinitial=(1−(12)3)×Vinitial=(1−18)×Vinitial=(88−18)×Vinitial=78×Vinitial
D'où, Vreste=78×Vinitial
Par conséquent, il lui reste 78 du volume initial à manger.
Exercice 31
On considère le tronc de cône ci-dessous associé à un cône de révolution de sommet S et de rayon OB=6cm.
1) Sachant que OO′=4cm; OB=6cm et O′A=3cm, montrons que : AB=5cm.
En effet, le triangle ABC étant rectangle en C alors, d'après le théorème de Pythagore, on a :
AB2=AC2+BC2
Ce qui donne :
AB=√AC2+BC2
Déterminons alors les longueurs AC et BC
En observant la figure nous remarquons que le quadrilatère ACOO′ est un rectangle.
Par conséquent, OC=O′A=3cm et AC=OO′=4cm
Par suite,
BC=OB−OC=6−3=3
Donc, BC=3cm
Ainsi, dans l'expression de AB, en remplaçant AC et BC par leur valeur, on trouve :
AB=√AC2+BC2=√42+32=√16+9=√25=5
D'où, AB=5cm
2) Montrons que la hauteur SO de ce cône est égale à 8cm.
En effet, les droites (AC) et (SO) étant parallèles alors, les triangles ABC et SBO sont en position de Thalès.
Donc, en appliquant le théorème de Thalès, on a :
SOAC=OBBC
Ainsi, en remplaçant AC, OB et BC par leur valeur, on obtient :
SOAC=OBBC⇔SO4=63⇔SO4=2⇔SO=2×4⇔SO=8
D'où, SO=8cm
3) La génératrice SB de ce cône est égale à 10cm ; calculons l'aire latérale AL du cône.
En effet, l'aire latérale AL du cône est donnée par :
AL=π×rayon de la base×génératrice
Ainsi, en remplaçant le rayon de la base et la génératrice par leur valeur, on trouve :
AL=π×OB×SB=3.14×6×10=188.4
D'où, AL=188.4cm2
4) Ce cône de révolution est obtenu d'un secteur circulaire d'angle α.
Calculons en degré la mesure de l'angle α du développement de ce cône.
Soit α l'angle d'ouverture du développement de ce cône alors, on a :
α=rayon de la base×360∘génératrice
Alors, en remplaçant le rayon de la base et la génératrice par leur valeur, on trouve :
α=6×360∘10=2160∘10=216∘
Ainsi, α=216∘
5) Calculons le volume Vc du cône initial.
Le volume Vc du cône initial est donné par :
Vc=π×OB2×SO3
Alors, en remplaçant OB et SO par leur valeur, on trouve :
Vc=π×OB2×SO3=3.14×62×83=3.14×36×83=904.323=301.44
D'où, Vc=301.44cm3
Exercice 32
Le dessin ci-dessous représente un réservoir formé d'un tronc de cône de hauteur 6dm et de rayon de base (petite base) 4dm ; d'un cylindre de hauteur 8.5dm et de rayon 7dm.
a) Calculons le volume V1 du tronc de cône.
Soit Vcône initial le volume du cône initial et V1 le volume du tronc de cône alors, on a :
V1=(1−k3)×Vcône initial
où, k est le coefficient de réduction.
− Calcul de k
Comme CG est le rayon de la base du cône réduit et BE le rayon de la base du cône initial alors, le coefficient de réduction k est donné par :
k=CGBE=47
− Calcul de Vcône initial
On a :
Vcône initial=Aire de la base×Hauteur3
L'aire de la base est donnée par :
Aire de la base=π×BE2=3.14×72=3.14×49=153.86
Donc, Aire de la base=153.86dm2
Déterminons la hauteur de ce cône.
Soit h la hauteur du cône initial et h′ la hauteur du cône réduit.
Comme la hauteur BC du tronc de cône est égale à 6dm alors, on a :
h=h′+6
Or, k=47 donc, h′=47h
Ainsi, en remplaçant h′ par 47h, on trouve :
h=h′+6⇔h=47h+6⇔h−4h7=6⇔7h7−4h7=6⇔7h−4h7=6⇔3h7=6⇔3h=6×7⇔h=423⇔h=14
Donc, h=14dm
Ainsi, en remplaçant l'aire de la base et la hauteur par leur valeur, on trouve :
Vcône initial=153.86×143=2154.043=718
Donc, Vcône initial=718dm3
Enfin, en remplaçant k et Vcône initial par leur valeur, on obtient :
V1=(1−(47)3)×718=(1−4373)×718=(1−64343)×718=(343−64343)×718=279343×718=584
D'où, V1=584dm3
b) Calculons le volume V2 du cylindre et le volume total Vt du réservoir.
