Série d'exercices sur les angles orientés 1e S1

Classe: 
Première
 

Exercice 1

Soient $[Ox)$ et $[Oy)$ deux demi-droites et $\alpha$ une mesure de l'angle orienté $(\overrightarrow{Ox}\;,\ \overrightarrow{Oy})$ en radians.
Dans chacun des cas suivants ; donner la mesure principale et la plus petite mesure positive de l'angle $(\overrightarrow{Ox}\;,\ \overrightarrow{Oy}).$
$\alpha=-\dfrac{\pi}{6}\;;\quad \alpha=\dfrac{27\pi}{4}\;;\quad \alpha=-\dfrac{43\pi}{3}$
$\alpha=\dfrac{412pi}{4}\;;\quad \alpha=-\dfrac{24pi}{6}.$

Exercice 2

Deux cercles $(C)$ et $(C')$ sont sécants en $A$ et $B.$ Une droite passant par $A$ recoupe $(C)$ en $C$ et $(C')$ en $D.$ Une droite passant par $B$ recoupe $(C)$ en $E$ et $(C')$ en $F.$

Montrer que les droites $(CE)$ et $(DF)$ sont parallèles.

Exercice 3

Deux cercles $(C)$ et $(C')$ sont sécants en $A$ et $B.$ $M$ est un point de $(C).$ On trace la tangente $(T)$ à $(C)$ en $M.$ La droite $(MA)$ recoupe $(C')$ en $M'$ et $(MB)$ recoupe $(C')$ en $N'.$

Montrer $(M'N')$ et $(T)$ sont parallèles.

Exercice 4

1) Soit $k\ \in\ \mathbb{Z}.$ Placer sur le cercle trigonométrique d'origine $O$ les points $M\;,\ N$ et
$Q$ tels que : $(\overrightarrow{OI}\;,\ \overrightarrow{OM})=\dfrac{27\pi}{6}+2k\pi\;;\quad (\overrightarrow{OI}\;,\ \overrightarrow{OQ})=x\; \text{ avec }\; 3x=-\;\frac{\pi}{2}+2k\pi.$
 
2) Soit $(C)$ un cercle de centre$A.$ Soit $B$ un point de $(C).$
 
a) Construire les points $C\;,\ D\;,\ E$ et $F$ du cercle $(C)$ tels que :

$(\overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{AC})=\dfrac{\pi}{3}\;;\quad (\overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{AD})=\dfrac{3\pi}{4}\;;\quad (\overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{AF})=\dfrac{3\pi}{4}.$
 
b) Déterminer une mesure puis la mesure principale de chacun des angles orientés suivants :

$(\overrightarrow{AC}\;,\ \overrightarrow{AE})\;;\quad (\overrightarrow{AD}\;,\ \overrightarrow{AF})\;;\quad (\overrightarrow{AF}\;,\ \overrightarrow{AC})\;;\quad (\overrightarrow{AF}\;,\ \overrightarrow{AE})$

Exercice 5

$ACE$ est un triangle isocèle direct en $A$ tel que $AC=5$ et $(\overrightarrow{AC}\;,\ \overrightarrow{AE})=\dfrac{3\pi}{4}[2\pi].$

1) Construire le triangle $AEF$ équilatèral direct et le triangle $ABC$ isocèle rectangle direct en $A.$
 
2) Déterminer la mesure principale de chacun des angles orientés suivants :

$(\overrightarrow{AF}\;,\ \overrightarrow{AB})\;;\quad (\overrightarrow{EF}\;,\ \overrightarrow{BC})\;;\quad (\overrightarrow{AF}\;,\ \overrightarrow{CB})\;;\quad (\overrightarrow{AF}\;,\ \overrightarrow{EC})$

Exercice 6

Deux cercles $(C)$ et $(C')$ sont sécants en $A$ et $B.$ Soit $C$ un point de $(C)$, $D$ un point de
$(C')$ n'appartenant pas à la droite $(AC)$. Une droite passant par $B$ recoupe $(C)$ en $M$ et $(C)$ en $N.$ Soit $R$ le point d'intersection de $(CM)$ et $(DN).$

Montrer les points $A\;,\ C\;,\ D$ et $R$ sont cocycliques.

Exercice 7

$A\;,\ B$ et $C$ sont trois points distincts du plan.

Déterminer puis représenter l’ensemble des points $M$ du plan dans chacun des cas suivants :

$(\overrightarrow{MA}\;,\ \overrightarrow{MB})=\dfrac{\pi}{2}\;[\pi]\;;\quad (\overrightarrow{MA}\;,\ \overrightarrow{MB})=-\dfrac{\pi}{2}\;[2\pi]$

$(\overrightarrow{MA}\;,\ \overrightarrow{MB})=\dfrac{\pi}{4}\;[\pi]\;;\quad (\overrightarrow{MA}\;,\ \overrightarrow{MB})=\dfrac{\pi}{3}\;[2\pi]$

$(\overrightarrow{MA}\;,\ \overrightarrow{MB})=0\;[\pi]\;;\quad (\overrightarrow{MA}\;,\ \overrightarrow{MB})=0\;[2\pi]$

$(\overrightarrow{MA}\;,\ \overrightarrow{MB})=\pi\;[\pi]\;;\quad (\overrightarrow{MA}\;,\ \overrightarrow{MB})=\pi\;[2\pi]$

Exercice 8

Soit $ABCD$ un carré direct. Soient $E$ et $F$ les points tels que $ABE$ et $BCF$ soient des triangles équilatéraux directs.

Le but de cet exercice est de montrer que les points $D\;,\ E$ et $F$ sont alignés.
 
1 a) Déterminer la nature du triangle $DEA$ puis une mesure de l'angle $(\overrightarrow{DF}\;,\ \overrightarrow{DE}).$
 
b) En déduire une mesure de l'angle $(\overrightarrow{DE}\;,\ \overrightarrow{DC}).$
 
2) Déterminer la nature du triangle $CDF$ puis une mesure de l'angle $(\overrightarrow{DF}\;,\ \overrightarrow{DC}).$
 
3) Montrer que $(\overrightarrow{DE}\;,\ \overrightarrow{DF})=[\pi].$

Conclure 

Exercice 9

Soit $ABC$ un triangle non rectangle et $H$ son orthocentre. Soit $H'$ le symétrique orthogonal de $H$ par rapport à $(BC).$

1) Démontrer que $(\overrightarrow{HB}\;,\ \overrightarrow{HC})=-(\overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{AC})\;[\pi].$
 
2) Démontrer que $(\overrightarrow{HB}\;,\ \overrightarrow{HC})=-(\overrightarrow{H'B}\;,\ \overrightarrow{H'C})\;[2\pi].$
 
3) Montrer que les quatre points $A\;,\ B\;,\ C$ et $H'$ sont cocycliques.

4) Nommer deux autres points sur ce cercle.
 

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