Primitives - 1er

Classe: 
Première
 

Définition

Soit $F$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et soit $f$ une fonction définie et continue sur $I.$ 
 
On dit que $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si pour tout $x$ élément de $I$
 
On a : $F'(x)=f(x)$

Autrement dit : 

$F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $f$ est la dérivée de $F$ sur $I.$

Théorème (admis)

Toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet une primitive sur $I.$

Remarque : 

Si $f$ admet une primitive sur $I$ alors elle en admet une infinité.

Théorème

Deux primitives d'une même fonction sur un même intervalle diffèrent d'une constante.
 
Donc si $F$ et $G$ sont des primitives de $f$ sur $I$ alors il existe une constante réelle $k$ telle que pour tout $x$ élément de $I$ $F(x)=G(x)+k$
 
Pour la preuve voir la variation des fonctions avec l'utilisation des dérivées.
 
On en déduit que : 
 
Chacune des primitives de $f$ sur $I$ est déterminée par sa valeur en un point de $I.$

Remarque : 

Toute primitive de $f$ sur $I$ est dérivable sur $I.$
 
Il serait utile de connaitre les résultats figurant sur le tableau suivant :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline I=\text{intervalle de}&\text{Remarques ou}&\text{Fonction }f&\text{Primitive }F\text{ où }k\text{ est}\\  \text{définition de }f&\text{restrictions}& &\text{une constante réelle}\\ \hline I\subset\mathbb{R}& &x\mapsto 0&x\mapsto k\\ \hline  I\subset\mathbb{R}&a\in\mathbb{R}&x\mapsto a&x\mapsto ax+k\\ \hline I\subset\mathbb{R}&n\text{ entier naturel}& &\\ I\subset\mathbb{R}^{\ast}&n\text{ entier relatif}&x\mapsto x^{n}&x\mapsto\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+k\\ &n\neq-1& &\\ I\subset\mathbb{R}^{+}_{\ast}&n\text{ réel }n\neq-1& &\\ \hline I\subset\mathbb{R}^{\ast}& &x\mapsto\dfrac{1}{x^{2}}&x\mapsto-\dfrac{1}{x}+k\\ \hline I\subset\mathbb{R}^{+}_{\ast}& &x\mapsto\dfrac{1}{\sqrt{x}}&x\mapsto 2\sqrt{x}+k\\ \hline I\subset\mathbb{R}& &x\mapsto\sin x&x\mapsto-\cos x+k\\ \hline I\subset\mathbb{R}& &x\mapsto\cos x&x\mapsto\sin x+k\\ \hline I\subset\mathbb{R}& &x\mapsto\sin(ax+b)&x\mapsto-\dfrac{1}{a}\cos(ax+b)+k\\ \hline I\subset\mathbb{R}& &x\mapsto\cos(ax+b)&x\mapsto\dfrac{1}{a}\sin(ax+b)+k\\ \hline  I\subset\mathbb{R}&x\neq\dfrac{\pi}{2}+k\pi&x\mapsto\dfrac{1}{\cos^{2}x}&x\mapsto\tan x+k\\ \hline I\subset\mathbb{R}& &x\mapsto 1+\tan^{2}x&x\mapsto\tan x+k\\ \hline I\subset\mathbb{R}&x\text{ positif}&x\mapsto\sqrt{x}&x\mapsto\dfrac{2}{3}x\sqrt{x}+k\\ \hline & &x\mapsto(ax+b)&\\  I\subset\mathbb{R}& &\text{Avec les mêmes}&x\mapsto\dfrac{1}{a}\dfrac{(ax+b)^{n+1}}{n+1}+k\\  & &\text{contraintes sur }n&\\ & &\text{et sur }(ax+b)&\\ \hline \end{array}$$
Lorsque $U$ désigne une fonction dérivable sur $I$ , positive et non nulle dans certains cas, on a :
 
$\dfrac{U'}{U^{2}}$ a pour primitives $-\dfrac{1}{U}+k$
 
$U'\times U^{n}$ a pour primitives $\dfrac{U^{n+1}}{n+1}+k$
 
$U'\times\sqrt{U}$ a pour primitives $\dfrac{2}{3}U\sqrt{U}+k$
 
$\dfrac{U'}{\sqrt{U}}$ a pour primitives $2\sqrt{U}+k$
 
$\dfrac{U'}{U^{n}}$ peut être ramenée à la forme $U'\times U^{-n}$
 
Les contraintes sont les mêmes sur $n$ et sur $U.$

 

Auteur: 
Ka, Faye & Mbengue

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