Exercices : Trigonométrie 3e
Classe:
Troisième
Exercice 1
Soit RSU un triangle rectangle en U tel que RS=3 et SU=2
1) Calculer RU
2) Calculer cosˆR, sinˆR, cosˆS, sinˆS et tanˆS
Exercice 2
1) ABC est un triangle rectangle en A tel que ^ABC=56o et BC=4.2cm. Calculer AB et AC
2) Construire un triangle OIE rectangle en O tel que ^OEI=72o et OE=2cm. Calculer l'arrondi au dixième près de OI et vérifier sur la figure.
Exercice 3
Les questions sont indépendantes. On demande de faire la figure à main levée
1) ABC est un triangle rectangle en C tel que : CB=4cm et AC=3cm.
Calculer : sinˆB, cosˆB et tanˆB. En déduire mesˆB à 0.1 près.
2) Dans le triangle HBC rectangle en H, mesˆB=60o et HB=4cm. Calculer les distances BC et HC.
3) ABC est un triangle rectangle en B tel que : mesˆA=30o et CB=5cm. Calculer AC et AB.
4) STV est un triangle rectangle en T tel que : tanˆS=43 et TV=√6cm. Calculer ST et SV.
5) Dans le triangle ABC rectangle en B, on a : sinˆA=√53. Calculer cosˆA et tanˆA.
6) Soit ˆA et ˆB deux angles aigus tels que : cosˆA=√3−16 et sinˆB=√6−√2√72. Montrer que ˆA et ˆB sont deux angles complémentaires.
Exercice 4
ABC est un triangle rectangle en B tel que AC=10cm et BC=5cm. I est un point de [AB] tel que AI=5cm. La perpendiculaire à (AB) passant par I coupe [AC] en J.
1) En utilisant le sinus de ^BAC, montrer que IJAJ=BCAC, puis calculer IJ.
2) Calculer sin^BAC et en déduire sa mesure en degrés.
Exercice 5
(C) est un cercle de centre O et de rayon r. [BC] est un diamètre du cercle et A un point de (C) tel que AB=r.
1) Montrer que le triangle ABC est rectangle en A.
2) Calculer AC en fonction de r.
3) Calculer sin de ^ABC.
Exercice 6
Soit un cercle (C) de centre O et de rayon r. [AB] est un diamètre de ce cercle et I milieu de [OA]. La perpendiculaire à la droite (AB) passant par I coupe le cercle en deux points D et E.
1) Démontrer que ABD est un triangle rectangle puis montrer que AD=r.
2) Calculer cos^DAB. En déduire sin^DBO.
3) Démontrer que AI2AD2+DB2AB2=1
Exercice 7
Soit ABC un triangle isocèle de sommet A tel que ˆB=30o et BC=6cm. On appelle I milieu de [BC]
1) Calculer AB et AI
2) Calculer l'aire S du triangle ABC puis donner son encadrement à 0.1cm2 près sachant que 1.732<√3<1.733
Exercice 8
KLM est un triangle KL=4cm; LM=4√3; KM=8cm.
1) Montrer que KLM est un triangle rectangle.
2) Faire une figure.
3) Calculer LH et KH , H étant le projeté orthogonal de L sur (KM).
4) Soit I le projeté orthogonal de H sur (ML). Calculer IH.
Exercice 9
1) On donne une valeur trigonométrique déduis-en les autres : cosx=14, sinx=…, tanx=…
2) Construire un triangle COS tel que ^OCS=75o et ^CSO=55o
Placer deux points E et F sur la droite (CO) tels que S soit le projeté orthogonal de F sur (OS) et EF=8cm
Placer le point R projeté orthogonal de E sur (OS)
On appelle I et J les projetés orthogonaux respectifs de E et F sur (CS)
Calculer les arrondis au dixième de IJ et RS. Vérifier sur le dessin les résultats trouvés.
Exercice 10
1) OAB est un triangle, OA=√10; OB=3√10 et AB=10cm. Quelle est la nature de OAB ?
2) Calculer le cosinus de l'angle ^OBA. En déduire sin^OBA ?
3) Sachant que 3.162<√10<3.163 donner la valeur approchée par défaut à l'ordre 4 de cos^OBA. En déduire la valeur approchée à 1 degré près de ^OBA.
On donne : cos17o≈0.9543, cos18o≈0.9511, cos19o≈0.9455 et cos20o≈0.9397
Exercice 11
Soit un demi-cercle de centre O et de diamètre [AB] tel que AB=6cm. Tracer la droite (D) perpendiculaire à (AB) passant par B. Marquer un point C sur le demi-cercle tel que l'angle ^CAB=30o. La demi droite [AC) coupe la droite (D) en E.
1) Quelle est la nature des triangles ABC et AEB ? Justifier les réponses.
2) Calculer AC, BC, AE et EB.
3) Sur l'arc ⌢BC , marquer le point M tel que les points O, M et E soit alignés.
a) Calculer le cosinus de l'angle ^MOB.
b) Donner sa valeur approchée par défaut à 10−3 près sachant que 4.582≤√21≤4.583
c) Déduire la mesure de l'angle ^EOB à un degré près par défaut.
Exercice 12
1) Tracer un demi-cercle (C) de centre O et de diamètre [AB] tel que AB=2r. Soit M un point du demi-cercle (C) plus proche de B que de A. Quelle est la nature du triangle AMB ? Justifier.
2) Soit a et b les mesures respectives en degrés des angles ^BAM et ^BOM et C le pied de la hauteur du triangle AMB issue de M.
a) Donner deux expressions différentes de cosa.
b) En déduire que : AC=AMcosa, AM2=AB×AC
c) On sait que AC=AO+OC : Exprimer OC en fonction de cosb. En déduire que AC=r(1+cosb)
d) Déduire des questions précédentes que cos2a=1+cosb2.