En effet, le volume V2 du cylindre est donné par :
V2=Aire de la base×Hauteur
Or, l'aire de la base est égale à π×72 et la hauteur 8.5dm
On obtient alors :
V2=π×72×8.5=3.14×49×8.5=1307.81
Ainsi, V2=1307.81dm3
Enfin, le volume total Vt du réservoir est donné par :
Vt=V1+V2
Alors, en remplaçant V1 et V2 par leur valeur, on trouve :
Vt=V1+V2=584+1307.81=1891.81
D'où, Vt=1891.81dm3
Exercice de Synthèse
I. Le schéma ci-dessous représente le patron d'un cône de révolution de sommet S, de rayon de base r.
La génératrice [SA] a pour longueur 36cm.
1) Justifions que la circonférence de sa base mesure 54πcm.
En effet, on sait que la circonférence de la base de ce cône est égale à la longueur de l'arc ⌢AA′
Or, si α est l'angle du développement de ce cône alors, la longueur de l'arc ⌢AA′ est donnée par :
Longueur de l'arc ⌢AA′=Génératrice×α
Déterminons alors la mesure en radian de l'angle α
En observant le schéma ci-dessus, nous constatons que l'angle α du développement de ce cône de révolution est donné par :
α=360∘−90∘
Or, 360∘=2π et 90∘=π2
Donc, en remplaçant 360∘ par 2π et 90∘ par π2, on trouve :
α=360∘−90∘=2π−π2=4π2−π2=3π2
D'où, α=3π2
Ainsi,
Longueur de l'arc ⌢AA′=SA×α=36×3π2=36×3π2=108π2=54π
D'où, Longueur de l'arc ⌢AA′=54πcm
Par conséquent, la circonférence de la base de ce cône de révolution mesure 54πcm.
2) Montrons que son rayon de base r vaut 27cm.
En effet, la circonférence de la base est égale à :
2π×r
Or, d'après le résultat de la question 1), cette circonférence mesure 54πcm.
Donc, en comparant, on a :
2π×r=54π
Ce qui entraine : r=54π2π=27
D'où, r=27cm
3) Justifions que la hauteur de ce cône est égale à 9√7cm
Considérons la figure ci-dessous.
Soit [SO] la hauteur de ce cône.
Le triangle SAO étant rectangle en O alors, en appliquant le théorème de Pythagore, on obtient :
SO2+OA2=SA2
Donc, SO2=SA2−OA2
Ce qui entraine :
SO=√SA2−OA2
Or, d'après le résultat de la question 3), on a : r=OA=27cm
Donc, en remplaçant SA et OA par leur valeur, on trouve :
SO=√SA2−OA2=√362−272=√1296−729=√567=√81×7=9√7
D'où, SO=9√7cm
4) Calculons l'aire totale de ce cône.
On prendra π=3.14
En effet, l'aire totale de ce cône est donnée par :
Aire totale=Aire latérale+Aire de la base
avec,
Aire latérale=π×r×SA
Aire de la base=π×r2
Par suite,
Aire totale=Aire latérale+Aire de la base=π×r×SA+π×r2=3.14×27×36+3.14×272=3052.08+2289.06=5341.14
D'où, Aire totale=5341.14cm2
5) On sectionne ce cône et le rayon du cône réduit est égal à 15cm.
Déterminons le coefficient de réduction ainsi que le volume du cône réduit
Soit k le coefficient de réduction de ce cône alors, on a :
k=rayon cône réduitrayon cône initial=1527
D'où, en simplifiant par 3 : k=59
Calculons le volume du cône réduit.
Soit Vréduit le volume du cône réduit et Vinitial le volume du cône initial.
Comme dans le cas d'une réduction, le volume du cône réduit est obtenu en multipliant le volume du cône initial par le cube du coefficient de réduction alors, on a :
Vréduit=k3×Vinitial
Déterminons alors le volume du cône initial.
On a :
Vinitial=Aire de la base×Hauteur3=π×r2×SO3=3.14×272×9√73=3.14×729×3√7=18168.85
D'où, Vinitial=18168.85cm3
Ainsi, le volume du cône réduit est égal à :
Vréduit=k3×Vinitial=(59)3×18168.85=5393×18168.85=125×18168.85729=3115.37
Donc, Vréduit=3115.37cm3
II. Soit un cône de révolution de sommet S et dont la base est un disque de centre O et de rayon OA égal à 3cm
1) Sachant que l'angle ^OSA=30∘ ; calculons la génératrice SA de ce cône et montrons que SO=3√3
En effet, comme le triangle SOA est rectangle en O alors, on peut utiliser le sinus de l'angle ^OSA pour calculer la génératrice SA.
