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Série d'exercices : Droites des milieux 4e

Classe:

Quatrième

Exercice 1

Soit $ABC$ un triangle isocèle en $A$ tel que :

$AB=5\;cm$ et $BC=4\;cm.$

$I$ et $K$ sont les milieux respectifs de $[AB]$ et $[AC].$

1) Faire une figure complète.

2) a) Montrer que $(IK)$ et $(BC)$ sont parallèles.

b) Calculer $IK$ en précisant le théorème utilisé.

3) La parallèle à $(AB)$ passant par $K$ coupe $(BC)$ en $L.$

Montrer que $L$ est le milieu de $[BC].$

Exercice 2

Soit $ABC$ un triangle, $I$ milieu du segment $[AB]\;,\ J$ milieu du segment $[AC]\;,\ K$ milieu du segment $[AI]$ et $L$ milieu du segment $[AJ].$

1) faire une figure.

2) démontrer que : $4KL=BC.$

Exercice 3

On suppose que $AB=7\;cm\;,\ AC=8\;cm$ et $BC=12\;cm$ et on désigne par $I\;,\ J$ et $K$ les milieux respectifs des côtés $[BC]\;,\ [AC]$ et $[AB].$ On désigne par $L$ et $M$ les milieux respectifs de $[KJ]$ et $[KI].$

1) Faire une figure complète.

2) Prouver que la droite $(LM)$ est parallèle à la droite $(AB).$

3) Calculer le périmètre du triangle $KLM.$

Exercice 4

Tracer un cercle $(c)$ de centre $O$ et de diamètre $[AB]$ et $(c')$ un cercle de diamètre $[OA].$ Soit $Q$ un point du cercle $(c).$ La droite $(AQ)$ coupe $(c')$ en $P.$

1) Démontrer que $P$ est le milieu de $[AQ].$

2) Soit $E$ milieu de $[BQ]$, démontrer que : $2PE= AB.$

Exercice 5

Soit $ABC$ un triangle tel que : $AB=6\;cm\;;\ BC=5\;cm$ et $mes\;B=50^{\circ}.$

1) Marquer les points $B'$ et $C'$ milieux respectifs des segments $[AC]$ et $[AB].$

2) Soit $M$ un point du segment $[BC]$ et $(AM)$ coupe $(B'C')$ en $N.$

3) Démontrer que les droites $(BC)$ et $(B'C')$ sont parallèles puis calculer la distance $B'C'.$

4) Démontrer que $N$ est le milieu de $[AM]$

Exercice 6

Soit un triangle $ABC$, le point $I$ est le milieu du segment $[AB]$ et le point $J$ est le celui de $[AC].$

Le point $C'$ est le symétrique de $C$ par rapport à $I$ et le point $B'$ celui de $B$ par rapport à $J.$

1) Faire une figure complète et code-la.

2) a) Démontrer que : $(IJ)//(AB')$ et $IJ=\dfrac{1}{2}AB'.$

b) Démontrer que : $(IJ)//(AC')$ et $IJ=\dfrac{1}{2}AC'.$

3) Démontrer que $A$ est le milieu de $[B'C'].$

Exercice 7

Dans la figure ci-dessus, $ABCD$ et $ABEF$ sont deux parallélogrammes de centres $I$ et $J.$

1) Montrer que les droites $(CE)$ et $(DF)$ sont parallèles (indication : on pourra utiliser $(IJ).$

2) En déduire la nature du quadrilatère $DFEC.$

Exercice 8

$ABC$ est un triangle, $I$ milieu de $[BC]$, $J$ celui de $[AB].$

Démontre que $(IJ)\text{ et }(AC)$ sont parallèles en énonçant la propriété utilisée.

Exercice 9

$ABC$ est un triangle, $I$ le symétrique de $A$ par rapport à $B\text{ et }J$ milieu de $[AC].$

Démontre que les droites $(BJ)\text{ et }(IC)$ sont parallèles en énonçant la propriété utilisée.

Exercice 10

$ABC$ est un triangle, $I$ milieu de $[BC]$, $J$ un point de $[AB]$ tels que ($IJ)$ parallèle à $(CA).$

Démontre que $J$ est le milieu de $[AB]$ en énonçant le théorème utilisé.

Exercice 11

$MNP$ est un triangle rectangle en $M$, $S$ milieu de $[MP]$, la perpendiculaire à $(MP)\text{ en }S$ coupe $[NP]$ en $R.$

Démontre que $R$ est le milieu de $[NP]$

Exercice 12

$OPQ$ est un triangle, $I$ le pied de la hauteur issue de $P.$

$J$ est le milieu de $[OP].$

La perpendiculaire à $(OQ)$ passant par $J$ coupe $[OQ]\text{ en }K.$

Démontre que $K$ est le milieu de $[OI].$

Exercice 13

$ABC$ est un triangle, $I$ milieu de $[AB].$

La parallèle à $(IC)$ passant par $B$ coupe $(AC)$ en $J.$

Montre que $C$ est le milieu de $[AJ]$

Exercice 14

Pour chacun des énoncés ci-dessous, quatre réponses $a\;,\ b\;,\ c\text{ et }d$ sont données dont une seule est juste.

