Série d'exercices sur la trigonométrie 1e S1

Classe: 
Première
 

Exercice 1

1) Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right]$ :
 
$\sqrt{1+\sin4x}=|\sin2x+\cos2x|.$
 
2) Démontrer que $16\sin\dfrac{\pi}{24}\sin\dfrac{7\pi}{24}\sin\dfrac{5\pi}{24}\sin\dfrac{11\pi}{24}=1$
 
3) L'équation $x^{2}-5x+3=0$ posséde deux racines $x_{1}$ et $x_{2}.$
 
Soient $\alpha$ et $\beta$ deux réels tels que :
 
$x_{1}=\tan\alpha$ et $x_{2}=\tan\beta.$
 
Calculer $\tan(\alpha+\beta)$

Exercice 2

Résoudre dans $I$ les équations suivantes :
 
a) $\sin\;x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\;,\quad I=[0\;;\ 2\pi]$
 
b) $\cos\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)=\dfrac{1}{2}\;,\quad I=\mathbb{R}$
 
c) $\sin(3x)=\cos\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)\;,\quad I=\mathbb{R}$
 
d) $3\tan^{2}x-1=0\;,\quad I=[-\pi\;;\ \pi[$
 
e) $3\sin^{2}x+\cos\;x-1=0\;,\quad I=\mathbb{R}$
 
f) $4\sin^{2}x+2(\sqrt{2}-1)\sin\;x-\sqrt{2}=0\;,\quad I=\mathbb{R}$ puis $I=[0\;;\ 2\pi]$
 
g) $\cos\;x+\sin\;x=\sqrt{2}\;,\quad I=\mathbb{R}$
 
h) $\sqrt{3}\cos\;x+\sin\;x=\sqrt{2}\;,\quad I=\mathbb{R}$

Exercice 3

Résoudre dans $I$ les inéquations suivantes :
 
a) $\sqrt{2}\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{2}\right)-1\leq 0\;,\quad I=[0\;;\ 2\pi]$
 
b) $\sin\;x-\cos\;x\leq 0\;,\quad I=\mathbb{R}$
 
c) $\dfrac{1-2\cos\;x}{2\sin\;x-\sqrt{3}}\geq 0\;,\quad I=[-\pi\;;\ \pi[$
 
d) $\tan\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)\geq 0\;,\quad I=\mathbb{R}$

Exercice 4

Soit $ABC$ un triangle.
 
1) Montrer que $\sin\hat{A}+\sin\hat{B}+\sin\hat{C}=4\sin\dfrac{\hat{A}+\hat{B}}{2}\cos\dfrac{\hat{A}}{2}\cos\dfrac{\hat{B}}{2}.$
 
2) En déduire que $\sin\hat{A}+\sin\hat{B}+\sin\hat{C}=4\cos\dfrac{\hat{A}}{2}\cos\dfrac{\hat{B}}{2}\cos\dfrac{\hat{C}}{2}$

Exercice 5

Soit $ABCDE$ un pentagone régulier inscrit dans un cercle trigonométrique.
 
1) En utilisant la relation $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE}=\vec{O}$
 
montrer que :
 
a) $1+2\left(\cos\dfrac{2\pi}{5}+\cos\dfrac{4\pi}{5}\right)=0$
 
b) En déduire les valeurs exactes de $\cos\dfrac{2\pi}{5}$ et $\cos\dfrac{4\pi}{5}$

Exercice 6

1) Exprimer $\cos4x$ en fonction de $\cos\;x.$
 
2) On considère l'équation $(E)$ :
 
$\cos4x+2\sin^{2}x=0.$
 
a) Montrer que $(E)$ est équivalente à l'équation $8\cos^{4}x-10\cos^{2}x+3=0.$
 
b) Résoudre $(E)$ puis placer les points images des solutions sur le cercle trigonométrique.

Exercice 7

Démontrer les égalités suivantes :
 
a) $(1+\sin\;x+\cos\;x)^{2}=2(1+\sin\;x)(1+\cos\;x)$
 
b) $\dfrac{1-\sin\;x}{\cos\;x}=\dfrac{\cos\;x}{1+\sin\;x}$
 
c) $\tan3x=\tan\;x\dfrac{3-\tan^{2}x}{1-3\tan^{2}x}$
 
d) $\dfrac{1+\cos\;x-\sin\;x}{1-\cos\;x-\sin\;x}=-\cos\dfrac{x}{2}$
 
e) $\cos^{4}x=\dfrac{1}{8}(\cos4x+4\cos2x+3)$
 

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