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Physique

Solution des exercices : Dynamique - Ts

Classe:

Terminale

Exercice 1

1) a) Vitesse du solide $(S)$ en $B$, en $C$ et en $D$

$-\ $ Système étudié : le solide $(S)$

$-\ $ Référentiel d'étude : terrestre supposé galiléen

$-\ $ Bilan des forces appliquées : le poids $\vec{P}$ et la réaction $\vec{R}$ du plan

Le théorème de l'énergie cinétique s'écrit entre :

$\bullet\ $ les points $A\ $ et $\ B\ :$

$\begin{array}{rcl} \Delta\,E_{C}=\sum\overrightarrow{W}&\Rightarrow&\,E_{C_{B}}-E_{C_{A}}=W_{AB}(\vec{P})+W_{AB}(\vec{R})\\\\&\Rightarrow&\dfrac{1}{2}mv_{B}^{2}-0=mgAB\sin\alpha+0\\\\&\Rightarrow&v_{B}=\sqrt{2ABg\sin\alpha}\\\\&\Rightarrow&v_{B}=\sqrt{2\times 1.6\times 10\sin 30}\\\\&\Rightarrow&v_{B}=4.0\;m\cdot s^{-1} \end{array}$

$\begin{array}{rcl}\Delta\,E_{C}=\sum\overrightarrow{W}&\Rightarrow&E_{C_{C}}-E_{C_{B}}=W_{BC}(\vec{P})+W_{BC}(\vec{R})\\\\&\Rightarrow&\dfrac{1}{2}mv_{C}^{2}-\dfrac{1}{2}mv_{B}^{2}=mgr(1-\cos\alpha)+0\\\\&\Rightarrow&v_{C}=\sqrt{2gr(1-\cos\alpha)+v_{B}^{2}}\\\\&\Rightarrow&v_{C}=\sqrt{2\times 10\times 0.9(1-\cos 30)+4^{2}}\\\\&\Rightarrow&v_{C}=4.3\;m\cdot s^{-1} \end{array}$

$\bullet\ $ les points $C\ $ et $\ D\ :$

$\begin{array}{rcl}\Delta\,E_{C}=\sum\overrightarrow{W}&\Rightarrow&E_{C_{D}}-E_{C_{C}}=W_{CD}(\vec{P})+W_{CD}(\vec{R})\\\\&\Rightarrow&\dfrac{1}{2}mv_{D}^{2}-\dfrac{1}{2}mv_{C}^{2}=mgr(1-\cos\beta)+0\\\\&\Rightarrow&v_{D}=\sqrt{v_{C}^{2}-2gr(1-\cos\beta)}\\\\&\Rightarrow&v_{D}=\sqrt{(4.3)^{2}-2\times 10\times 0.9(1-\cos 60)}\\\\&\Rightarrow&v_{D}=3.0\;m\cdot s^{-1} \end{array}$

b) Intensité de la force $\vec{R}$ exercée par la piste sur le solide $(S)$ en $C$ et en $D$

$-\ $ Système étudié : le solide

$-\ $ Référentiel : terrestre supposé galiléen

$-\ $ Bilan des forces appliquées : le poids $\vec{P}$ du solide ; la réaction de la piste $\vec{R}$

$-\ $ Le théorème du centre d'inertie s'écrit : $\vec{P}+\vec{R}=m\vec{a}$

Dans le repère de Frenet $\left(M\;,\ \vec{u}_{t}\;,\ \vec{u}_{n}\right)$

suivant $\vec{u}_{n}\ :$

$\begin{array}{rcl} -P+R=ma_{n}&\Rightarrow&-mg+R_{C}=m\dfrac{V_{C}^{2}}{r}\\\\&\Rightarrow&R_{C}=m\left(g+\dfrac{V_{C}^{2}}{r}\right)\\\\&\Rightarrow&R_{C}=50\cdot 10^{-3}\left(10+\dfrac{4.3^{2}}{0.9}\right)\\\\&\Rightarrow&R_{C}=1.5\end{array}$

$\begin{array}{rcl} -P\cos\theta+R=ma_{n}&\Rightarrow&-mg\cos\theta+R_{D}=m\dfrac{V_{D}^{2}}{r}\\\\&\Rightarrow&R_{D}=m\left(g\cos\theta+\dfrac{V_{D}^{2}}{r}\right)\\\\&\Rightarrow&R_{D}=50\cdot 10^{-3}\left(10\cos 60+\dfrac{3.0^{2}}{0.9}\right)\\\\&\Rightarrow&R_{D}=0.75\;N \end{array}$

c) Caractéristiques du vecteur vitesse $\vec{V}_{D}$ du solide $(S)$ au point $D$

$-\ $ Point d'application : le point $D$

$-\ $ Direction : tangente à la trajectoire au point $D$

$-\ $ Sens : dirigé vers le haut

$-\ $ Intensité : $v_{D}=3.0\;m\cdot s^{-1}$

2) a) Équation cartésienne de la trajectoire du mouvement de $(S)$

Le solide est soumis à son poids $\vec{P}$ ; dans le référentiel terrestre supposé galiléen, le théorème du centre d'inertie appliqué au solide $(S)$ s'écrit :

$\begin{array}{rcl} \vec{P}=m\vec{a}&\Rightarrow&m\vec{g}=m\vec{a}\\\\&\Rightarrow&\vec{a}=\vec{g}\\\\&\Rightarrow&\vec{a}\left\lbrace\begin{array}{rcl}a_{x}&=&0\\a_{x}&=&-g \end{array}\right.\end{array}$

$\dfrac{\mathrm{d}\vec{V}}{\mathrm{d}t}=\vec{a}\ \Rightarrow\ \left\lbrace\begin{array}{rcl}V_{x}&=&cte\\V_{x}&=&-gt+cte \end{array}\right.$

Or, $\ \left\lbrace\begin{array}{lllll}V_{x}(0)&=&cte&=&V_{D}\cos\theta\\\\V_{x}(0)&=&-g\times 0+cte&=&V_{D}\sin\theta \end{array}\right.$

Donc, $\overrightarrow{V}\left\lbrace\begin{array}{lcl}V_{x}&=&V_{D}\cos\theta\\\\V_{x}&=&-gt+V_{D}\sin\theta \end{array}\right.$

Par suite,

$\begin{array}{rcl}\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{OM}}{\mathrm{d}t}=\vec{V}&\Rightarrow&\overrightarrow{OM}\left\lbrace\begin{array}{rcl}x&=&(V_{D}\cos\theta)t+cte\\\\z&=&-\dfrac{1}{2}gt^{2}+(V_{D}\sin\theta)t+cte\end{array}\right.\\\\&\Rightarrow&\left\lbrace\begin{array}{lllll}x(0)&=&(V_{D}\cos\theta)\times 0+cte&=&0\\\\z(0)&=&-\dfrac{1}{2}g\times 0^{2}+(V_{D}\sin\theta)\times 0+cte&=&h+r(1-\cos\theta) \end{array}\right.\\\\&\Rightarrow&\left\lbrace\begin{array}{rclr}x&=&(V_{D}\cos\theta)t&(1)\\\\z&=&-\dfrac{1}{2}gt^{2}+(V_{D}\sin\theta)t+h+r(1-\cos\theta)&(2)\end{array}\right.\end{array}$

$(1)\ \Rightarrow\ x=(V_{D}\cos\theta)t\ \Rightarrow\ t=\dfrac{x}{V_{D}\cos\theta}$

$(1)$ dans $(2)$ entraine :

$z=-\dfrac{1}{2}g\left(\dfrac{x}{V_{D}\cos\theta}\right)^{2}+(V_{D}\sin\theta)\left(\dfrac{x}{V_{D}\cos\theta}\right)+h+r(1-\cos\theta)$

$\boxed{\Rightarrow\;z=-\dfrac{1}{2}g\dfrac{x^{2}}{V_{D}^{2}\cos^{2}\theta}+x\tan\theta+h+r(1-\cos\theta)}$

b) Hauteur $H$ au-dessus du sol horizontal

$\dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}=-g\dfrac{x}{V_{D}^{2}\cos^{2}\theta}+\tan\theta=0\ \Rightarrow\ x=\dfrac{V_{D}^{2}\cos^{2}\theta}{g}\tan\theta$

Donc,

$\begin{array}{rcl} z&=&-\dfrac{1}{2}g\dfrac{\left(\dfrac{V_{D}^{2}\cos^{2}\theta}{g}\tan\theta\right)^{2}}{V_{D}^{2}\cos^{2}\theta}+\dfrac{V_{D}^{2}\cos^{2}\theta}{g}\tan\theta\tanh\theta+h+r(1-\cos\theta)\\\\&=&\dfrac{1}{2}\dfrac{V_{D}^{2}\cos^{2}\theta}{g}\tan^{2}\theta+h+r(1-\cos\theta)\\\\&=&\dfrac{1}{2}\dfrac{V_{D}^{2}\cos^{2}\theta}{g}+h+r(1-\cos\theta)\\\\&=&\dfrac{1}{2}\dfrac{3.0^{2}\sin^{2}60}{10}+1.55+0.9(1-\cos 60)\\\\&=&H=2\,m\end{array}$

c) Calcul de la distance OP où P est le point d'impact du solide $(S)$ sur le sol horizontal

$\begin{array}{rcl} z_{1}&=&\dfrac{-\tan\theta+\sqrt{\tan\theta^{2}+2g\left(\dfrac{h+r(1-\cos\theta)}{V_{D}^{2}\cos\theta^{2}}\right)}}{g}V_{D}^{2}\cos\theta^{2}\\\\&=&\dfrac{-\tan 60+\sqrt{\tan 60^{2}+2\times 10\left(\dfrac{1.55+0.9(1-\cos 60)}{3.0^{2}\cos 60^{2}}\right)}}{10}\times 3.0^{2}\cos 60^{2}\\\\&=&4.0\end{array}$

$\Rightarrow\;\boxed{z_{1}=4.0\,m}$

$z_{2}=\dfrac{-\tan\theta+\sqrt{\tan\theta^{2}+2g\left(\dfrac{h+r(1-\cos\theta)}{V_{D}^{2}\cos\theta^{2}}\right)}}{g}V_{D}^{2}\cos\theta^{2}$

$\Rightarrow\;z_{2}<0$ ;

Cette solution n'a pas de sens physique

3) a) Expression algébrique du travail $W_{\vec{f}}$ de la force en fonction de $m$, $g$, $R$ et $\alpha$

Le théorème de l'énergie cinétique s'écrit entre $A\ $ et $\ D$

$E_{C_{D}}-E_{C_{A}}=W_{AD}(\vec{P})+W_{AD}(\vec{R})+W_{AD}(\vec{f})$

Donc, $0-0=mgr\cos\theta+0+W_{AD}(\vec{f})$

Ce qui donne : $W_{AD}(\vec{f})=-mgr\cos\theta$

Calcul $W_{\vec{f}}$

$\begin{array}{rcl} W_{AD}(\vec{f})&=&-mgr\cos\theta\\\\&=&-50\cdot 10^{-3}\times 10\times 0.9\cos 60\\\\&=&-0.225\;J\end{array}$

b) Intensité de la force $\vec{f}$

$\begin{array}{rcl} W_{AD}(\vec{f})=-f\left(AB+r\dfrac{\pi}{2}\right)&\Rightarrow&f=-\dfrac{W_{AD}(\vec{f})}{AB+r\dfrac{\pi}{2}}\\\\&\Rightarrow&f=-\dfrac{-0.225\,J}{1.6+0.9\times\dfrac{\pi}{2}}\\\\&\Rightarrow&f=0.075\;N\end{array}$

Exercice 2

1) Détermination des composantes de l'accélération de la bombe

$-\ $ Système : la bombe

$-\ $ Référentiel d'étude : terrestre supposé galiléen

$-\ $ Bilan des forces appliquées : $\overrightarrow{P}$

La relation fondamentale de la dynamique appliquée à la bombe s'écrit :

$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{P}&=&m\overrightarrow{a}\\\Rightarrow\;m\overrightarrow{g}&=&m\overrightarrow{a}\\\Rightarrow\overrightarrow{a}&=&\overrightarrow{g}\\\Rightarrow\overrightarrow{a}\left\lbrace\begin{array}{rcl}a_{x}&=&0\\a_{y}&=&g \end{array}\right.\end{array}$

$\begin{array}{lcl}\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{V}}{\mathrm{d}t}&=&\overrightarrow{a}\\ \Rightarrow\left\lbrace\begin{array}{rcl}V_{x}&=&cte\\V_{y}&=&gt+cte\end{array}\right.\end{array}$

Or $\left\lbrace\begin{array}{lllll}V_{x}(0)&=&cte&=&V_{0}\\V_{y}(0)&=&-g\times 0+cte&=&0 \end{array}\right.$

$$\Rightarrow\overrightarrow{V}\left\lbrace\begin{array}{lcl}V_{x}&=&V_{0}\\V_{y}&=&gt \end{array}\right.$$

$\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{OM}}{\mathrm{d}t}=\overrightarrow{V}\Rightarrow\overrightarrow{OM}\left\lbrace\begin{array}{lcl}x&=&V_{0}t+cte\\y&=&\dfrac{1}{2}gt^{2}+cte \end{array}\right.$

$\left\lbrace\begin{array}{lllll}x(0)&=&V_{0}\times 0+cte&=&0\\y(0)&=&\dfrac{1}{2}g\times 0^{2}+cte&=&0 \end{array}\right.$

$$\Rightarrow\overrightarrow{OM}\left\lbrace\begin{array}{lcl}x&=&V_{0}t\\y&=&\dfrac{1}{2}gt^{2} \end{array}\right.$$

3) Équation de la trajectoire de la bombe

$x=v_{0}t\Rightarrow\;t=\dfrac{x}{v_{0}}$ et comme $y=\dfrac{1}{2}gt^{2}$

$\Rightarrow\;y=\dfrac{1}{2}g\left(\dfrac{x}{v_{0}}\right)^{2}\Rightarrow\;y=\dfrac{1}{2}g\dfrac{x^{2}}{v_{0}^{2}}$

4) La position du véhicule par rapport à l'origine $O$

Le théorème du centre d'inertie s'écrit :

$\begin{array}{lcl} y&=&\dfrac{1}{2}g\dfrac{x^{2}}{v_{0}^{2}}\\&=&2000\\\Rightarrow\;x^{2}&=&\dfrac{2v_{0}^{2}\times 2000}{g}\\\Rightarrow\;x&=&\sqrt{\dfrac{2v_{0}^{2}\times 2000}{g}}\\&=&\sqrt{\dfrac{2\times 400^{2}\times 2000}{10}}\\\Rightarrow\;x&=&8000\,m \end{array}$

Détermination de la date d'arrivée de la bombe au véhicule.

$t=\dfrac{x}{v_{0}}=\dfrac{8000}{400}\Rightarrow\;t=20s$

5) Position de l'avion à la date d'arrivée de la bombe au véhicule

$x=v_{0}t=400\times 20=8000\,m$

6) Détermination des caractéristiques du vecteur vitesse de la bombe à $1000\,m$ au-dessus du sol.

$-\ $ Direction : tangent à la trajectoire au point considéré

$-\ $ Sens : dirigé vers le sol

$-\ $ Valeur :

$\begin{array}{lcl} t&=&\dfrac{x}{v_{0}}\\&=&\dfrac{1000}{400}\\\Rightarrow\;t&=&2.5s\\\Rightarrow\;v&=&\sqrt{v_{x}^{2}(t=2.5s)+v_{y}^{2}(t=2.5s)}\\&=&\sqrt{400^{2}+(10\times 2.5)^{2}}\\\Rightarrow\;v&=&4.72\cdot 10^{2}m\cdot s^{-1} \end{array}$

Exercice 3

1) Calcul de la valeur de l'angle $\alpha.$

$-\ $ Système : La bille

$-\ $ Référentiel d'étude : terrestre supposé galiléen

$-\ $ Bilan des forces appliquées : le poids $\overrightarrow{P}$ et la tension $\overrightarrow{T}$ du fil

Le théorème de l'énergie cinétique entre $M_{1}$ et $M_{2}$ s'écrit :

$\begin{array}{lcl} E_{C_{M1}}-E_{C_{M1}}&=&W_{M1M2}(\overrightarrow{P})+W_{M1M2}(\overrightarrow{T})\\\Rightarrow\dfrac{1}{2}mv^{2}-0&=&mg(1-\cos\alpha)+0\\\Rightarrow\cos\alpha&=&1-\dfrac{v^{2}}{2gl}\\\Rightarrow\cos\alpha&=&1-\dfrac{3^{2}}{2\times 10\times 0.9}\\\Rightarrow\cos\alpha&=&0.5\\\alpha&=&60^{\circ} \end{array}$

2) Calcul la vitesse de la bille

La conservation de la quantité de mouvement : $m_{1}\overrightarrow{v}+\overrightarrow{0}=m_{1}\overrightarrow{v'_{1}}+m_{2}\overrightarrow{v_{A}}$

Suivant le sens de $\overrightarrow{v'_{1}}$ :

$\begin{array}{lcl} \Rightarrow\;m_{1}v'_{1}-m_{2}v_{A}&=&-m_{1}v\\\Rightarrow\;m_{1}v'_{1}&=&m_{2}v_{A}-m_{1}v\\\Rightarrow\;v'_{1}&=&v_{A}-v(m_{2}=m_{1})\\\Rightarrow\;v'_{1}&=&v_{A}-v\\&=&4-3\\\Rightarrow\;v'_{1}&=&1\,m\cdot s^{-1} \end{array}$

3) a) Expression, en fonction de $g$, $r$, $\beta$ et $v_{A}$, de la vitesse de la bille $M_{2}$ au point $I$

$-\ $ Système : Le pendule

$-\ $ Référentiel d'étude : terrestre supposé galiléen

$-\ $ Bilan des forces appliquées : le poids $\overrightarrow{P}$

Le théorème de l'énergie cinétique entre $A$ et $I$ s'écrit :

$\begin{array}{lcl} E_{C_{M_{I}}}-E_{C_{M_{A}}}&=&W_{AI}(\overrightarrow{P})\\\Rightarrow\dfrac{1}{2}m_{2}v_{I}^{2}-\dfrac{1}{2}m_{2}v_{A}^{2}&=&-m_{2}gr\cos\beta\\\Rightarrow\;v_{I}&=&\sqrt{v_{A}^{2}-2gr\cos\beta} \end{array}$

b) Expression, en fonction de $m_{2}$, $g$, $r$, $\beta$ et $v_{A}$, de l'intensité de la réaction de la piste sur la bille $M_{2}$ au point $I$

Le théorème du centre d'inertie appliqué à la bille soumise à son poids et la réaction de la piste, dans le référentiel terrestre supposé galiléen, s'écrit : $\overrightarrow{P}+\overrightarrow{R}=m_{2}\overrightarrow{a}$

Projection dans le repère de Frenet $(I\;,\ \overrightarrow{u_{t}}\;,\ \overrightarrow{u_{n}})$ et suivant $\overrightarrow{u_{n}}$ :

$\begin{array}{lcl} \Rightarrow\;m_{2}g\cos\beta-R&=&m_{2}\dfrac{v_{I}^{2}}{r}\\\Rightarrow\;R&=&m_{2}g\cos\beta-m_{2}\dfrac{v_{I}^{2}}{r}-m\\&=&m_{2}g\cos\beta-m_{2}\dfrac{v_{A}^{2}-2gr\cos\beta}{r}\\\Rightarrow\;R&=&m_{2}\left(3g\cos\beta-\dfrac{v_{A}^{2}}{r}\right) \end{array}$

c) Calcul de la valeur de $r.$

$v_{I}=\sqrt{v_{A}^{2}-2gr\cos\beta}$

$\begin{array}{lcl} \text{En : }D\beta=0\\\Rightarrow\;v_{D}&=&\sqrt{v_{A}^{2}-2gr}\\\Rightarrow\;r&=&\dfrac{v_{A}^{2}-v_{D}^{2}}{2g}\\&=&\dfrac{4^{2}-1^{2}}{2\times 10}\\\Rightarrow\;r&=&0.75\,m \end{array}$

4) a) Équation cartésienne de la trajectoire de la bille $M_{2}$

$-\ $ Système : La bille

$-\ $ Référentiel d'étude : terrestre supposé galiléen

$-\ $ Bilan des forces appliquées : le poids $\overrightarrow{P}$

Le théorème du centre d'inertie s'écrit :

$\begin{array}{lcl} \overrightarrow{P}&=&m\overrightarrow{a}\\\Rightarrow\;m\overrightarrow{g}&=&m\overrightarrow{a}\\\Rightarrow\overrightarrow{a}&=&\overrightarrow{g}\end{array}\\\Rightarrow\overrightarrow{a}\left\lbrace\begin{array}{lcl}a_{x}&=&0\\a_{y}&=&-g \end{array}\right.$

$\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{V}}{\mathrm{d}t}=\overrightarrow{a}$

$\Rightarrow\overrightarrow{V}\left\lbrace\begin{array}{lcl}V_{x}&=&cte\\V_{y}&=&-gt+cte \end{array}\right.$

$\Rightarrow\overrightarrow{V}(t=0)\left\lbrace\begin{array}{lllll}V_{x}&=&cte&=&V_{D}\\V_{y}&=&-g\times 0+cte&=&0 \end{array}\right.$

$$\Rightarrow\overrightarrow{V}\left\lbrace\begin{array}{lcl}V_{x}&=&V_{D}\\V_{y}&=&-gt \end{array}\right.$$

$\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{OM}}{\mathrm{d}t}=\overrightarrow{V}\Rightarrow\overrightarrow{OM}\left\lbrace\begin{array}{lcl}x&=&V_{D}t\\y&=&-\dfrac{1}{2}gt^{2}+R \end{array}\right.$

$\Rightarrow\overrightarrow{OM}(t=0)\left\lbrace\begin{array}{lllll}x&=&V_{D}\times 0+cte&=&0\\y&=&-\dfrac{1}{2}g\times 0^{2}+cte&=&r \end{array}\right.$

$$\Rightarrow\overrightarrow{OM}\left\lbrace\begin{array}{lcl}x&=&V_{D}t\\y&=&-\dfrac{1}{2}gt^{2}+r \end{array}\right.$$

$\begin{array}{lcl} x&=&v_{D}t\\\Rightarrow\;t&=&\dfrac{x}{v_{D}}\\\Rightarrow\;y&=&-\dfrac{1}{2}g\dfrac{x^{2}}{v_{D}^{2}}+r \end{array}$

b) Calcul de la distance $OE$

La distance $OE$ correspond à la portée ; donc : $y=0$

$\begin{array}{lcl} \Rightarrow-\dfrac{1}{2}g\dfrac{x_{E}^{2}}{v_{D}^{2}}+r&=&0\\\Rightarrow\;x_{E}&=&\sqrt{\dfrac{2v_{D}^{2}r}{g}}\\&=&\sqrt{\dfrac{2\times 1^{2}\times 0.75}{10}}\\\Rightarrow\;x_{E}&=&0.39\,m \end{array}$

Exercice 4

1. Signe de la tension $U_{CD}$

Pour que les protons chargés positivement soient accélérés, il faut que les plaques $P_{1}$ et $P_{2}$ soient respectivement chargées positivement et négativement.

