Série d'exercices : Calcul intégral -Ts
Calcul d'intégral par la recherche d'une primitive
Exercice 1
Calculer les intégrales suivantes :
I=∫312x+1x2+x+1dx;J=∫322√udu;I=∫312x+1x2+x+1dx;J=∫322√udu;
K=∫2−1(x+1)(x2+2x−7)dx;L=∫31dtt+1
M=∫π20cos2xsinxdx;N=∫3−3xe2dx;
Exercice 2
Calculer les intégrales suivantes :
1) ∫50(x4−x2)dx2) ∫21(2x2+5x−1)dx
3 ∫40(2x5+2x3−1)dx4) J=∫52dx√x−1
5) ∫21(x+5)4dx6) ∫51(x2+2x2)dx
7) ∫10(2x2−1−1(x+1)2)dx8) ∫2−12x+1(x2+x+1)2dx
9) ∫2−1x+1√x2+2+5dx10) ∫2−1(x3−52+1)4(3x2−10)dx
11) ∫π20(sinx−3cosx+1)dx12) ∫π20(sin2x+cos3x)dx
13) ∫π40dxcos2x14) ∫π20tan2xdx
15) ∫π40dxcos4x16) ∫π20(cos2x+cosx−1)sinxdx
17) ∫x1lnttdt, x>018) ∫π40(tanx+tan3x)dx
19) ∫π40tanxdx20) ∫30x2+2x(x+1)3dx
21) ∫π30sinxcos4xdx22) ∫ln4ln3e2xdx
23) ∫20√xdx24) ∫21√3x−1dx
25) ∫311x2e1xdx26) ∫4−1x3+1(x4+4x+7)3dx27) ∫π4π3cosx+xsinxx2dx
Exercice 3
Déterminer les réels a, b et c puis calculer I.
1) f(x)=x+1x+2=a+bx+2I=∫21f(x)dx
2) f(x)=x2+x+1x−3=ax+b+cx−3I=∫10f(x)dx
3) f(x)=2x+1x2−5x+4=ax−1+bx−4I=∫32f(x)dx
4) f(x)=x−2(x−1)2=ax−1+b(x−1)2I=∫0−1f(x)dx
5) f(x)=1x(x2+1)=ax+bx+cx2+1I=∫11dxx(x2+1)
6) f(x)=ex−2ex+1=a+be−x1+e−xI=∫ln3ln2f(x)dx
Exercice 4
Calculer la fonction dérivée de la fonction f : x↦(ax2+bx+c)√x2+2, a, b, c étant des constantes.
En déduire le calcul de l'intégrale ∫4−16x3+2x2+9x+2√x2+2dx
Exercice 5
Soit :
I=∫π20cosxcosx+sinxdx et J=∫π20sinxcosx+sinxdx
Calculer I+J et I−J.
En déduire I et J.
Linéarisation
Exercice 6
Calculer les intégrales suivantes après linéarisation :
1) ∫π20sin3xcos2xdx2) ∫π40sin4xdx
3) ∫π20cos3tdt4) ∫π0sin2ucos2udu
5) ∫π3π4cosxcos3xcos5xdx6) ∫π30cos2xsin3xdx
Intégration par parties
Exercice 8
Calculer les intégrales suivantes à l'aide d'une ou plusieurs intégrations par parties
1) ∫2eex3lnxdx2) ∫e1x2lnx2dx3) ∫2eex(lnx)2dx (double intégration par parties)
4) ∫10xexdx5) ∫21x2exdx (double
intégration par parties)
6) ∫10(x−3)e2xdx7) ∫20(t2+1)etdt (double intégration par parties)
8) ∫π0(x+2)sinxdx9) ∫π20exsinxdx et ∫π40excosxdx (double intégration par parties)
Exercice 9
Calculer les intégrales suivantes à l'aide d'une ou plusieurs intégrations par parties
1) ∫a1x2lnx2dx, a>02) ∫t0(3x2+x+1)cosxdx3) ∫t1xlnx(1+x2)2dx
4) ∫π20x2sinxdx5)∫x1tnlntdt, x>0, n∈N∖{−1}
6) ∫11(x2+x+1)sin2xdx7) ∫π2π4(x2+1)cos2xdx
8) ∫1−1(1+x)2e−xdx9) ∫π30tsintcos3tdx
10) ∫λ1ln(x+√x2−1)dx, λ>111) ∫π3π4cosxln(cosx+1)dx
12) ∫20x2e|x−1|dx13) ∫π30e−xsin2x(1+cos2x)dx
Exercice 10
Soit l'intégrale In=∫λ1(lnx)ndx, λ>0, n∈N
1) Montrer, à l'aide d'une intégration par parties que l'on a :
In=λ(lnλ)n−nIn−1.