On a :
sin^OSA=OASA
Donc, SA×sin^OSA=OA
Par suite,
SA=OAsin^OSA
Ainsi, en remplaçant OA et sin^OSA par leur valeur, on trouve :
SA=312=3×2=6
D'où, SA=6cm
Montrons que SO=3√3
En utilisant le cosinus de l'angle ^OSA, on a :
cos^OSA=SOSA
Ce qui donne :
SO=SA×cos^OSA
Alors, en remplaçant SA et cos^OSA par leur valeur, on trouve :
SO=6×√32=6√32=3√3
Ainsi, SO=3√3cm
Remarque :
On peut aussi utiliser le théorème de Pythagore pour montrer que SO=3√3.
2) Montrons que le volume de ce cône de révolution est 9π√3cm3
Soit V le volume du cône initial alors, on a :
V=Aire de la base×Hauteur3=π×OA2×SO3=π×32×3√33=π×9×3√33=π×9√3=9×π×√3
D'où, V=9π√3cm3
3) On coupe ce cône par un plan parallèle à sa base de telle sorte que la base du cône réduit qui en résulte ait une aire de 94πcm2.
Calculons le coefficient de réduction k et en déduisons le volume V′ du cône réduit.
En effet, on sait que dans le cas d'une réduction, l'aire de la base du cône réduit est obtenue en multipliant l'aire de la base du cône initial par le carré du coefficient de réduction.
Cela se traduit par :
94π=k2×9π
Ce qui entraine :
k2=94π9π=9π4×9π=14
Ainsi,
k=√14=√1√4=12
D'où, k=12
En déduisons le volume V′ du cône réduit.
On a :
V′=k3×V=(12)3×9π√3=18×9π√3=9π√38
Donc, V′=9π√38cm3
III. SABCD est une pyramide à base carrée ABCD de centre H.
On donne : AB=20cm, SA=40cm, SH est la hauteur et A′ est le milieu de [SA].
On coupe la pyramide par un plan parallèle à sa base passant par A′.
1) Calculons AC, AH et SH
− Calcul de AC
En effet, comme la base ABCD est carrée alors, le triangle ABC est rectangle en B.
Donc, d'après le théorème de Pythagore, on a :
AC2=AB2+BC2
Or, AB=BC
Par suite, en remplaçant BC par AB, on obtient :
AC2=AB2+AB2=2AB2
Ce qui entraine :
AC=√2AB2=√2×AB2=AB√2=20√2
D'où, AC=20√2cm
− Calcul de AH
En effet, comme H est le centre du carré ABCD alors, H est milieu de la diagonale [AC].
Par conséquent,
AH=AC2
Alors, en remplaçant AC par sa valeur, on trouve :
AH=20√22=10√2
Donc, AH=10√2cm
− Calcul de SH
En effet, comme [SH] est la hauteur de cette pyramide alors, (SH) est perpendiculaire à (AH).
Par conséquent, le triangle SAH est rectangle en H.
Ainsi, en appliquant le théorème de Pythagore, on obtient :
SH2+AH2=SA2
Par suite,
SH2=SA2−AH2
Ce qui entraine :
SH=√SA2−AH2
Donc, en remplaçant SA et AH par leur valeur, on trouve :
SH=√402−(10√2)2=√1600−100×2=√1600−200=√1400=√100×14=10√14
D'où, SH=10√14cm
2) Soit K milieu de [AB], calculons SK
En effet, comme [SK] est un apothème de cette pyramide.
Donc, (SK) est perpendiculaire à (AB).
Par conséquent, le triangle SAK est rectangle en K.
Ainsi, en utilisant le théorème de Pythagore, on obtient :
SK2+AK2=SA2
Par suite,
SK2=SA2−AK2
Ce qui entraine :
SK=√SA2−AK2
Ce qui entraine :
SK=√SA2−AK2
Or, K est milieu de [AB] donc,
AK=AB2=202=10cm
Donc, en remplaçant SA et AK par leur valeur, on trouve :
SK=√402−102=√1600−100=√1500=√100×15=10√15
D'où, SK=10√15cm
3) Calculons l'aire de base
Comme ABCD est carré alors, l'aire de la base est donnée par :
Aire de la base=AB2
Alors, en remplaçant AB par sa valeur, on trouve :
Aire de la base=AB2=202=400
D'où, Aire de la base=400cm2
4) Calculons le volume de la pyramide SABCD.
Le volume V(SABCD) de cette pyramide est donné par :
V(SABCD)=Aire de la base×Hauteur3
Ce qui donne :
V(SABCD)=400×SH3=400×10√143=4000√143=4988.87
D'où, V(SABCD)=4988.87cm3
Déduisons-en le volume V′ de la pyramide réduite.