La tension $U_{CD}$ est donc de signe positif

2.1 Expression de la vitesse d'un proton en $D$ en fonction de $U$, $e$ et $m_{p}$

$-\ $ Système : le proton

$-\ $ Référentiel d'étude : de laboratoire supposé galiléen

$-\ $ Bilan des forces appliquées : le poids $\overrightarrow{P}$ et la force électrique $\overrightarrow{F}$

Le théorème de l'énergie cinétique appliqué à l'électron entre $C$ et $D$ s'écrit :

$\begin{array}{lcl} \Delta\,E_{C}&=&\sum\,W\\\Rightarrow\;E_{C_{O}}-E_{C_{D}}&=&W_{DO}(\overrightarrow{P})\text{ or }\overrightarrow{P}\perp\overrightarrow{DO}\\\Rightarrow\;W_{DO}(\overrightarrow{P})&=&0\\\Rightarrow\;E_{C_{O}}-E_{C_{D}}&=&0\\\Rightarrow\;E_{C_{O}}&=&E_{C_{D}}\\&=&\text{costante} \end{array}$

L'énergie cinétique se conserve donc entre $D$ et $O$

3.2 Équations du mouvement d'un proton

$-\ $ Système : le proton

$-\ $ Référentiel d'étude : de laboratoire supposé galiléen

$-\ $ Bilan des forces appliquées : la force électrique $\overrightarrow{F}$ et le poids $\overrightarrow{P}$ négligeable devant la force électrique $\overrightarrow{F}$

Le théorème du centre d'inertie s'écrit :

$\begin{array}{lcl} \overrightarrow{F}&=&m_{F}\overrightarrow{a}\\\Rightarrow\;e\overrightarrow{E}&=&m_{F}\overrightarrow{a}\\\Rightarrow\overrightarrow{a}&=&\dfrac{e\overrightarrow{E}}{m_{F}}\end{array}\\\Rightarrow\overrightarrow{a}\left\lbrace\begin{array}{lcl}a_{x}&=&0\\a_{y}&=&-\dfrac{eE}{m_{F}}\end{array}\right.$

$\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{V}}{\mathrm{d}t}=\overrightarrow{a}$

$\Rightarrow\overrightarrow{V}\left\lbrace\begin{array}{lcl}v_{x}&=&cte\\v_{y}&=&-\dfrac{eE}{m_{F}}t+cte \end{array}\right.$

$\Rightarrow\overrightarrow{V}(t=0)\left\lbrace\begin{array}{lllll}v_{x}&=&cte&=&v_{D}\\v_{y}&=&-\dfrac{eE}{m_{F}}\times 0+cte&=&0 \end{array}\right.$

$$\Rightarrow\overrightarrow{V}\left\lbrace\begin{array}{lcl}v_{x}&=&V_{D}\\v_{y}&=&-\dfrac{eE}{m_{F}}t \end{array}\right.$$

$\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{OM}}{\mathrm{d}t}=\overrightarrow{V}\Rightarrow\overrightarrow{OM}\left\lbrace\begin{array}{lcl}x&=&v_{D}t+cte\\y&=&-\dfrac{1}{2}\dfrac{eE}{m_{p}}t^{2}+cte \end{array}\right.$

$\Rightarrow\overrightarrow{OM}(t=0)\left\lbrace\begin{array}{lllll}x&=&v_{D}\times 0+cte&=&0\\y&=&-\dfrac{1}{2}\dfrac{eE}{m_{p}}\times 0^{2}+cte&=&0 \end{array}\right.$

$$\Rightarrow\overrightarrow{OM}\left\lbrace\begin{array}{lcl}x&=&v_{D}t\\y&=&-\dfrac{1}{2}\dfrac{eE}{m_{p}}t^{2} \end{array}\right.$$

3.3 Vérifions que l'équation de la trajectoire peut s'écrire :

$y=-\dfrac{U'}{4\mathrm{d}U}x^{2}$

$x=v_{D}t\Rightarrow\;t=\dfrac{x}{v_{D}}$

comme $y=-\dfrac{1}{2}\dfrac{eE}{m_{p}}t^{2}$

$\Rightarrow\;y=-\dfrac{1}{2}\dfrac{eE}{m_{p}}\left(\dfrac{x}{v_{D}}\right)=-\dfrac{1}{2}\dfrac{eE}{m_{p}}\dfrac{x^{2}}{v_{D}^{2}}$ ;

$\begin{array}{lcl} \text{et omme }E=\dfrac{U'}{\mathrm{d}}\text{ et }v_{D}&=&\sqrt{\dfrac{2eE}{m_{p}}}\\\Rightarrow\;v_{D}^{2}&=&\dfrac{2eE}{m_{p}}\\\Rightarrow\;y&=&-\dfrac{1}{2}\dfrac{e}{m_{p}}\dfrac{U'}{\mathrm{d}}\dfrac{x^{2}}{\dfrac{2eU}{m_{p}}}\\\Rightarrow\;y&=&-\dfrac{1}{4}\dfrac{U'}{\mathrm{d}U}x^{2} \end{array}$

3.4 Les protons sortent du champ électrostatique $\overrightarrow{E}$ sans heurter la plaque $P_{4}$ si :

$y=-\dfrac{1}{4}\dfrac{U'}{\mathrm{d}U}l^{2}<-\dfrac{\mathrm{d}}{2}$

3.5 Détermination de $U'$

Les protons sortent du champ par le point $S$

$\begin{array}{lcl} y&=&-\dfrac{1}{4}\dfrac{U'}{\mathrm{d}U}l^{2}\\&=&-\dfrac{\mathrm{d}}{5}\\\Rightarrow\;U'&=&\dfrac{4\mathrm{d^{2}}}{5l^{2}}U\\&=&\dfrac{4\times 7^{2}}{5\times 20^{2}}\times 10^{3}\\\Rightarrow\;U'&=&9.8\cdot 10^{1}V \end{array}$

4.1 Représentation de la trajectoire (voir figure).

4.2 Expression littérale de la déviation $O'J$ du spot sur l'écran.

$\begin{array}{lcl} \tan\alpha&=&\dfrac{O'J}{L}\\&=&\dfrac{y_{S}}{\dfrac{l}{2}}\\\Rightarrow\;O'J&=&\dfrac{2y_{S}L}{l}\\&=&\dfrac{-\dfrac{1}{4}\dfrac{U'}{\mathrm{d}U}l^{2}L}{l}U\\\Rightarrow\;O'J&=&-\dfrac{1}{4}\dfrac{U'l}{\mathrm{d}U}L\\&=&-\dfrac{1}{4}\times\dfrac{9.8\cdot 10^{1}\times 20}{7\times 10^{3}}\times 20\\\Rightarrow\;O'J&=&1.4\,cm \end{array}$

Exercice 5

1) Détermination des lois horaires du mouvement

$-\ $ Système étudié : la bille

$-\ $ Référentiel : terrestre supposé galiléen

$-\ $ Bilan des forces appliquées : le poids P de la bille

$-\ $ La deuxième de Newton s'écrit :

$\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{V}}{\mathrm{d}t}=\overrightarrow{a}$

$\Rightarrow\overrightarrow{V}\left\lbrace\begin{array}{lcl}V_{x}&=&cte\\V_{y}&=&-gt+cte \end{array}\right.$

$\text{Or }\left\lbrace\begin{array}{lllll}V_{x}(0)&=&cte&=&V_{0}\sin\theta\\V_{y}(0)&=&-g\times 0+cte&=&V_{0}\cos\theta \end{array}\right.$

$$\Rightarrow\overrightarrow{V}\left\lbrace\begin{array}{lcl}V_{x}&=&V_{0}\sin\alpha\\V_{y}&=&-gt+V_{0}\cos\alpha \end{array}\right.$$

$\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{OM}}{\mathrm{d}t}=\overrightarrow{V}\Rightarrow\overrightarrow{OM}\left\lbrace\begin{array}{lcl}x&=&(V_{0}\sin\alpha)t+cte\\y&=&-\dfrac{1}{2}gt^{2}+(V_{0}\cos\alpha)t+cte \end{array}\right.$

$\Rightarrow\left\lbrace\begin{array}{lllll}x(0)&=&V_{0}\times 0+cte&=&0\\y(0)&=&-\dfrac{1}{2}g\times 0^{2}+V_{0}\cos\alpha\times 0+cte&=&0 \end{array}\right.$

$$\Rightarrow\overrightarrow{OM}\left\lbrace\begin{array}{lcl}x&=&(V_{0}\sin\alpha)t\quad(1)\\y&=&-\dfrac{1}{2}gt^{2}+(V_{0}\cos\alpha)t\quad(2) \end{array}\right.$$

$(1)\qquad\Rightarrow\;x=(V_{0}\sin\alpha)t\Rightarrow\;t=\dfrac{x}{V_{0}\sin\alpha}$

$\text{Dans }(2)\Rightarrow\;y=-\dfrac{1}{2}g\left(\dfrac{x}{V_{0}\sin\alpha}{2}\right)^{2}+V_{0}\cos\alpha\times\dfrac{x}{V_{0}\sin\alpha}$

$\Rightarrow\;y=-\dfrac{1}{2}g\dfrac{x^{2}}{V_{0}^{2}\sin^{2}\alpha}+x\cot\,g\alpha$

3) a) Temps pendant lequel la bille s'élève avant de descendre

La composante $V_{y}$ du vecteur vitesse est nulle

$\begin{array}{lcl} V_{y}&=&-gt+V_{0}\cos\alpha\\&=&0\\\Rightarrow\;t&=&\dfrac{V_{0}\cos\alpha}{g}\\&=&\dfrac{16\cos 50}{9.8}\\\Rightarrow\;t&=&1.0s\\\Rightarrow\;t&=&1.3s \end{array}$

b) Vitesse à la fin de cette phase ascendante

$\begin{array}{lcl} V&=&\sqrt{V_{x}^{2}+V_{y}^{2}}\\&=&\sqrt{V_{0}\sin^{2}\alpha+0}\\&=&V_{0}\sin\alpha\\&=&16\sin 50\\\Rightarrow\;V&=&12\,m\cdot s^{-1} \end{array}$

4) Altitude maximale atteinte par la bille

$y_{max}=-\dfrac{1}{2}gt^{2}+(V_{0}\cos\alpha)t$

$\text{or }t=\dfrac{V_{0}\cos\alpha}{g}\Rightarrow\;y_{max}=-\dfrac{1}{2}g\left(\dfrac{V_{0}\cos\alpha}{g}\right)^{2}+(V_{0}\cos\alpha)\times\dfrac{V_{0}\cos\alpha}{g}$

$\Rightarrow\;y_{max}=\dfrac{V_{0}\cos^{2}\alpha}{2g}=\dfrac{16^{2}\cos^{2}50}{2\times 9.8}$

$\Rightarrow\;y_{max}=5.4\,m$

5) a) Détermination de la distance $OP$

C'est l'abscisse d'ordonnée nulle

$\begin{array}{lcl} y&=&\\\Rightarrow-\dfrac{1}{2}g\dfrac{x_{p}^{2}}{V_{0}^{2}\sin^{2}\alpha}+x_{p}\cot g\alpha&=&0\\\Rightarrow\;x_{p}\left(-\dfrac{1}{2}g\dfrac{x_{p}}{V_{0}^{2}\sin^{2}\alpha}+\cot g\alpha\right)&=&0\\\Rightarrow\;x_{p}&=&0\text{ (Origine O)} \end{array}$

$\begin{array}{lcl} \text{ou }x_{p}&=&\dfrac{2\cot g\alpha\times V_{0}^{2}\sin^{2}\alpha}{g}\\&=&\dfrac{2V_{0}^{2}\sin\alpha\cos\alpha}{g}\\&=&\dfrac{V_{0}^{2}\sin 2\alpha}{g}\\&=&\dfrac{16^{2}\sin(2\times 50)}{9.8}\\\Rightarrow\;x_{p}&=&25.7\,m \end{array}$

b) Valeur de $\alpha$ pour laquelle $OP$ est maximale

$x_{p}$ est maximale lorsque $\sin 2\alpha=1\Rightarrow\;2\alpha=\dfrac{\pi}{2}\Rightarrow\alpha=\dfrac{\pi}{4}$

6) Montrons qu'il y a deux angles de tir $\alpha_{1}$ et $\alpha_{2}$ permettant d'atteindre $Q$

$\begin{array}{lcl} y&=&\\\Rightarrow-\dfrac{1}{2}g\dfrac{x_{0}^{2}}{V_{0}^{2}\sin^{2}\alpha}+x_{0}\cot g\alpha&=&0\\\Rightarrow\;x_{0}&=&0\text{ ou }\dfrac{1}{2}g\dfrac{1}{V_{0}^{2}\sin^{2}\alpha}x_{0}-\cot g\alpha&=&0 \end{array}$

$\begin{array}{lcl} \text{Comme }\dfrac{1}{\sin^{2}\alpha}&=&1+\cot g^{2}\alpha\\\Rightarrow\dfrac{1}{2}(1+\cot g^{2}\alpha)g x_{0}-\cot g\alpha&=&0\\\Rightarrow\cot g^{2}\alpha-\dfrac{2V_{0}^{2}}{g x_{0}}\cot g\alpha+1&=&0\\\\\Rightarrow\cot g\alpha_{1}&=&\dfrac{\dfrac{V_{0}^{2}}{g x_{0}}-\sqrt{\dfrac{V_{0}^{4}}{(g x_{0})^{2}}-1}}{1}\\&=&\dfrac{V_{0}^{2}}{g x_{0}}-\sqrt{\dfrac{V_{0}^{4}}{(g x_{0})^{2}}-1}\\&=&\dfrac{16^{2}}{9.8\times 10}-\sqrt{\dfrac{16^{4}}{(9.8\times 10)^{2}}-1}\\\Rightarrow\cot g\alpha_{1}&=&0.20\\\\\Rightarrow\cot g\alpha_{2}&=&\dfrac{\dfrac{V_{0}^{2}}{g x_{0}}+\sqrt{\dfrac{V_{0}^{4}}{(g x_{0})^{2}}-1}}{1}\\&=&\dfrac{V_{0}^{2}}{g x_{0}}+\sqrt{\dfrac{V_{0}^{4}}{(g x_{0})^{2}}-1}\\&=&\dfrac{16^{2}}{9.8\times 10}+\sqrt{\dfrac{16^{4}}{(9.8\times 10)^{2}}-1}\\\Rightarrow\cot g\alpha_{2}&=&5.03 \end{array}$

$\alpha_{1}=7807^{\circ}\text{ et }\alpha_{2}=11.3^{\circ}$

Exercice 6

I. La trajectoire balistique de $C$ vers $T$

a) Un référentiel galiléen est un référentiel dans le lequel le principe de l'inertie est vérifié.

b) Bilan des forces qui s'exercent sur la balle

Le poids de la balle est la seule force qui s'exerce sur la balle.

La balle tombe en chute libre

c) Équations horaires de la vitesse et de la position de la balle $B.$

$-\ $ Système étudié : la bille

$-\ $ Référentiel : terrestre supposé galiléen

$-\ $ Bilan des forces appliquées : le poids $\overrightarrow{P}$ de la balle

Le théorème du centre d'inertie s'écrit :

$\Rightarrow\overrightarrow{V}\left\lbrace\begin{array}{lcl}V_{x}&=&V_{0}\\V_{z}&=&-gt \end{array}\right.$

$$\Rightarrow\overrightarrow{OM}\left\lbrace\begin{array}{lcl}x&=&V_{0}t\quad(1)\\z&=&-\dfrac{1}{2}gt^{2}+z_{C}\quad(2) \end{array}\right.$$

d) Équation $z(x)$ de la trajectoire de la balle $B.$

$(1)\qquad\Rightarrow\;x=V_{0}t\Rightarrow\;t=\dfrac{x}{V_{0}}$

$\text{Dans }(2)\Rightarrow\;z=-\dfrac{1}{2}g\left(\dfrac{x}{V_{0}}\right)^{2}+z_{C}$

$\Rightarrow\;z=-\dfrac{1}{2}g\dfrac{x^{2}}{V_{0}^{2}}+z_{C}$

e) Abscisse $x_{T}$ du trou $T$ pour que la balle tombe directement dedans

La balle tombe dans lorsque :

$\begin{array}{lcl}z&=&0\\\Rightarrow-\dfrac{1}{2}g\dfrac{x_{T}^{2}}{V_{0}^{2}}+z_{C}&=&0\\\Rightarrow\;x_{T}^{2}&=&\dfrac{2z_{C}V_{0}^{2}}{g}\\\\\Rightarrow\;x_{T}&=&\sqrt{\dfrac{2z_{C}V_{0}^{2}}{g}}\\&=&\sqrt{\dfrac{2\times 40\cdot 10^{-2}\times 2.0}{9.8}}\\\Rightarrow\;x_{T}&=&0.40\,m \end{array}$

f) Détermination la date $t_{F}$ à laquelle la balle B tombe dans le trou

$\begin{array}{lcl}z&=&-\dfrac{1}{2}gt^{2}+z_{C}\\&=&0\\\Rightarrow\;t^{2}&=&\dfrac{2z_{C}}{g}\\\Rightarrow\;t&=&\sqrt{\dfrac{2z_{C}}{g}}\\&=&\sqrt{\dfrac{2\times 40\cdot 10^{-2}}{9.8}}\\\Rightarrow\;t&=&2.8s \end{array}$

II. Le mouvement sur la rampe

a) Détermination la hauteur $z_{A}$ de $A$ nécessaire pour que la balle arrive en $C.$

Le théorème de l'énergie cinétique appliqué à la balle entre $A$ et $C$

$\begin{array}{lcl} E_{C_{C}}-E_{C_{A}}&=&W_{\overrightarrow{AC}}(\overrightarrow{P})\\\Rightarrow\dfrac{1}{2}mV_{C}^{2}-\dfrac{1}{2}mV_{A}^{2}&=&mg(z_{A}-z_{C})\\\\\Rightarrow\;z_{A}&=&\dfrac{1}{2g}(V_{C}^{2}-V_{A}^{2})+z_{C}\\&=&\dfrac{1}{2\times 9.8}(2.0^{2}-0.80^{2})+40\cdot 10^{-2}\\\Rightarrow\;z_{A}&=&57\,cm \end{array}$

b) la vitesse est horizontale du fait qu'elle est tangente à la trajectoire au point $C.$

Exercice 7

1) a) Montrons que la trajectoire est plane

$-\ $ Système : La balle

$-\ $ Référentiel d'étude : terrestre supposé galiléen

$-\ $ Bilan des forces appliquées : le poids $\overrightarrow{P}$

Le théorème du centre d'inertie s'écrit :

$\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{V}}{\mathrm{d}t}=\overrightarrow{a}$

$\Rightarrow\overrightarrow{V}\left\lbrace\begin{array}{lcl}v_{x}&=&cte\\v_{y}&=&-gt+cte\\v_{z}&=&cte \end{array}\right.$

$\overrightarrow{V}(t=0)\left\lbrace\begin{array}{lllll}v_{x}&=&cte&=&v_{0}\cos\alpha\\v_{y}&=&-g\times 0+cte&=&v_{0}\sin\alpha\\v_{z}&=&cte&=&0 \end{array}\right.$

$$\Rightarrow\overrightarrow{V}\left\lbrace\begin{array}{lcl}v_{x}&=&v_{0}\cos\alpha\\v_{y}&=&-gt+v_{0}\sin\alpha\\v_{z}&=&0 \end{array}\right.$$

$\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{OM}}{\mathrm{d}t}=\overrightarrow{V}\Rightarrow\overrightarrow{OM}\left\lbrace\begin{array}{lcl}x&=&(v_{0}\cos\alpha)t+cte\\y&=&-\dfrac{1}{2}gt^{2}+(v_{0}\sin\alpha)t+cte\\z&=&cte \end{array}\right.$

$$\Rightarrow\overrightarrow{OM}(t=0)\left\lbrace\begin{array}{lllll}x&=&(v_{0}\cos\alpha)\times 0+cte&=&0\\y&=&-\dfrac{1}{2}g\times 0^{2}+(v_{0}\sin\alpha)\times 0+cte&=&h\\z&=&cte&=&0 \end{array}\right.$$

$$\Rightarrow\overrightarrow{OM}\left\lbrace\begin{array}{lcl}x&=&(v_{0}\cos\alpha)t\\y&=&-\dfrac{1}{2}gt^{2}+(v_{0}\sin\alpha)t+h\\z&=&0 \end{array}\right.$$

$(1)\qquad\Rightarrow\;x=(V_{0}\sin\alpha)t\Rightarrow\;t=\dfrac{x}{V_{0}\sin\alpha}$

$\text{Dans }(2)\Rightarrow\;y=-\dfrac{1}{2}g\left(\dfrac{x}{V_{0}\sin\alpha}\right)^{2}+V_{0}\cos\alpha\times\dfrac{x}{V_{0}\sin\alpha}$

$\Rightarrow\;y=-\dfrac{1}{2}g\dfrac{x^{2}}{V_{0}^{2}\sin^{2}\alpha}+x\cot\,g\alpha$

Quelque soit $t$, $z=0$, la trajectoire est plane et se fait dans le plan $(xOy)$

b) Équation de cette trajectoire

On obtient cette équation en éliminant $t$ entre $x$ et $y$ :

$\begin{array}{lcl} x&=&(v_{0}\cos\alpha)t\\\Rightarrow\;t&=&\dfrac{x}{v_{0}\cos\alpha}\\\Rightarrow\;y&=&-\dfrac{1}{2}g\left(\dfrac{x}{v_{0}\cos\alpha}\right)^{2}+(v_{0}\sin\alpha)\left(\dfrac{x}{v_{0}\cos\alpha}\right)+h\\\\\Rightarrow\;y&=&-\dfrac{1}{2}g\dfrac{x^{2}}{v_{0}^{2}\cos^{2}\alpha}+(\tan\alpha)x+h \end{array}$

c) Valeur de $V_{0}$ pour que le panier soit réussi

Le panier est réussi si $x=7.1\,m$ et $y=3\,m$

$\begin{array}{lcl} y&=&-\dfrac{1}{2}g\dfrac{x^{2}}{v_{0}^{2}\cos^{2}\alpha}+(\tan\alpha)x+h\\\Rightarrow\;v_{0}^{2}&=&\dfrac{gx^{2}}{2\cos^{2}\alpha(x\tan\alpha+h-y)}\\\\\Rightarrow\;v_{0}&=&\sqrt{\dfrac{gx^{2}}{2\cos^{2}\alpha(x\tan\alpha+h-y)}}\\&=&\sqrt{\dfrac{10\times 7.1^{2}}{2\cos^{2}45^{\circ}(7.1\times\tan 45^{\circ}+2-3)}}\\\Rightarrow\;v_{0}&=&12\,m\cdot s^{-1} \end{array}$

d) Durée du trajet effectué par le ballon du point $A$ au point $C$

$\begin{array}{lcl} x&=&(v_{0}\cos\alpha)t\\\Rightarrow\;t&=&\dfrac{x}{v_{0}\cos\alpha}\\&=&\dfrac{7.1}{12\times\cos 45}\\\Rightarrow\;t&=&0.84s \end{array}$

2) Vérifions si le panier sera marqué ou non

$\begin{array}{lcl} x=0.9\Rightarrow\;x&=&-\dfrac{1}{2}10\times\dfrac{0.9^{2}}{12^{2}\times\cos^{2}45^{\circ}}+\tan 45^{\circ}\times 0.9+2\\\Rightarrow\;y&=&2.84\,m>2.7\,m \end{array}$

Le panier sera marqué

Exercice 8

Partie A

1) a) Représentation des forces qui s'exercent sur le solide.

b) Expression de l'accélération $a$ du solide $(S_{1})$

$-\ $ Système : Le solide $(S_{1})$

$-\ $ Référentiel d'étude : terrestre supposé galiléen

$-\ $ Bilan des forces appliquées : le poids $\overrightarrow{P}$ et la réaction $\overrightarrow{R}$ du plan.

