Devoir n° 17 - 2nd s

 

Soient $A\;,\ B$ et $C$ trois points non alignés tels que $AB=6\;cm\;,\ BC=3\;cm\;;\ I$ le barycentre du système $\{(A\;,\ 1 )( B\;,\ 2 )\}\;,\ J$ le barycentre de $\{(A\;,\ 1)( B\;,\ 2)(C\;,\ 3)\}.$

 

1) Construire $I$ et $J.$

 

2) Montrer que $J$ est le milieu de $[IC].$

 

3) Trouver l'ensemble des points $M$ vérifiant :

 

a) $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}$ est colinéaire à $\overrightarrow{AB}$.

 

b) $||\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}||=||2\overrightarrow{MA}+4\overrightarrow{MB}$

 

c) $||\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}||=||\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}||$

Soit $ABC$ un triangle. $A'$ est le barycentre de $\{(A\;,\ 1)(B\;,\ 2)(C\;,\ 3)\}\;,\ B'$ est le barycentre de $\{(A\;,\ 2)(B\;,\ 3)(C\;,\ 1)\}\;,\ C'$ est le barycentre de $\{(A\;,\ 3)(B\;,\ 1)(C\;,\ 2)\}.$

 

Démontrer que les triangles $ABC$ et $A'B'C'$ ont même centre de gravité.

Soit un triangle $ABC.\ D$ est le barycentre de $\{(B\;,\ 2)(C\;,\ 1)\}.$ La parallèle à $(AB)$ passant par $D$ coupe $(AC)$ en $M$ et la parallèle à $(AC)$ passant par $D$ coupe $(AB)$ en $N.$

 

1) Exprimer $\overrightarrow{BD}$ en fonction de $\overrightarrow{BC}\;$, puis $\overrightarrow{MA}$ et $\overrightarrow{AN}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}.$

 

2) Démontrer que $(MN)$ est parallèle à la médiane $(BI)$ de $ABC.$

 

Indication : pour la première question, on pourra utiliser la forme vectorielle du théorème de THALES.

1) Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :

 

a) $(3x^{2}+5x-1)^{2}=(2x^{2}-3x-1)^{2}$ 

 

b) $5x^{4}-3x^{2}-14=0$

 

2) Soit l'équation : $(m-4)x^{2}-2(m-2)x+m-1=0.$

 

a) Étudier, suivant les valeurs de $m\;$, l'existence et le signe des solutions de cette équation.

 

b) Calculer $m$ pour que l'une des solutions soit égale à 2.

 

En déduire alors l'autre solution.

 

3) Pour quelle valeur de $m$ l'équation : $(m+7)x^{2}-2(m-9)x-7m+15=0$ admet-elle une solution double ?

 

 

 

$$\text{Durée : 2 h}$$