Similitudes planes directes - Ts

Classe: 
Terminale

I Définitions

On appelle similitude plane directe toute transformation du plan qui multiplie les distances par un réel $k>0$ et qui conserve la mesure des angles orientés. $k$ est appelé le rapport de la similitude.
 
$\centerdot\ \ $ les translations et les rotations sont des similitudes de rapport 1.
 
$\centerdot\ \ $ l'homothétie de rapport $k$ est une similitude de rapport $|k|$.
 
$\centerdot\ \ $ les composées d'homothétie et de rotation sont des similitudes.
 
$\centerdot\ \ $ les rotations, les homothéties, les composées d'homothétie et de rotation sont appelées des similitudes à centre.
 
$\centerdot\ \ $ la réciproque d'une similitude de rapport $k$ est une similitude de rapport $\dfrac{1}{k}$.
 
$\centerdot\ \ $ la composée de deux similitudes $s$ et $s'$ de rapport respectifs $k$ et $k'$ est une similitude de rapport $kk'.$
 
$\centerdot\ \ $ si la similitude est la composée d'une rotation $r_{(\Omega\;,\  \theta)}$ et d'une homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $k>0$, on dira que $S=h\circ r$ est une similitude de rapport $k$, d'angle $\theta$ et de centre $\Omega$ notée $s_{(\Omega\;,\ k\;,\ \theta)}.$

II Expression complexe

Soit $s$ une similitude définie par $z'=az+b$, alors 
 
$\centerdot\ \ $ si $a=1$ alors $s$ est une translation de vecteur $\vec{u}(b)$
 
$\centerdot\ \ $ si $a\in\mathbb{R}^{*}_{+}\setminus \{1\}$, $s$ est une homothétie de rapport $a$ et de centre $\Omega$ tels que $$z_{\Omega}=az_{\Omega}+b$$
$\centerdot\ \ $ si $a\in\mathbb{C}\setminus \{\mathbb{R}\}$ et $|a|=1$, alors $s$ est une rotation d'angle $\theta$ tels que $\theta=arg\;a$ et de centre $\Omega$ tels que $$z_{\Omega}=\dfrac{b}{1-a}$$
$\centerdot\ \ $ si $a\in\mathbb{C}\setminus \{\mathbb{R}\}$ et $|a|\neq 1$, alors $$z'=k\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}z+b$$ où $k=|a|$ et $\theta=arg\;a$. On dira que $s$ est une similitude de rapport $k$ et d'angle $\theta=arg\;a$ et de centre $\Omega$ tels que $$z_{\Omega}=\dfrac{b}{1-a}\;,\quad s=h_{(\Omega\;,\ |a|)}\circ r_{(\Omega\;,\ \theta)}$$
$\centerdot\ \ $ Soit $s=s_{(\Omega\;,\ k\;,\ \theta)}$ définie par $$z'-z_{\Omega}=k\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}(z-z_{\Omega})\quad\text{ ou }\quad z'=k\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}z+\alpha$$
Sa réciproque $s^{-1}$ est donnée par $$s^{-1}=s_{(\Omega\;,\ \frac{1}{k}\;,\ -\theta)}$$
$\centerdot\ \ $ considérons deux similitudes $s_{1}$ et $s_{2}$ définies par :
 
$s_{1}=s_{(\Omega\;,\ k_{1}\;,\ \theta_{1})}\;;\ z'=k_{1}e^{i\theta_{1}}z+\alpha_{1}$ et $s_{2}=s_{(\Omega\;,\ k_{2}\;,\ \theta_{2})}\;;\ z'=k_{2}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta_{2}}z+\alpha_{2}.$
 
Leur composée notée $s_{1}\circ s_{2}$ sera définie par : 
 
$z'=k_{1}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta_{1}}\left(k_{2}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta_{2}}z+\alpha_{2}\right)+\alpha_{1}=k_{1}k_{2}\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\theta_{1}+\theta_{2})}z+\alpha$
 
$-\ $ si $\theta_{1}+\theta_{2}=0(2\pi)$ et $k_{1}k_{2}=1$ alors, $s_{1}\circ s_{2}=t$
 
$-\ $ si $\theta_{1}+\theta_{2}=0(2\pi)$ et $k_{1}k_{2}\neq 1$ alors, $s_{1}\circ s_{2}=h$ de rapport $k_{1}k_{2}$
 
$-\ $ si $\theta_{1}+\theta_{2}\neq 0\;[2\pi]$ et $k_{1}k_{2}=1$ alors, $s_{1}\circ s_{2}=r$ d'angle $\theta_{1}+\theta_{2}$
 
$-\ $ si $\theta_{1}+\theta_{2}\neq 0\;[2\pi]$ et $k_{1}k_{2}\neq 1$ alors, $s_{1}\circ s_{2}$ est une similitude de rapport $k_{1}k_{2}$, d'angle $\theta_{1}+\theta_{2}$ et de centre $\Omega$

III Propriétés

Soient $s=s_{(\Omega\;,\ k\;,\ \theta)}$ une similitude, $M$ et $N$ deux point du plan d'images respectives, par $s\;,\ M'$ et $N'$, alors on a :
 
$\centerdot\ \ s(M)=M'\;\Leftrightarrow\; \left\lbrace\begin{array}{rcl}\Omega M'&=&k\Omega M \\ \\ \left(\overrightarrow{\Omega M}\;,\ \overrightarrow{\Omega M'}\right)&=&\theta\;[2\pi]\end{array} \right.$
 
$\centerdot\ \ \left\lbrace\begin{array}{rcl} s(M)&=&M' \\ s(N)&=&N'\end{array}\right.\;\Leftrightarrow\;\left\lbrace\begin{array}{rcl} M'N'&=&kMN \\ \\ \left(\overrightarrow{MN}\;,\  \overrightarrow{M'N'}\right) &=& \theta\;[2\pi]\end{array}\right.$ 
 
$\centerdot\ \ $ Toute similitude de rapport $k$ peut être décomposée en la composée d'une homothéties de rapport $k$ et d'un déplacement.
 
$\centerdot\ \ $ Les similitudes conservent les barycentres, les angles orientés, le parallélisme et la perpendicularité.
 
$\centerdot\ \ $ L'image d'une figure quelconque est une figure de même nature.

Auteur: 
Diny Faye & Seyni Ndiaye
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