Le théorème du centre d'inertie s'écrit :

$\overrightarrow{P}+\overrightarrow{R}=m_{1}\overrightarrow{a}$

Projection suivant l'axe $x'x$ :

$m_{1}g\sin\alpha=10\times\sin 30\Rightarrow\alpha=5\,m\cdot s^{-2}$

Le mouvement du solide $(S_{1})$ est uniformément accéléré

Calcul de $a$ :

$a=g\sin\alpha=10\times\sin 30\Rightarrow\;a=5\,m\cdot s^{-2}$

2) a) Calcul de la valeur de la vitesse $V_{B}$

$\begin{array}{lcl} V_{B}^{2}-V_{A}^{2}&=&2aAB\\\Rightarrow\;V_{B}^{2}-0&=&2aAb\\\Rightarrow\;V_{B}&=&\sqrt{2aAb}\\&=&\sqrt{2\times 5\times 2.5}\\\Rightarrow\;V_{B}&=&5\,m\cdot s^{-1} \end{array}$

b) Calcul de la durée $t_{B}$ du trajet $AB$

$V_{B}=at_{B}\Rightarrow\;t_{B}=\dfrac{V_{B}}{a}=\dfrac{5}{5}$

$\Rightarrow\;t_{B}=1s$

Partie B

1) a) Expression de l'accélération $a$ du système

La deuxième loi de Newton s'écrit :

$-\ $ Pour le solide $(S_{1})$ :

$\overrightarrow{f}+\overrightarrow{P_{1}}+\overrightarrow{R}+\overrightarrow{T_{1}}=m_{1}\overrightarrow{a_{1}}$

Suivant $x'x$ :

$-f-m_{1}g\sin\alpha+0+T_{1}=m_{1}a_{1}\Rightarrow\;T_{1}=m_{1}g\sin\alpha+m_{1}a_{1}$

$-\ $ Pour le solide $(S_{2})$ :

$\overrightarrow{P_{2}}+\overrightarrow{T_{2}}=m_{2}\overrightarrow{a_{2}}$

Suivant $y'y$ :

$m_{2}g-T_{2}=m_{2}a_{2}\Rightarrow\;T_{2}=m_{2}g-m_{2}a_{2}$

Les forces de frottement sont négligeables au niveau de la poulie :

$T_{1}=T'_{1}=T_{2}=T'_{2}$

$\Rightarrow\;m_{1}g\sin\alpha+m_{1}a_{1}+f=m_{2}g-m_{2}a_{2}$

Le fil est inextensible, l'accélération est la même en tout du fil :

$a_{1}=a_{2}=a$

$\Rightarrow(m_{1}+m_{2})a=(m_{2}-m_{1}\sin\alpha)g-f$

$\Rightarrow\;a=\dfrac{(m_{2}-m_{1}\sin\alpha)g-f}{(m_{1}+m_{2})}$

$m_{2}=m_{1}\Rightarrow\;a=\dfrac{m_{1}(1-\sin\alpha)g-f}{2m_{1}}$

$\Rightarrow\;a=(1-\sin\alpha)g-\dfrac{f}{2m_{1}}$

b) Calcul de $a$

$\begin{array}{lcl} a&=&(1-\sin\alpha)g-\dfrac{f}{2m_{1}}\\&=&(1-\sin 30^{\circ})\times 10-\dfrac{0.2}{2\times 200\cdot 10^{-3}}\\\Rightarrow\;a&=&4.5\,m\cdot s^{-2} \end{array}$

2) Calcul de $v_{C}$

$v_{C}=at_{C}=4.5\times 1\Rightarrow\;v_{C}=4.5\,m\cdot s^{-1}$

3) a) Expression de la nouvelle accélération $a_{1}$ du solide $(S_{1})$ après la coupure du fil

La deuxième loi de Newton s'écrit :

$\overrightarrow{f}+\overrightarrow{P_{1}}+\overrightarrow{R}=m_{1}\overrightarrow{a_{1}}$

Suivant $x'x$ :

$\begin{array}{lcl} f-m_{1}g\sin\alpha+0&=&m_{1}a_{1}\\\Rightarrow\;a_{1}&=&\dfrac{f-m_{1}g\sin\alpha}{m_{1}}\\\Rightarrow\;a_{1}&=&\dfrac{f}{m_{1}}-g\sin\alpha \end{array}$

Le mouvement du solide $(S_{1})$ est uniformément varié

b) Calcul de la distance maximale $($par rapport au point $C)$ parcourue par le solide $(S_{1})$

$\begin{array}{lcl} 0^{2}-v_{C}^{2}&=&2a_{1}d\\\Rightarrow\;d&=&\dfrac{-v_{C}^{2}}{2a_{1}}\\\\&=&\dfrac{-v_{C}^{2}}{2\left(\dfrac{f}{m_{1}}-g\sin\alpha\right)}\\\\&=&\dfrac{-4.5^{2}}{2\left(\dfrac{0.2}{200\cdot 10^{-3}}-10\sin 30^{\circ}\right)}\\\Rightarrow\;d&=&2.5\,m \end{array}$

Exercice 9

I. 1) a) Expression littérale des lois horaires $x(t)$ et $z(t)$ du mouvement de la balle

Système étudié : la balle

Référentiel d'étude : terrestre supposé galiléen

Bilan des forces appliquées : $\overrightarrow{P}$

Le théorème du centre d'inertie s'écrit :

$\begin{array}{lcl}\overrightarrow{P}&=&m\vec{a}\\\\\Rightarrow\,m\vec{g}&=&m\vec{a}\\\\\Rightarrow\vec{a}&=&\vec{g}\\\\&\Rightarrow&\vec{a}\left\lbrace\begin{array}{lcl}a_{x}&=&0\\a_{z}&=&-g \end{array}\right. \\\\&\Rightarrow&\vec{v}\left\lbrace\begin{array}{lcl}v_{x}&=&v_{0}\cos\alpha\\v_{z}&=&-gt+v_{0}\sin\alpha\end{array}\right.\\\\&\Rightarrow&\overrightarrow{OM}\left\lbrace\begin{array}{lcl}x&=&\left(v_{0}\cos\alpha\right)t\\\\z&=& -\dfrac{1}{2}gt^{2}+\left(v_{0}\sin\alpha\right)t+h\end{array}\right.\end{array}$

b) Équation de la trajectoire de la balle

$x=\left(v_{0}\cos\alpha\right)t$ ;

$z=-\dfrac{1}{2}gt^{2}+\left(v_{0}\sin\alpha\right)t+h$

En éliminant t entre les deux équations, il vient :

$\begin{array}{lcl} x&=&\left(v_{0}\cos\alpha\right)t\\\\\Rightarrow\,t&=&\dfrac{x}{v_{0}\cos\alpha}\\\\\Rightarrow\,z&=&-\dfrac{1}{2}g\left(\dfrac{x}{v_{0}\cos\alpha}\right)^{2}+\left(v_{0}\sin\alpha\right)\dfrac{x}{v_{0}\cos\alpha}+h\\\\\Rightarrow\,z&=&-\dfrac{1}{2}g\dfrac{x^{2}}{v_{0}^{2}\cos^{2}\alpha}+x\tan\alpha+h \end{array}$

2) Calcul des coordonnées du point $S$ le plus élevé atteint par la balle.

Lorsque la balle atteint le point $S$ le plus élevé, la vitesse se réduit à sa composante horizontale

$\begin{array}{lcl} v_{z}&=&-gt_{S}+v_{0}\sin\alpha\\\\&=&0\\\\\Rightarrow\,t_{S}&=&\dfrac{v_{0}\sin\alpha}{g}\\\\&\Rightarrow&\overrightarrow{OS}\left\lbrace\begin{array}{lcl} x&=&\dfrac{v_{0}^{2}\cos\alpha\sin\alpha}{g}\\\\ z&=&-\dfrac{1}{2}\dfrac{v_{0}^{2}\sin^{2}\alpha}{g}+\dfrac{v_{0}^{2}\sin^{2}\alpha}{g}+h \end{array}\right. \\\\&\Rightarrow&\overrightarrow{OS}\left\lbrace\begin{array}{lcl} x&=&\dfrac{v_{0}^{2}\cos\alpha\sin\alpha}{g}\\\\ z&=&\dfrac{1}{2}\dfrac{v_{0}^{2}\sin^{2}\alpha}{g}+h \end{array}\right. \\\\&\Rightarrow&\overrightarrow{OS}\left\lbrace\begin{array}{lcl} x&=&\dfrac{10^{2}\cos 45\sin 45}{9.8}\\\\ z&=&\dfrac{1}{2}\dfrac{10^{2}\sin^{2}45}{9.8}+2.7 \end{array}\right. \\\\ú&\Rightarrow&S\;(5.1m\ ;\ 5.3m) \end{array}$

$z=-\dfrac{1}{2}g\dfrac{x^{2}}{v_{0}^{2}\cos^{2}\alpha}+x\tan\alpha+h$

$\begin{array}{lcl} \alpha&=&0\\\\\Rightarrow\,z&=&-\dfrac{1}{2}g\dfrac{x^{2}}{v_{1}^{2}\cos^{2}0}+x\tan\,0+h\\\\\Rightarrow\,z&=&-\dfrac{1}{2}g\dfrac{x^{2}}{v_{1}^{2}}+h \end{array}$

2) Vérifions si la balle franchira le filet oui ou non

$\begin{array}{lcl} z(1)&=&-\dfrac{1}{2}g\dfrac{l^{2}}{v_{2}^{1}}+h\\\\&=&-\dfrac{1}{2}\times 10\times\dfrac{12^{2}}{25^{2}}+2.7\\\\\Rightarrow\,z(1)&=&1.55m>h_{0}\\\\&=&1m \end{array}$

la balle a franchi le filet.

3) Distance derrière le filet où retombe la balle sur le sol.

$\begin{array}{lcl} z&=&-\dfrac{1}{2}g\dfrac{x^{2}}{v_{1}^{2}}+h\\\\&=&0\\\\\Rightarrow\,x_{p}&=&\sqrt{\dfrac{2v_{1}^{2}h}{g}}\\\\&=&\sqrt{\dfrac{2\times 25^{2}\times 2.7}{9.8}}\\\\\Rightarrow\,x_{p}&=&18.6m \end{array}$

\begin{eqnarray} d&=&x_{p}-l\nonumber\\\\&=&186-12\nonumber\\\\\Rightarrow\,d&=&66m \end{eqnarray}

Auteur:

Amary Thiam & Sidy Mouhamed Ndiaye

Solution des exercices : La cinématique - Ts

Classe:

Terminale

Exercice 1

Un mobile $M_{1}$ est en mouvement relativement au repère d'espace $\mathcal{R}(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$, son vecteur vitesse est :

$$\overrightarrow{V}_{1}=3\vec{i}+(-2t+4)\vec{j}$$

1) Donnons les lois horaires du mouvement du mobile $M_{1}$ sachant qu'à l'origine des temps, le mobile passe par l'origine $O.$

Cela signifie, par ailleurs, de déterminer les équations horaires du mouvement.

Soit : $\overrightarrow{V}_{1}=3\vec{i}+(-2t+4)\vec{j}$ alors, son vecteur vitesse $\overrightarrow{V}_{1}$ peut s'écrire :

$$\overrightarrow{V}_{1}\left\lbrace\begin{array}{lcl}\dot{x}&=&3\\ \dot{y}&=&-2t+4 \end{array}\right.$$

Or, on sait que : $\overrightarrow{V}_{1}=\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{OM}}{\mathrm{d}t}$ donc, $\overrightarrow{OM}\left\lbrace\begin{array}{lcl}x&=&3t+\text{cte}_{1}\\ y&=&-t^{2}+4t+\text{cte}_{2} \end{array}\right.$

Les constantes seront déterminées en appliquant la condition initiale.

Or, à l'origine des temps, le mobile passe par l'origine $O$ ; ce qui signifie qu'à $t=0$, on a : $x=0\ $ et $\ y=0$

On obtient alors :

$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} 3\times0+\text{cte}_{1}&=&0\\-0^{2}+4\times 0+\text{cte}_{2}&=&0\end{array}\right.\ \Rightarrow\ \left\lbrace\begin{array}{lcl}\text{cte}_{1}&=&0\\ \text{cte}_{2}&=&0 \end{array}\right.$$

Par suite, $\overrightarrow{OM}\left\lbrace\begin{array}{lcl}x&=&3t\\ y&=&-t^{2}+4t\end{array}\right.$

D'où, les horaires du mouvement du mobile $M_{1}$ sont données par :

$$\boxed{\overrightarrow{OM}(t)\left\lbrace\begin{array}{lcl}x&=&3t\\ \\y&=&-t^{2}+4t\end{array}\right.}$$

2) Établissons l'équation cartésienne de la trajectoire.

D'après les équations horaires du mouvement du mobile $M_{1}$, on a :

$$\left\lbrace\begin{array}{rcll}x&=&3t&(1)\\ \\y&=&-t^{2}+4t&(2) \end{array}\right.$$

Dans l'équation $(1)$, on exprime $t$ en fonction de $x.$

Ce qui donne : $t=\dfrac{x}{3}$

Ensuite, en remplaçant cette valeur de $t$ dans l'équation $(2)$, on obtient :

$y=-\left(\dfrac{x}{3}\right)^{2}+4\times\dfrac{x}{3}=-\dfrac{x^{2}}{9}+\dfrac{4x}{3}$

D'où, une équation cartésienne de la trajectoire du mobile $M_{1}$ sera donnée par :

$$\boxed{y=-\dfrac{x^{2}}{9}+\dfrac{4x}{3}}$$

3) Expression du vecteur accélération $\vec{a}_{1}.$

Soit :

$\begin{array}{rcl} \vec{a}_{1}&=&\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{V}_{1}}{\mathrm{d}t}\\ \\&=&\dfrac{\mathrm{d}(3\vec{i}+(-2t+4)\vec{j})}{\mathrm{d}t}\\ \\&=&-2\vec{j} \end{array}$

Ainsi, $\boxed{\vec{a}_{1}=-2\vec{j}}$

Représentation du vecteur accélération $\vec{a}_{1}$ sur la trajectoire de la figure.

4) Déterminons la date à laquelle la direction du vecteur vitesse est horizontale

Au sommet de la trajectoire, le vecteur vitesse se réduit à sa composante horizontale ; autrement dit, sa composante verticale est nulle.

Ce qui se traduit par : $\dot{y}=-2t+4=0$ soit alors, $t=2\;s$

Ainsi, à $t=2\;s$ la direction du vecteur vitesse est horizontale.

En déduisons les coordonnées $(x_{s}\;;\ y_{s})$ du sommet $S$ de la trajectoire ainsi que la valeur de la vitesse en ce point.

Le mobile atteint le sommet à l'instant $t=2\;s$ donc, en remplaçant cette valeur de $t$ dans les équations horaires du mouvement, on obtient les coordonnées du sommet $S$ de la trajectoire.

Ainsi,

$$S\left\lbrace\begin{array}{rclcl}x_{S}&=&3\times 2&=&6\\ \\y_{S}&=&-(2^{2})+4\times 2&=&4\end{array}\right.$$

D'où, $\boxed{S(6\;;\ 4)}$

Par ailleurs, la valeur de la vitesse sera donnée par :

$$V_{s}=\sqrt{V_{x}^{2}+V_{y}^{2}}$$

Or, au sommet $S$ de la trajectoire le vecteur vitesse est donnée par :

$$\overrightarrow{V}_{1}\left\lbrace\begin{array}{rcl}V_{x}&=&3\\ V_{y}&=&0\end{array}\right.$$

Par suite, $V_{s}=\sqrt{3^{2}+0^{2}}=3\;m\cdot s^{-1}$

D'où, $\boxed{V_{s}=3\;m\cdot s^{-1}}$

Représentation de ce vecteur vitesse (voir figure)

5) Calculons :

$-\ $ Le rayon de courbure de la trajectoire à la date $t=2\;s.$

Soit $\rho=OM$ le rayon de courbure, alors on a :

$\begin{array}{rcl} \rho=OM&=&\sqrt{x^{2}+y^{2}}\\ \\&=&\sqrt{(3\times 2)^{2}+(-(2^{2})+4\times 2)^{2}}\\ \\&=&\sqrt{52}\\ \\&=&7.2\,m \end{array}$

D'où, $\boxed{\rho=7.2\;m}$

$-\ $ L'abscisse $x_{P}$ du mobile lorsque l'ordonnée $y=0.$

D'après les équations horaires, on a :

$$\left\lbrace\begin{array}{rcll}x_{P}&=&3t&(1)\\ \\y_{P}&=&-t^{2}+4t&(2) \end{array}\right.$$

L'ordonnée étant nulle alors, $y_{P}=-t^{2}+4t=0$

Par suite,

$\begin{array}{rcl} -t^{2}+4t=0&\Rightarrow&t(-t+4)=0\\ \\&\Rightarrow&t=0\quad \text{ ou }\quad -t+4=0 \\ \\&\Rightarrow&t=0\;s\quad \text{ ou }\quad t=4\;s\end{array}$

En remplaçant ces valeurs de $t$ dans l'équation $(1)$, on obtient :

Pour $t=0\;s\;,\ x_{P}=3\times 0=0\ \Rightarrow\ x_{P}=0\;m$, le mobile se trouve alors à l' origine du repère.

Pour $t=4\;s\;,\ x_{P}=3\times 4=12\ \Rightarrow\ x_{P}=12\;m$

Donc, l'abscisse $x_{P}$ du mobile lorsque l'ordonnée est nulle sera donnée par :

$$\boxed{x_{P}=12\;m}$$

$-\ $ La valeur de la vitesse $\overrightarrow{V}_{P}$ du mobile au pont $P$

On a :

$\begin{array}{rcl} V_{P}&=&\sqrt{3^{2}+(-2t+4)^{2}}\\\\&=&\sqrt{9+(-2\times 4+4)^{2}}\\\\&=&\sqrt{25}\\ \\&=&5\end{array}$

D'où, $\boxed{V_{P}=5\;m\cdot s^{-1}}$

6) Un deuxième mobile $M_{2}$ en mouvement rectiligne uniformément varié sur l'axe $(Ox)$ du repère $\mathcal{R}(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$, passe par le point d'abscisse $x=20\;m$ à l'instant $t=0$ avec une vitesse $\overrightarrow{V}_{O_{2}}=2\vec{i}$

Déterminons la valeur algébrique de l'accélération du mobile $M_{2}$ au point du rencontre avec $M_{1}$ pour $x=12\;m$

En considérant les équations horaires, on obtient :

$\ast$ Pour le mobile $M_{1}\ :\ \overrightarrow{OM}_{1}\left\lbrace\begin{array}{lcl}x_{1}&=&3t\\ y_{1}&=&-t^{2}+4t\end{array}\right. $

$\ast$ Pour le mobile $M_{2}\ :\ x_{2}=\dfrac{1}{2}a_{2}t^{2}+V_{0_{2}}t+x_{0_{2}}$

Comme à l'instant $t=0$ le mobile $M_{2}$ passe par le point d'abscisse $x=20\;m$ avec une vitesse $\overrightarrow{V}_{O_{2}}=2\vec{i}$ alors, en remplaçant ces valeurs initiales dans l'équation horaire, on obtient :

$$x_{2}=\dfrac{1}{2}a_{2}t^{2}+2t+20$$

Le mobile $M_{1}$ rencontre le mobile $M_{2}$ lorsque : $x_{1}=x_{2}=12\,m$

Soit $t_{r}$ le temps de rencontre, alors on a :

$x_{1}=3t_{r}=12\ \Rightarrow\ t_{r}=4\;s$

Remplaçons cette valeur de $t_{r}$ dans l'équation horaire du mobile $M_{2}.$

On a :

$\begin{array}{rcl} x_{2}=\dfrac{1}{2}a_{2}t_{r}^{2}+2t_{r}+20&\Rightarrow&12=\dfrac{1}{2}a_{2}(4)^{2}+2\times 4+20\\\\&\Rightarrow&a_{2}=\dfrac{12-28}{8}\\\\&\Rightarrow&a_{2}=-2\end{array}$

Par suite, $\boxed{a_{2}=-2\;m\cdot s^{-2}}$

Exercice 2

1) a) Point de départ du mobile à l'origine des dates

$$\overrightarrow{OM}\left\lbrace\begin{array}{lcl} x&=&t\\ y&=&\dfrac{t^{2}}{2} \end{array}\right.$$

à $t=0s$ $\overrightarrow{OM}\left\lbrace\begin{array}{lcl} x&=&0\\ y&=&\dfrac{0^{2}}{2}=0 \end{array}\right.$

Le mobile se trouve au point $O$ origine du repère

b) Équation de la trajectoire du mobile

$$\overrightarrow{OM}\left\lbrace\begin{array}{lcl} x&=&t\quad(1)\\ y&=&\dfrac{t^{2}}{2}\quad(2) \end{array}\right.$$

$(1)\quad\text{dans }\Rightarrow\;y=\dfrac{1}{2}x^{2}$

c) Détermination des expressions du vecteur vitesse et du vecteur accélération du mobile $M$

$\begin{array}{lcl} \overrightarrow{V}&=&\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{OM}}{\mathrm{d}t}\\&=&\dfrac{\mathrm{d}\left(t\vec{i}+\dfrac{1} {2}t^{2}\vec{j}\right)}{\mathrm{d}t}\\\Rightarrow\overrightarrow{V}&=&\vec{i}+t\vec{j} \end{array}$

$\begin{array}{lcl} \overrightarrow{a}&=&\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{V}}{\mathrm{d}t}\\&=&\dfrac{\mathrm{d}\left(\vec{i}+t\vec{j}\right)}{\mathrm{d}t}\\\Rightarrow\overrightarrow{a}&=&t\vec{j} \end{array}$