2) Montrer alors que :
In=λ[(lnλ)n−n(lnλ)n−1+n(n−1)(lnλ)n−2+⋯+(−1)n×n!]−(−1)n×n!
3) Calculer I0, I1, I2 et I3.
Exercice 11
Soit l'intégrale I=∫π40dxcos5x
Pour tout entier naturel n, on pose : In=∫π40dxcos2n+1x
1) Montrer qu'il existe deux réels a et b tels que :
∀x∈[0; π4], 1cosx=acosx1−sinx+bcosx1+sinx
En déduire le calcul de I0.
2) Montrer, par une intégration par parties que pour tout n∈N∗ :
2nIn=(2n−1)ln−1+2n√2.
3) En déduire le calcul de I.
Exercice 12
Soit x un réel strictement positif donné ; on considère les intégrales : In=∫x0sin2ntdt et Jn=∫x0sin2ntcos2tdt pour tout n∈N
1) Trouver une relation entre Jn, In et In+1.
2) En intégrant par parties, calculer Jn en fonction de In+1.
En déduire une relation entre In+1 et In.
3) Calculer I0 et montrer que l'on peut ainsi calculer In et Jn pour tout n∈N.
Exercice 13
n est un nombre entier strictement positif. On donne l'intégrale : In=∫10xnexdx
où e. est la base de la fonction logarithme népérien.
1) Calculer I1.
2) Démontrer que, pour tout nombre entier n strictement positif, In+1=e−(n+1)In.
(On pourra utiliser une intégration par parties).
3) Calculer les intégrales et I2 et I3.
4) Utiliser les résultats précédents pour calculer : I=∫10(x3+2x2−2x)exdx
Recherche de primitives
Exercice 14
Dans chacun des cas suivants :
a) Vérifier que f est continue sur [a; b];
b) Calculer alors ∫xaf(t)dt pour x∈[a; b]
c) En déduire les primitives de f sur [a; b].
1) f(x)=lnx[a; b]=[1; e]
2) f(x)=xex[a; b]=[−1; 1]
3) f(x)=xsinx[a; b]=[−π; π]
4) f(x)=xcosx[a; b]=[−π; π].
Encadrement. Inégalités
Exercice 15
1) En intégrant l'inégalité −1≤cost≤1, prouver que, pour tout réel x positif, on a :
x−x36≤sinx≤x
2) Prouver que, pour tout x positif, 1+x≤ex, puis que 1+x+12x2≤ex.
3) Prouver que, pour tout x positif, x1+x≤ln(1+x)≤x.
4) Prouver que :
a) π4≤∫π2π4dxsinx≤π√24
b) π4≤∫π2π4dxcosx≤π√24
c) 1≤∫10ex2dx≤e
d) 0≤∫20ln(1+x2)dx≤2ln5
5) A partir d'un encadrement de f : x↦cosx sur l'intervalle [0; π6],
déterminer un encadrement de l'intégrale ∫π60dx(2+cosx)2
Calculs d'aires
Exercice 16
Calculer l'aire des domaines D suivants limités par Cf l'axe des abscisses et les droites d'équations x=a et x=b (en unités d'aire, puis en cm2(a<b)).
