Devoir n° 32 - 2nd s

Classe: 
Seconde

Exercice 1 (8 points)

Soit $p(x)=x^{4}-5x^{2}+4$
 
1) Sachant que $p$ admet 4 racines $a\;,\ b\;,\ c\;,\ d$ que l'on ne calculera pas calculer $$a+b+c+d\;,\quad ab+ac+ad+bc+bd+cd\;,\quad abcd$$
2) Sachant que $c=1$ et $d=2$ , en utilisant la première question déterminer $a$ et $b$
 
3) On suppose $a=-1\;,\ b=-2$ résoudre $$p(-x)\leq 0\;,\quad p\left(x+\dfrac{1}{x}\right)=0$$ 
4) Soit $q(x)=\dfrac{xp(x)}{3x^{2}-9x+6}.$ Déterminer $D_{q}$ puis simplifier $q(x)$
 
5) Soit $f(x)$ l'expression simplifiée de $q(x).$
 
a) Vérifier que $f(x+1)-f(x)=x^{2}+3x+2$
 
b) En déduire que $$2\times 3+\times 4+4\times 5+\ldots+(n+1)(n+2)=\dfrac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}-2$$
 

Exercice 2 (7 points)

$IJK$ est un triangle
 
1) Construire les points $A\;,\ B\;,\ C$ définis par $A$ barycentre de $(I\;,\ -1)$ et $(K\;,\ 4)\;,\ B$ barycentre de $(I\;,\ 1)$ et $(J\;,\ 2)\;,\ C$ barycentre de $(J\;,\ 1)$ et $(K\;,\ 2)$
 
2) Démontrer que $J$ est le barycentre de $(C\;,\ -3)$ et $(K\;,\ 2).$
 
3) En déduire le barycentre de $(I\;,\ -1)\;,\ (C\;,\ -6)$ et $(K\;,\ 4).$
 
4) En déduire que $A\;,\ B$ et $C$ sont alignés et que $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AC}$
 
5) Soit $D$ barycentre de $(J\;,\ -1)(K\;,\ 2).$ Démontrer que les droites $(AJ)\;,\ (BK)$ et $(DI)$ sont concourantes en un point $E$ que l'on précisera.
 

Exercice 3 (5 points)

Soit $(E)\ :\ (m-1)x^{2}+(2m-4)x+m+1=0$
 
1) Étudier l'existence et le signe des racines de $(E)$
 
2) Déterminer une relation indépendante de $m$ liant les racines $x'$ et $x''$ de $(E)$ au cas où elles existent.
 
3) On suppose $m=0.$ Sans chercher les racines $x'$ et $x''$ de $(E)$ déterminer $$(x'-x'')^{2}\;,\quad\dfrac{1}{x'+1}+\dfrac{1}{x''+1}$$
 
 
$$\text{Durée : 3 h}$$
 
Auteur: 
Mouhamadou Ka

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