2) a) Le vecteur vitesse est colinéaire à $\vec{i}$ lorsque sa composante verticale est nulle $V_{y}=0$

A $t=0s$ le vecteur vitesse est colinéaire $\vec{i}$

b) Montrons qu'à la date $t=0s$ la composante tangentielle de l'accélération est nulle

$\begin{array}{lcl} V&=&\sqrt{V_{x}^{2}+V_{y}^{2}}\\&=&\sqrt{1+t^{2}}\\\Rightarrow\;a_{t}&=&\dfrac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}\\&=&\dfrac{\mathrm{d}\left(\sqrt{1+t^{2}}\right)}{\mathrm{d}t}\\\Rightarrow\;a_{t}&=&\dfrac{t}{\sqrt{1+t^{2}}}t\\&=&0\\\Rightarrow\;a_{t}&=&\dfrac{0}{\sqrt{1+0^{2}}}\\\Rightarrow\;a_{t}&=&0\,m\cdot s^{-2} \end{array}$

3) a) Montrons que l'accélération normale est $a_{N}=\dfrac{1}{\sqrt{1+t^{2}}}.$

$\begin{array}{lcl} a^{2}&=&a_{n}^{2}+a_{t}^{2}\\\Rightarrow\;a_{n}&=&\sqrt{a^{2}-a_{t}^{2}}\\&=&\sqrt{1^{2}-\left(\dfrac{t}{\sqrt{1+t^{2}}}\right)^{2}}\\&=&\sqrt{\dfrac{1+t^{2}-t^{2}}{1+t^{2}}}\\\Rightarrow\;a_{n}&=&\dfrac{1}{\sqrt{1+t^{2}}} \end{array}$

b) Détermination de la date $t_{1}$ à laquelle $V_{x}=V_{y}$

$V_{x}=V_{y}\Rightarrow\;1=t\Rightarrow\;t_{1}=1s$

c) Calcul du rayon de courbure à la date $t_{1}.$

$\begin{array}{lcl} OM&=&\sqrt{x^{2}+y^{2}}\\&=&\sqrt{t^{2}\left(\dfrac{t^{2}}{2}\right)^{2}}\ t_{1}=1s\\\Rightarrow\;OM&=&\sqrt{1^{2}+\left(\dfrac{1^{2}}{2}\right)^{2}}\\\Rightarrow\;OM&=&1.1\,m \end{array}$

Exercice 3

1) Détermination de la vitesse initiale et de l'abscisse initiale du point mobile $M$

Le mobile $M_{1}$ est animé d'un mouvement rectiligne uniformément varié :

$\begin{array}{lcl} V_{x}&=&a_{1}t+V_{0}\\\Rightarrow\;V_{A}&=&a_{1}t_{1}+V_{0}\\\Rightarrow\;V_{0}&=&V_{A}-a_{1}t_{1}\\&=&6-2\times 1\\\Rightarrow\;V_{0}&=&4\,m\cdot s^{-1} \end{array}$

$\begin{array}{lcl} V_{A}^{2}-V_{0}^{2}&=&2a_{1}\left(x_{A}-x_{0}\right)\\\Rightarrow\;x_{0}&=&x_{A}-\dfrac{V_{A}^{2}-V_{0}^{2}}{2\times 2}\\&=&0-\dfrac{6^{2}-4^{2}}{2\times 2}\\\Rightarrow\;x_{0}&=&-5\,m \end{array}$

2) Loi horaire $x_{1}(t)$ de mouvement de $M_{1}$ et expression de sa vitesse instantanée

$\begin{array}{lcl} x_{1}&=&\dfrac{1}{2}a_{1}t^{2}+V_{0}t+x_{0}\\\Rightarrow\;x_{1}&=&\dfrac{1}{2}\times 2t^{2}+4t-10\\\Rightarrow\;x_{1}&=&t^{2}+4t-5 \end{array}$

$\begin{array}{lcl} V_{1}&=&\dfrac{\mathrm{d}x_{1}}{\mathrm{d}t}\\&=&\dfrac{\mathrm{d}(t^{2}+4t-5)}{\mathrm{d}t}\\\Rightarrow\;V_{1}&=&2t+4 \end{array}$

3) Montrons que le mouvement de $M_{1}$ comporte deux phases

$t\leq t_{1}\ ;\ x_{1}=t^{2}+4t-5$, le mobile $M_{1}$ est animé d'un mouvement rectiligne uniformément varié

$t\geq t_{1}\ ;\ x'_{1}=V_{A}(t-t_{1})+x'_{0}$

$\begin{array}{lcl} \text{A }t&=&t_{1}\;,\ x'_{1}&=&x_{A}\\&=&0\\\Rightarrow\;V_{A}(t-t_{1})+x'_{0}&=&0\\\Rightarrow\;x'_{0}&=&0\\\Rightarrow\;x'_{1}&=&V_{A}(t-t_{1})\\\Rightarrow\;x'_{1}&=&6(t-1) \end{array} \;,\ \text{le mobile }M_{1}\text{ est animé d'un mouvement rectiligne uniforme}$

4) La distance parcourue par le mobile entre la dates $t_{1}=1s$ et $t_{2}=7s$

Exercice 4

1) Représentation de l'allure de la trajectoire

$y=-\dfrac{5}{4}x^{2}+2x$

2) Déterminons l'expression de l'ordonnée $y=f(t)$ du mobile

$\begin{array}{lcl} y&=&-\dfrac{5}{4}x^{2}+2x\text{ or }x=2t\\\Rightarrow\;y&=&-\dfrac{5}{4}(2t)^{2}+2\times 2t\\\Rightarrow\;y&=&-5t^{2}+4t \end{array}$

2) a) Détermination des composantes du vecteur vitesse $\overrightarrow{V}$ en fonction du temps

$$\overrightarrow{V}\left\lbrace\begin{array}{lllll} V_{x}&=&\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}&=&\dfrac{\mathrm{d}(2t)}{\mathrm{d}t}\\ \\ V_{y}&=&\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}&=&\dfrac{\mathrm{d}(-5t^{2}+4t)}{\mathrm{d}t} \end{array}\right.$$

$$\Rightarrow\overrightarrow{V}\left\lbrace\begin{array}{lcl} V_{x}&=&2\\ V_{y}&=&-10t+4 \end{array}\right.$$

b) Date ou direction du vecteur vitesse est horizontale

$V_{y}=-10t+4=0\Rightarrow\;t=\dfrac{4}{10}\Rightarrow\;t=0.4s$

Les coordonnées du sommet $S$ de la trajectoire.

$$S\left\lbrace\begin{array}{lllll} x_{S}&=&2t_{S}&=&2\times 0.4\\ y_{S}&=&-5t_{S}^{2}+4t_{S}&=&-5\times 0.4^{2}+4\times 0.4 \end{array}\right.$$

$$\Rightarrow\;S\left\lbrace\begin{array}{lcl} x_{S}&=&0.8\\ y_{S}&=&0.8 \end{array}\right.$$

Valeur de la vitesse en ce point

$V=V_{x}\Rightarrow\;V=2\,m\cdot s^{-1}$

3) Expression du vecteur accélération $\overrightarrow{a}.$

$\begin{array}{lcl} \overrightarrow{a}&=&\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{V}}{\mathrm{d}t}\\&=&\dfrac{\mathrm{d}(2\vec{i}+(-10t+4)\vec{j})}{\mathrm{d}t}\\\Rightarrow\overrightarrow{a}&=&-10\vec{j} \end{array}$

Le mouvement du mobile $M$ est uniformément varié

4) Le rayon de courbure de la trajectoire au sommet $S$ de la trajectoire

$\begin{array}{lcl} a&=&\dfrac{v^{2}}{R}\\\Rightarrow\;R&=&\dfrac{v^{2}}{a}\\&=&\dfrac{4}{10}\\&=&0.4\\\Rightarrow\;R&=&0.4\,m \end{array}$

5) Détermination des phases du mouvement

$\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{V}>0\Rightarrow\;10(10t-4)>0\Rightarrow\;t>0.4s$ ; le mouvement du mobile $M$ est accéléré

$\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{V}<0\Rightarrow\;10(10t-4)<0\Rightarrow\;t<0.4s$ ; le mouvement du mobile $M$ est retardé

6) Détermination de l'abscisse du point $P$ intersection de la trajectoire avec l'axe $Ox$

L'ordonnée du point $P$ est nulle :

$y_{P}=-5t^{2}+4t=0\Rightarrow\;t(-5t+4)=0\Rightarrow\;t=t_{1}=0s$ (le mobile se trouve à l'origine du repère) ou

$\begin{array}{lcl} -5t+4&=&0\\\Rightarrow\;t_{2}&=&\dfrac{4}{5}\\&=&0.8s\\\Rightarrow\;x_{S}&=&2t_{2}\\&=&2\times 0.8s\\\Rightarrow\;x_{S}&=&1.6\,m \end{array}$

Comparons $\overrightarrow{V_{O}}$ et $\overrightarrow{V_{P}}$

$-\ $ Caractéristique du vecteur vitesse $\overrightarrow{V_{O}}$

$\ast\ $ Direction : $\tan\alpha=\dfrac{V_{Oy}}{V_{Ox}}=\dfrac{4}{2}=2\Rightarrow\alpha=63.4^{\circ}$ ; le vecteur vitesse $\overrightarrow{V_{O}}$ fait un angle $\alpha=63.4^{\circ}$ avec l'axe des abscisses.

$\ast\ $ valeur : $V_{0}=\sqrt{V_{Ox}^{2}+V_{Oy}^{2}}=\sqrt{2^{2}+4^{2}}=4.5\,m\cdot s^{-1}$

$-\ $ caractéristique de vecteur vitesse $\overrightarrow{V_{P}}$

$\ast\ $ direction : $\tan\beta=\dfrac{V_{Py}}{V_{Px}}=\dfrac{-10\times 0.8+4}{2}=\dfrac{-4}{2}=-2\Rightarrow\beta=-63.4^{\circ}$ ; le vecteur vitesse $\overrightarrow{V_{P}}$ fait un angle $\beta=-63.4^{\circ}$ avec l'axe des abscisses.

$\ast\ $ valeur : $V_{P}=\sqrt{V_{Px}^{2}+V_{Py}^{2}}=\sqrt{2^{2}+(-10\times 0.8+4)^{2}}=4.5\,m\cdot s^{-1}$

$V_{O}=V_{P}$

Représentation des deux vecteur sur la trajectoire (voir figure)

Exercice 5

1) Calculer de l'accélération $a$ du mouvement

$\begin{array}{lcl} 2a(x_{1}-x_{0})&=&V_{1}^{2}-V_{0}^{2}\\\Rightarrow\;a&=&\dfrac{V_{1}^{2}-V_{0}^{2}}{2(x_{1}-x_{0})}\\&=&\dfrac{4.7^{2}-(-1)^{2}}{2(5-0.5)}\\\Rightarrow\;a&=&2.34\,m\cdot s^{-2} \end{array}$

2) Expression de la vitesse instantanée du mobile

$V(t)=at+x_{0}\Rightarrow\;V(t)=2.34t-1$

3) Instant pour lequel le mobile passe par le point d'abscisse $x_{1}$

$\begin{array}{lcl} V(t_{1})&=&2.34t_{1}-1\\&=&4.7\\\Rightarrow\;t_{1}&=&\dfrac{4.7+1}{2.34}\\\Rightarrow\;t_{1}&=&2.44s \end{array}$

4) Équation horaire du mouvement

$x=\dfrac{1}{2}a(t-t_{0})^{2}+V_{0}(t-t_{0})+cte$

$\begin{array}{lcl} \text{A }t&=&t_{0}\\&=&0s\\\Rightarrow\;x&=&cte\\&=&x_{0}\\&=&0.5\,m\\\Rightarrow\;x&=&\dfrac{1}{2}\times 2.34(t-0)^{2}-1(t-0)+0.5\\\Rightarrow\;x&=&1.17t^{2}-t+0.5 \end{array}$

5) a) Équation horaire du mouvement du mobile $M'$

$x'=v'(t-2)+x'_{0}=4(t-2)+5\\\Rightarrow\;x'=4t-3$

b) Date $t$ de rencontre des mobiles

Les deux mobiles se rencontrent si :

$x=x'\Rightarrow\;1.17t^{2}-t+0.5=4t-3\\\Rightarrow\;1.17t^{2}-5t+3.5=0$

$t_{1}=\dfrac{5-\sqrt{5^{2}-4\times 1.17\times 3.5}}{2\times 1.17}=0.88s$ ; cette solution n'a pas de sens physique (Le second mobile est parti deux secondes après)

$t_{2}=\dfrac{5+\sqrt{5^{2}-4\times 1.17\times 3.5}}{2\times 1.17}=3.39s$ ; solution physique acceptable

c) Abscisse $x$ correspondant à cette rencontre

$x_{r}=4t_{2}-3=4\times 3.39-3\\\Rightarrow\;x_{r}=10.6\,m$

Exercice 6

1) a) Expression, pour la $1^{ière}$ phase, de $x_{C}$ en fonction de $V_{C}$ et $a_{1}$

$\begin{array}{lcl} 2a_{1}(x_{B}-x_{A})&=&V_{C}^{2}-V_{A}^{2}\\\Rightarrow(x_{C}-x_{A})&=&\dfrac{V_{C}^{2}-V_{A}^{2})}{2a_{1}}\\\Rightarrow(x_{C}-0)&=&\dfrac{V_{C}^{2}-0}{2a_{1}}\\\Rightarrow\;x_{C}&=&\dfrac{V_{C}^{2}}{2a_{1}} \end{array}$

b) Expression, pour la $2^{ième}$ phase, de $V_{C}$ en fonction de $a_{2}$, $x_{B}$ et $x_{C}$

$\begin{array}{lcl} 2a_{2}(x_{B}-x_{B})&=&0-V_{C}^{2}\\\Rightarrow(x_{B}-x_{C})&=&-\dfrac{V_{C}^{2}}{2a_{2}}\\\Rightarrow\;x_{C}&=&x_{B}-\dfrac{V_{C}^{2}}{2a_{2}} \end{array}$

c) Expression de $V_{C}$ en fonction de $a_{1}$, $a_{2}$ et $x_{B}$

Calcul de la valeur de $V_{C}$

$\begin{array}{rcl} x_{C}&=&\dfrac{V_{C}^{2}}{2a_{1}}\\ \\&=&x_{B}+\dfrac{V_{C}^{2}}{2a_{2}}\\ \\ \Rightarrow\dfrac{V_{C}^{2}}{2a_{1}}-\dfrac{V_{C}^{2}}{2a_{2}}&=&x_{B}\\ \\\Rightarrow\;V_{C}^{2}\left(\dfrac{1}{2a_{1}}-\dfrac{1} {2a_{2}}\right)&=&x_{B}\\ \\ \Rightarrow\;V_{C}&=&\sqrt{\dfrac{x_{B}}{\left(\dfrac{1}{2a_{1}}-\dfrac{1}{2a_{2}}\right)}} \end{array}$

Calcul de la valeur de $V_{C}$

$\begin{array}{lcl} V_{C}&=&\sqrt{\dfrac{x_{B}}{\left(\dfrac{1}{2a_{1}}-\dfrac{1}{2a_{2}}\right)}}\\ \\&=&\sqrt{\dfrac{300}{\left(\dfrac{1}{2\times 2}-\dfrac{1}{2\times -1}\right)}}\\ \\ \Rightarrow\;V_{C}&=&20\,m\cdot s^{-1} \end{array}$

2) a) Calcul de la distance parcourue $AC$ pendant la $1^{ière}$ phase

$\begin{array}{lcl} x_{C}&=&\dfrac{V_{C}^{2}}{2a_{1}}\\&=&\dfrac{20^{2}}{2\times 2}\\\Rightarrow\;x_{C}&=&100\,m \end{array}$

b) Calcul de la durée du parcours $AC$

$\begin{array}{lcl} V_{C}&=&a_{1}t_{C}\\\Rightarrow\;t_{C}&=&\dfrac{V_{C}}{a_{1}}\\&=&\dfrac{20}{2}\\\Rightarrow\;t_{C}&=&10\,s \end{array}$

3) a) Distance parcourue $CB$ pendant la $3^{ième}$ phase

$CB=AB-BC=300-100\\\Rightarrow\;CB=200\,m$

b) Calcul de la durée du trajet $AB$

$\begin{array}{lcl} V_{B}&=&a_{2}t_{B}+V_{C}\\&=&0\\\Rightarrow\;t_{B}&=&-\dfrac{V_{C}}{a_{2}}\\&=&-\dfrac{20}{-1}\\\Rightarrow\;t_{B}&=&20s \end{array}$

$\begin{array}{lcl} t_{AB}&=&t_{C}+t_{B}\\&=&10+20\\\Rightarrow\;t_{AB}&=&30s \end{array}$

Exercice 7

1) a) Détermination de :

$-\ $ la pulsation du mouvement $\omega$

$\omega=\dfrac{2\pi}{T}=\dfrac{2\pi}{0.4}=5\pi=15.7\,rad\cdot s^{-1}$

$-\ $ l'élongation initiale $x_{0}$

$x_{0}=-2\,cm$

$-\ $ l'amplitude $x_{m}.$

$x_{m}=4\,cm$

$-\ $ la phase initiale $\varphi.$

$x=x_{m}\cos(\omega\,t+\varphi)$

$\begin{array}{lcl} t&=&0\\\Rightarrow\;x_{m}\cos\varphi&=&x_{0}\\\Rightarrow\cos\varphi&=&\dfrac{x_{0}}{x_{m}}\\&=&\dfrac{-2}{4}\\&=&-\dfrac{1}{2}\\\Rightarrow\left\lbrace\begin{array}{lllll} \varphi&=&\dfrac{\pi}{3}+\pi&=&\dfrac{4\pi}{3}\\ \\ \varphi&=&-\dfrac{\pi}{3}+\pi&=&\dfrac{2\pi}{3} \end{array}\right. \end{array}$

$\begin{array}{lcl} v&=&\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\\&=&\dfrac{\mathrm{d}(x_{m}\cos(\omega\,t+\varphi))}{\mathrm{d}t}\\&=&-x_{m}\varphi\sin(\omega\,t+\varphi) \end{array}$

$\begin{array}{lcl} \text{A }t=0\;,\ v(0)&=&-x_{m}\omega\sin\varphi\\&=&v_{0}>0\\\Rightarrow\sin\varphi<0\Rightarrow\varphi&=&\dfrac{4\pi}{3} \end{array}$

b) Loi horaire $x=f(t).$

$x=4\cdot 10^{-2}\cos\left(5\pi\,t+\dfrac{4\pi}{3}\right)$

2) a) Détermination de l'expression de la vitesse en fonction du temps.

$\begin{array}{lcl} v&=&\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\\&=&\dfrac{\mathrm{d}\left(4\cdot 10^{-2}\cos\left(5\pi\,t+\dfrac{4\pi}{3}\right)\right)}{\mathrm{d}t}\\&=&-4\cdot 10^{-2}\times 5\pi\sin\left(5\pi\,t+\dfrac{4\pi}{3}\right)\\\Rightarrow\;v&=&20\cdot 10^{-2}\pi\sin\left(5\pi\,t+\dfrac{4\pi}{3}\right) \end{array}$

b) Valeur algébrique de la vitesse initiale $\overrightarrow{V_{0}}.$

$\begin{array}{lcl} v(0)&=&v_{0}\\&=&-x_{m}\omega\sin\varphi\\&=&-4\cdot 10^{-2}\times 5\pi\sin\dfrac{4\pi}{3}\\\Rightarrow\;v_{0}&=&0.544\,m\cdot s^{-1} \end{array}$

3) a) Détermination graphique de $t_{1}$

$t_{1}=0.4s$

b) Détermination de $t_{1}$ par le calcul.

$\begin{array}{lcl} x&=&-x_{0}\\4\cdot 10^{-2}\cos\left(5\pi\,t+\dfrac{4\pi}{3}\right)&=&-2\cdot 10^{-2}\\\Rightarrow\cos\left(5\pi\,t+\dfrac{4\pi}{3}\right)&=&-\dfrac{1}{2}\\\Rightarrow\cos\left(5\pi\,t+\dfrac{4\pi}{3}\right)&=&\cos\left(\dfrac{4\pi}{3}+2k\pi\right)\\\Rightarrow5\pi\,t+\dfrac{4\pi}{3}&=&\dfrac{4\pi}{3}+2k\pi\\\Rightarrow\;t&=&\dfrac{2k}{5}k=1\\\Rightarrow\;t&=&\dfrac{2}{5}\\&=&0.4s \end{array}$

4) Détermination de la valeur algébrique de la vitesse du solide lors de son premier passage par la position d'abscisse $x=2\,cm$

Exercice 8

1) Nature de mouvement du mobile.

L'accélération angulaire est constante et la trajectoire est un cercle, le mouvement est circulaire uniformément varié.

2) Expressions de sa vitesse angulaire $\dot{\theta}$ et de son élongation angulaire $\theta$ en fonction du temps.

$\ddot{\theta}=\ddot{\theta}(t-t_{0})+cte$

$\begin{array}{lcl} t&=&t_{0}\\&=&0\\\Rightarrow\ddot{\theta}&=&cte\\&=&\dot{\theta_{0}}\\&=&2\pi\,rad\cdot s^{-1}\\\Rightarrow\dot{\theta}&=&-\dfrac{\pi}{5}t+2\pi \end{array}$

$\begin{array}{lcl} \dfrac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}&=&\dot{\theta}\\&=&-\dfrac{\pi}{5}t+2\pi\\\Rightarrow\theta&=&-\dfrac{1}{2}\dfrac{\pi}{5}t^{2}+2\pi\,t+cte \end{array}$

$\begin{array}{lcl} \theta(0)&=&-\dfrac{1}{2}\dfrac{\pi}{5}\times 0^{2}+2\pi\times 0+cte\\&=&\dfrac{\pi}{3}\\\Rightarrow\,cte&=&\dfrac{\pi}{3}\\\Rightarrow\theta&=&-\dfrac{\pi}{10}t^{2}+2\pi\,t+\dfrac{\pi}{3} \end{array}$

3) a) Montrons que le mouvement du mobile comporte deux phases.