Écris le numéro de l'énoncé et la réponse choisie en justifiant.

1) $ABC$ est un triangle tel que $AB=34\;,\ BC=53\text{ et }AC=29.$

$E$ est milieu de $[AB]$ et $F$ celui de $[BC].$

a) $EF=43.5$ ;

b) $EF=14.5$ ;

c) $EF=17$ ;

d) $EF=27.5$

2) $BAC$ est un triangle tel que $AB=6\;,\ AC=7\;,\ BC=8.$

$O\;,\ P\text{ et }L$ sont les milieux respectifs des segments $[BA]\;,\ [BC]\text{ et }[AC].$

Le périmètre du triangle $POL$ est égal à :

a) $21$ ;

b) $7$ ;

c) $42$ ;

d) $10.5.$

Exercice 15

Trace un cercle de centre $I.$

Soit $A$ un point sur ce cercle et $B$ est un point extérieur à ce cercle tels que $(AB)$ soit tangente au cercle.

Soit $C$ le symétrique de $B$ par rapport à $I$ et soit $D$ le symétrique de $B$ par rapport à $A.$

1) Fais une figure et trace les droites $(DC)\text{ et }(AI).$

2) Démontre que les droites $(DC)\text{ et }(AI)$ sont parallèles.

3) Démontre que $AI=\dfrac{1}{2}DC.$

Exercice 16

$ABC$ est un triangle tel que $BC=3.5\;cm\;;\ AB=3\;cm\text{ et }AC=4\;cm.$

Soit $M$ le point symétrique de $A$ par rapport à $B\text{ et }N$ celui de $A$ par rapport à $C.$

1) Démontre que $(MN)\parallel (BC).$

2) Calcule $MN.$

3) La parallèle à $(AM)$ passant par $C$ coupe $[MN]$ en $O.$

a) Montre que $O$ est le milieu de $[MN].$

b) Calcule $OC.$

Exercice 17

$ABC$ est un triangle ; $M$ milieu de $[AB]$ et $N$ milieu de $[AC].$

1) Démontre que les droites $(MN)\text{ et }(BC)$ sont parallèles.

2) Construis $A'$, symétrique de $A$ par rapport à $0$, milieu du segment $[BC].$

3) La droite $(ON)$ est-elle parallèle à la droite $(AB)$ ?

Justifie.

4) Soit $P$ est le milieu de $[BA']$, quelle est la position relative des droites $(OP)\text{ et }(AB)$ ?

5) La parallèle à $(AC)$ passant par $O$ coupe $(CA')$ en $Q.$

Montre que $Q$ est le milieu de $[CA']$ et que les points $M\;,\ O\text{ et }Q$ sont alignés.

Exercice 18

$ABCD$ est un trapèze tel que $(AB)\parallel(DC).$

Soit $M$ le milieu de $[AD]$ et $P$ celui de $[BD]$

1) Démontre que $(MP)\parallel(AB).$

2) La droite $(MP)$ coupe la droite $(BC)$ en $N.$

Prouve que $N$ est le milieu de $[BC].$

3) Prouve que $MN=\dfrac{AB+DC}{2}.$

Exercice 19

Soit deux droites $(\mathcal{D}_{1})\text{ et }(\mathcal{D}_{2})$ sécantes en un point $I.$

Soit $M$ un point appartenant à $(\mathcal{D}_{1})$ et soit $N$ le symétrique de $I$ par rapport à $M.$

Soit $(\mathcal{D}_{3})$ une droite passant par $M$ qui coupe $(\mathcal{D}_{2})$ en $P.$

Soit $(\mathcal{D}_{4})$ la parallèle à $(\mathcal{D}_{3})$ passant par $N$ qui coupe $(\mathcal{D}_{2})$ en $R.$

1) Fais une figure et trace la droite $(NP)$ puis la parallèle à la droite $(NP)$ passant par $R$ : cette parallèle coupe $(\mathcal{D}_{1})\text{ en }T.$

2) En considérant le triangle $INR$, démontre que $P$ est le milieu de $[IR].$

3) Déduis-en que $N$ est le milieu de $[IT].$

Exercice 20

Soit $ABC$ un triangle, on appelle $I$ le milieu de $[BC]$, $J$ le milieu de $[AB]$ et $K$ le milieu de $[AI].$

Soit $L$ le point d'intersection de $(JK)$ et $(AC).$

1) Fais une figure complète.

2) Démontre que $(JK)\parallel(BC).$

3) Démontre que $L$ est le milieu de $(AC).$

4) On appelle $M$ le milieu de $[IC].$

Montre que $JK=KL=IM.$

Exercice 21

Dans la figure ci-dessous, $ABC$ est un triangle tel que $D$ et $E$ appartiennent à $(AB)$, $G$ et $F$ appartiennent à $(BC)$, $K$ point d'intersection des droites $(GD)$ et $(AF).$