Devoir n$^{\circ}$26 - 2nd s

Classe: 
Seconde

Exercice 1 

1) Résoudre les équations suivantes :
 
a) $(2x^{2}-2x\sqrt{5}+1)(-2x^{2}-9x+5)=0$ 
 
b) $\dfrac{x}{x+2}-\dfrac{5}{x^{2}-x-6}=\dfrac{5-2x}{x-3}$
 
2) Résoudre les inéquations suivantes :
 
a) $\dfrac{(x+1)(2x^{2}+x-1)}{-x^{2}+3x+10}\leq 0$
 
b) $\dfrac{3x^{2}-6x+4}{2x^{2}-x-1}>2$
 
3) Résoudre les systèmes suivants :
 
a) $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x^{2}+y^{2}&=&5 \\ x+y&=&13\end{array}\right.$
 
b) $\left\lbrace\begin{array}{rcl} 2x^{2}+x-1&>&0 \\ x^{2}-3x-10&<&0\end{array}\right.$

Exercice 2

On considère l'équation suivante : $(E)\ :\ (m-1)x^{2}+3x-5=0\ (m$ paramètre réel).
 
1) Déterminer $m$ pour que l'équation :
 
a) n'admette aucune solution.
 
b) admette une solution double (qu'on déterminera).
 
c) admette deux solutions distinctes (qu'on calculera en fonction de $m).$
 
2) Soient $X_{1}$ et $X_{2}$ les deux solutions de l'équation $(E).$
 
Déterminer $m$ pour que l'on ait $(4X_{1}+1)(4X_{2}+1)=-46.$

Exercice 3

Soit $ABC$ un triangle. Soient $I$ et $J$ les points définis par : 
 
$\overrightarrow{AI}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AJ}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}$.
 
Les droites $(BJ)$ et $(CI)$ se coupent en $G.$ la droite $(AG)$ coupe $(BC)$ en $K.$
 
1) Faire une figure.
 
2) Trouver les réels $a\;,\ b$ et $c$ tels que $I$ soit le barycentre de $\{(A\;,\ a)(B\;,\ b)\}$ et $J$ le barycentre de $\{(A\;,\ a)(C\;,\ c)\}.$
 
3) Montrer que le barycentre du système $\{(A\;,\ a)(B\;,\ b)(C\;,\ c)\}$ est le point $G.$
 
En déduire que $K$ est le barycentre de $\{(B\;,\ b)(C\;,\ C)\}$ et donner la position de $K$ sur la droite $(BC).$

Exercice 4

Soit $(\vec{i}\;,\ \vec{j})$ une base du plan , $\vec{U}$ et $\vec{V}$ deux vecteurs définis par leurs coordonnées respectives $(1\;,\ 1)$ et $(1\;,\ -1)$ dans la base $(\vec{i}\;,\ \vec{j}).$
 
1) Montrer que $(\vec{U}\;,\ \vec{V})$ est une base.
 
2) Exprimer $\vec{i}$ et $\vec{j}$ en fonction de $\vec{U}$ et $\vec{V}$.
 
3) Soit $\vec{W}$ le vecteur de coordonnées $(3\;,\ 1)$ dans la base $(\vec{i}\;,\ \vec{j}).$
 
Déterminer les coordonnées de $\vec{W}$ dans la base $(\vec{U}\;,\ \vec{V}).$
 
4) Soit $\vec{T}$ le vecteur de coordonnées $(x\;,\ y)$ dans la base $(\vec{i}\;,\ \vec{j}).$
 
a) Exprimer le vecteur $\vec{T}$ en fonction des nombres $x$ et $y$ et des vecteurs $\vec{U}$ et $\vec{V}.$
 
b) Soit $(X\;,\ Y)$ les coordonnées du vecteur $\vec{T}$ dans la base $(\vec{U}\;,\ \vec{V}).$
 
Exprimer $X$ et $Y$ en fonction de $x$ et $y.$

Exercice 5

On considère un trapèze $ABCD$ de côtés parallèles $[AB]$ et $[CD]$ tel que $DC=3AB.\ (AB=2\;cm)$
 
Soient $I$ et $J$ les milieux respectifs des cotés $[AB]$ et $[CD]\;,\ E$ le point d'intersection des diagonales $(AC)$ et $(BD)\;,\ F$ le point d'intersection des droites $(AD)$ et $(BC).$
 
1) Justifier que $(A\;,\ \overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{AD})$ est un repère.
 
2) Quelles sont les coordonnées des points $A\;,\ B\;,\ C\;,\ D\;,\ I\;,\ J\;$ ?
 
3) Calculer les coordonnées des points $E$ et $F.$
 
4) Démontrer que les points $I\;,\ J\;,\ E$ et $F$ sont alignés.

Exercice 6

Le plan est muni d'un repère $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$
 
Dans chacun des cas suivants, déterminer un système d'équations paramétriques de la droite $\mathfrak{D}.$
 
1) $\mathfrak{D}$ passe par $A(-1\;,\ 2)$ et $B(1\;,\ -4)$ 
 
2) $\mathfrak{D}$ passe par $C(1\;,\ 2)$ et a pour coefficient directeur $-3.$
 
3) $\mathfrak{D}$ passe par $A(3\;,\ -1)$ et est parallèle à la droite d'équation $7x-4y+3=0.$
 
 
 
$$\text{Durée : 4 h}$$
 
Auteur: 
Mouhamadou Ka

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