$\begin{array}{lcl} \ddot{\theta}\dot{\theta}&>&0\\\Rightarrow\dfrac{\pi}{5}\left(\dfrac{\pi}{5}t-2\pi\right)&>&0\\\Rightarrow\dfrac{\pi}{5}t-2\pi&>&0\\\Rightarrow\dfrac{t}{5}&>&2\\\Rightarrow\;t&>&10s \end{array}\ ;\ $

le mouvement du mobile est accéléré

$\begin{array}{lcl} \ddot{\theta}\dot{\theta}&<&0\\\Rightarrow\dfrac{\pi}{5}\left(\dfrac{\pi}{5}t-2\pi\right)&<&0\\\Rightarrow\dfrac{\pi}{5}t-2\pi&<&0\\\Rightarrow\dfrac{t}{5}&<&2\\\Rightarrow\;t&<&10s \end{array}\ ;\ $

le mouvement du mobile est retardé

b) Détermination du nombre de tours effectué par le mobile pendant la première phase du mouvement

Première phase : $t=10s$

$\begin{array}{lcl} n&=&\dfrac{\theta}{2\pi}\\&=&\dfrac{-\dfrac{\pi}{10}t^{2}+2\pi\,t+\dfrac{\pi}{3}}{2\pi}\\&=&\dfrac{-\dfrac{\pi}{10}10^{2}+2\pi\times 10+\dfrac{\pi}{3}}{2\pi}\\\Rightarrow\;n&=&5\;tours \end{array}$

4) Calcul à la date $t_{1}$

a) De la vitesse angulaire $\dot{\theta_{1}}$ et de la vitesse linéaire du mobile.

$\begin{array}{lcl} \dot{\theta}&=&-\dfrac{\pi}{5}t+2\pi\\\Rightarrow\dot{\theta_{1}}&=&-\dfrac{\pi}{5}t_{1}+2\pi\\&=&-\dfrac{\pi}{5}\times 20+2\pi\\\Rightarrow\dot{\theta}&=&-2\pi\;rad\cdot s^{-1} \end{array}$

$V=R\left|\dot{\theta_{1}}\right|=25\cdot 10^{-2}\times 2\pi\\\Rightarrow\;V=1.57\,m\cdot s^{-1}$

b) de l'accélération normale et de l'accélération tangentielle du mobile.

$\begin{array}{lcl} a_{n}&=&R\dot{\theta^{2}}\\&=&25\cdot 10^{-2}\times(-2\pi)^{2}\\\Rightarrow\;a_{n}&=&9.87\,m\cdot s^{-2} \end{array}$

$\begin{array}{lcl} a_{t}&=&R\ddot{\theta}\\&=&25\cdot 10^{-2}\times-\dfrac{\pi}{5}\\\Rightarrow\;a_{t}&=&-0.157\,m\cdot s^{-2} \end{array}$

Valeur de son accélération linéaire.

$\begin{array}{lcl} a&=&\sqrt{a_{n}^{2}+a_{t}^{2}}\\&=&\sqrt{9.87^{2}+(-0.157)^{2}}\\\Rightarrow\;a&=&9.87\,m\cdot s^{-2} \end{array}$

5) a) Période et fréquence du mouvement

$T=\dfrac{2\pi}{\left|\dot{\theta_{1}}\right|}=\dfrac{2\pi}{\left|-2\pi\right|}\\\Rightarrow\;T=1s$

$N=\dfrac{1}{T}\Rightarrow\;N=1\,Hz$

b) Montrons que l'accélération linéaire d'un mouvement circulaire uniforme est égale à l'accélération normale.

$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a_{t}}+\overrightarrow{a_{n}}$

$\begin{array}{lcl} \dot{\theta}&=&cte\\\Rightarrow\ddot{\theta}&=&0\\\Rightarrow\overrightarrow{a_{t}}&=&R\ddot{\theta}\overrightarrow{u_{n}}\\&=&\overrightarrow{0}\\\Rightarrow\overrightarrow{a}&=&\overrightarrow{a_{n}} \end{array}$

Exercice 9

1) a) Détermination de l'accélération $a_{1}$

$\begin{array}{lcl} 2a_{1}(x_{1}-x_{0})&=&v_{1}^{2}-v_{0}^{2}\\\Rightarrow\;a_{1}&=&\dfrac{v_{1}^{2}-v_{0}^{2}}{2(x_{1}-x_{0})}\\&=&\dfrac{21^{2}-16^{2}}{2\times 100}\\\Rightarrow\;a_{1}&=&0.925\,m\cdot s^{-2} \end{array}$

b) Détermination la date $t_{1}$

$v=a_{1}(t-t_{0})+v_{0}$

A $t=t_{0}=0$,

$\begin{array}{lcl} v_{0}&=&16\,m\cdot s^{-1}\\\Rightarrow\;v&=&a_{1}t+v_{0}\\\Rightarrow\;v_{1}-v_{0}&=&a_{1}t_{1}\\\Rightarrow\;t_{1}&=&\dfrac{v_{1}-v_{0}}{a_{1}}\\&=&\dfrac{21-16}{0.925}\\\Rightarrow\;t_{1}&=&5.41s \end{array}$

c) Loi horaire du mouvement de la voiture pour $t\in\left[0\;,\ t_{1}\right]$

De manière générale, $x=\dfrac{1}{2}a_{1}(t-t_{0})^{2}+v_{0}(t-t_{0})+x_{0}$ ;

comme : $t_{0}=0\;,\ v_{0}=16\,m\cdot s^{-1}\text{ et }x_{0}=0$

$\Rightarrow\;x=\dfrac{1}{2}a_{1}t^{2}+v_{0}t$

$\Rightarrow\dfrac{1}{2}\times 0.925\,t^{2}+16t=0.463\,t^{2}+16t$

2) a) Loi horaire du mouvement de la voiture pour $t\geq t_{1}$

$x=v_{1}(t-t_{1})+x_{1}=21(t-5.41)+100$

$\Rightarrow\;x=21t-13.6$

b) Vérifions si la voiture passe ou non devant le feu lorsqu'il est vert

Temps mis pour parcourir les $100\,m$ qui restent à parcourir

$x_{1}=21t-13.6$

$\begin{array}{lcl} x&=&21t_{2}-13.6\\&=&100\\\Rightarrow\;t_{2}&=&\dfrac{100+13.6}{21}\\\Rightarrow\;t_{2}&=&5.41s \end{array}$

Temps mis pour parcourir les $200\,m$

$t_{1}+t_{2}=5.41s+5.41s=10.82s\neq 11s$ la voiture passera devant le feu vert.

3) a) Calcul de la distance parcourue par la voiture du début de freinage jusqu'à son arrêt

$\begin{array}{lcl} 0^{2}-v_{1}^{2}&=&2a_{2}d\\\Rightarrow\;d&=&-\dfrac{v_{1}^{2}}{2a_{2}}\\&=&-\dfrac{21^{2}}{2\times -2}\\\Rightarrow\;d&=&110.25\,m\cdot s^{-1} \end{array}$

b) Détermination de la vitesse $v_{2}$ de la voiture en passant devant le feu

$\begin{array}{lcl} v_{2}^{2}-v_{1}^{2}&=&2a_{2}d\\\Rightarrow\;v_{2}^{2}&=&2a_{2}d+v_{1}^{2}\\\Rightarrow\;v_{2}&=&\sqrt{2a_{2}d+v_{1}^{2}}\\&=&\sqrt{2\times -2\times 100+21^{2}}\\\Rightarrow\;v_{2}6.40\,m\cdot s^{-1} \end{array}$

La date $t_{2}$ correspondante au passage de la voiture

$\begin{array}{lcl} v_{2}-v_{1}&=&a_{2}(t_{2}-t_{1})\\\Rightarrow\;t_{2}&=&\dfrac{v_{2}-v_{1}}{a_{2}}+t_{1}\\&=&\dfrac{6.40-21}{-2}+5.41\\\Rightarrow\;t_{2}&=&12.71s \end{array}$

c) $t_{2}=12.71s>11s$ la voiture est passée lorsque le feu n'est plus vert.

Auteur:

Amary Thiam & Sidy Mouhamed Ndiaye

Solution des exercices : Tension électrique - 2nd S

Classe:

Seconde

Exercice 1

Considérons le circuit ci-dessous

1) Représentons les tensions $$U_{PN}\;,\ U_{AB}\;,\ U_{DC}\ \text{ et }\ U_{DE}$$

2) Déterminons la valeur de $U_{AB}$

Soit : $U_{AB}=U_{PN}$

Alors, $\boxed{U_{AB}=20\;V}$

3) Déduction de la valeur de $I_{1}$

D'après la loi des nœuds, on a :

$$I=I_{1}+I_{2}\ \Rightarrow\ I_{1}=I-I_{2}$$

Donc, $I_{1}=300-200=100$

Ainsi, $\boxed{I_{1}=100\;mA}$

4) Déterminons la valeur de $U_{DC}$

La loi d'additivité des tensions permet d'écrire :

$U_{AB}=U_{CD}+U_{DE}\ $ or, les dipôles $D_{3}\ $ et $\ D_{2}$ sont identiques donc, $U_{DE}=U_{CD}$

Par suite, $U_{AB}=2U_{CD}$

Par ailleurs, $U_{CD}=-U_{DC}$

Donc, $U_{AB}=-2U_{CD}\ \Rightarrow\ U_{CD}=-\dfrac{U_{AB}}{2}$

A.N : $U_{CD}=-\dfrac{20}{2}=-10$

D'où, $\boxed{U_{CD}=-10\;V}$

5) Déterminons la valeur de $U_{DE}$

Soit : $U_{DE}=-U_{DC}$

Donc, $\boxed{U_{DE}=10\;V}$

Exercice 2

1) Nommons dans chaque cas la tension mesurée par l'oscillographe.

L'oscillographe mesure respectivement les tensions $U_{AB}\ $ et $\ U_{CD}$

2) On fournit un écran d'oscillographe

Les réglages initiaux de l'oscillographe sont tels que la ligne médiane horizontale corresponde à une tension nulle

2.1) Sur la voie $A$ la sensibilité utilisée est $1\;V/cm$

2.2) Sur la voie $B$ la sensibilité utilisée est $200\;mV/cm$

2.3) La tension mesurée sur la voie $A$ est négative

2.4) La tension mesurée sur la voie $B$ est positive

2.5) La déviation observée sur la voie $A$ est 3 divisions

Déduisons la valeur de la tension mesurée sur la voie $A$

$U_{Y_{A}}=1\times 3 \Rightarrow\ U_{Y_{A}}=3\;V$

2.6) La déviation observée sur la voie $B$ est $2$ divisions

Déduisons la valeur de la tension mesurée sur la voie $B$

$U_{Y_{B}}=200\times 2 \Rightarrow\ U_{Y_{B}}=400\;mV$

Exercice 3

On a visualisé ci-dessous diverses tensions. La sensibilité verticale est de $2\;V/div$ et la sensibilité horizontale de $2\;ms/div.$

1) Indiquons l'oscillogramme qui correspond à une tension continue et celui qui correspond à une tension alternative sinusoïdale.

L'oscillogramme correspond $N^{\circ}1$ correspond à une tension continue , l'oscillogramme $N^{\circ}3$ à une tension alternative sinusoïdale.

2) Pour l'oscillogramme représentant une tension continue, calculons la valeur de la tension qui a été mesurée

Soit : $U_{1}=8.5\times 2 \Rightarrow U_{1}=17\;V$

3) Pour l'oscillogramme représentant une tension alternative sinusoïdale,

a) Déterminons $U_{max}$

On a : $U_{max}=2\times 14 \Rightarrow U_{max}=28\;V$

b) Calculons la valeur efficace de la tension.

Soit : $U_{eff}=\dfrac{U_{max}}{\sqrt{2}}$

A.N : $U_{eff}=\dfrac{28}{\sqrt{2}}=19.8$

Ainsi, $\boxed{U_{eff}=19.8\;V}$

4) Pour l'oscillogramme représentant une tension alternative sinusoïdale, déterminons la période du courant et sa fréquence.

Soit : $T=2\times 20.10^{-3}\Rightarrow T=40.10^{-3}s$

On a : $N=\dfrac{1}{T}=\dfrac{1}{40.10^{-3}}$ donc, $N=25\;Hz$

Exercice 4

On considère le circuit électrique ci-dessous comportant sept dipôles passifs comme l'indique la figure ci-dessous.

1) Calcul des tensions électriques suivantes :

$$U_{BE}\;;\ U_{CE}\;;\ U_{DC}$$

Soit :

$\begin{array}{rcl} U_{BE}&=&U_{BA}+U_{AF}+U_{FE}\quad\text{or, }U_{BA}=-U_{AB}\\\\&=&-U_{AB}+U_{AF}+U_{FE}\\\\&=&-4+0+2\\\\&=&-2\;V\end{array}$

Donc, $\boxed{U_{BE}=-2\;V}$

$\begin{array}{rcl} U_{CE}&=&U_{BE}+U_{CB}\\\\&=&U_{BE}+U_{BC}\\\\&=&-2-1\\\\&=&-3\;V\end{array}$

Ainsi, $\boxed{U_{CE}=-3\;V}$

$\begin{array}{rcl} U_{DC}&=&U_{EC}+U_{DE}\\ \\&=&U_{EC}-\dfrac{3}{2U_{BC}}\\ \\&=&-(-3)-\dfrac{3}{2}\times 1\\ \\&=&1.5\;V\end{array}$

Ainsi, $\boxed{U_{DC}=1.5\;V}$

2) Déduisons le sens du courant dans la branche $(BE).$

La tension $U_{BE}$ est négative, le courant circule branche $(BE)$ de $E$ vers $B$

3) Détermination des intensités électriques $I_{2}\;;\ I_{4}\;;\ I_{6}\ $ et $\ I_{7}.$

En utilisant la loi des nœuds, on obtient :

$\begin{array}{rcl} I=I_{1}+I_{7}&\Rightarrow&I_{7}=I-I_{1}\\\\&\Rightarrow&I_{7}=5-2\\\\&\Rightarrow&I_{7}=3\;A\end{array}$

Donc, $\boxed{I_{7}=3\;A}$

$\begin{array}{rcl} I_{2}&=&I_{1}+I_{3}\\\\&=&2+3\\\\&=&5\;A\end{array}$

Ainsi, $\boxed{I_{2}=5\;A}$

$\begin{array}{rcl} I=I_{2}+I_{4}+I_{6}&\Rightarrow&I=I_{2}+2I_{4}\quad\text{car, }\ I_{4}=I_{5}=I_{6}\\ \\&\Rightarrow&I_{4}=\dfrac{I-I_{2}}{2}\\ \\&\Rightarrow&I_{4}=\dfrac{5-5}{2}\\ \\&\Rightarrow &I_{4}=0\;A\\ \\&\Rightarrow&I_{6}=0\;A\end{array}$

D'où, $\boxed{I_{6}=0\;A}$

4) L'ampèremètre du circuit est de classe 2. Il comporte $100$ divisions et porte les calibres

$$1\;A\;;\ 5\;A\;;\ 10\;A\ \text{ et }\ 15\;A$$

a) Déterminons le calibre le mieux adapté à la mesure.

Le calibre le mieux adapté à la mesure $5\;A$ est le calibre.

Déduisons l'indication $n$ de l'aiguille.

On sait que : $I_{7}=\dfrac{C\times n}{N}\Rightarrow n=\dfrac{I_{7}\times N}{C}$

Donc, $n=\dfrac{3\times 100}{5}=60$ d'où, $\boxed{ n=60\text{ divisions}}$

b) Donnons un encadrement de l'intensité mesurée

Soit : $\Delta I_{7}=\dfrac{C\times 1}{N}=\dfrac{5\times 1}{00}\Rightarrow \Delta I_{7}=0.05\;A$

On a :

$\begin{array}{rcrcccl} I_{7}-\Delta I_{7}\leq I_{7}\leq I_{7}+\Delta I_{7}&\Rightarrow&3-0.05&\leq&I_{7}&\leq&3+0.05\\\\&\Rightarrow&2.95\;A&\leq&I_{7}&\leq&3.05\;A\end{array}$

Solution des exercices : Intensité du courant électrique - 2nd S

Classe:

Seconde

Exercice 1

On considère le circuit de la figure ci-dessous

1) Sachant que la quantité d'électricité $Q$ qui traverse la section du fil $AF$ pendant une minute est $Q=30\;C.$

a) Calculons le nombre d'électrons qui traverse cette section pendant la même durée.

Soit : $Q=n.e\ \Rightarrow\ n=\dfrac{Q}{e}$

A.N : $n=\dfrac{30}{1.6\cdot 10^{-19}}=19\cdot 10^{19}$

Donc, $\boxed{n=19\cdot 10^{19}\text{ électrons}}$

b) Déduisons la valeur de l'intensité du courant $I_{1}$ qui traverse la lampe $L_{1}.$

On a : $I_{1}=\dfrac{n.e}{t}$

Alors, $I_{1}=\dfrac{19\cdot 10^{19}\times 1.6\cdot 10^{-19}}{60}=0.50$

Ainsi, $\boxed{I_{1}=0.50\;A}$

2) L'ampèremètre $A$ comporte $100$ divisions et possède les calibres suivant :

$$5\;A\;;\quad 1\;A\;;\quad 300\;mA\;;\quad 100\;mA$$

a) Le calibre le plus adapté pour la mesure de l'intensité $I_{1}$ est le plus petit calibre supérieur à l'intensité du courant à mesurer, c'est-à-dire le calibre $1\;A$

b) Déterminons la division $n$ devant laquelle l'aiguille de l'ampèremètre s'arrête

$I_{1}$ peut s'écrire : $I_{1}=\dfrac{C\times n}{N}\ \Rightarrow\ n=\dfrac{I_{1}\times N}{C}$

Par suite, $n=\dfrac{0.50\times 100}{1}=50$

D'où, $\boxed{n=50\text{ divisions}}$

3) L'intensité débité par le générateur est $0.8\;A.$

a) Les points qui sont considérés comme des nœuds sont $F\ $ et $\ C$

b) Indiquons le sens du courant dans chaque branche. (voir figure)

Déterminons les valeurs des intensités qui traversent les lampes $L_{2}\;,\ L_{3}\ $ et $\ L_{4}$

Pour la lampe $L_{2}\;,\ I=0.8\;A$

Pour les lampes $L_{3}\ $ et $\ L_{4}$, on a :

$\begin{array}{rcl} I'&=&I-I_{1}\\&=&0.8-0.50\\&=&0.3\end{array}$

Donc, $I=0.8\;A$ traverse la lampe $L_{2}\ $ et $\ I'=0.30\;A$ traverse les lampes $L_{3}\ $ et $\ L_{4}$

Exercice 2

On considère le montage de ma figure représentée ci dessous.

L'ampèremètre comporte $100$ divisions et possède les calibres suivants :

$$3\;A\;;\quad 1\;A\;;\quad 300\;mA\;;\quad 100\;mA\;;\quad 30\;mA\quad\text{et}\quad 10\;mA$$

Lorsqu'on utilise le calibre $300\;mA$, l'aiguille de l'ampèremètre s'arrête devant la graduation $30.$

1) Calculons l'intensité du courant qui traverse l'ampèremètre en $mA$ et en $A.$

Soit : $I=\dfrac{C\times n}{N}$

Alors, $I=\dfrac{300\times 30}{100}=90$

Ainsi, $\boxed{I=90\;mA=0.090\;A}$

2) Les calibres permettant la mesure de l'intensité $I$ sont les calibres :

$$3\;A\;;\quad 1\;A\;;\quad 300\;mA\quad\text{et}\quad 100\;mA$$

Le meilleur calibre est le plus petit calibre supérieur à l'intensité du courant à mesurer ; c'est-à-dire le calibre $100\;mA.$

3) Déterminons l'indication $n$ de l'aiguille de l'ampèremètre lorsqu'il est utilisé sur le meilleur calibre.

On a : $I=\dfrac{C\times n}{N}\ \Rightarrow\ n=\dfrac{I\times N}{C}$

Donc, $n=\dfrac{90\times 100}{100}=90$

D'où, $\boxed{n=90\text{ divisions}}$

4) Calculons la quantité d'électricité traversant la section du fil conducteur pendant 2 minutes.

On sait que : $Q=I.t$ donc, $Q=90\cdot 10^{-3}\times(2\times 60)=10.8$

Ainsi, $\boxed{Q=10.8\;C}$

5) Déduisons le nombre d'électrons traversant la section de ce fil pendant 2 minutes.

Comme $Q=n.e$ alors, $n=\dfrac{Q}{e}$

Par suite, $n=\dfrac{10.8}{1.6\cdot 10^{-19}}=6.75\cdot 10^{19}$

Ainsi, $\boxed{n=6.75\cdot 10^{19}\text{ électrons}}$

Exercice 3

1) Une pile est capable de libérer une quantité d'électricité $Q=470\;C.$ Elle alimente en électricité une montre à quartz. Il faut changer la pile tous les dix huit mois. (47 millions de secondes)

Calculons l'intensité du courant électrique qui passe dans la pile.

Soit : $I=\dfrac{Q}{t}=\dfrac{470}{47\cdot 10^{6}}=10^{-5}$

Donc, $\boxed{I=10^{-5}\;A}$

2) L'ampèreheure est l'unité de la charge électrique.

Convertissons l'ampèreheure dans l'unité correspondante du système international.

On a : $1\;Ah=1\times 60\times 60=3600$

Soit : $\boxed{1\;Ah=3600\;C}$

3) L'intensité moyenne qui passe dans la pile d'une calculatrice à cristaux liquides est $I=0.20\;mA.$ La capacité de la pile utilisée est $Q=0.30\;Ah.$

Déterminons le nombre de temps pendant lequel on peut utiliser la calculatrice.

Comme $Q=I.t$ alors, $t=\dfrac{Q}{I}$

A.N : $t=\dfrac{0.30\times 3600}{0.20\cdot 10^{-3}}=54\cdot 10^{5}$

Ainsi, $\boxed{t=54\cdot 10^{5}\;s}$

4) Pour sortir de son garage, un automobiliste actionne son démarreur pendant 5 secondes et, ensuite, allume ses phares est ses feux de position pendant 1 minute.

L'intensité du courant dans la batterie est respectivement de 30 ampères et de 6 ampères pendant ces opérations.

Calculons la quantité d'électricité totale débitée par la batterie.

Soit : $Q_{\text{démarreur}}=I_{demar}.t_{1}\ $ et $\ Q_{\text{lampes}}=I_{lamp}.t_{2}$

La quantité d'électricité totale débitée par la batterie sera donnée par :

$$Q=Q_{\text{démarreur}}+Q_{\text{lampes}}$$

A.N : $Q=30\times 5+6\times 60=510$

D'où, $\boxed{Q=510\;C}$

Exercice 4

Dans la portion de circuit de la figure ci-dessous, calculons les intensités $I_{1}\;,\ I_{2}\ $ et $\ I_{3}.$

On donne : $I_{4}=7\;A\;,\ I_{5}=2\;A\;,\ I_{6}=3\;A\;,\ I_{7}=5\;A.$

On a :

$\centerdot\ I_{2}=0\;A$

$\begin{array}{rcl}\centerdot\ I_{4}+I_{7}=I_{6}+I_{3}&\Rightarrow&I_{3}=I_{4}+I_{7}-I_{6}\\&\Rightarrow&I_{3}=7+5-3\\&\Rightarrow&I_{3}=9\;A\end{array}$

$\centerdot\ I_{1}=0\;A$

Solution des exercices : Généralités sur le courant électrique - 2nd s

Classe:

Seconde

Exercice 1

Complétons le texte ci-dessous avec des mots de la liste : négative, positive, électrons, ions, cations, anion.

