Devoir n° 32 - 2nd s

Classe:

Seconde

Exercice 1 (8 points)

Soit $p(x)=x^{4}-5x^{2}+4$

1) Sachant que $p$ admet 4 racines $a\;,\ b\;,\ c\;,\ d$ que l'on ne calculera pas calculer $$a+b+c+d\;,\quad ab+ac+ad+bc+bd+cd\;,\quad abcd$$

2) Sachant que $c=1$ et $d=2$ , en utilisant la première question déterminer $a$ et $b$

3) On suppose $a=-1\;,\ b=-2$ résoudre $$p(-x)\leq 0\;,\quad p\left(x+\dfrac{1}{x}\right)=0$$

4) Soit $q(x)=\dfrac{xp(x)}{3x^{2}-9x+6}.$ Déterminer $D_{q}$ puis simplifier $q(x)$

5) Soit $f(x)$ l'expression simplifiée de $q(x).$

a) Vérifier que $f(x+1)-f(x)=x^{2}+3x+2$

b) En déduire que $$2\times 3+\times 4+4\times 5+\ldots+(n+1)(n+2)=\dfrac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}-2$$

Exercice 2 (7 points)

$IJK$ est un triangle

1) Construire les points $A\;,\ B\;,\ C$ définis par $A$ barycentre de $(I\;,\ -1)$ et $(K\;,\ 4)\;,\ B$ barycentre de $(I\;,\ 1)$ et $(J\;,\ 2)\;,\ C$ barycentre de $(J\;,\ 1)$ et $(K\;,\ 2)$

2) Démontrer que $J$ est le barycentre de $(C\;,\ -3)$ et $(K\;,\ 2).$

3) En déduire le barycentre de $(I\;,\ -1)\;,\ (C\;,\ -6)$ et $(K\;,\ 4).$

4) En déduire que $A\;,\ B$ et $C$ sont alignés et que $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AC}$

5) Soit $D$ barycentre de $(J\;,\ -1)(K\;,\ 2).$ Démontrer que les droites $(AJ)\;,\ (BK)$ et $(DI)$ sont concourantes en un point $E$ que l'on précisera.