1) f(x)=xex, x=0 et x=2.
(unités : 3cm sur (x′x), 1cm sur (y′y)).
2) f(x)=lnxx, x=1 et x=2.
(unités : 1cm sur (x′x), 2cm sur (y′y)).
3) f(x)=1cos2x, x=0 et x=π4.
(unités : 2cm sur (x′x), 1cm sur (y′y)).
4) f(x)=2+7x−2, x=−2 et x=0.
(unités : 2cm sur (x′x et sur (y′y)).
5) f(x)=x3−1, x=0 et x=2.
(unités : 3cm sur (x′x), 0.5cm sur (y′y)).
6) f(x)=((1−2x)e1+x−x2), x=0 et x=1.
(unités : 1cm sur (x′x) et sur (y′y)).
7) f(x)=sinx, x=−π4 et x=2.
(unités : 3cm sur (x′x), 1cm sur (y′y)).
Exercice 17
Soit f et g deux fonctions, Cf et Cg leurs courbes représentatives dans le plan P rapporté à un repère orthogonal.
Calculer l'aire en unités d'aire des domaines D suivants :
1) f(x)=x3 et g(x)=x2+2x(D domaine limité par Cf et Cg).
2) f(x)=−x2+4x et g(x)=x−4(D domaine limité par Cf et Cg).
3) f(x)=2x2−xx−1 et g(x)=2x+1(D domaine limité par Cf, Cg et les droites d'équations x=2 et x=4).
4) f(x)=1x et g(x)=−1x(D domaine limité par Cf, Cg et les droites d’équations x=1 et x=5).
5) f(x)=sinx et g(x)=cosx(D domaine limité par Cf, Cg et les droites d’équations x=−π2 et x=π2).
Exercice 18
Soit f la fonction définie par :
f(x)=lnx−1x+1.
1) Étudier la fonction f et tracer sa courbe représentative C dans le plan P rapporté à un repère orthonormal (O, →i, →j).
2) Montrer que la fonction f est intégrable sur [2, 3].
Calculer l'aire A du domaine plan délimité par la courbe C , la droite (O, →j) et les droites d'équations x=2 et x=3 (on pourra songer à faire une intégration par parties).
3) On appelle g la restriction de f à ]1; +∞[.
Montrer que g est une bijection de ]1; +∞[ sur ]−∞; 0[. Déterminer g−1.
Exercice 19
Soit f la fonction de R vers R définie par : f(x)=cos3x.cos3x.
1) Étudier les variations de la fonction f et construire sa courbe représentative C dans un repère orthonormal (O, →i,→j). (On prendra 3cm pour unité.)
2) Montrer que, quel que soit le réel x, on a :
f(x)=acos6x+bcos4x+ccos2x+d,
où a, b, c, d sont quatre réels que l'on déterminera.
3) Calculer, en cm2, l'aire de l'ensemble E limité par la courbe C , l'axe des abscisses et les droites d'équations x=0 et x=6.
Exercice 20
1) Soit f la fonction définie par :
f(x)=x√d2−x2,
où d désigne un réel strictement positif fixé.
a) Étudier f et dessiner sa courbe représentative dans un plan rapporté à un repère orthonormal.
b) Calculer l'aire de la partie du plan limitée par la courbe représentative de f, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=0 et x=d.
2) Déterminer l'aire maximale d'un rectangle dont les sommets appartiennent à un même cercle de rayon R, R désignant un nombre réel strictement positif fixé.
Exercice 21
Soit f la fonction définie par :
f(x)=cos2xsinx.
1) Étudier f et faire la représentation graphique C de f dans un repère orthonormal (O, →i, →j) (Unité : 1cm).
2) Montrer qu'une primitive de f sur l'intervalle [α, β] où 0<α<β<π, est la fonction F définie par :
F(x)=ln[tanx2]−g(x), où g désigne une fonction simple que l'on déterminera.