Dans les métaux, la conduction du courant électrique est assurée par les électrons qui se déplacent de la borne négative du générateur vers sa borne positive.

Une solution ionique est constituée de deux sortes d'ions : Les ions chargés positivement sont appelés des cations et les ions chargés négativement sont appelés des anions.

Dans une solution ionique, le courant électrique est dû à un double déplacement des ions.

Les cations sont attirés par l'électrode reliée à la borne négative du générateur et les,anions sont attirés par l'électrode qui est reliée à la borne positive du générateur.

Exercice 2

1) Réalisons le schéma de ce montage en utilisant les symboles normalisés

2) Vérifions si ces schémas correspondent à des circuits électrique fonctionnel et justifions

Les schémas 1, 2 et 4 ne correspondent pas à des circuits électriques fonctionnels car ils ne comportent pas de générateur.Par le schéma 3 qui comporte un générateur correspond à un circuit électrique fonctionnel.

Exercice 3

A partir des éléments dessinés ci-dessous, réalisons les branchements :

1) un circuit pour que les lampes soient montées en série.

2) un circuit pour que les lampes soient montées en parallèle.

Exercice 4

Analyse d'un montage à trois lampes

1) Schématisons le montage ci-dessus

2) Pour connaître tous les courants il faut placer trois ampèremètre, l'un dans la branche du générateur (appelée branche principale), un autre dans la branche des lampes $L_{2}\ $ et $\ L_{3}$, et un autre dans la branche de la lampe $L_{1}.$

3) Lorsque la lampe $L_{1}$ vient à griller ; les lampes $L_{2}\ $ et $\ L_{3}$ éclairent.

4) Lorsque la lampe $L_{2}$ vient à griller alors, la lampe $L_{1}$ éclaire et $L_{3}$ n'éclaire pas.

Exercice 5

Les dipôles $D_{1}\;,\ D_{2}\;,\ D_{3}\;,\ D_{4}\ $ et $\ D_{5}$ ne sont pas des générateurs.

Choisissons les affirmations exactes :

1.1) Le courant électrique est un mouvement de porteurs de charges.

1.3) A l'extérieur du générateur, les électrons circulent de la borne $-$ vers la borne $+.$

2.1) Les dipôles $D_{4}\ $ et $\ D_{6}$ sont en série.

2.4) Les dipôles $D_{1}\ $ et $\ D_{2}$ sont en série.

3.1) Il y a dans ce circuit 2 nœuds.

3.4) Il y a dans ce circuit 3 branches en dérivation.

Exercice 6

L'électrolyse est un processus de conversion d'énergie électrique en énergie chimique. En effet, cette méthode consiste à faire passer du courant électrique dans une solution aqueuse afin de transformer la matière (réaction chimique) au niveau des électrodes. Cette technique est utilisée pour "plaquer" les bijoux.

Une bague en métal est plongée dans une solution de chlorure d'argent reliée à un générateur pour être plaquée en argent :

1) Indiquons les solutions aqueuses conduisent le courant électrique.

Les solutions aqueuses conduisent le courant électrique sont les solutions ioniques.

2) Précisons la nature du courant électrique dans les solutions.

La nature du courant électrique dans les solutions sont des ions.

3) Donnons la formule chimique de la solution de chlorure d'argent.

La formule chimique de la solution de chlorure d'argent $AgCl.$

On doit placer la bague sur l'électrode négative pour qu'elle se recouvre d'argent.

En effet, c'est au niveau de cette électrode où a lieu la réaction d'oxydation.

Solution des exercices : Phénomènes d'électrisation - 2nd s

Classe:

Seconde

Exercice 1

Questions de cours :

$\ast\ $ Un corps électrisé est un corps qui porte une ou des charge(s)

$\ast\ $ L'électrisation par frottement, par contact ou par influence sont les différents modes d'électrisation

$\ast\ $ Tous les corps électrisés ne sont pas chargés d'un même signe car, certains corps se chargent positivement et d'autres se chargent négativement

$\ast\ $ Lorsqu'on frotte le verre avec le drap, le verre perd des électrons et se charge positivement

$\ast\ $ Une décharge électrique est un phénomène de transfert de charges électriques d'un corps $A$ vers un corps $B.$

$\ast\ $ La valeur de la charge électrique élémentaire est $e=1.60\cdot 10^{-19}\;C$

Exercice 2

Complétons les phrases suivantes :

a) Un corps est dit neutre s'il contient autant de charges positives que de charges négatives

b) On approche un bâton d'ébonite frotté à un bâton de verre frotté, On observe une attraction c'est-à-dire les deux bâtons sont chargés différemment

c) Un bâton en p.v.c frotté porte une charge positive c'est-à-dire il à un défaut d'électrons.

d) Un corps chargé négativement présente un excès d'électrons Entre ce corps et un autre corps de charge opposé il y a attraction

e) Entre deux corps électrisés se manifestent des actions mutuelles appelées interactions ; attraction et répulsion

f) Au bout d'une pointe, les charges d'un corps électrisé s'accumulent très fortement.

Exercice 3

Complétons le tableau suivant :

$$\begin{array}{|l|c|c|c|}\hline&\text{Règle en}&\text{Règle en}&\text{Règle en}\\&\text{plexiglas}&\text{ébonite}&\text{verre}\\ \hline\text{Règle en plexiglas}&\text{répulsion}&\text{attraction}&\text{répulsion}\\ \hline\text{Règle en ébonite}&\text{attraction}&\text{répulsion}&\text{attraction}\\ \hline\text{Règle en verre}&\text{répulsion}&\text{attraction}&\text{répulsion}\\ \hline\end{array}$$

Exercice 4

Répondons par vrai ou faux sur les propositions suivantes et corrigeons celles qui sont les fausses :

1) La neutralité électrique de la matière dans son état normal veut dire qu'elle ne renferme aucune charge électrique.

$\blacktriangleright\ $ Faux : car, elle peut posséder des charges de nature différente mais en nombre égal

2) L'électrisation positive d'un corps résulte du fait qu'il a gagné des charges positives prises au corps avec lequel il a interagi pour s'électriser.

$\blacktriangleright\ $ Faux : car, cette électrisation résulte du fait qu'il a perdu des électrons

3) Un corps électrisé ne peut attirer, par interaction électrique, que d'autres corps électrisés et portant des charges de nature différente de celle qu'il porte lui-même.

$\blacktriangleright\ $ Faux : un corps électrisé peut attirer un corps non chargé

4) Un corps électrisé ne peut repousser, par interaction électrique, que les corps électrisés et portant des charges électriques de même nature que sa propre charge.

$\blacktriangleright\ $ Vrai.

5) Pour électriser un corps il est nécessaire de le frotter par un autre corps.

$\blacktriangleright\ $ Faux : car, on peut l'électriser par contact ou par influence

Exercice 5

On réalise l'expérience suivante :

$C$ est un crayon à papier, dont on a taillé les deux bouts, la mine dépasse à chaque extrémité. $V$ est du verre isolant. On touche l'extrémité $A$ avec un bâton chargé négativement : la boule du pendule s'écarte.

Pour chaque phrase ci-dessous choisissons la bonne expression. (Choix à justifier.)

1) La mine est conductrice car si la boule est repoussée,ce que les électrons ont été conduits jusqu'à la boule

2) Des électrons sont passés du bâton sur la mine car c'est le bâton qui portait les électrons

3) Des électrons sont passés de la mine sur la boule car étant au départ non chargée, elle ne peut que recevoir des électrons provenant de la mine

4) La boule s'est chargée négativement car elle a gagné des électrons provenant du bâton

Exercice 6

Complétons les phrases suivantes avec ces mots ( deux ; positives, charges ; influence ; trois ; quatre ; négatives ; repousser ; même signe ; contacte ; attirer ; frottement, électrisation ; décharge ; signe contraire)

Le peigne, par frottement, à acquis la propriété d'attirer les cheveux. Il a subit une électrisation.

Il existe deux sortes de charges électriques : positives et négatives.

Des charges électriques de signes contraires s'attirent alors que des charges électriques de même signe se repoussent.

Il existe trois modes d'électrisation par frottement par contact .et par influence

Exercice 7

Quatre tiges $A\;,\ B\;,\ C\ $ et $\ D$ sont électrisées par frottement.

$A$ repousse $B$ qui attire $C.\ C$ est une tige en verre qui repousse $D.$

1) Déterminons le signe des charges électriques apparues sur $A\;,\ B\ $ et $\ D$

$C$, tige en verre, se charge positivement. $C$ repousse $D.$ Donc, $D$ est chargé positivement.

$B$ attire $C$ donc, $B$ est chargé négativement.

$A$ repousse $B$ donc, $A$ est chargé négativement.

2) Interaction existant entre $A\ $ et $\ C$ ; entre $A\ $ et $\ D$ et entre $B\ $ et $\ D$

Entre $A\ $ et $\ C$, l'interaction est attractive, de même entre $A\ $ et $\ D$ et entre $B\ $ et $\ D$

Exercice 8

On dispose d'une petite sphère $A$ recouverte de papier d'aluminium sur laquelle on dépose une charge $q_{_{A}}=10^{-8}\;C.$

On approche un corps $B$ portant une charge de valeur absolue $|q_{_{B}}|=10^{-7}\;C$ dont on ne connaît pas le signe. On observe une attraction.

1) Expliquons pourquoi la sphère $A$ réagit de cette façon et donnons le signe de la charge

Le sphère $A$ réagit de cette façon parce que la charge portée par le corps $B$ est de signe contraire de celui de la sphère.

La charge portée par le corps $B$ est négative.

2) Expliquons comment peut-on décharger la sphère.

Il suffit de toucher la sphère de la main.

3) La sphère étant déchargée on rapproche d'elle de nouveau le corps $B.$ Schématisons et expliquons.

Le corps $B$ chargé négativement va créer un déplacement d'électrons dans la boule d'aluminium.

Exercice 9

Quatre tiges $A\;,\ B\;,\ C\ $ et $\ D$ sont électrisées par frottement.

$A$ attire $B$ qui repousse $C.\ C$ est une tige en plexiglas qui attire $D.$

1) Déterminons le signe des charges électriques apparues sur $A\;,\ B\ $ et $\ D$

$C$ est une tige en plexiglas qui attire $D.$

$C$ étant chargé négativement donc, $D$ est chargé positivement.

$A$ attire $B$ qui repousse $C.$

$A\ $ et $\ B$ sont respectivement chargés positivement et négativement.

2) Les interaction existants sont résumées dans le tableau ci-dessus :

$$\begin{array}{|l|l|}\hline&\text{Interaction}\\ \hline A\ \boxminus\text{ et }C\ \blacksquare&\text{attractive}\\ \hline A\ \boxminus\text{ et }D\ \boxplus&\text{répulsive}\\ \hline B\ \square\text{ et }D\ \boxplus&\text{attractive}\\ \hline\end{array}$$

Exercice 10

Dans un orage, un éclair accompagne un transfert de charges entre la terre et un nuage.

On suppose que la décharge transfère une charge électrique de 20 coulombs pendant 1 millième de seconde.

1) Déterminons l'intensité moyenne du courant électrique accompagnant le transfert.

Soit : $I=\dfrac{Q}{t}$

A.N : $I=\dfrac{20}{10^{-3}}=20\cdot 10^{3}$

Ainsi, $\boxed{I=20\cdot 10^{3}\;A}$

2) Rôle du paratonnerre

Il sert à se protéger contre la foudre.

3) La charge totale du nuage étant $-320\;C$, calculons l'excès d'électrons accumulés dans le nuage

Soit $n$ l'excès d'électrons alors, on a : $Q=-n.e\ \Rightarrow\ n=-\dfrac{Q}{e}$

A.N : $n=-\dfrac{-320}{1.6\cdot 10^{-19}}=2\cdot 10^{21}$

D'où, $\boxed{n=2\cdot 10^{21}}$

Exercice 11

On charge séparément par frottement :

$-\ \ $ Une règle de verre qui porte alors la charge $q_{1}=2\cdot 10^{-13}\;C$ ;

$-\ \ $ Une règle en plastique qui porte alors la charge $q_{2}=-9\cdot 10^{-12}\;C.$

On réalise le contact entre les zones électrisées des deux règles.

1) Calculons la charge électrique de l'ensemble des deux règles

Soit :

$\begin{array}{rcl} q&=&q_{1}+q_{2}\\&=&2\cdot 10^{-13}-9\cdot 10^{-12}\\&=&-8.8\cdot 10^{-12}\end{array}$

Ainsi, $\boxed{q=-8.8\cdot 10^{-12}\;C}$

2) En déduisons la charge électrique portée par chaque règle après le contacte.

Soit : $q'=\dfrac{q}{2}=\dfrac{-8.8\cdot 10^{-12}}{2}=-4.4\cdot 10^{-12}$

Donc, $\boxed{q'=-4.4\cdot 10^{-12}\;C}$

3) Précisons le sens dans le quel s'est fait le transfert des électrons

Le transfert des électrons se fait de la règle en plastique vers la règle de verre.

Exercice 12

Un corps $A$ est électrisé par contact à l'aide d'un bâton de verre initialement frotté sur un drap. La charge portée par le corps $A$ est $q_{_{A}}=12.8\cdot 10^{-9}\;C.$

1) La charge du corps est positive,le corps $A$ possède un défaut d'électrons.

2) Précisons le sens du transfert des électrons entre le verre et le corps $A.$

Le sens du transfert des électrons se fait du corps $A$ vers le verre.

3) Calculons le nombre $n$ d'électrons transféré. On donne $e=1.6\cdot 10^{-19}\;C.$

On a : $q_{A}=n.e\ \Rightarrow\ n=\dfrac{q_{A}}{e}$

A.N : $n=\dfrac{12.8\cdot 10^{-9}}{1.6\cdot 10^{-19}}=8\cdot 10^{10}$

Donc, $\boxed{n=8\cdot 10^{10}\text{ électrons}}$

Exercice 13

1) Un corps $A$ est chargé positivement. On l'approche d'un autre corps $B$ chargé, il y a attraction. Alors, le signe de la charge du corps B est négative car, deux corps de signes contraires s'attirent.

2) Le corps $A$ est maintenant mis en contact avec un corps $C$ électriquement neutre.

a) Le corps $C$ devient chargé. Le signe de sa charge est positive.

b) Ce mode d'électrisation est appelé électrisation par contact.

c) Il y a un échange d'électrons se fait de $C$ vers $A.$

Exercice 14

Un bâton d'ébonite frotté par la fourrure acquiert une charge $q=-4.8\;10^{-19}\;C.$

1) Donnons la définition de l'électrisation.

L'électrisation est un transfert d'électrons d'un corps vers un autre corps.

2) Le bâton d'ébonite a gagné des électrons.

3) Déterminons le nombre d'électrons gagnés ou perdus par le bâton d'ébonite

Soit : $n=-\dfrac{q}{e}=-\dfrac{-4.8\;10^{-19}}{1.6\;10^{-19}}=3$

Ainsi, $\boxed{n=3\text{ électrons}}$

4) Le nombre d'électrons perdus par la fourrure est donc $n=3\text{ électrons}$

Exercice 15

On approche du plateau neutre d'un électroscope une baguette d'ébonite préalablement chargée négativement par un chiffon. On observe alors que la feuille métallique se décolle du tronc.

1) Expliquons de manière concise cette observation.

La baguette d'ébonite, par influence, repousse les électrons de la boule qui repoussent les électrons des feuilles d'aluminium. La feuille métallique et le tronc étant chargés négativement, la feuille métallique se décolle du tronc.

2) Si l'on éloigne la baguette d'ébonite, la feuille métallique retombe.

3) On approche à nouveau la baguette d'ébonite chargée jusqu'à ce qu'elle touche le plateau puis on l'éloigne, la feuille métallique reste toujours écartée du tronc puisque le tronc et la feuille métallique portent des charges de même signe.

4) Lorsqu'on approche alors du plateau (sans le toucher) le chiffon qui a permis de charger la baguette, on observe la feuille métallique qui se décolle du tronc.

5) La feuille métallique doit être légère pour que l'action du poids de la feuille soit négligeable.

6) Le rôle du joint en plastique qui entoure le haut du tronc est de jouer le rôle d'isolant.

Exercice 16

1.1. Le bâton $(A)$ a perdu des électrons à la suite de l'électrisation, car un corps perd des électrons devient chargé positivement.

1.2. Déterminer le nombre d'électrons perdus par $(A)$

$\begin{array}{lll} q_{A}&=&ne\\\Rightarrow\;n&=&\dfrac{q_{A}}{e}\\\\&=&\dfrac{48\cdot 10^{-18}}{1.6\cdot 10^{-19}}\\\Rightarrow\;n&=&30\cdot 10^{1}\text{électrons} \end{array}$

2.1. Interprétons le phénomène qui se produit entre les deux bâtons après ce contact.

Il se produit un transfert d'électrons entre les deux bâtons jusqu'à ce que les deux bâtons portent des charges égales.

2.2. Précisons le sens de transfert des électrons.

Le sens de transfert des électrons se fait du bâton $(B)$,étant moins chargé, vers le bâton $(A)$

2.3. Détermination de la charge de chaque bâton après contact

$\begin{array}{lll} q^{\prime}_{A}+q^{\prime}_{B}&=&q_{A}+q_{B}\\\Rightarrow\;2q^{\prime}_{A}&=&q_{A}+q_{B}\\\\\Rightarrow\;q^{\prime}_{A}&=&\dfrac{q_{A}+q_{B}}{2}\\\\&=&\dfrac{48\cdot 10^{-18}+3.2\cdot 10^{-18}}{2}\\\Rightarrow\;q^{\prime}_{A}&=&q^{\prime}_{B}\\&=&25.6\cdot 10^{-18}C \end{array}$

Exercice 17

1. Citons une expérience qui montre que l'extrémité frottée est électrisée.

Un corps frotté est capable d'attirer des lambeaux de papier ou de faire briller une lampe à lueur, il a été électrisé par frottement.

2.1. Montrons que le bâton d'ébonite possède un excès d'électrons.

La charge portée par le bâton d'ébonite est négative, le bâton d'ébonite possède donc un excès d'électrons.

2.2. Calculons le nombre $n$ d'électrons en excès portés par le bâton d'ébonite.

On donne : la charge d'un électron $=-e=-1.6\cdot 10^{-19}C$

$\begin{array}{lll} Q&=&n(-e)\\\\\Rightarrow\;n&=&\dfrac{Q}{-e}\\\\&=&\dfrac{-1.6\cdot 10^{-9}}{-1.6\cdot 10^{-19}}\\\Rightarrow\;n&=&10\cdot 10^{11}\text{électrons} \end{array}$

2.3. Les électrons en excès portés par l'ébonite proviennent de la fourrure qui a cédé des électrons

2.4. Donnons la valeur de la charge portée par la fourrure

La valeur de la charge portée par la fourrure est : $Q^{\prime}=Q=1.6\cdot 10^{-9}C$

3.1. L'électroscope est électrisé par influence

3.2. Expliquons à l'aide d'un schéma l'électrisation de l'électroscope.

Indiquons sur ce schéma les signes des électricités portées par l'électroscope

L'électroscope est électrisé par influence, les électrons du bâton d'ébonite repoussent les électrons du plateau de l'électroscope vers la partie inférieure de l'électroscope qui se charge négativement.

3.3. La déviation de l'aiguille de l'électroscope est dû aux électrons se répartissent sur la tige fixe et sur l'aiguille ; tige et aiguille portent des charges de même signe et se repoussent.

4.1. Signe de l'électricité portée par l'électroscope

L'électroscope acquiert une partie des électrons en excès sur bâton d'ébonite.

Le signe de l'électricité portée par l'électroscope est donc négative.

4.2. Schéma de l'électroscope électrisé

Exercice 18

a. Le signe de la charge du pendule est positive

b. Au cours du contact, il y a transfert d'électrons du pendule vers $P\cdot V\cdot C$

c. Le nombre d'électrons transférés

$\begin{array}{rcl} q_{A}&=&ne\\\Rightarrow\;n&=&\dfrac{q_{A}}{e}\\&=&\dfrac{10^{-8}}{1.6\cdot10^{-19}}\\\Rightarrow\boxed{n=6.25\cdot10^{10}\text{electron}} \end{array}$

Exercice 19

1. Expliquons l'apparition des charges négatives sur le bâton.

Lorsqu'on frotte un bâton d'ébonite avec un drap sec, le bâton d'ébonite arrache des électrons à la peau de chat et se charge négativement

2. Le nombre de charges électriques élémentaires négatives portées par le bâton

$\begin{array}{rcl} Q&=&n(-e)\\\Rightarrow\;n&=&\dfrac{Q}{-e}\\&=&\dfrac{-64\cdot 10^{-15}}{-1.6\cdot10^{-19}}\\\Rightarrow\boxed{n=40\cdot10^{4}\text{electrons}} \end{array}$

3. Montrons que le drap utilisé s'est électrisé

Le drap perdant des électrons se charge également, il s'électrise donc

b. Nature de sa charge

La charge portée par le drap est positive

c. On le peut prouver expérimentalement en approchant un corps chargé du drap.

Si on constate une attraction ou répulsion, on conclut que le drap est chargé

d. Valeur de sa charge

Le signe porté par le drap est de signe contraire de celui du bâton d'ébonite et de valeur : $Q=64\cdot10^{-15}C$

Exercice 20

1. Calcul de la valeur de sa charge $q$ en coulomb

$\begin{array}{rcl} Q&=&ne\\&=&100\times1.6\cdot10^{-19}\\\Rightarrow\boxed{ Q=1.6\cdot10^{-17}C} \end{array}$

2. Indiquons le signe de sa charge.

La bille au contact avec le bâton de verre chargé positivement se charge positivement.

b. Indiquons les modes d'électrisation de la bille et du bâton.

Le bâton de verre frotté s'électrisé par frottement, la bille par contact

c. Calcul, en coulomb, de la valeur de la charge de la bille $q'$

$\begin{array}{rcl} q'&=&-ne\\&=&-35\times1.6\cdot10^{-19}\\\Rightarrow\boxed{q'=56\cdot10^{-19}C} \end{array}$

d. Déduisons en le justifiant la valeur en coulomb de la nouvelle charge $q"$ du bâton après le contact.

La valeur de la charge portée est opposée à la valeur de la charge portée par la bille

$\begin{array}{rcl} q"&=&-q'\\&=&-q-56\cdot10^{-19}C \end{array}$

3. On peut décharger les deux corps, bâton de verre et bille en touchant :

$-\ $du doigt le bâton de verre chargé, les électrons s'écoulent à travers le corps dans la Terre

$\ $du doigt le bâton de verre chargé, les électrons s'écoulent en sens inverse c'est-à-dire de la Terre vers le corps

3. On peut décharger les deux corps, bâton de verre et bille en touchant :

$-\ $du doigt le bâton de verre chargé, les électrons s'écoulent à travers le corps dans la Terre

$-\ $du doigt le bâton de verre chargé, les électrons s'écoulent en sens inverse c'est-à-dire de la Terre vers le corps

Exercice 21

1. Si on l'approche d'un pendule constitué d'une boule légère, on constate une attraction, puis contact, et enfin répulsion

2. La tige possède un excès d'électrons.

Ces charges proviennent du chiffon de laine qui a perdu des électrons

3. Expliquons à l'aide d'un schéma et de quelques lignes le phénomène que l'on observe

Avant frottement,tige en $PVC$ et chiffon de laine sont électriquement neutre.