Exercice 13
x et a sont des angles aigus
1) Sachant que cosx=√53, calculer sinx et tanx.
2) Soit l'expression F(a)=(1−cosa)(1+cosa)(1+tan2a)
a) Démontrer que F(a)=tan2a
b) Calculer F(30o)
3) Soit un triangle quelconque ABC ; H le pied de la hauteur issue de A.
Démontrer que : sinˆBAC=sinˆCAB.
Exercice 14
1) Sachant que sin15∘=√6−√24, vérifier que cos15∘=√6+√24 puis, donner la valeur exacte de tan15∘.
2) x∈]0∘; 90∘[
a) Établir les égalités suivantes :
1+tan2x=1cos2x
1−2sin2x=2cos2x−1
(cosx+sinx)(cosx−sinx)=2cos2x−1
1+1tan2x=1sin2x
b) Simplifier √1−cosx×√1+cosx et √1+tan2x (Utiliser les résultats de la question a))
Exercice 15
1) a) Construire un cercle (C) de centre I et de rayon 4cm. A et B sont diamétralement opposés.
Placer un point M sur (C) tel que : AM=4cm.
b) Quelle est la nature du triangle AMI ?
c) En déduire la mesure de l'angle ^BIM.
2) K est le point d'intersection de la perpendiculaire à (AB) passant par I et la droite (AM).
a) Justifier que AMB est un triangle rectangle.
b) En remarquant que cos^BAM=cos^KAI.
Calculer AK et KI.
3) Le point H est le projeté de M sur (AB).
a) Calculer cosˆB de 2 manières différentes.
b) Exprimer BH en fonction de cosˆB puis démontrer que : BH=BM2AB
4) Placer le point E sur le segment [AM] tel que : AE=3cm. La parallèle à (IM) passant par E coupe [AI] en F.
Quelle est la nature du triangle AEF ?
Exercice 16
On considère un cercle (C) de centre O et de rayon r. Soit [AB] un diamètre de ce cercle ; (Δ) la tangente en B à (C). Une droite (L) passant par A recoupe (C) en C et recoupe (Δ) en E. On désigne par α la mesure de ^BAC.
1) Exprimer en fonction de r et α : CA; CB; EA; EB.
2) Calculer : CA; CB; EA; EB pour r=2cm et α=30∘.
Exercice 17
Soit un segment [OA], OA=4cm.
M est un point appartenant au cercle C(O, 3cm) tel que :
^AOM=30∘, R un point du plan tel que OARM est un parallélogramme.
Calcule l'aire de OARM.
(Tu peux projeter orthogonalement M sur [AO]).
Exercice 18
(C) est un cercle de diamètre [AB], de rayon r, (BX) est tangente à (C) en B.
Une droite passant par A coupe (C) en M et la tangente (BX) en T, avec ^BAT=a∘.
Exprime AM, MB, BT, AT à l'aide de a et r.
Exercice 19
Construis le triangle ABC rectangle en A tel que AB=8cm et AC=6cm.
1) Calcule BC, cos^ABC, sin^ABC puis tan^ABC.
2) Place le point M sur le segment [AB] tel que :
AM=13AB.
3) La parallèle à (BC) passant par M coupe (AC) en N.
Calcule AN.
4) Soient O et P les symétriques respectifs des points M et N, par rapport à A.
Montre que (MN) est parallèle à (OP).
Exercice 20
ABC est un triangle rectangle en B.
H est le pied de la hauteur issue de B.
On note α la mesure de B̂CA.
On donne :
sin(α)=√53; BH=√52 et AC=√5.
1) a) Sachant que cos2(α)+sin2(α)=1, calcule cos(α).
b) Déduis-en HC et AB.
2) Une droite (Δ) parallèle à (BC) et passant par H coupe [AB] en E.
a) Compare les mesures des angles ^EHA et ^BCA.
b) Déduis-en que ABBC=EAEH
Exercice 21
1) Soit un triangle ABC rectangle en A tel que AB=8cm et AC=4cm.
Calcule BC.
2) Soit H le projeté orthogonal de A sur [BC].
On donne AB2=BH×BC et AC2=CH×BC
a) Calcule BH, CH puis AH.
b) La parallèle à (AH) passant par C coupe (AB) en E.
Calcule AE puis déduis-en EC.
c) Calcule sinˆE.
Exercice 22
On donne la figure ci-dessous où HG=6cm, ^EGH=45∘, sin^HFG=35, (GH) est la hauteur du triangle EFG issue de G et (HG) parallèle à (ER).
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1) Détermine cos^HGF.
2) En utilisant les relations trigonométriques dans le triangle rectangle, calcule les longueurs FG et FH.
3) Justifie que le triangle EGH est rectangle et isocèle en H puis déduis-en EH.
4) Calcule la longueur RE.
Exercice de Synthèse
Soit ABC un triangle rectangle en B et AC l'hypoténuse, sinˆA est égal :
a) ACBC b) ABAC c) BCAC
▸Correction des exercices
Ordre:
12
Commentaires
WADE (non vérifié)
sam, 11/10/2018 - 20:14
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intéressant
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lun, 12/02/2019 - 18:02
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lun, 12/02/2019 - 18:02
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lun, 12/02/2019 - 18:02
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lun, 12/02/2019 - 18:02
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Anonyme (non vérifié)
lun, 12/02/2019 - 18:13
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Merci vous l'aurez bientôt
Anonyme (non vérifié)
sam, 07/11/2020 - 22:40
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Is good
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