3) En déduire l'aire, en cm2, du domaine (Δ) défini par :
(Δ)={M(x, y)/π4≤x≤3π4 et f(x)≤y≤0}.
Calcul de volumes
Exercice 22
1) Déterminer le volume d'une boule de rayon R.
2) Déterminer le volume d'un cône de hauteur h dont la base est un cercle de rayon R.
3) Déterminer le volume d'une pyramide de hauteur h dont la base est un rectangle de côtés L et l.
4) Déterminer le volume d'un cube de côté a.
5) Déterminer le volume d'un cylindre de révolution dont le rayon du disque de base est r et la hauteur h.
Dans chaque cas, on utilisera la formule V=∫baS(x)dx, S(x) étant la section (=surface de l'intersection) du solide avec un plan perpendiculaire à (O, →i, →j) au point H d'abscisse x.
Exercice 23
Dans chacun des cas suivants, calculer le volume du solide de révolution engendré par la rotation de la courbe C de f autour de l'axe x′Ox.
1) f : x↦sinx, x∈[0, π]
2) f : x↦−x2+4, x∈[−2, 2]
3) f : x↦sin2x, x∈[0, π]
Indication :
Montrer que, pour tout x de R, sin4x=1x−12cos2x+1xcos4x.
4) f : x↦(1−x)ex, x∈[0, 1]
5) f : x↦2√(3−x)(1+x)x∈[−1, 3]
6) f : x↦12√16−x2x∈[−4, 4]
7) f : x↦1+cos3x, x∈[0, π3]
8) f : x↦x3, x∈[0, 2].
Exercice 24
Soit f la fonction numérique définie par :
f(x)=2ex−e2x.
1) Étudier les variations de f, puis tracer la courbe représentative C de la fonction f dans un repère orthonormé (O, →i, →j) du plan (unité graphique : 3cm).
2) La courbe C coupe l'axe (O, →i) en A et l’axe (O, →j) en B.
Indiquer les coordonnées de A et B.
Quelle est l'équation de la tangente à C en A ?
Construire cette tangente.
3) Calculer les dérivées des fonctions de R vers R définies par :
f1(x)=2ex−12e2xf2(x)=2e2x−43e3x
4) Soit T le triangle mixtiligne limité par (O, →i), (O, →j) et l'arc ⌢AB de la courbe C.
Calculer :
a) l'aire de T en cm2
b) le volume, en cm3, du solide de révolution engendré par la rotation de T autour de l'axe (O, →i).
Intégrales et suites
Exercice 25
Pour tout nombre entier n≥1, on pose In=∫10xne1−xdx
1) Montrer que, pour tout x∈[0; 1], xn≤xne1−x≤exn.
2) Exprimer en fonction du nombre entier n, In=∫10xndx
3) Déduire des résultats précédents que l'on a, pour tout n≥1, 1n+1≤In(en+1).
4) En déduire que la suite (In) est convergente.
Parité et intégration
Exercice 26
1) Soit f une fonction continue sur un intervalle [−a; a] et F une primitive de f sur [−a; a].
a) On suppose f est impaire.
On définit la fonction h par :
pour tout x∈[−a; a], h(x)=F(x)−F(−x).
Étudier les variations de h.
En déduire que F est paire.
En déduire que ∫a−af(x)dx=0
b) On suppose f est paire.
Prouver que, pour tout x de [−a; a], F(−x)=−F(x)+2F(0).
En déduire que ∫a−af(x)dx=2∫a0f(x)dx
c) Interpréter graphiquement ces résultats.
2) Soient f et g les fonctions définies sur [−1; 1] par f(x)=ex−e−x et g(x)=ex+e−x.
a) Étudier la parité et les variations de f et de g.
Tracer leurs courbes représentatives.
b) Calculer ∫1−1(ex−e−x)dx, ∫1−1(ex+e−x)dx et ∫10(ex+e−x)dx
Interpréter graphiquement les résultats trouvés.
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sam, 03/19/2022 - 06:45
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