En les frottant, on agit sur les atomes situés à la surface de la tige en $PVC$ et du chiffon en laine.

La tige en $PV$C arrache des électrons aux atomes constituant le chiffon en laine, il acquiert un excès d'électrons : il se charge négativement

Le chiffon en laine présente un manque d'électrons : il se charge positivement

4. On n'aurait pas pu observer le même phénomène En effet, alors que la tige en cuivre métal "perd

son électricité", la tige en $PVC$ , elle, la "conserve" : les charges restent localisées à une des extrémité de la tige en $PVC$ sans pouvoir se déplacer.

Le cuivre est un conducteur alors que le PVC est un isolant

5.a. Précisons le signe de la charge portée par la tige en plexiglas électrisé par frottement avec de la laine

Le signe de la charge portée par la tige en plexiglas est positive

b. Précisons le signe de la charge de la boule du pendule électrostatique

Le signe de la charge portée par la boule du pendule électrostatique est positive

c) Les charges positives de la tige en plexiglas attirent les électrons de la boule.

Il s'en suit une dissymétrie de la répartition des charges au sein de la boule.

La partie de la boule en regard de boule en plexiglas chargée négativement est attirée par la tige

Exercice 22

1. Expliquons la répulsion des feuilles d'aluminium.

Le bâton en ébonite $(E)$ ,par influence,repousse les électrons de la boule métallique $(B)$ qui repoussent les électrons des feuilles d'aluminium

Étant chargées négativement, ces feuilles se repoussent

2. Donnons un nom à ce mode d'électrisation

Ce mode d'électrisation est l'électrisation par influence

Solution des exercices : Réflexion de la lumière - 2nd S

Classe:

Seconde

Exercice 2

1) Énonçons les lois de Descartes relatives à la réflexion de la lumière.

$\centerdot\ $ Le rayon réfléchi est dans le plan d'incidence

$\centerdot\ $ L'angle d'incidence est égal à l'angle de réfraction

2.1) Expliquons pourquoi le miroir donne de l'objet $S$ une image.

L'image $S'$ obtenue est une image virtuelle dont on peut la voir à travers le miroir

Précisons la position de cette image.

L'image $S’$ est la symétrie de $S$ par rapport au miroir

2.2) Construisons la marche du rayon lumineux issu de $S$ et qui, après réflexion sur le miroir arrive en $O$

3) Déterminons les positions de $S$ pour lesquelles l'observateur peut voir l'image $S’$ de $S$ en regardant la face du miroir

$\dfrac{KI}{IH}=\dfrac{SK}{OH}\ \Rightarrow\ KI=\dfrac{SK}{OH}IH$

En posant $KI=y\;,\ IH=x$, on obtient :

$$y=\dfrac{1}{1.5}x\ \Rightarrow\ y=0.67x\ \text{ avec, }\ 0<x\leq 2\;m$$

Ainsi, l'ensemble des postions de $S$ est une droite linéaire

Exercice 3

Le miroir $M_{1}M_{2}$ est placé dans le plan perpendiculaire à la figure et contenant les points : $M_{1}(0\;;\ -1.5)\ $ et $\ M_{2}(0\;;\ 3).$

L'œil de l'observateur est placé en $\Omega(3\;;\ 0).$

Plaçons les points $A(3\;;\ 3)\;,\ B(3\;;\ 6)\ $ et $\ C(1.5\;;\ 6)$

L'œil peut voir les images $A'\;,\ B'\ $ et $\ C'$ des points $A\;,\ B\ $ et $\ C$

Solution des exercices : Amplificateur opérationnel - 2nd S

Classe:

Seconde

Exercice 2

On considère le montage ci-dessus pour lequel l'amplificateur opérationnel (A.O.) est supposé idéal.

La tension de saturation de l'A.O. est $V_{\text{sat}}=15\;V.$

On donne les résistances : $R_{1}=2.2\;k\Omega\;,\ R_{2}=4.7\;k\Omega$

La tension d'entrée est $U_{e}=U_{_{AM}}=1.5\;V.$

1) Un A.O. est considéré comme idéal si :

$-\ $ le courant $i^{-}$ entrant par l'entrée inverseuse $E^{-}$ est nul ;

$-\ $ le courant $i^{+}$ entrant par l'entrée non inverseuse $E^{+}$ est nul ;

$-\ $ la tension entre les entrées $E^{+}\ $ et $\ E^{-}$ est nulle en régime linéaire, cette tension est notée $u_{d}.$

2.1) Montrons qu'avec ce montage un même courant traverse $R_{1}\ $ et $\ R_{2}.$

Le point $E^{-}$ est un nœud du circuit. La loi des nœuds s'écrit :

$$i_{1}=i_{2}+i^{-}$$

L'A.O. étant idéal alors, $i^{-}=0$

Par suite, $i_{1}=i_{2}.$ Les intensités $i_{1}\ $ et $\ i_{2}$ sont donc égales.

2.2) Établissons que, dans les conditions considérées, la tension de sortie $U_{s}=U_{_{SM}}$ est donnée par :

$$U_{s}=-\dfrac{R_{2}}{R_{1}}U_{e}$$

La loi d'additivité des tensions à l'entrée s'écrit :

$$U_{e}=U_{AM}=U_{AE^{-}}+U_{E^{-}E^{+}}+U_{E^{+}M}$$

Avec :

$U_{AE^{-}}=R_{1}.i$

$U_{E^{-}E^{+}}=-u_{d}=0$ puisque l'A.O. est idéal

$U_{E^{+}M}=0$, il ne passe aucun courant dans cette branche (l'A.O. est idéal) et il s'agit d'un simple fil.

La tension $U_{e}$ est donc :

$$U_{e}=R_{1}.i$$

De même la tension de sortie $U_{s}$ a pour expression :

$$U_{s}=U_{SM}=U_{SE^{-}}+U_{E^{-}E^{+}}+U_{E^{+}M}$$

Comme $U_{SE^{-}}=-U_{E^{-}S}=-R_{2}.i\;,\ U_{E^{-}E^{+}}=0\ $ et $\ U_{E^{+}M}=0$ alors :

$$U_{s}=-R_{2}.i$$

De l'expression de $U_{e} $on tire :

$$i=\dfrac{U_{e}}{R_{1}}\ \Rightarrow\ U_{s}=-\dfrac{R_{2}}{R_{1}}U_{e}$$

2.3) Justifions le nom de montage amplificateur inverseur donné à ce montage.

Avec ce montage la résistance $R_{2}$ supérieure à $R_{1}$, la valeur absolue de $U_{s}$ est supérieure à celle de $U_{e}.$

Le montage est dit montage amplificateur.

Avec ce montage, les tensions d'entrée et de sortie sont de signes contraires. Le montage est dit montage amplificateur inverseur.

2.4) Calcul de la tension de sortie.

Soit : $U_{s}=-\dfrac{R_{2}}{R_{1}}U_{e}$

A.N : $U_{s}=-\dfrac{4.7\times 1.5}{2.2}=-3.2$

Donc, $\boxed{U_{s}=-3.2\;V}$

3) Entre $A\ $ et $\ M$, à l'entrée du montage précédent, on remplace la pile par un générateur de tension réglable.

Compléter le tableau ci-dessous en précisant, pour chaque valeur de la tension d'entrée $U_{e}$ la valeur correspondante de la tension de sortie $U_{s}.$

La relation entre $U_{s}\ $ et $\ U_{e}$ établie s'applique tant que la tension de sortie de l'A.O. vérifie :

$$-V_{sat}\leq U_{s}\leq +V_{sat}$$

Pour $U_{e}=-4.0\;V$ alors : $U_{s}=-\dfrac{4.7\times(-4)}{2.2}=8.5$

On obtient le tableau suivant :

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline U_{e}(V)&-10&-8.0&-4.0&-2.0&0.0&2.0&4.0&8.0&10\\ \hline U_{s}(V)&15&15&8.5&4.3&0.0&-4.3&-8.5&-15&-15\\ \hline\end{array}$$

Exercice 3

Le montage étudié dans cette partie est représenté sur la figure 1.

L'amplificateur opérationnel $AO_{1}$ utilisé est considéré comme parfait.

La caractéristique $V_{s}=f(V_{e})$ du montage est représentée sur la figure 2.

La résistance $R_{1}$ est ajustable et $R_{2}=10\;k\Omega.$

1) Montrons qu'en régime linéaire l'amplification du montage peut s'exprimer sous la forme :

$$A=\dfrac{V_{s}}{V_{e}}=-\dfrac{R_{2}}{R_{1}}$$

La loi d'additivité des tensions à l'entrée s'écrit :

$\begin{array}{rcl} V_{e}=V_{AM}&=&V_{AE^{-}}+V_{E^{-}E^{+}}+V_{E^{+}M}\\ \\&=&R_{1}.i+0+0\\ \\&=&R_{1}.i\end{array}$

De même la tension de sortie $V_{s}$ a pour expression :

$\begin{array}{rcl} V_{s}=V_{SM}&=&V_{SE^{-}}+V_{E^{-}E^{+}}+V_{E^{+}M}\\ \\&=&-R_{2}.i_{2}+0+0\\ \\&=&-R_{2}.i_{2}\end{array}$

La loi des nœuds en E-s'écrit :

$$i_{1}=i_{2}+i^{-}$$

Or, $i^{-}=0$ donc, $i_{1}=i_{2}$

L'amplification $A$ du montage peut alors s'écrire :

$\begin{array}{rcl} A&=&\dfrac{V_{s}}{V_{e}}\\ \\&=&\dfrac{-R_{2}.i_{2}}{R_{1}.i_{1}}\quad\text{or, }\ i_{1}=i_{2}\\ \\&=&\dfrac{-R_{2}.i_{1}}{R_{1}.i_{1}}\\ \\&=&-\dfrac{R_{2}}{R_{1}}\end{array}$

Ainsi, $\boxed{A=-\dfrac{R_{2}}{R_{1}}}$

2) En utilisant le résultat précédent et la caractéristique de la figure 2, déterminons la valeur donnée à la résistance $R_{1}.$

On a : $-\dfrac{R_{2}}{R_{1}}=\dfrac{V_{s}}{V_{e}}\ \Rightarrow\ R_{1}=-\dfrac{V_{e}}{V_{s}}R_{2}$

A.N : $R_{1}=-\dfrac{2}{-6}\times 10=3.3$

D'où, $\boxed{R_{1}=3.3\;kV}$

3) On applique à l'entrée du montage une tension sinusoïdale de valeur efficace $V_{_{E}}=2.0\;V.$

Un voltmètre est utilisé en en position $AC$ conformément à la figure 3.

Soit $V_{s}$ l'indication de cet appareil.

De la relation $\dfrac{V_{s}}{V_{e}}=-\dfrac{R_{2}}{R_{1}}$, on tire : $V_{s}=-\dfrac{R_{2}}{R_{1}}V_{e}$

A.N : $V_{s}=-\dfrac{10}{3.3}\times 2.0=-6.1$

Donc, $\boxed{V_{s}=-6.1\;kV}$

Exercice 4

On réalise avec le même montage deux séries de mesures :

La caractéristique $U_{s}=f(U_{e})$ du montage est représentée sur la figure ci-dessous.

$\centerdot\ $ première série : le voltmètre $n^{\circ}1$ indique $2.3\;V$ et le voltmètre $n^{\circ}2$ affiche $9.2\;V$ ;

$\centerdot\ $ deuxième série : le voltmètre $n^{\circ}1$ indique $4.1\;V$ et le voltmètre $n^{\circ}2$ affiche $13.6\;V$

1) La tension mesurée par le voltmètre $n^{\circ}1$ est la tension à l'entrée.

2) La tension mesurée par le voltmètre $n^{\circ}2$ est la tension à la sortie.

3) Le coefficient d'amplification du montage

La valeur $U=13.6\;V$ est plus proche de la tension de saturation donc, la première série de mesure convient.

Ainsi, $A=-\dfrac{V_{2}}{V_{1}}=-\dfrac{9.2}{2.3}=-4$

D'où, $\boxed{A=-4}$

4) La tension de saturation du montage est : $$U_{sat}=15\;V$$

Exercice 5

$R_{1}=10\;k\Omega\;;\quad R_{2}=33\;k\Omega$

Pour ce montage, le coefficient d'amplification vaut : $A=-\dfrac{R_{2}}{R_{1}}$ et la tension de saturation $\pm 14\;V$

1) On appelle $U_{e}$ la tension d'entrée du montage et $U_{s}$, la tension de sortie.

Reportons sur le montage les flèches tension $U_{e}\ $ et $\ U_{s}$ (voir figure)

2) Calculons $A.$

On a : $A=-\dfrac{R_{2}}{R_{1}}=-\dfrac{33}{10}=-3.3$

Ainsi, $\boxed{A=-3.3}$

Lorsque le montage amplificateur fonctionne en régime linéaire, établissons la relation qui existe entre la tension de sortie $U_{s}$ et la tension d'entrée $U_{e}.$

La loi d'additivité des tensions à l'entrée s'écrit :

$$U_{s}=U_{R_{2}}+U_{E^{-}E^{+}}$$

Or, $U_{E^{-}E^{+}}=0$ donc,

$$U_{s}=-R_{2}.i_{2}$$

La loi des nœuds en $E^{-}$ s'écrit :

$$i_{1}=i_{2}+i^{-}=i_{2}+0$$

Ce qui entraine : $i_{1}=i_{2}.$ Par suite,

$$U_{s}=-R_{2}.i_{1}$$

Ainsi, $\dfrac{U_{s}}{U_{e}}=-\dfrac{R_{2}.i_{1}}{R_{1}.i_{1}}=-\dfrac{R_{2}}{R_{1}}$

Par conséquent, $\boxed{U_{s}=-\dfrac{R_{2}}{R_{1}}U_{e}}$

3) Complétons le tableau de valeurs :

Soit : $A=\dfrac{U_{s}}{U_{e}}\ \Rightarrow\ U_{s}=A.U_{e}$

Ainsi, pour $U_{e}=-4\;V$ alors $U_{s}=-3.3\times(-4)=13.2$

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|}\hline U_{e}(V)&-6&-4&-2&0&1&3&5\\ \hline U_{s}(V)&14&13.2&6.6&0&-3.3&-9.9&-14\\ \hline\end{array}$$

4) Construisons le graphique de la fonction $U_{s}=f(U_{e})$ ;

5) A partir de cette courbe, on remarque :

$-\ \ $ les valeurs de $U_{e}$ pour lesquelles le régime de fonctionnement est appelé linéaire sont :

$$13.2\;V\;;\quad 6.6\;V\;;\quad 0\;V\;;\quad -3.3\;V\quad \text{ et }\quad -9.9\;V$$

$-\ \ $ les valeurs de $U_{e}$ pour lesquelles le régime de fonctionnement est dit saturé sont :

$$-6\;V\ \text{ et }\ 5\;V$$

Exercice 6

On réalise le montage suivant et on observe les deux oscillogrammes ci-dessous :

Déterminons :

1) la tension de saturation :

En observant les deux oscillogrammes ci-dessous, on obtient : $U_{sat}=3.2\times 5=16$

D'où, $\boxed{U_{sat}=16\;V}$

2) le coefficient d'amplification du montage.

Soit : $U_{s}=3\times 5=15\;V\ $ et $\ U_{e}=1\times 2=2\;V$

Alors, $A=\dfrac{U_{s}}{U_{e}}=\dfrac{15}{2}=7.5$

Ainsi, $\boxed{A=7.5}$

Exercice 7

1) Rappel des caractéristiques d'un A.O. idéal.

$-\ $ le courant $i^{-}$ entrant par l'entrée inverseuse $E^{-}$ est nul ;

$-\ $ le courant $i^{+}$ entrant par l'entrée non inverseuse $E^{+}$ est nul ;

$-\ $ la tension entre les entrées $E^{+}\ $ et $\ E^{-}$ est nulle en régime linéaire

2) Relation simple qui existe entre la tension $U_{e}$ et la tension $U_{s}$

$$U_{e}=U_{s}$$

Exercice 8

A l'aide d'un amplificateur opérationnel alimenté par un générateur $(e_{1}\;,\ 0\;,\ -e_{2})$, nous avons réalisé le montage de la figure ci-dessous

1) En supposant l'$A.O.$ idéal $(I^{+}=I^{-}=0\;;\ V_{_{E^{+}}}-V_{_{E^{-}}}=0)$ montrons que :

$$\dfrac{U_{s}}{e}=\dfrac{R_{1}+R_{2}}{R_{1}}$$

La loi d'additivité des tensions à l'entrée s'écrit :

$$e=U_{R_{1}}+U_{E^{+}E^{-}}$$

Or, $U_{E^{+}E^{-}}=0$ donc, $e=U_{R_{1}}=R_{1}.i_{1}$

La loi d'additivité des tensions à la sortie s'écrit :

$$U_{s}=U_{SM}=U_{R_{2}}+U_{R_{1}}=R_{2}.i_{2}+R_{1}.i_{1}$$

La loi des nœuds en $E^{-}$ s'écrit :

$$i_{1}=i_{2}+i^{-}=i_{2}+0$$

Ce qui entraine : $i_{1}=i_{2}.$ Par suite,

$$U_{s}=(R_{2}+R_{1}).i_{1}$$

Ainsi, $\dfrac{U_{s}}{e}=\dfrac{(R_{2}+R_{1}).i_{1}}{R_{1}.i_{1}}=\dfrac{R_{2}+R_{1}}{R_{1}}$

D'où, $\boxed{\dfrac{U_{s}}{e}=\dfrac{R_{1}+R_{2}}{R_{1}}}$

Application numérique : $R_{1}=10\;k\Omega\;;\quad R_{2}=100\;k\Omega$

Par suite, $\dfrac{U_{s}}{e}=\dfrac{10+100}{10}=11$

2) Avec un $A.O.\ 741$, on a relevé les mesures suivantes :

$I_{e}=0.004\;\mu A\;;\ e=0.48\;V\;;\ U_{s}=5.4\;V$

$R_{c}=2000\Omega\;;\ e_{1}=15.13\;V\;;\ I_{1}=4.23\;mA\;;\ e_{2}=15.10\;V\;;\ I_{2}=1.50\;mA$

Calculons le rapport expérimental $\dfrac{U_{s}}{e}.$

Soit : $\dfrac{U_{s}}{e}=\dfrac{5.4}{0.48}=11$ donc, $\dfrac{U_{s}}{e}=11$

Et par conséquent, $\dfrac{U_{s}}{e}=\dfrac{R_{1}+R_{2}}{R_{1}}$

Exercice 9

Pour le montage de la figure ci-dessous, on donne :

$R_{1}=10\;k\Omega\;;\ R_{2}=4.7\;k\Omega\ $ et $\ R_{3}=2.2\;k\Omega$

De plus, la mesure de $i_{c}$ a donné : $i_{c}=2.5\;mA$

1) L'ampli opérationnel fonctionne en régime linéaire car la sortie est bouclée sur l'entrée inverseuse

2) Calcul de l'intensité $i_{e}$ du courant dans la résistance $R_{2}.$

La loi d'additivité des tensions à la sortie s'écrit :

$\begin{array}{rcl} U_{s}=U_{E^{-}E^{+}}+U_{R_{2}}&\Rightarrow&R_{3}.i_{c}=0+R_{2}.i_{e}\\ \\&\Rightarrow&i_{e}=\dfrac{R_{3}}{R_{2}}i_{c}\\ \\&\Rightarrow&i_{e}=\dfrac{2.2}{4.7}\times 2.5\\ \\&\Rightarrow&i_{e}=1.2\end{array}$

Ainsi, $\boxed{i_{e}=1.2\;mA}$

3) calculons la tension d'entrée $u_{e}.$

Soit : $U_{e}=(R_{1}+R_{2}).i_{e}$

A.N : $U_{e}=(10+4.7)\times 10^{3}\times 1.2\cdot 10^{-3}=17.6$

Ainsi, $\boxed{U_{e}=17.6\;V}$

Solution des exercices : Propagation rectiligne de la lumière - 2nd S

Classe:

Seconde

Exercice 1

Choisissons les objets lumineux qui sont des sources primaires, et ceux qui sont des sources secondaires.

$$\begin{array}{|l|l|}\hline\text{Sources primaires}&\text{Sources secondaires}\\\hline\text{Flamme de bougie}&\text{Ecran de protection}\\\text{Soleil}&\text{Mur blanc}\\\text{Etoile polaire}&\text{Lune}\\\text{Ecran de télévision}&\text{Vénus}\\\text{Satellite Spot}&\text{Ecran de protection}\\\text{ }&\text{Atmosphère}\\\hline\end{array}$$

Exercice 2

Complétons :

Les sources primaires produisent la lumière qu'elles émettent.

Les sources secondaires sont des objets lumineux éclairés par des sources primaires.

La lumière émise par les sources se propage en ligne droite dans un milieu transparent et homogène.

On traduit ce type de propagation la construction de droites orientées appelées rayons.

Exercice 3

a) Calculons le temps mis par la lumière à nous parvenir

Soit :

$\begin{array}{rcl} t&=&\dfrac{d}{c}\\ \\&=&\dfrac{150.10^{9}}{3.10^{8}}\\ \\&=&5.10^{2}\;s\end{array}$

Ainsi, $\boxed{t=8\;mn\ 33\;s}$

b) Calculons la distance de la terre à la lune

Soit :

$\begin{array}{rcl} d&=&c\times t\\ \\&=&3.10^{8}\times 2.6\\ \\&=&7.810^{8}\;m\end{array}$

Donc, $\boxed{d=7.810^{8}\;m}$

Exercice 4

1) Un milieu transparent est un milieu qui laisse passer la lumière sans la diffuser ni l'absorber (ou très peu), c'est-à-dire que l'on peut distinguer nettement un objet se situant de l'autre côté.

2) Un milieu est homogène s'il possède les même caractéristiques en chacun de ses points (même composition chimique, même température et même pression).

3) Exemples de milieux transparents et homogènes : l'air, verre poli et l'eau

4) Dans un milieu transparent et homogène, la lumière se propage en ligne droite

Exercice 5

Dessinons et orientons le parcours de la lumière afin de décrire au mieux le phénomène de propagation rectiligne de la lumière

Exercice 6

Le faisceau de lumière issu du trou $T$ est un faisceau divergent .

L'observateur peut voir de la lumière à partir de n'importe de quel trou.

Exercice 7

1) La vue arrive aux objets si la lumière les éclaire.