En effet, on sait que dans le cas d'une réduction, le volume de la pyramide réduite est obtenu en multipliant le volume de la pyramide initiale par le cube du coefficient de réduction.
Soit ℓ le coefficient de réduction de cette pyramide alors, on a :
V′=ℓ3×V(SABCD)
Calculons alors le coefficient ℓ.
Comme A′ est milieu de [SA] alors, SA′=12SA
Donc, le coefficient ℓ est égal à :
ℓ=SA′SA=12
Ainsi, le volume V′ de la pyramide réduite est donné par :
V′=ℓ3×V(SABCD)=(12)3×4988.87=18×4988.87=4988.878=623.60
D'où, V′=623.60cm3
VI. Dans cet exercice, les longueurs sont exprimées en cm
La relation entre la longueur c du côté d'un carré et la longueur d de sa diagonale est donnée par la formule d=c√2.
On donne c=√8
1) a) Montrons que la longueur de sa diagonale est un nombre entier.
On a : d=c√2
Alors, en remplaçant c par √8, on trouve :
d=c√2=√8×√2=√8×2=√16=4
D'où, d=4 qui est bien un nombre entier
Ce qui montre que la longueur de sa diagonale est un nombre entier.
b) Montrons que l'aire en cm2 de ce carré est un nombre entier
Soit A l'aire de ce carré alors, on a :
A=c2
Donc, remplaçons c par √8.
On obtient :
A=c2=(√8)2=8
Ainsi, A=8 qui est bien un nombre entier
Ce qui signifie que l'aire en cm2 de ce carré est un nombre entier
2) La longueur de la diagonale d'un autre carré est √40
Calculons la longueur de son côté et exprimons cette longueur sous la forme a√5 où a est un nombre entier naturel
Soit d′ la longueur de la diagonale de ce carré et c′ la longueur de son côté.
D'après le théorème de Pythagore, on a :
c′2+c′2=d′2
C'est-à-dire ; 2c′2=d′2
Ce qui donne :
c′2=d′22
Ce qui entraine :
c′=√d′22
Alors, en remplaçant d′ par √40, on trouve :
c′=√d′22=√(√40)22=√402=√20=√4×5=2√5
D'où, c′=2√5
V. Le volume d'un parallélépipède est égal :
c) L×l×h
Auteur:
Diny Faye & Mouhamadou Ka
Commentaires
Anonyme (non vérifié)
dim, 03/01/2020 - 19:13
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Merci beaucoup
saliou (non vérifié)
ven, 09/11/2020 - 20:36
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correction de l'éxercice 31
Awa mbodji (non vérifié)
jeu, 04/22/2021 - 23:25
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Merci beaucoup
Maïmouna Diedhiou (non vérifié)
mar, 05/10/2022 - 18:21
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L'exercice numéro 9 et 22 svp
Anonyme (non vérifié)
lun, 04/20/2020 - 13:15
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pourquoi vous mettez pas la
L'intello (non vérifié)
sam, 05/30/2020 - 19:12
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Réponse
Anonyme (non vérifié)
mer, 07/08/2020 - 00:08
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c mais svp aidez moi un peu
queenk (non vérifié)
lun, 05/03/2021 - 00:27
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ambionce
Anonyme (non vérifié)
mer, 08/05/2020 - 21:12
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on veut le reste de la
Anonyme (non vérifié)
jeu, 08/06/2020 - 23:25
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Merci beaucoup
Anonyme (non vérifié)
jeu, 08/06/2020 - 23:25
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Merci beaucoup
Anonyme (non vérifié)
lun, 08/24/2020 - 23:46
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Excellent
Anonyme (non vérifié)
lun, 05/24/2021 - 22:57
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correction des restes des
Lamine fall (non vérifié)
mer, 06/09/2021 - 13:05
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Intéressant
Ndao (non vérifié)
ven, 04/08/2022 - 22:14
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Correction de l'exercice
Anonyme (non vérifié)
mar, 05/24/2022 - 20:15
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Bonjour pour l exo numb 2 il
Anonyme (non vérifié)
sam, 05/28/2022 - 19:31
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Merci infiniment
Anonyme (non vérifié)
jeu, 06/30/2022 - 23:13
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Correction exercice 9 stp
Anonyme (non vérifié)
jeu, 06/30/2022 - 23:13
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Correction exercice 9 stp
Anonyme (non vérifié)
sam, 02/25/2023 - 21:30
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Exo 28
daouda diouf (non vérifié)
ven, 06/28/2024 - 18:43
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dans l'exercice 9 OA = 2a
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