2) Si vous voyez vos pieds c'est qu'ils émettent de la lumière.

3) La lumière éclaire les objets et elle est renvoyée vers l'œil.

4) L'œil voit les objets quand la vue est suffisamment forte pour y arriver : la vue est d'autant plus forte que la lumière ambiante est importante.

Exercice 8

On considère une source ponctuelle $S$, une petite sphère de rayon $r=2\;cm$ et un écran placé à la distance $D=2.0\;m$ de la source $S.$

La sphère est placée à la distance $d=0.5\;m$ de la source ponctuelle de telle façon que l'on puisse voir son ombre portée sur l'écran. La source $S$ et les centres de l'écran et de la sphère sont alignés.

1) Nature géométrique de l'ombre portée sur l'écran : l'ombre portée est un cercle

2) Évaluons les dimensions de cette ombre portée et sa surface.

$-\ $ Diamètre ou hauteur de l'ombre portée, soit : $d_{0}$

$\begin{array}{rcrcl}\dfrac{d_{0}}{D}=\dfrac{2r}{d}&\Rightarrow&d_{0}&=&\dfrac{2r}{d}D\\ \\&\Rightarrow&d_{0}&=&\dfrac{2\times 2}{0.5}\times 2\\ \\&\Rightarrow&d_{0}&=&16\end{array}$

Par suite, $\boxed{d_{0}=16\;cm}$

$-\ $ Rayon de l'ombre portée, soit : $r_{0}$

$\begin{array}{rcl} r_{0}&=&\dfrac{d_{0}}{2}\\ \\&=&\dfrac{16}{2}\\ \\&=&8\end{array}$

Ainsi, $\boxed{r_{0}=8\;cm}$

$-\ $ Surface de l'ombre portée, soit : $S_{0}$

$\begin{array}{rcl} S_{0}&=&\pi r_{0}^{2}\\ \\&=&\pi\times 8^{2}\\ \\&=&2.01\cdot 10^{2}\end{array}$

D'où, $\boxed{S_{0}=2.01\cdot 10^{2}\;cm^{2}}$

3) Conditions pour obtenir sur l'écran la même ombre portée qu'avec la sphère :

L'axe doit passer le centre du disque et le disque doit occuper la même position que la petite sphère

Exercice 9

1) Détermination de la distance entre les surfaces des deux astres.

On a :

$\begin{array}{rcrcl} 2d=c\times t&\Rightarrow&d&=&\dfrac{c\times t}{2}\\ \\&\Rightarrow&d&=&\dfrac{3.10^{8\times 2.51}}{2}\\ \\&\Rightarrow&d&=&376.5\cdot 10^{3}\;km\end{array}$

Ainsi, $\boxed{d=376.5\cdot 10^{3}\;km}$

2) Déduisons la distance entre leurs centres.

Soit : $D=d+R_{T}+R_{L}$

A.N : $D=376.5\;10^{3}+6.40\;10^{3}+1.74\;10^{3}=385.10^{3}$

D'où, $\boxed{D=385.10^{3}\;km}$

Exercice 10

1) Montrons que l'œil de Julien placé derrière la feuille translucide voit une reproduction du filament renversée sur la feuille.

L'image $A'B'$ sur la feuille translucide est bien renversée

Déterminons la taille de l'image $A'B'$

$\begin{array}{rcrcl}\dfrac{A'B'}{AB}=\dfrac{1}{D}&\Rightarrow&A'B'&=&\dfrac{1}{D}\times AB\\ \\&\Rightarrow&A'B'&=&\dfrac{12}{60}\times10\\ \\&\Rightarrow&A'B'&=&2\end{array}$

Par suite, $\boxed{A'B'=2\;cm}$

2) Montrons avec deux rayons issus de $O'$ que le diamètre du trou influe sur la netteté de l'image.

L'image obtenue est constituée du pénombre porté et de l'ombre portée, ce qui la rend floue donc, moins nette

Établissons la relation qui lie la largeur e de l'image à la distance D et aux caractéristiques de la chambre noire $(l\ $ et $\ d)$ puis :

$$\dfrac{e}{l}=\dfrac{d}{D}\Rightarrow e=\dfrac{d}{D}l$$

Calcul de $e$

$e=\dfrac{d}{D}l=\dfrac{1}{60}\times 12=0.2$

D'où, $\boxed{e=0.2\;mm}$

Oxydoréduction par voie sèche - 1er s

Classe:

Première

I. Réaction d'oxydoréduction par voie sèche

1. Electronégativité

1.1 Définition

L'électronégativité d'un atome est une grandeur physique qui caractérise sa capacité à attirer les électrons lors de la formation d'une liaison chimique avec un autre élément.

1.2 Indice d'électronégativité

L'indice d'électronégativité, $\epsilon$ ou $E$, est la mesure de la tendance que possède un atome d'un élément à attirer des électrons lorsqu'il se lie avec d'autres atomes.

Les valeurs de l'indice d'électronégativité se trouvent dans le tableau périodique.

La valeur la plus petite est $0.7$ et la plus grande $4.$

Dans le tableau périodique, d'une manière générale, l'électronégativité augmente :

$- $ de la gauche vers la droite dans la même période.

$-\ $ du bas vers le haut dans une même colonne.

Ainsi les éléments qui ont beaucoup d'électrons sur leur couche externe, comme les halogènes, ont aussi un indice d'électronégativité élevé, alors que les métaux alcalins ont les indices les plus bas.

1.3 Échelle de Pauling

Sur l'échelle de Pauling, chaque élément a une électronégativité caractéristique allant de $1$ à $4.$

Un élément fortement électronégatif comme le fluor a une électronégativité de 4 tandis que celle des éléments à faible électronégativité comme le lithium est proche de $1.$

Les liaisons entre atomes dont la différence d'électronégativité est grande $($plus grande ou égale à $1.7)$ sont généralement considérées comme ioniques tandis que les valeurs entre $0.4$ et $1.7$ correspondent à des liaisons covalentes polaires et celles inférieures à $0.4$ correspondent à des liaisons covalentes non polaires.

Remarque :

L'électronégativité des gaz nobles est pratiquement nulle.

En effet que les gaz nobles n'ont pas tendance à attirer les électrons des autres atomes car leur dernière couche électronique est complète.

Ils ne se lient à peu près jamais à d'autres atomes.

2. Exemples de réactions d'oxydoréduction par voie sèche

2.1 Réaction du sodium avec le dichlore

2.1.1 Expérience

Sous la hotte aspirante, le sodium $(Na)$ enflammé est introduit dans le bocal de dichlore $(Cl_{2})$, des fumées blanches de chlorure de sodium $(NaCl)$ se forment, puis se déposent sous forme de cristaux blancs

2.1.2 Interprétation

La fumée blanche est du chlorure de sodium $NaCl$ qui résulte de la réaction du sodium avec le dichlore.

L'équation chimique de la réaction observée est :

$$2\,Na(s)\ +\ Cl(g)\ \rightarrow\ 2\,NaCl(s)$$

Le chlorure de sodium est un composé ionique formé par les ions sodium $Na^{+}$ et les ions chlorures $Cl^{-}$ Au cours de cette réaction chaque atome de sodium métal a cédé un électron; le sodium a donc été oxydé selon la demi-équation :

$$Na(s)\ \rightarrow\ Na^{+}\ +\ e^{-}$$

En même temps chaque molécule de dichlore a fixé deux électrons; le dichlore a été réduit selon la demi-équation :

$$Cl(g)\ +\ 2e^{-}\ \rightarrow\ 2Cl^{-}$$

Il y a eu un transfert d'électrons du sodium au dichlore; la réaction étudiée est donc une réaction d'oxydoréduction.

Cette réaction a été réalisée en l'absence d'eau : c'est une réaction d'oxydoréduction par voie sèche.

Remarque :

Historiquement, ce sont des réactions avec l'oxygène qui ont été définies comme des oxydations avant que cette notion ne soit généralisée sous la forme de transfert électronique

2.2 Réaction du carbone avec le dioxygène

2.2.1 Expérience

Chauffons à la flamme d'un bec bunsen un morceau de carbone (par exemple du charbon) jusqu'à l'incandescence et introduisons le dans un flacon contenant du dioxygène.

Le carbone brûle vivement avec une flamme éclairante en produisant des étincelles.

Lorsque la réaction est terminée, ajoutons de l'eau de chaux dans le flacon.

Des particules blanches apparaissent et troublent l'eau de chaux

2.2.2 Interprétation

Le trouble de l'eau de chaux prouve qu'il s'est formé du dioxyde de carbone $CO_{2}.$

L'équation chimique de la réaction observée est :

$$C(s)\ +\ O_{2}(g)\ \rightarrow\ CO_{2}(g)$$

Cette réaction est considérée comme une réaction d'oxydoréduction où le carbone est oxydé et le dioxygène est réduit bien qu'aucun transfert d'électrons ne peut être mis en évidence car le dioxyde de carbone obtenu est un composé à liaisons covalentes.

Pour pouvoir comprendre pourquoi cette transformation est une réaction redox, il est nécessaire d'introduire un nouvel outil : le nombre d'oxydation des éléments.

3. Nombre d'oxydation

3.1 L'état d'oxydation, le nombre d'oxydation

Dans une réaction d'oxydoréduction entre un métal et un non métal, il est facile de « suivre » le transfert d'électrons entre le réducteur et l'oxydant.

Cela est plus difficile lorsque la réaction met en jeu deux non métaux.

Pour « suivre » le transfert d'électrons, les chimistes ont construit un outil commode qui fait appel au nombre ou degré d'oxydation noté $N^{\circ}$

Le nombre l'oxydation ou degré d'oxydation permet de savoir si un élément chimique peut être réduit (il a gagné un ou des électrons) ou oxydé (il a perdu ou gagné un électron) qu'il soit seul ou engagé dans un édifice moléculaire ou ionique.

Le nombre d'oxydation $(NO)$ caractérise l'état d'un élément dans un composé moléculaire ou ionique.

3.1.1 Définition

Le nombre d'oxydation d'un atome dans un édifice polyatomique (molécule ou ion) est la charge électrique qui reste sur cet atome après une coupure fictive de toutes les liaisons.

Remarque :

Les électrons de chaque liaison sont attribués à l'atome le plus électronégatif.

Dans le cas où les atomes sont identiques la coupure de la liaison se fera de manière symétrique

3.1.2 Règles d'attribution

Règle 1

Le nombre d'oxydation d'un élément dans un corps pur simple atomique ou moléculaire est nul

Exemple :

$Cu\ :\ n^{\circ}(Cu)=0\;,\ Cl_{2}\ :\ n^{\circ}(Cl)=0$

Règle 2

Le nombre d'oxydation d'un élément dans un ion monoatomique est égal à la charge de cet ion.

Exemple :

$O^{2-}\ :\ n^{\circ}(O)=\Pi\;,\ Ca^{2+}\ :\ n^{\circ}(Ca)=+\Pi.$

On note en général en lettres romaines les $n^{\circ}.$

Règle 3

La somme de tous les $n^{\circ}$ des éléments dans :

$-\ $ une molécule neutre est égale à $0.$

Exemple :

$H_{2}O\ :\ n^{\circ}(O)+2\,n^{\circ}(H)=0$

$-\ $ un ion est égal à la charge de cet ion.

Exemple :

$NO_{3}^{-}\ :\ n^{\circ}(N)+3\,n^{\circ}(O)=-1$

Règle 4

Dans des composés, les éléments métalliques ont des nombres d'oxydation positifs :

$\bullet $ les éléments du groupe $I$ (alcalins) ont toujours un $n^{\circ}$ de $+I.$

Exemple :

$\bullet $ les éléments du groupe II (alcalino-terreux) ont toujours un n.o de +II.

Exemple :

$NaCl\ :\ n^{\circ}(Na)+n^{\circ}(Cl)=0$ comme $n^{\circ}(Na)=+I\;,\ n^{\circ}(Cl)=-I$

$\bullet $ les éléments du groupe $II$ (alcalino-terreux) ont toujours un $n^{\circ}$ de $+II.$

Exemple :

$CaF_{2}\ :\ n^{\circ}(Ca)+2n^{\circ}(F)=0$ comme $n^{\circ}(Ca)=+II\;,\ n^{\circ}(F)=-II$

Remarques :

Dans des composés, les éléments non métalliques suivants ont les des nombres d'oxydation (n.o) indiqués dans le tableau suivant :

$$\begin{array}{|l|l|l|} \hline \text{Non métal}&\text{Nombre d'oxydation}&\text{Exemple}\\ \hline \text{Fluore}&-I&MgF_{2}\\ \hline \text{Hydrogène}&+I&H_{2}O\\ \hline \text{Oxygène}&-II&CO_{2}\\ \hline \text{Groupe }VII&-I&CCl_{4}\\ \hline \text{Groupe }VI&-II&H_{2}S\\ \hline \text{Groupe }V&-III&NH_{3}\\ \hline \end{array}$$

Il existe cependant des exceptions :

$\bullet $ c'est le cas du peroxyde d'hydrogène $H_{2}O_{2}$, ou « eau oxygénée », comme dans tous les peroxydes, $n^{\circ}(O)=-I$

$\bullet $ L'élément chimique le plus électronégatif, donc le plus oxydant, est le fluor.

Dans la nature, il n'existe que sous sa forme réduite $F^{-}.$

C'est pratiquement le seul élément, avec le chlore, qui puisse oxyder l'élément oxygène

3.2 Utilisation du nombre d'oxydation

L'utilisation du nombre d'oxydation peut nous permettre de reconnaître les réactions d'oxydation et les réactions de réduction qui ont lieu au cours d'une réaction d'oxydoréduction même dans le cas où le transfert d'électron n'est pas évident.

3.2.1 Prévoir la nature d'une réaction chimique

Dans une réaction d'oxydoréduction, il existe un élément qui est oxydé et dont le $n^{\circ}$ augmente et un élément qui est réduit et dont le $n^{\circ}$ diminue.

Exemple :

Réaction entre le métal $Fe$ et les ions $Cu^{2+}$ :

$n^{\circ}(Fe)$ augmente $(0\rightarrow\ +II)$, il subit donc une oxydation $Fe\ +\ Cu^{2+}\ \rightarrow\ Fe^{2+}\ +\ Cu$

$n^{\circ}(Cu)$ diminue $(+II\rightarrow\ 0)$, il subit donc une réduction

Dans une réaction rédox, au moins un des éléments voit son nombre d'oxydation varier

3.2.2 Équilibrer les équations-bilans rédox

Exemple :

$Fe\ +\ Cu^{2+}\ \rightarrow\ Fe^{2+}\ +\ Cu$

$(0)$ $(+II)$

La variation du nombre d'oxydation du $n^{\circ}$ du fer est :

$\Delta\,n^{\circ}(Fe)=+II(>0$ car augmentation$)$

La variation du nombre d'oxydation du $n^{\circ}$ du cuivre :

$\Delta\,n^{\circ}(Cu)=-II(<0$ car diminution$)$

On constate que Ce résultat est général :

Dans une réaction rédox, la somme des variations des $n^{\circ}$ est nulle si on tient compte des coefficients stœchiométriques

Ainsi, pour équilibrer une réaction rédox, si on appelle $\Delta\,n^{\circ}$ la variation du nombre d'oxydation de l'élément qui est oxydé (pour un atome) et $\Delta'\,n^{\circ}$ la variation du nombre d'oxydation pour l'élément qui est réduit (pour un atome), il faut trouver les coefficients $a$ et $b$ tels que $a\Delta\,n^{\circ}+b\Delta'\,n^{\circ}=0$ et les reporter dans l'équation bilan.

Exemple :

Réaction entre le métal $F_{e}$ et les ions hydrogène $H^{+}$ d'une solution d'acide chlorhydrique

$Fe\ +\ 2H^{+}\ \rightarrow\ Fe^{2+}\ +\ H_{2}$

Déterminons la variation du $n^{\circ}$ du fer (pour un atome) :

$\Delta\,n^{\circ}(Fe)=+II-0=+\Pi$

Déterminons la variation du $n^{\circ}$ de l'hydrogène (pour un atome) :

$\Delta'\,n^{\circ}(H)=0-I=-I$

Trouvons les coefficients $a$ et $b$ tels que :

$a\Delta\,n^{\circ}+b\Delta'\,n^{\circ}=0$ et vérifions qu'ils correspondent à l'équation bilan.

$\begin{array}{lcl} a\Delta\,n^{\circ}+b\Delta'\,n^{\circ}&=&0\\ \Rightarrow a(+II)+b(-I)&=&0\\\Rightarrow a&=&1\\\text{ et }b&=&2 \end{array}$

Exercice d'application

Réaction entre le métal cuivre et les ions nitrates $NO_{3}^{-}$ (provenant de l'acide nitrique) en milieu acide.

Cette réaction donne des ions cuivre $(II)$ et du monoxyde d'azote $NO.$

Trouver et équilibrer l'équation-bilan de cette réaction en précisant les espèces qui sont réduites et oxydées.

Indice (quand même !) : il faut assurer la conservation de la charge électrique globale grâce aux ions $H^{+}$ (milieu acide) et la conservation de l'élément oxygène par la formation de molécules d'eau $(H_{2}O$ : solvant

II. Corrosion des métaux

1.Définition

On appelle corrosion l'ensemble des actions chimiques qui détériore les pierres et les métaux.

Remarque :

Les métaux ne résistent pas de la même façon à la corrosion: les métaux nobles sont insensibles ; l'aluminium, le zinc... sont protégés en surface par une mince couche d'oxyde imperméable aux agents extérieurs ; le fer rouille d'abord en surface sous l'action de l'humidité de l'air, jusqu'à la destruction de la pièce

2. Les causes de la corrosion

2.1 Corrosion de type chimique

C'est la réaction entre le métal et une phase gazeuse ou liquide.

Si cette corrosion se produit à haute température elle est alors appelée « corrosion sèche » ou corrosion à haute température.

Au cours de la corrosion chimique, l'oxydation du métal et la réduction de l'oxydant se fait en une seule action, c'est-à-dire les atomes du métal forment directement des liaisons chimiques avec l'oxydant qui arrache les électrons de valence des atomes métalliques.

2.2 Corrosion électrochimique

La corrosion électrochimique, appelée encore corrosion humide, est le mode de corrosion le plus important et le plus fréquent.

Elle réside essentiellement dans l'oxydation du métal sous forme d'ions ou d'oxydes.

La corrosion électrochimique fait appelle à la fois à une réaction chimique et un transfert de charges électriques (circulation d'un courant).

Cette corrosion nécessite la présence d'un agent réducteur $(H_{2}O$, $O_{2}$, $H_{2}$, etc.$)$, sans celui-ci la corrosion du métal ne peut se produire.

La corrosion électrochimique d'un matériau correspond à une réaction d'oxydo-réduction, dont :

$-\ $ la réaction d'oxydation d'un métal est appelée réaction « anodique »,

$-\ $ la réaction de réduction d'un agent oxydant est appelée réaction « cathodique »

III. Applications : protection des métaux, aluminothermie

1. Protection des métaux

Pour s'affranchir de la corrosion, on peut utiliser l'une des solutions suivantes :

1.1 Aciers spéciaux et inoxydables

On ajoute du chrome, du nickel, du titane : Inconvénient : le coût

2.2 Protection par revêtement

$\bullet\ $ On plonge la pièce dans un bain d'acide de façon à réaliser une pellicule imperméable (passivation à l'acide nitrique, parkérisation à l'acide phosphorique pour les carrosseries).

$\bullet\ $ Pour isoler la surface métallique de l'atmosphère oxydante, on recouvre cette dernière d'une peinture, d'un vernis...

$\bullet\ $ On plonge la pièce dans un métal liquide plus réducteur.

Par formation d'une pile électrochimique, le métal se dissout.

On utilise le zinc pour obtenir du fer galvanisé ou de l'étain pour obtenir le fer blanc

3.3 Protection cathodique

Le but consiste à réaliser une pile électrochimique dans lequel l'alliage à protéger joue le rôle de la cathode.

La corrosion se fera donc à l'anode.

$\bullet\ $ Protection de la coque d'un navire en plaçant du zinc

$\bullet\ $ Anode sacrificielle: on réalise une pile électrochimique dans laquelle la cathode est la pièce à protéger et dont l'anode sera sacrifiée (en zinc, en aluminium).

Cette est utilisée pour la protection des canalisations

2. Aluminothermie

L'aluminothermie est un procédé pyrométallurgique consistant à dégager de la chaleur grâce à une réaction chimique de l'aluminium pour produire ou faire fondre des métaux.

La réaction se déroule à haute température $($plus de $2\ 800^{\circ}C).$

2.1 Soudage par aluminothermie

La soudure exothermique regroupe tous les procédés qui utilisent une source de chaleur obtenue par une réaction chimique exothermique créée entre les bords de pièces à souder.

L'exemple le plus représentatif de l'utilisation de ce procédé est le raboutage de rails de chemins de fer.

Exemples de réactions exothermiques réalisées :

A base d'oxydes de fer et d'aluminium :

$3Fe_{3}O_{4}\ +\ 8Al\ \rightarrow\ 9Fe\ +\ 4Al_{2}O_{3}\ +\ 3010\,kJ/mol(3\ 088^{\circ}C)$

A base d'oxydes de cuivre et d'aluminium :

$3Cu_{2}O\ +\ 2Al\ \rightarrow\ 6Cu\ +\ Al_{2}O_{3}\ +\ 1089\,kJ/mol(3\ 138 ^{\circ}C)$

A base de l'oxyde de nickel et d'aluminium :

$3NiO\ +\ 2Al\ \rightarrow\ 3Ni\ +\ Al_{2}O_{3}\ +\ 864\,kJ/mol(3\ 171^{\circ}C)$

A base de l'oxyde de chrome et d'aluminium :

$Cr_{2}O_{3}\ +\ 2Al\ \rightarrow\ 2Cr\ +\ Al_{2}O_{3}\ +\ 2287\,kJ/mol(2\ 977^{\circ}C)$

A base d'oxydes de manganèse et d'aluminium :

$3MnO\ +\ 2A\ \rightarrow\ 3Mn\ +\ Al_{2}O_{3}\ +\ 1686\,kJ/mol(2\ 427^{\circ}C)$

Auteur:

Sidy Mouhamed Ndiaye

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Physique

Formulaire de recherche

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

Exercice 5

Exercice 6

Exercice 7

Exercice 8

Partie A

Partie B

Exercice 9

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

Exercice 5

Exercice 6

Exercice 7

Exercice 8

Première phase : $t=10s$

Exercice 9

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

Exercice 5

Exercice 6

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

Exercice 5

Exercice 6

Exercice 7

Exercice 8

Exercice 9

Exercice 10

Exercice 11

Exercice 12

Exercice 13

Exercice 14

Exercice 15

Exercice 16

Exercice 17

Exercice 18

Exercice 19

Exercice 20

Exercice 21

Exercice 22

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

Exercice 5

Exercice 6

Exercice 7

Exercice 8

Exercice 9

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